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UFRB - Universidade Federal do Recôncavo da Bahia CETEC - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral I CURSO: PROFESSOR: Gilberto Pina DATA: / / NOME: TURMA: Terceira Avaliação Atualizada em 20 de outubro de 2011 INSTRUÇÕES: • Desligue o celular. Não é permitido usá-lo durante a prova; • Durante a avaliação, a saída da sala e qualquer forma de consulta não será permitida; • A interpretação de cada questão é parte integrante da prova; • Só serão validadas as questões justificadas com todos os cálculos nas folhas de respostas. Questões: 1. (Valor: 5,0) Seja f(x) = x2/3(3− x)1/3. Sabendo que as duas primeiras derivadas de f são f ′(x) = 2− x x1/3(3− x)2/3 e f ′′(x) = −2 x4/3(3− x)5/3 , determine, se existirem, o que se pede: (a) (Valor: 0,5) Os pontos críticos de f . (b) (Valor: 1,0) Os intervalos de crescimento e decrescimento de f . (c) (Valor: 1,0) Os valores máximos e mínimos relativos de f . (d) (Valor: 1,0) Os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão do gráfico de f . (e) (Valor: 1,5) Esboce o gráfico de f . 2. (Valor: 2,0) Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça todas as condições dadas: (i) Dom(f) = R; (ii) f(−1) = f(3) = f(5) = 0; (iii) f(0) = −2, f(2) = 2 e f(4) = −2; (iv) f ′(0) = f ′(2) = f ′(4) = 0; (v) f ′(x) < 0 se x < 0 ou 2 < x < 4; (vi) f ′(x) > 0 se 0 < x < 2 ou x > 4; (vii) f ′′(x) < 0 se 1 < x < 3; (viii) f ′′(x) > 0 se x < 1 ou x > 3. 3. (Valor: 1,5) Um pôster tem a forma de um retângulo e deve ser construído com uma área de 4000 cm2. Sabendo que as margens de cima e de baixo medem 4 cm cada, e as margens laterais medem 2, 5 cm cada, determine a maior área possível do material impresso sobre o pôster. 4. (Valor: 1,5) A partir de um pedaço de papelão, em forma de quadrado, cuja área é de 3600 cm2, deseja-se construir uma caixa sem tampa, com maior volume possível, tirando quatro quadrados menores, um em cada um dos quatro cantos e dobrando para cima os lados. Determine, em centímetros, quais deverão ser as dimensões da caixa. 5. (Valor: 2,0) Sabendo que a Regra de L’Hôspital se aplica nos casos de indeterminação 0 0 e ∞ ∞ , use-a para calcular os seguintes limites: (a) lim x→pi e5 sen (2x) − 1 x− pi (b) lim x→pi 2 − [tg x− sec x] (c) lim x→0 20x x+ senx (d) lim x→0+ (x2 + 1)1/x “O desenvolvimento da capacidade geral de pensamento e livre-arbítrio sempre deveria ser colocado em primeiro lugar, e não a aquisição de conhecimento especializado. Se uma pessoa domina o fundamental no seu campo de estudo e aprendeu a pensar e a trabalhar livremente, ela certamente encontrará o seu caminho e será mais capaz de adaptar-se ao progresso e às mudanças.” Albert Einstein Terceira Avaliação # Cálculo Diferencial e Integral I 2
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