MAT193 10 SerTemp2 2009

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UFBA – Instituto de Matemática – Departamento de Estatística 
Disciplina: MAT193 – Introdução à Estatística Econômica 
Lia Terezinha L. P. Moraes Março de 2009 
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Podemos observar que as estimativas feitas com a tendência linear apenas 
mostraram a cada mês um número crescente de passageiros no aeroporto para o ano 2000. 
Entretanto, quando adicionamos as variações sazonais mensais, passou a existir uma 
flutuação em torno da tendência e os principais movimentos sazonais foram reproduzidos: 
o número de passageiro fica abaixo da tendência nos meses de inverno nos EEUU e acima 
para os meses de verão. 
 
Observação importante: 
 
 Pelo gráfico anterior podemos registrar alguns pontos relevantes para a descrição da 
série temporal sobre o movimento de passageiros no Aeroporto WWWWW: 
i) Nos últimos anos da série as flutuações em torno da tendência foram mais acentuadas; 
ii) Após ligeira queda no número de passageiros no meio da série, a tendência 
ascendente ficou mais acentuada; 
iii) Ao adicionar as variações sazonais às estimativas pela tendência linear, o resultado 
final mostrou uma flutuação bem menor do que nos últimos anos da série. 
As considerações acima nos mostram que nos últimos anos ocorreu uma mudança 
no movimento de passageiros no aeroporto em questão e que, ao utilizarmos os quinze 
anos da série e considerando a componente sazonal, as estimativas ficaram num patamar 
aquém do esperado para o ano 2000. Desta forma, seria razoável utilizarmos um período de 
tempo mais curto para elaborarmos as estimativas para o ano 2000. 
 
Exercício resolvido: Utilizando apenas os anos de 1997, 1998 e 1999 da série anterior, 
calcule: 
a) A tendência linear; 
b) As variações sazonais para as hipóteses aditiva e multiplicativa; 
c) Estimar, pelos dois métodos, o número de passageiros para todos os meses de 2000. 
 
Resolução: 
 
i) Ajuste do modelo linear 
Definindo a variável tempo t: jan/97 = 1; fev/97 = 2; ... ; dez/99 = 36 
A função linear para os 3 últimos anos da série, feita no programa MINITAB foi: 
Número de passageiros = 2383891 + 20207 x Tempo ou 
tY .202072383891ˆ 
 
 
Valores estimados pela tendência linear 
Ano Jan. Feb. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dec. 
1997 2404098 2424305 2444512 2464719 2484926 2505133 2525340 2545547 2565754 2585961 2606168 2626375 
1998 2646582 2666789 2686996 2707203 2727410 2747617 2767824 2788031 2808238 2828445 2848652 2868859 
1999 2889066 2909273 2929480 2949687 2969894 2990101 3010308 3030515 3050722 3070929 3091136 3111343 
 
ii) Modelo aditivo - Cálculo das variações sazonais: 
 Modelo aditivo: 
ECSTY 
  Desvios: 
iii YYd
ˆ
 
 Cálculo da média dos desvios para cada mês: 
 Para janeiro: 
086.413
3
)789.478()949.582()521.177(


JanS
 
 O mesmo cálculo para os demais meses. 
 Verificar se a soma das variações sazonais é igual ou próxima a zero: Ao somar os 
valores médios para os doze meses a soma encontrada foi –64. Para corrigir a 
 
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diferença, foi encontrado o seguinte valor para ser subtraído de cada média: 
36,5
12
64


. 
 Observação: Todos estes cálculos foram feitos com ajuda de uma planilha eletrônica 
que considera todas as decimais nos cálculos.) 
 
Modelo aditivo: Cálculo das Variações Sazonais Mensais 
Ano Jan. Feb. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dec. 
1997 -177521 -132853 277784 301617 376420 263 266195 195043 -281644 76030 -437591 -446768 
1998 -582953 -482465 -144677 169729 133936 172928 744528 273042 -69389 326891 -234119 -435844 
1999 -478797 -378008 13245 522289 236525 -10763 490156 259371 -169323 220114 -200132 -393452 
Média -413090 -331109 48784 331212 248960 54143 500293 242485 -173452 207678 -290614 -425355 
Variação sazonal -413085 -331103 48789 331217 248966 54148 500298 242491 -173447 207684 -290609 -425349 
 
iii) Modelo multiplicativo - Cálculo dos índices de sazonalidade: 
 Modelo aditivo: 
ECS
T
Y

  Índice: 
ii
i
i
Y
Y
I
ˆ

 
 Cálculo da média dos desvios para cada mês: 
 Para janeiro: 
847,0
3
834,0780,0926,0


JanI
; etc.. 
 Verificar se a média dos índices de sazonalidade é igual ou próxima a 1 ou 100%: 
Neste exercício foi bem próximo a 1. 
 
Modelo Multiplicativo: Cálculo dos Índices Mensais de Sazonalidade 
Ano Jan. Feb. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dec. 
1997 0,926 0,945 1,114 1,122 1,151 1,000 1,105 1,077 0,890 1,029 0,832 0,830 
1998 0,780 0,819 0,946 1,063 1,049 1,063 1,269 1,098 0,975 1,116 0,918 0,848 
1999 0,834 0,870 1,005 1,177 1,080 0,996 1,163 1,086 0,944 1,072 0,935 0,874 
Índice de Sazonalidade 0,847 0,878 1,021 1,121 1,093 1,020 1,179 1,087 0,937 1,072 0,895 0,851 
 
 
iv) Previsões mensais para o ano 2000 
 
Na tabela a seguir encontram-se os três tipos de previsões realizadas: tendência (T) 
pela função linear; T + variação sazonal pelo modelo aditivo (VS); e T + índices de 
sazonalidade pelo modelo multiplicativo (I). 
 
 Pela função linear: 
tY .202072383891ˆ 
 
Para Janeiro/2000: X = 37  
539.131.3)373,010.1(2,715.757.2ˆ 2000/ JanY
 
Os resultados encontram-se na linha 
Yˆ
 na tabela a seguir. 
 
 Considerando as variações sazonais (modelo aditivo) 
Para Janeiro de 2000: 
453.718.2)086.413(539.131.3..ˆ 2000/  JanJan SazVarY
 
Os resultados encontram-se na linha 
Yˆ
 + VS na tabela a seguir. 
 
 Considerando os índices de sazonalidade (modelo multiplicativo) 
Para Janeiro de 2000: 
546.651.2847,0539.131.3ˆ 2000/  JanJan IY
 
Os resultados encontram-se na linha 
Yˆ
 x IS na tabela a seguir. 
 
 
 
 
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Resumo das estimativas encontradas: 
Mês/2000 Jan. Feb. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dec. 
Tempo (t) 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 
Tendencia (T) 3131550 3151757 3171964 3192171 3212378 3232585 3252792 3272999 3293206 3313413 3333620 3353827 
Variação sazonal (VS) -413085 -331103 48789 331217 248966 54148 500298 242491 -173447 207684 -290609 -425349 
N
o
 de passageiros (T + VS) 2718465 2820654 3220753 3523388 3461344 3286733 3753090 3515490 3119759 3521097 3043011 2928478 
Índice de sazonalidade (I) 0,847 0,878 1,021 1,121 1,093 1,020 1,179 1,087 0,937 1,072 0,895 0,851 
N
o
 de passageiros (T x I) 2651552 2767612 3239964 3577503 3512446 3296636 3835291 3556813 3084656 3552697 2983773 2852443 
 
 
Número de passageiros estimados (função linear) 
no Aeroporto WWWWW, 2000 
Variação sazonal calcula pelos modelos aditivo (VS) e multiplicativo (I)
2000000
2500000
3000000
3500000
4000000
jan-00 jan-00 jan-00 jan-00 jan-00 jan-00 jan-00 jan-00 jan-00 jan-00 jan-00 jan-00
mês/ Ano
No de passagei r os
N_passag. Estimado Tendência (Yi^) N_passag. Estimado (Yi^ + VS) N_passag. Estimado (Yi^ x I)
 
 
 
Número de passageiros do Aeroporpo WWWWW, 1985 - 1999 Estimativas 
pelo modelo aditivo para 2000
0
5000001000000
1500000
2000000
2500000
3000000
3500000
4000000
J
1985
S
1985
M
1986
J
1987
S
1987
M
1988
J
1989
S
1989
M
1990
J
1991
S
1991
M
1992
J
1993
S
1993
M
1994
J
1995
S
1995
M
1996
J
1997
S
1997
M
1998
J
1999
S
1999
M
2000
Mês / Ano
Nú
me
ro 
de
 pa
ss
ag
eir
os
 
 
 
4.3. Dessazonalização ou desestacionalização das séries 
 
 Para que possamos utilizar como indicadores econômicos as informações relativas a 
fenômenos que estão sujeitos a variações sazonais, devemos antes eliminar as influências 
sazonais. Só podemos atribuir significado aos indicadores econômicos quando o 
comportamento sazonal for razoavelmente constante. A avaliação do comportamento 
sazonal deve ser revista frequentemente. 
 
Para eliminar a influência sazonal de uma série devemos retirar da série original as 
variações sazonais estimadas. Para tanto, devemos considerar a hipótese utilizada: 
 
Valores estimados 
(série 1997-1999) 
 
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a) Pelo modelo aditivo - subtrair da série original as variações sazonais 
ECTSY 
 
b) Pelo modelo multiplicativo – dividir os dados observados da série pelos índices de 
sazonalidade (Is) 
ECT
S
Y

. 
Os dados desestacionalizados incluem as componentes tendência, as variações 
cíclicas e as variações aleatórias. 
 
 
Exemplo: Desestacionalizar a série referente ao número de passageiros no Aeroporto 
WWWW no período 1985 – 1999. Faça um gráfico com a série desestacionalizada. 
 
Resolução: 
Série desestacionalizada = Tendência – Variação sazonal (modelo aditivo) 
Ano Jan. Feb. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dec. 
1985 730378 742031 649029 498791 596785 660316 449515 543962 660186 591735 770742 799015 
1986 883714 817243 648297 602979 632151 665666 560293 586310 744018 726426 761266 813045 
1987 846319 882551 790372 743289 730329 781735 638894 667113 821297 851714 982742 1000765 
1988 982158 998326 949429 829147 850471 912893 753298 848924 1015962 909150 1064731 1080571 
1989 1017619 1032573 942549 871544 904847 961330 707339 830249 947869 889100 1063228 1058221 
1990 1090539 1089265 1088180 975421 997865 1027850 892122 1040848 1013561 953732 807300 1047689 
1991 1041151 1043698 941875 931269 1057296 949222 811855 975285 997117 922247 1037365 1113621 
1992 1133151 1141698 1088875 1047269 1064296 1115222 1328855 1252285 1290117 1261247 1339365 1332621 
1993 1343813 1323593 1247621 1358673 1319718 1446899 1502279 1488366 1512882 1456227 1561131 1559839 
1994 1494635 1528950 1546700 1565947 1686212 1678759 1823088 1829826 1799334 1708179 1857365 1764074 
1995 1788793 1730268 1959846 1927157 1993850 2139135 2122691 2175183 2208596 2090224 2181630 2144685 
1996 2079839 2083993 2238877 2256384 2307398 2316541 2554663 2620341 2455737 2522602 2453914 2409757 
1997 2453728 2494150 2704171 2678605 2729642 2448618 2510390 2530875 2339227 2582238 2305942 2422228 
1998 2290780 2387022 2524194 2789201 2729642 2863767 3231207 2851358 2793966 3075583 2751898 2675636 
1999 2637420 2733963 2924600 3384245 3074715 2922560 3219319 3080171 2936516 3211290 3028369 2960512 
 
 
 
Número de passageiros no Aeroporto WWWWW - 1985 - 1999
0
500000
1000000
1500000
2000000
2500000
3000000
3500000
4000000
J
1985
A
1985
M
1986
O
1986
M
1987
D
1987
J
1988
F
1989
S
1989
A
1990
N
1990
J
1991
J
1992
A
1992
M
1993
O
1993
M
1994
D
1994
J
1995
F
1996
S
1996
A
1997
N
1997
J
1998
J
1999
A
1999
Mês /Ano
Nú
m
er
o d
e p
as
sa
ge
iro
s
Número de passageiros Série destacionalizada
 
 
4.4. Determinação das variações cíclicas 
 
 Após a desestacionalização da série cronológica original, os valores resultantes 
conterão a tendência secular, as variações cíclicas e as variações aleatórias. Se retirarmos 
também da série desestacionalizada a componente tendência, as informações resultantes 
conterão apenas as variações cíclicas e aleatórias. A depender da hipótese utilizada, 
teremos: 
 
 
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a) Modelo aditivo: 
ESCTY 
  
ECSTY 
 
b) Modelo multiplicativo: 
ESCTY 
  
EC
ST
Y


 
 
 A aplicação de médias móveis, considerando um número de períodos de tempo 
adequado, eliminará da série a variação aleatória restando, portando, apenas a componente 
cíclica. Se existirem ciclos na série original, ou seja, se observarmos variações que se 
repetem em períodos de tempo constante, poderão ser utilizados os métodos apresentados 
para determinação das variações sazonais para a obtenção das variações cíclicas. 
 
Observações: 
i) Só é possível observar variação cíclica em séries temporais suficientemente longas. 
ii) Segundo alguns estudiosos não existem evidências que séries macroeconômicas 
contenham componentes periódicas além da sazonal. 
iii) Existe, ainda um outro aspecto a considerar: “aquilo que parece ser tendência na 
série pode ser parte de um ciclo com período muito grande, que não é detectável 
devido ao fato de estarmos observando a série em um intervalo de tempo pequeno, 
comparado com o período do ciclo.”19 
 
 
Exemplo: Verificar se pode ser observada a variação cíclica na série cronológica de 15 
anos relativa ao número de passageiros no Aeroporto WWWWW no período 1985 – 1999. 
 
Resolução: No gráfico a seguir foram subtraídos do número de passageiros observado o 
número de passageiros estimado pela tendência linear (T) e a variação sazonal (S), 
determinada pelo modelo aditivo, restando apenas as variações cíclicas e aleatórias da 
série. 
 
Número de passageiros no Aerorporto WWWWW - 1985 - 1999
Componente cíclica e aleatória 
-800.000
-600.000
-400.000
-200.000
0
200.000
400.000
600.000
800.000
J
1985
A
1985
M
1986
O
1986
M
1987
D
1987
J
1988
F
1989
S
1989
A
1990
N
1990
J
1991
J
1992
A
1992
M
1993
O
1993
M
1994
D
1994
J
1995
F
1996
S
1996
A
1997
N
1997
J
1998
J
1999
A
1999
Mês /Ano
Nú
me
ro 
de
 pa
ss
ag
eir
os
 
 
A partir dos valores encontrados, foi feita a média móvel de 12 meses (centrada em 
julho) na série, contendo apenas as componentes cíclica e aleatória. Obteve-se 
graficamente o seguinte resultado. Observa-se que nos três últimos anos da série houve 
alteração no movimento cíclico. Possivelmente ocorreu algum evento nesses anos que 
alterou o comportamento ao longo dos doze anos anteriores. 
 
19 MORETIN e TOLOI, pág. 36. 
 
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Número de passageiros no Aeroporto WWWWW - 1985 - 1999
Determinação da componente cíclica - Média móvel 12 meses
-500000
-400000
-300000
-200000
-100000
0
100000
200000
300000
400000
J
1985
F
1986
S
1986
A
1987
N
1987
J
1988
J
1989
A
1989
M
1990
O
1990
M
1991
D
1991
J
1992
F
1993
S
1993
A
1994
N
1994
J
1995
J
1996
A
1996
M
1997
O
1997
M
1998
D
1998
J
1999
Mês / Ano
Nú
m
ero
 de
 pa
ss
ag
eir
os
 
 
4.5. Determinação das variações aleatórias 
 
 Após a determinação da componente cíclica, se retirarmos esta componente junto 
com as componentes tendência e variação sazonal, restará apenas a variação aleatória. A 
depender da hipótese utilizada, temos: 
a) No modelo aditivo: 
ECSTY 
 
b) No modelo multiplicativo: 
E
CST
Y


 
 Na prática, a componente aleatória, também chamada de residual, pode ser 
considerada como uma variável aleatória com distribuição de probabilidade normal. 
Graficamente este modelo probabilístico assume a seguinte forma: 
 
0.0
x
f(x
)
m
68,3%
Área correspondente às pequenas
variações em torno da média (com
maior probabil idade de ocorrência)
Áreas correspondentes às grandes variações en torno da
média (com pequena probabilidade de ocorrência)
Distribuição de probabilidade normal
Média m Desvio padrão s
 
 
 O estudo sobre Probabilidade e, consequentemente, da distribuição Normal será 
visto na disciplina MAT194 – Estatística Econômica. Assim sendo, não estudaremos a 
componente aleatória de uma série temporal neste Curso. 
 
 
4.6. Considerações finais 
 
1
a
) Quanto maior a série temporal melhor será sua análise, implicando em melhores 
previsões. Entretanto mudanças acentuadas na direção da série devem ser observadas e, 
se necessário, trabalhar apenas com a última parte da série para a determinação das suas 
componentes e para fazer previsões. 
 
 
UFBA – Instituto de Matemática – Departamento de Estatística 
Disciplina: MAT193 – Introdução à Estatística Econômica 
Lia Terezinha L. P. Moraes Março de 2009 
118 
 
2
a
) O período utilizado para o cálculo da variação sazonal dependerá dos conhecimentos do 
pesquisador sobre o fenômeno estudado. 
 
3
a
) Previsões são feitas com base em informações passadas, portanto para usá-las devemos 
conhecer bem as restrições aos modelos utilizados. 
 
4
a
) Não é recomendável elaborar previsões para períodos de tempo muito distantes da série 
original. 
 
5
a
) Na disciplina Econometria serão estudadas séries temporais onde serão consideradas 
outras variáveis além do tempo. 
 
6
a
) É importante lembrar que o conteúdo desta unidade tem por objetivo apenas descrever a 
série temporal. Em Econometria o estudo de séries irá além de mera descrição. 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
UNIDADES IV E V 
 
 
 
 
FONSECA, Jairo S., MARTINS, Gilberto A. e TOLEDO, Geraldo L.. Estatística 
aplicada. 2
ª
 ed. Editora Atlas, São Paulo. 
 
 
KARMEL, P. H. e POLASEK, M.. Estatística geral e aplicada à Economia. 2
ª
 ed. 
Editora Atlas, São Paulo. 
 
 
MILONE, Giuseppe e ANGELINI, Flávio. Estatística Aplicada. Números-índice, 
Regressão e correlação e Séries Temporais. Editora Atlas, São Paulo. 
 
 
MORETTIN, Pedro A. e TOLOI, Clélia Maria C.. Previsões de séries temporais. 2
ª
 ed. 
Atual Editora, São Paulo.