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44 Unidade I – Funções, Gráficos e Limites I.1 – O Plano Cartesiano e a Equação de Distância Assim como os números reais podem ser representados por pontos na reta dos reais, pares ordenados de números reais podem ser representados por pontos em um plano conhecido como plano cartesiano em homenagem ao matemático francês René Descartes (1596-1650). O plano cartesiano é formado a partir de duas retas mutualmente perpendiculares, como as da Figura 1.1. A reta horizontal é chamada de eixo x, e a reta vertical, de eixo y. O ponto de interseção das duas retas recebe o nome de origem, e os dois eixos dividem o plano em quatro partes conhecidas como quadrantes. A cada ponto do plano está associado um par ordenado (x , y) de números reais x e y, conhecidos como coordenadas do ponto. A coordenada x corresponde à distância dirigida do eixo y ao ponto, e a coordenada y corresponde à distância dirigida do eixo x ao ponto (Figura 1.2). 45 Exemplo 1 Plote os pontos (-1 , 2) , (3 , 4) , (0 , 0) , (3 , 0) e (-2 , -3) no plano cartesiano. Solução Para plotar o ponto (-1 , 2) imagine uma reta vertical passando pelo ponto -1 do eixo x e uma reta horizontal passando pelo ponto 2 do eixo y. A interseção dessas duas retas é o ponto (-1 , 2). Os outros quatro pontos podem ser plotados de forma análoga e aparecem na Figura 1.3. O uso de um sistema de coordenadas retangulares permite visualizar relações entre duas variáveis. Observe, no Exemplo 2, como o uso de um gráfico facilita a interpretação de dados experimentais. 46 Exemplo 2 A tabela a seguir mostra uma quantia A (em milhões de dólares) gastas em snowmobiles nos Estados Unidos, de 1997 a 2006. Plote esses dados em um gráfico de pontos (Diagrama de Dispersão). t 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 A 1006 975 883 821 894 817 779 712 826 741 Solução Para plotar um gráfico de pontos com base nos dados da tabela, basta representar cada par de valores por um par ordenado (t , A) e plotar os pontos resultantes, como mostra a Figura 1.4. Assim, por exemplo, o primeiro par de valores é representado pelo par ordenado (1997 , 1006). Observe a quebra no início do eixo t que indica que os números entre 0 e 1990 foram omitidos. 47 O gráfico de dispersão do Exemplo 2 é apenas uma das formas de representar dados graficamente. Duas outras formas aparecem nos gráficos abaixo. O primeiro é um histograma (gráfico de barras) e o segundo é um gráfico de linhas. Essas três representações gráficas foram criadas com o auxílio de um software gráfico em computador. Utilize o software Excel (ou equivalente) para traçar vários tipos de gráficos com a tabela do Exemplo 2. 48 A Equação de Distâncias De acordo com o Teorema de Pitágoras, se a hipotenusa de um triângulo retângulo tem comprimento c e os catetos têm comprimentos a e b, então, como mostra a Figura 1.5, 49 Considere que você precise determinar a distância d entre dois pontos (x1 , y1) e (x2 , y2) do plano. Com esses dois pontos, é possível formar um triângulo retângulo, como mostra a Figura 1.6. O comprimento do lado vertical do triângulo é |𝑦2 − 𝑦1| e o comprimento do lado horizontal é |𝑥2 − 𝑥1|. De acordo com o Teorema de Pitágoras, temos que: 𝑑2 = |𝑥2 − 𝑥1| 2 + |𝑦2 − 𝑦1| 2 𝑑 = √|𝑥2 − 𝑥1|2 + |𝑦2 − 𝑦1|2 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 Este resultado é conhecido como Equação da Distância. Portanto, a distância d entre os pontos (x1 , y1) e (x2 , y2) do plano é dada por 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 50 Exemplo 3 Determine a distância entre os pontos (-2 , 1) e (3 , 4). Solução Sejam (𝑥1 , 𝑦1) = (−2 , 1) e (𝑥2 , 𝑦2) = (3 , 4). De acordo com a equação da distância, temos: 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 Equação de Distâncias Substituir coordenadas 𝑑 = √[3 − (−2)]2 + (4 − 1)2 Simplificar 𝑑 = √(5)2 + (3)2 Simplificar √34 ≈ 5,83 Resultado final 51 Exemplo 4 Utilize a equação de Distância para mostrar que os pontos (2 , 1), (4 , 0) e (5 , 7) são os vértices de um triângulo retângulo. Solução Os três pontos estão plotados na Figura 1.8. Utilizando a equação de distância, podemos determinar os comprimentos dos três lados. 𝑑1 = √(5 − 2)2 + (7 − 1)2 = √9 + 36 = √45 𝑑2 = √(4 − 2)2 + (0 − 1)2 = √4 + 1 = √5 𝑑3 = √(5 − 4)2 + (7 − 0)2 = √1 + 49 = √50 Da figura 1.8, verificamos que o ângulo mais provável é aquele identificado no ponto (2 , 1). Logo, 𝑑3 2 = 𝑑1 2 + 𝑑2 2 = 45 + 5 = 50 52 Exemplo 5 Em um jogo de futebol americano, o quarterback dá um passe a partir da linha de 5 jardas, a 20 jardas de distância da linha lateral. O passe é recebido por um atacante na linha de 45 jardas, a 50 jardas de distância da mesma linha lateral, como mostra a Figura 1.9. Qual foi a distância percorrida pela bola? Solução Para determinar a distância do passe, basta calcular a distância entre os pontos (20 , 5) e (50 , 45). 𝑑 = √(50 − 20)2 + (45 − 5)2 Equação de distância 𝑑 = √900 + 1600 Simplifique 𝑑 = 50 53 A Equação do Ponto Central Para determinar o ponto central do segmento de reta que liga dois pontos em um plano cartesiano, basta calcular os valores médios das coordenadas das extremidades do segmento. O ponto central do segmento que liga os pontos (x1 , y1) e (x2 , y2) do plano é dado por 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 = ( 𝑥1 + 𝑥2 2 , 𝑦1 + 𝑦2 2 ) Exemplo 6 Determine o ponto central do segmento que liga os pontos (-5 , -3) e (9 , 3) da Figura 1.10. Solução Sejam (𝑥1 , 𝑦1) = (−5 , −3) e (𝑥2 , 𝑦2) = (9 , 3). 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 = ( 𝑥1 + 𝑥2 2 , 𝑦1 + 𝑦2 2 ) = ( −5 + 9 2 , −3 + 3 2 ) = (2 , 0) 54 Exemplo 7 A empresa Starbucks teve uma receita de 4,08 bilhões de dólares em 2003 e uma receita de 6,37 bilhões de dólares em 2005. Com base apenas nessas informações, qual seria a sua estimativa da receita da empresa no ano de 2004? Solução Supondo que a receita apresentou um comportamento linear entre 2003 e 2005, podemos estimar a receita em 2004 determinando o ponto central do segmento que liga os pontos (2003 , 4,08) e (2005 , 6,37). 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 = ( 2003 + 2005 2 , 4,08 + 6,37 2 ) = (2004 , 5,23) Assim, a receita estimada para 2004 é de 5,23 bilhões de dólares, como mostra a Figura 1.11. 55 Translação de Pontos no Plano A Figura 1.12(a) mostra os vértices de um paralelogramo. Determine os vértices do mesmo paralelogramo depois que ele sofrer uma translação de duas unidades para baixo e quatro unidades para a direita. Solução Para transladar os vértices duas unidades para baixo, é preciso subtrair 2 das coordenadas y; para transladar os vértices quatro unidades para a direita, é preciso somar 4 às coordenadas x. Ponto Original Ponto Transladado (1 , 0) (1 + 4 , 0 – 2) = (5 , -2) (3 , 2) (3 + 4 , 2 – 2) = (7 , 0) (3 , 6) (3 + 4 , 6 – 2) = (7 , 4) 1 , 4) (1 + 4 , 4 – 2) = (5 , 2) 56 I.2 – Gráficos de Equações Uma relação funcional entre duas grandezas pode ser expressa por uma equação. Assim, por exemplo, a temperatura em graus Fahrenheit está relacionada à temperatura em graus Celsius através da equação 𝐹 = 9 5 𝐶 + 32. O gráfico de uma equação é o conjunto de todos os pontos que satisfazem a equação. Exemplo 1 Trace o gráfico da equação 𝑦 = 7 − 3𝑥. SoluçãoO método mais simples para traçar o gráfico de uma equação é o método da plotagem ponto a ponto. Para usar este método, construímos uma tabela com as coordenadas de vários pontos que satisfazem a equação, como a que aparece na tabela abaixo. Assim, por exemplo, para x = 0, 𝑦 = 7 − 3(0) = 7, o que significa que (0 , 7) é um dos pontos do gráfico. 57 x 0 1 2 3 4 y = 7 – 3 x 7 4 1 -2 -5 De acordo com a tabela, os pontos (0 , 7), (1 , 4), (2 , 1), (3 , -2) e (4 , -5) satisfazem a equação. O diagrama de dispersão destes pontos indica colinearidade entre eles. O conjunto de todos os pontos que satisfazem a equação definirá seu gráfico como mostrado na figura 1.13. Neste caso, o gráfico é uma reta que passa pelos cinco pontos calculados. 58 A técnica de plotagem apresentada no Exemplo 1 é fácil de usar, mas apresenta algumas desvantagens. Quando o número de pontos é pequeno, a forma do gráfico pode não ser representada adequadamente. Por exemplo: qual é a forma correta de ligar os quatro pontos da Figura 1.15? Na falta de mais informações, qualquer um dos gráficos da Figura 1.16 representa uma possibilidade. 59 Pontos de Interseção de um Gráfico Pontos de Interseção são os pontos em que o gráfico intercepta o eixo x e o eixo y. Um gráfico pode não interceptar um eixo ou intercepta-lo mais de uma vez como mostra a Figura 1.17. 1. Para determinar a interseção com o eixo x, faça y = 0 , na equação, e calcule o valor de x. 2. Para determinar a interseção com o eixo y, faça x = 0 , na equação, e calcule o valor de y. 60 Exemplo 2 Determine as interseções da equação dada com os eixos x e y. (a) 𝑦 = 𝑥3 − 4𝑥; (b) 𝑥 = 𝑦2 − 3 Solução (a) Seja y = 0. As soluções da equação 𝑥3 − 4𝑥 = 𝑥(𝑥2 − 4) = 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0 são x = 0, x = 2 e x = -2. Logo, as interseções com o eixo x: (0 , 0) , (2 , 0) , (-2 , 0) como mostra Figura 1.18. Seja x = 0. Nesse caso, y = 0. As interseções com o eixo y: (0 , 0). 61 (b) Seja y = 0. Nesse caso, x = -3. Interseção com o eixo x: (-3 , 0). Seja x = 0. As soluções da equação 𝑦2 − 3 = 0 são 𝑦 = √3 𝑒 𝑦 = −√3. As interseções com o eixo y: (0 , √3) , (0 , −√3), como mostra a Figura 1.19. 62 Um ponto de interseção de dois gráficos é um par ordenado que representa uma solução para as equações que definem os dois gráficos. A Figura 1.23 mostra que os gráficos das equações 𝑦 = 𝑥2 − 3 e 𝑦 = 𝑥 − 1 possuem dois pontos de interseção: (2 , 1) e (-1 , -2). Para determinar esses pontos analiticamente, basta igualar os dois valores de y e resolver a equação 𝑥2 − 3 = 𝑥 − 1 para obter o valor de x. 63 Exemplo 3 Uma indústria fabrica um produto a um custo unitário de R$ 0,65 e vende cada unidade do produto a R$ 1,20. O investimento inicial para fabricar o produto foi de R$ 10.000,00. Quantas unidades a indústria precisa vender para atingir o equilíbrio entre receita e custo? Solução O custo total para fabricar x unidades do produto é dado por: 𝐶 = 0,65 𝑥 + 10.000 A receita total com a venda de x unidades é dada por: 𝑅 = 1,2 𝑥 Para encontrar o ponto de equilíbrio, igualamos o custo à receita e calculamos o valor de x. 64 𝑅 = 𝐶 Igualar receita e custo 1,2𝑥 = 0,65𝑥 + 10.000 Substituir equações 0,55𝑥 = 10.000 Determinar valor de x 𝑥 ≈ 18.182 Assim, a indústria precisa vender 18.182 unidades para atingir o ponto de equilíbrio. Esse resultado é mostrado na Figura 1.24. 65 I.3 – Retas no Plano e Inclinação Um modelo matemático mais simples para estabelecer uma relação funcional entre duas variáveis é a equação linear 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 (forma padrão: inclinação-interseção). Essa equação linear é chamada linear por que o gráfico correspondente é uma linha reta. Fazendo x = 0, podemos ver que a reta intercepta o eixo y no ponto y = b, como mostra a Figura 1.31. São definidas, então, a inclinação da reta como m e o ponto de interseção como o eixo y como o ponto (0 , b). A inclinação de uma reta é o número de unidades que a reta sobe (ou desce) para cada unidade de variação horizontal da esquerda para a direita, como mostra a Figura 1.31. 66 Exemplo 1 Trace o gráfico da equação linear dada. (a) 𝑦 = 2𝑥 + 1 ; (b) 𝑦 = 2 ; (c) 𝑥 + 𝑦 = 2 Solução (a) Como b = 1, o ponto de interseção com o eixo y é o ponto (0 , 1). Como a inclinação da reta é m = 2, a reta sobe duas unidades para cada unidade de aumento ao longo do eixo horizontal, como mostra a Figura 1.33(a). 67 (b) Escrevendo essa equação no forma 𝑦 = (0) 𝑥 + 2, vemos que o ponto de interseção com o eixo y é o ponto (0 , 2) e que a inclinação é zero. O fato de que a inclinação é zero significa que a reta é horizontal, ou seja, não sobe nem desce como mostra a Figura 1.33(b). (c) Escrevendo essa equação na forma inclinação-interseção temos 𝑦 = (−1)𝑥 + 2 e vemos que o ponto de interseção com o eixo y é o ponto (0 , 2). Como a inclinação é m = -1, a reta desce uma unidade para cada unidade de aumento ao longo do eixo horizontal, como mostra a Figura 1.33(c). 68 A inclinação de uma reta também pode ser interpretada como uma razão ou como uma taxa de variação. Se os eixos x e y são expressos nas mesmas unidades, o número que mede a inclinação é adimensional e representa uma razão. Se os eixos x e y são expressos em unidades diferentes, a inclinação tem dimensões e representa uma taxa de variação da grandeza y em relação à grandeza x. A inclinação m de uma reta que passa pelos pontos (x1 , y1) e (x2 , y2) é dada por: 𝑚 = ∆ 𝑦 ∆ 𝑥 = 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥1 ≠ 𝑥2 Observe que ∆𝑥 e ∆𝑦 representam, individualmente, um único número. Observe ainda que a ordem de subtração é importante. 69 Exemplo 2 Determine a inclinação da reta que passa pelos pontos dados: (a) (-2 , 0) e (3 , 1) (b) (-1 , 2) e (2 , 2) (c) (0 , 4) e (1 ,-1) (d) (3 , 4) e (3 , 1) Solução (a) Fazendo (x1 , y1) = (-2 , 0) e (x2 , y2) = (3 , 1), obtemos uma inclinação de: 𝑚 = 𝑦2−𝑦1 𝑥2−𝑥1 = 1−0 3−(−2) = 1 5 ← 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑦 ← 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑥 Figura 1.37(a) Como mostra a Figura 1.37(a). (b) A inclinação da reta que passa pelos pontos (-1 , 2) e (2 , 2) é: 𝑚 = 2−2 2−(−1) = 0 3 = 0 Figura 1.37(b) (c) A inclinação da reta que passa pelos pontos (0 , 4) e (1 , -1) é: 𝑚 = −1−4 1−0 = −5 1 = −5 Figura 1.37(c) 70 (d) A inclinação da reta que passa pelos pontos (3 , 4) e (3 , 1) não é definida, já que a divisão por zero não é definida. 𝑚 = 1−4 3−3 = −3 0 = ∄ Figura 1.37(d) 71 Se (x1 , y1) é um ponto de uma reta de inclinação m e (x , y) é qualquer outro ponto da mesma reta, temos: 𝑦−𝑦1 𝑥−𝑥1 = 𝑚. Essa equação, que envolve as variáveis x e y, pode ser escrita como 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥1), que é a forma ponto-inclinação da equação de uma reta. A equação da reta de inclinação m que passa pelo ponto (x1 , y1) é: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥1) 72 Exemplo 3 Determine a equação da reta que tem inclinação 3 e passa pelo ponto (1 , -2). Solução Usando a forma ponto-inclinação com m = 3 e (x1 , y1) = (1 , -2) 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥1) Forma ponto-inclinação Substituir valores 𝑦 − (−2) = 3 (𝑥 − 1) Simplificar 𝑦 = 3𝑥 − 5 Determinar valor de x O gráficodesta reta aparece na Figura 1.38. 73 Exemplo 4 O fluxo de caixa líquido para Ruby Tuesday Inc. foi de 2,51 dólares em 2004 e 2,65 em 2005. Utilizando apenas essas informações, escreva uma equação linear para o fluxo de caixa líquido em termos do ano. Estime o fluxo de caixa para 2006. Solução Considere que t = 4 represente o ano de 2004. Neste caso, os dois pares ordenados informados são (4 , 2,51) e (5 , 2,65). A inclinação da reta que passa por esses dois pontos é: 𝑚 = 2,65 − 2,51 5 − 4 = 0,14 Usando a forma ponto-inclinação, vemos que a equação que relaciona o fluxo líquido (y) com o tempo t é a equação 𝑦 = 0,14 𝑡 + 1,95. De acordo com essa equação, o fluxo em 2006 (t = 6) será de 2,79 dólares como mostra a Figura 1.39 74 I.4 - Funções Em muitas relações entre duas variáveis, o valor de uma das variáveis depende do valor da outra variável. Considere a relação entre a área e o raio de um círculo. Essa relação é expressa pela equação 𝐴 = 𝜋 𝑟2. Nesta equação, o valor de A depende do valor r. Por essa razão, dizemos que A é a variável dependente, e r é a variável independente. Este tipo de relação define o que será chamado de função. Função é uma relação entre duas variáveis, de modo que cada valor da variável independente corresponda um e apenas um valor da variável dependente. Domínio de uma função é o conjunto de todos os valores da variável independente para os quais a função é definida. Contradomínio de uma função é o conjunto de todos os valores assumidos pela variável dependente. 75 Como mostra a Figura 1.43, podemos pensar em uma função como uma máquina na qual são introduzidos valores da variável independente e da qual saem valores da variável dependente. É muito comum representar função por meio de equações matemáticas, embora formas como tabelas, gráficos e diagramas também possam estabelecer uma relação funcional entre duas variáveis. 76 Exemplo 1 Quais das equações abaixo definem y como uma função de x? (a) 𝑥 + 𝑦 = 1 (b) 𝑥2 + 𝑦2 = 1 (c) 𝑥2 + 𝑦 = 1 (d) 𝑥 + 𝑦2 = 1 Solução Para verificar se uma equação define uma função, é aconselhável isolar a variável dependente do lado esquerdo. Assim, por exemplo, para verificar se a equação 𝑥 + 𝑦 = 1 define uma função de x, escreve- se a equação na forma: 𝑦 = 1 − 𝑥. Observando a equação escrita dessa forma, vemos que a cada valor de x corresponde um e apenas um valor de y. Assim, y é uma função de x. Resumindo as soluções com essa linha de raciocínio teremos: 77 Equação Original Equação Modificada Teste: y é uma função de x? 𝑥 + 𝑦 = 1 𝑦 = 1 − 𝑥 Sim, a cada valor de x corresponde um e apenas um valor de y. 𝑥2 + 𝑦2 = 1 𝑦 = ±√1 − 𝑥2 Não, a certos valores de x correspondem dois valores de y. 𝑥2 + 𝑦 = 1 𝑦 = 1 − 𝑥2 Sim, a cada valor de x corresponde um e apenas um valor de y. 𝑥 + 𝑦2 = 1 𝑦 = ±√1 − 𝑥 Não, a certos valores de x correspondem dois valores de y. A Figura 1.44 mostra os gráficos das quatro equações deste exemplo. 78 O Gráfico de uma Função Ao plotar uma função, é costume associar o eixo horizontal à variável independente. Quando essa convenção é usada, o teste descrito no Exemplo 1 tem uma interpretação gráfica conhecida como teste da reta vertical. Se nenhuma reta vertical intercepta o gráfico da equação mais de uma vez, a equação que descreve a relação define y como uma função de x. Na Figura 1.44, os gráficos dos itens (a) e (c) passam no teste da reta vertical, mas o mesmo não acontece com os gráficos dos itens (b) e (d). O domínio de uma função pode ser descrito explicitamente ou pode ser definido de forma implícita pela equação usada para descrever a função. Assim, a função dada pela equação 𝑦 = 1 𝑥2−4 possui um domínio implícito formado por todos os valores reais de x, exceto x = 2 e x = -2. Esses dois valores não pertencem ao domínio da função por que a divisão por zero não é definida. 79 Outro tipo de domínio implícito é o usado para evitar raízes pares de números negativos, como mostrado no Exemplo 2. Exemplo 2 Determine o domínio e o contradomínio da função dada. (a) 𝑦 = √𝑥 − 1 (b) 𝑦 = { 1 − 𝑥, 𝑥 < 1 √𝑥 − 1, 𝑥 ≥ 1 Solução (a) Como √𝑥 − 1 não é definida para 𝑥 − 1 < 0 (ou seja, para x < 1), o domínio da função é o intervalo 𝑥 ≥ 1. Para determinar o contradomínio, note-se que √𝑥 − 1 não pode assumir valores negativos. Além disso, quando x assume todos os valores do seu domínio, y assume todos os valores não negativos. Isso significa que o contradomínio é o intervalo 𝑦 ≥ 0. O gráfico da função, mostrado na Figura 1.45(a), confirma essas conclusões. 80 (b) Como a função é definida para x < 1 e também para 𝑥 ≥ 1, o domínio é o conjunto dos números reais. Dizemos que esta é uma função definida por partes, já que diferentes equações são usadas para defini-la em diferentes intervalos da variável independente. Para 𝑥 ≥ 1, a função se comporta como a do item (a); para x < 1, o valor de (1 – x) é positivo. Assim, o contradomínio da função é 𝑦 ≥ 0 como mostra a Figura 1.45(b). Uma função é biunívoca se a cada valor da variável dependente corresponde um e apenas um valor da variável independente. Assim, a função do Exemplo 2(a) é biunívoca, mas o mesmo não se pode dizer da função do Exemplo 2(b). Geometricamente, uma função é biunívoca se nenhuma reta horizontal intercepta o gráfico da equação mais de uma vez. Essa interpretação geométrica constitui o teste da reta horizontal para funções biunívocas. Um gráfico de uma função biunívoca deve satisfazer tanto o teste da reta vertical como o teste da reta horizontal. 81 Notação de Função Quando utilizamos uma equação para definir uma função, em geral isolamos a variável dependente do lado esquerdo. Assim, ao escrever a equação 𝑥 + 2𝑦 = 1 como 𝑦 = 1−𝑥 2 indicamos que y é a variável dependente. Em notação funcional, essa equação assume a forma: 𝑓(𝑥) = 1−𝑥 2 (notação de função) A variável independente é x e o nome da função é “ f ”. O símbolo f(x) é lido como “f de x”, e representa o valor da variável dependente. Por exemplo: o valor de f para x = 3 é: 𝑓(3) = 1 − 3 2 = −2 2 = −1 O valor f(x) é chamado de valor funcional, e pertence ao contradomínio de f. Isso significa que o gráfico de f passa necessariamente pelo ponto (3 , f(3)). 82 Exemplo 3 Determine os valores da função 𝑓(𝑥) = 2 𝑥2 − 4𝑥 + 1 para x = -1 , 0 e 2. A função f é biunívoca? Solução Para x = -1, o valor de f é dado por: 𝑓(−1) = 2(−1)2 − 4(−1) + 1 = 2 + 4 + 1 = 7 Para x = 0, o valor de f é dado por: 𝑓(0) = 2(0)2 − 4(0) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1 Para x = 2, o valor de f é dado por: 𝑓(2) = 2(2)2 − 4(2) + 1 = 8 − 8 + 1 = 1 Como um mesmo valor de f(x) é obtido para dois valores diferentes de x, a função não é biunívoca como ilustra a Figura 1.46. 83 Exemplo 4 Para 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 7, determine: (a) 𝑓(𝑥 + ∆𝑥); (b) 𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥) ∆𝑥 . Solução (a) Para calcular f(x) no ponto 𝑥 + ∆𝑥, basta substituir x por 𝑥 + ∆𝑥 na equação que define a função: 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = (𝑥 + ∆𝑥)2 − 4 (𝑥 + ∆𝑥) + 7 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 ∆𝑥 + ∆𝑥2 − 4𝑥 − 4∆𝑥 + 7 (b) Utilizando o resultado do item (a), temos: 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥 = [(𝑥 + ∆𝑥)2 − 4 (𝑥 + ∆𝑥) + 7] − [𝑥2 − 4𝑥 + 7 ] ∆𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 ∆𝑥 + (∆𝑥)2 − 4𝑥 − 4∆𝑥 + 7 − 𝑥2 + 4𝑥 − 7∆𝑥 = 2𝑥 ∆𝑥 + (∆𝑥)2 − 4∆𝑥 ∆𝑥 = 2𝑥 − 4 + ∆𝑥 , ∆𝑥 ≠ 0 84 Embora a letra f represente funções, com muita frequência, e a letra x a variável independente, outros símbolos podem ser utilizados. Assim, as equações abaixo definem a mesma função. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 7 𝑓(𝑡) = 𝑡2 − 4𝑡 + 7 𝑔(𝑠) = 𝑠2 − 4𝑠 + 7 Combinações de Funções Duas funções podem ser combinadas de várias formas para criar novas funções. Assim, por exemplo, se 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 e 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 1, é possível formar, entre outras, as seguintes funções: 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = (2𝑥 − 3) + (𝑥2 + 1) = 𝑥2 + 2𝑥 − 2 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = (2𝑥 − 3) − (𝑥2 + 1) = −𝑥2 + 2𝑥 − 4 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = (2𝑥 − 3) (𝑥2 + 1) = 2 𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 − 3 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = (2𝑥 − 3) (𝑥2 + 1) Soma Diferença Produto Quociente Existe também um tipo especial de combinação de duas funções que é chamado de composição; a função resultante recebe o nome de função composta. 85 A função composta dada por (𝑓°𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) é a função que resulta da composição de f com g. O domínio de (𝑓°𝑔) é o conjunto de todos os valores de x pertencentes ao domínio de g, de modo que g(x) pertença ao domínio de f, como mostra a Figura 1.47. O exemplo a seguir mostra que a composição de f e g pode não ser igual à composição de g e f. 86 Exemplo 5 Para 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 e 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 1 , determine: (a) f(g(x)) (b) g(f(x)). Solução (a) A composição de f e g é dada por: 𝑓(𝑔(𝑥)) = 2 (𝑔(𝑥)) − 3 = 2 (𝑥2 + 1) − 3 = 2 𝑥2 − 1 Calcule f(x) para x = g(x) Substitua g(x) por x2 + 1 Simplifique (b) A composição de g e f é dada por: 𝑔(𝑓(𝑥)) = (𝑓(𝑥))2 + 1 = (2𝑥 − 3)2 + 1 = 4 𝑥2 − 12𝑥 + 10 Calcule g(x) para x = f(x) Substitua f(x) por 2 x - 3 Simplifique 87 Funções Inversas Informalmente, o inverso de uma função f é uma função g, que “desfaz” a trabalho de f. Sejam f e g duas funções tais que f(g(x)) = x para qualquer x no domínio de g e g(f(x)) = x para qualquer x no domínio de f. Nessas condições, a função g é a inversa da função f. A função g é representada pelo símbolo f -1, que é lido como “inversa de f”. Assim, 𝑓(𝑓−1(𝑥)) = 𝑥 e 𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑥 O domínio de f deve ser igual ao contradomínio de f -1, e o contradomínio de f deve ser igual ao domínio de f -1. 88 Exemplo 6 A lista abaixo mostra várias funções e suas funções inversas. Observe que em todos os casos a função inversa “desfaz” a operação executada pela função original. (a) 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 𝑓−1(𝑥) = 1 2 𝑥 (b) 𝑓(𝑥) = 1 3 𝑥 𝑓−1(𝑥) = 3 𝑥 (c) 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 5 𝑓−1(𝑥) = 1 2 (𝑥 + 5) (d) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 𝑓−1(𝑥) = √𝑥 3 (e) 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 𝑓−1(𝑥) = 1 𝑥 Use um programa de plotagem para verificar que os gráficos de f e f-1 são imagens especulares uma da outra em relação à reta y = x. 89 Exemplo 7 Determine a função inversa de 𝑓(𝑥) = √2 𝑥 − 3. Solução Substituir f(x) por y. Em seguida, trocar x e y e explicitar y. 𝑓(𝑥) = √2 𝑥 − 3 Escrever função original Substituir f(x) por y. 𝑦 = √2 𝑥 − 3 Substituir x por y e vice-versa 𝑥 = √2 𝑦 − 3 Elevar os membros ao quadrado 𝑥2 = 2 𝑦 − 3 Somar 3 aos membros 𝑥2 + 3 = 2 𝑦 Dividir membros por 2 𝑥2 + 3 2 = 𝑦 Solução função inversa. Usando x como variável independente, podemos escrever: 𝑓−1(𝑥) = 𝑥2+3 2 , 𝑥 ≥ 0 90 Depois de determinar o inverso de uma função, é aconselhável verificar se o resultado está correto. É possível fazer isso graficamente observando se os gráficos de f e f-1 são imagens especulares uma da outra em relação à reta y = x, como na Figura 1.49. 91 Analiticamente, basta determinar f (f -1(x)) e f -1(f(x)). Os dois resultados devem ser iguais a x. Verifique que 𝑓(𝑓−1(𝑥)) = 𝑥 Verifique que 𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑥 𝑓(𝑓−1(𝑥)) = 𝑓 ( 𝑥2 + 3 2 ) 𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑓−1(√2 𝑥 − 3) = √2 ( 𝑥2 + 3 2 ) − 3 = (√2 𝑥 − 3)2 + 3 2 = √𝑥2 = 2𝑥 2 = 𝑥 , 𝑥 ≥ 0 = , 𝑥 ≥ 3 2 Obs: Para que uma função possua uma função inversa, é preciso que ela seja biunívoca. 92 I.5 – Limites O Limite de uma Função Considere uma mola que se rompe as ser submetida a um peso de 10 Kg ou mais. Para determinar qual a extensão que a mola pode atingir sem se romper, penduramos pesos cada vez maiores e medimos o comprimento s da mola para cada peso w, como mostra a Figura 1.51. Se o comprimento da mola se aproxima de um valor L, dizemos que “o limite de s quando w tende para 10 é L”. Um limite matemático se parece com o limite de uma mola. A notação de limite é: lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝐿 que se lê como “o limite de f(x) quando x tende a c é L. 93 Exemplo 1 Determine lim 𝑥→1(𝑥 2 + 1). Solução Seja f(x) = x2 + 1. No gráfico da Figura 1.52, observamos que f(x) se aproxima de 2 quando x se aproxima de 1 pela esquerda ou pela direita, de modo que podemos escrever lim 𝑥→1(𝑥 2 + 1) = 2. Analisando a tabela abaixo observamos a mesma tendência: quando x se aproxima de 1, f(x) se aproxima de 2. 94 Exemplo 2 Determine lim𝑥→1 𝑓(𝑥) para as seguintes funções: (a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2−1 𝑥−1 (b) 𝑓(𝑥) = |𝑥−1| 𝑥−1 (c) f(𝑥) = { 𝑥, 𝑥 ≠ 1 0, 𝑥 = 1 Solução (a) Observando o gráfico de f, que aparece na Figura 1.53(a), vemos que f(x) se aproxima de 2 quando x se aproxima de 1 pela esquerda ou pela direita. O ponto onde a função não é definida é representado por um pequeno círculo vazado. Observe que o fato de f(x) não ser definida no ponto x =1 é irrelevante para a determinação do limite. O limite depende somente dos valores de f(x) nas proximidades de x = 1, não do valor da função em x = 1. 95 (b) Observando o gráfico de f, que aparece na Figura 1.53(b), vemos que f(x) = -1 para qualquer valor de x à esquerda do ponto x = 1 e f(x) = 1para qualquer valor de x à direita do ponto x = 1. Assim, f(x) se aproxima de valores diferentes quando x se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita. Em situações como esta, dizemos que o limite não existe. Essa mesma conclusão pode ser confirmada na tabela abaixo. 96 (c) Observando o gráfico de f, que aparece na Figura 1.53c, vemos que f(x) se aproxima de 1 quando x se aproxima de 1 pela esquerda ou pela direita. Não importa que f(1) = 0; o limite depende dos valores de f(x) nas proximidades de x = 1, não do valor da função em x = 1. 97 Os exemplos 1 e 2 revelam alguns fatos importantes: 1. Dizer que o limite de f(x) é L quando x tende a c significa que o valor de f(x) pode tornar-se arbitrariamente próximo de L, bastando para isso escolher um valor de x suficientemente próximo de c. 2. Para que um limite exista, é preciso que f(x) se aproxime do mesmo valor quando x se aproxima de c pela esquerda e pela direita. Se f(x) se aproxima de números diferentes quando x se aproxima de c pela direita e pela esquerda, o limite não existe. 3. O valor de f(x) para x = c não tem influência sobre o limite de f(x) quando x tende a c. No Exemplo 2(c), o limite de f(x) quando x tende a 1 é igual a 1, embora o valor de f(x)seja 0 para x = 1. No Exemplo 2(a), o limite de f(x) quando x tende a 1 existe (é igual a 1), embora a função não seja definida no ponto x = 1. 98 Definição de Limite de uma Função: Se uma função f(x) se aproxima indefinidamente de um número L quando x se aproxima indefinidamente de c pela esquerda e pela direita, dizemos que lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝐿 que é lido como “o limite de f(x) quando x tende a c é L. Muitas vezes, o limite de f(x) quando x tende a c é simplesmente f(c), como no Exemplo 1. Sempre que o limite de f(x), quando x tende a c, é dado por lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐), o limite pode ser calculado por substituição direta. 99 Propriedades dos Limites Sejam a e b dois números reais, e seja n um número inteiro positivo. Nesse caso, 1. lim𝑥→𝑐 𝑏 = 𝑏 2. lim𝑥→𝑐 𝑥 = 𝑐 3. lim𝑥→𝑐 𝑥 𝑛 = 𝑐𝑛 4. lim𝑥→𝑐 √𝑥 𝑛 = √𝑐 𝑛 Na propriedade 4, se n for par, c deverá ser positivo. Assim, podemos generalizar o cálculo de limites para alguns tipos de funções: 100 101 Operações com Limites Sejam b e c números reais, n um número inteiro positivo, e f e g funções com os seguintes limites: lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim𝑥→𝑐 𝑔(𝑥) = 𝐾. Nesse caso, temos: 1. Multiplicação por um escalar: lim𝑥→𝑐 𝑏 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝐿. 2. Soma ou Diferença: lim𝑥→𝑐[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝐿 ± 𝐾 3. Produto: lim𝑥→𝑐[𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥)] = 𝐿 . 𝐾. 4. Quociente: lim𝑥→𝑐 [ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ] = 𝐿 𝐾 , contanto que 𝐾 ≠ 0. 5. Potenciação: lim𝑥→𝑐 [𝑓(𝑥)] 𝑛 = 𝐿𝑛 6. Radiciação: lim𝑥→𝑐 √𝑓(𝑥) 𝑛 = √𝐿 𝑛 Na propriedade 6, se n for par, L deverá ser positivo. 102 Exemplo 3 Determine o lim𝑥→2(𝑥 2 + 2 𝑥 − 3). lim 𝑥→2 (𝑥2 + 2 𝑥 − 3) Escrever limite original Aplicar propriedade (2). lim 𝑥→2 (𝑥2 + 2 𝑥 − 3) = lim 𝑥→2 𝑥2 + lim 𝑥→2 2 𝑥 − lim 𝑥→2 3 Use substituição direta = 22 + 2 (2) − 3 Simplifique = 4 + 4 − 3 = 5 Solução completa Este exemplo ilustra um resultado que mostra que o limite de qualquer polinômio pode ser determinado por substituição direta. Logo, se p é uma função polinomial e c um número real, lim 𝑥→𝑐 𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑐) 103 Técnicas para Calcular Limites Muitas técnicas, para cálculo de limites, se baseiam no Teorema da Substituição, segundo o qual se duas funções coincidem em todos os pontos a não ser em um ponto isolado c, então elas possuem o mesmo limite quando 𝑥 → 𝑐. Teorema da Substituição Seja c um número real e sejam f(x) e g(x) duas funções tais que f(x) = g(x) para qualquer valor de 𝑥 ≠ 𝑐. Nesse caso, se o limite de g(x) quando x tende a c existe, o limite de f(x) também existe e teremos a seguinte condição: lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥) Para aplicar o teorema da Substituição podemos utilizar um resultado da álgebra segundo o qual para qualquer função polinomial p, p(c) = 0 se e apenas se (x – c) for um dos fatores de p(x). Essa ideia está ilustrada no Exemplo 4. 104 Técnica da Substituição de Funções. Exemplo 4 Determine lim𝑥→1 𝑥3−1 𝑥−1 . Solução Observe que o numerador e o denominador se anulam para x = 1. Isso significa que (x – 1) é um fator de ambos, e, portanto, pode ser cancelado para qualquer valor de 𝑥 ≠ 1. 𝑥3 − 1 𝑥 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1) (𝑥 − 1) Fatore o numerador = (𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1) (𝑥 − 1) Cancele o fator comum (Técnica do Cancelamento) = 𝑥2 + 𝑥 + 1 , 𝑥 ≠ 1 Simplifique Assim, a função racional 𝑥3−1 𝑥−1 e a função polinomial 𝑥2 + 𝑥 + 1 coincidem em todos os pontos a não ser no ponto x = 1, e podemos aplicar o Teorema da Substituição: lim 𝑥→1 𝑥3 − 1 𝑥 − 1 = lim 𝑥→1 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 12 + 1 + 1 = 3 105 A Figura 1.54 ilustra graficamente esse resultado. Observe que os dois gráficos são idênticos, exceto pelo fato de que o gráfico de g contém o ponto (1 , 3), enquanto esse ponto está faltando no gráfico de f (círculo vazado). Exercício: Determine lim𝑥→2 𝑥3−8 𝑥−2 . 106 Exemplo 5 Determine lim𝑥→−3 𝑥2+𝑥−6 𝑥+3 . Solução O método da substituição direta não funciona por que o numerador e o denominador se anulam para x = -3. O fato dos polinômios do numerador e do denominador se anularem para x = -3 significa que eles possuem um fator comum, x + 3. Assim, para qualquer valor de 𝑥 ≠ −3, podemos cancelar esse fator, o que nos dá o seguinte: lim 𝑥→−3 𝑥2 + 𝑥 − 6 𝑥 + 3 = Escrever limite original Fatorar numerador. = lim 𝑥→−3 (𝑥 − 2)(𝑥 + 3) (𝑥 + 3) Cancele o valor comum = lim 𝑥→−3 (𝑥 − 2) Substituição direta = −5 Solução completa Esse resultado está expresso graficamente na Figura 1.55. Observe que o gráfico de f coincide com o gráfico de g(x) = x – 2, exceto no ponto (-3 , -5), que não existe no gráfico de f. Exercício: Determine lim𝑥→3 𝑥2+𝑥−12 𝑥−3 . 107 Técnica da Racionalização Exemplo 6 Determine lim𝑥→0 √𝑥+1−1 𝑥 . Solução O método da substituição direta não funciona porque o numerador e o denominador se anulam para x = 0. Nesse caso, podemos escrever a fração de outra forma, racionalizando o numerador. √𝑥 + 1 − 1 𝑥 = ( √𝑥 + 1 − 1 𝑥 ) ( √𝑥 + 1 + 1 √𝑥 + 1 + 1 ) Fatorar numerador. = (𝑥 + 1) − 1 𝑥 (√𝑥 + 1 + 1) Simplificar = 𝑥 𝑥(√𝑥 + 1 + 1) = 1 √𝑥 + 1 + 1 , 𝑥 ≠ 0 Fatoração completa Calculando o limite usando o Teorema da Substituição: lim 𝑥→0 √𝑥 + 1 − 1 𝑥 = lim 𝑥→0 1 √𝑥 + 1 + 1 = 1 1 + 1 = 1 2 108 Teorema do Sanduiche Seja o problema de determinar o limite de uma função que está entre duas outras, cada uma das quais tendo o mesmo limite em um dado valor de x, como mostrado na Figura abaixo. Teorema: 109 Uma aplicação do Teorema do Sanduiche se encontra na solução do Teorema 1.9 relativo aos casos especiais de dois limites trigonométricos. Prova Para evitar confusão entre duas utilizações de x (eixo e ângulo), identificaremos o ângulo pela variável 𝜃. Assim, 𝜃 é um ângulo agudo positivo medido em radianos. A Figura abaixo mostra um setor circular entre dois triângulos. 110 A Figura abaixo salienta a área do setor e dos dois triângulos. Multiplicando cada expressão, na figura acima por 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , teremos: 1 cos 𝜃 ≥ 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ≥ 1 Considerando as inequações recíprocas e inversas temos: cos 𝜃 ≤ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜃 ≤ 1 Lembrando que [cos 𝜃 = cos(−𝜃)] e ainda que { (𝑠𝑒𝑛 𝜃) 𝜃 = [𝑠𝑒𝑛(−𝜃)] (−𝜃) }, concluímos que essa inequação é válida para todos os valores de 𝜃 no intervalo aberto (− 𝜋 2 , 𝜋 2 ). 111 Então, ao aplicarmos o limite nos três membros da inequação anterior teremos: lim 𝜃→0 cos 𝜃 ≤ lim 𝜃→0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜃 ≤ lim 𝜃→0 1 1 ≤ lim 𝜃→0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜃 ≤ 1 Aplicando o Teorema do Sanduiche: lim 𝜃→0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜃 = 1 Utilizar raciocínio similar para provar o lim𝑥→0 1−𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑥 = 0. 112 Limites Unilaterais Em alguns casos, uma função tende para valores diferentesquando x tende a c pela esquerda ou pela direita. Esse tipo de comportamento pode ser descrito utilizando o conceito de limite unilateral. lim 𝑥→𝑐− 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 lim 𝑥→𝑐+ 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 Exemplo 7 Determine o limite quando x tende a zero pela esquerda, e o limite quando x tende a zero pela direita da função 𝑓(𝑥) = |2 𝑥| 𝑥 . Solução: O gráfico da Figura 1.56 mostra que f(x) = -2 para qualquer valor de x < 0. lim 𝑥→0− |2 𝑥| 𝑥 = −2 113 Como f(x) = 2 para qualquer valor de x > 0, o limite pela direita é: lim 𝑥→0+ |2 𝑥| 𝑥 = 2 Os limites laterais são diferentes. Quando isso acontece, o limite de f(x), quando x tende a c, NÃO EXITE. Para que o limite de uma função exista quando x tende a c é preciso que os dois limites unilaterais existam e sejam iguais. Logo, se f é uma função e c e L são números reais, lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝐿 se, e somente se, os limites pela esquerda e pela direita forem iguais a L. Determine os seguintes limites: (a) 𝑙𝑖𝑚𝑥→2− |𝑥−2| 𝑥−2 (b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→2+ |𝑥−2| 𝑥−2 114 Exemplo 8 Determine o limite de f(x), quando x tende a 1, da seguinte função: 𝑓(𝑥) = { 4 − 𝑥, 𝑥 < 1 4𝑥 − 𝑥2, 𝑥 > 1 Solução Os limites laterais são: lim 𝑥→1− 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→1− (4 − 𝑥) = 3 lim 𝑥→1+ 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→1+ (4 𝑥 − 𝑥2) = 3 Como os dois limites unilaterais existem e são iguais a 3, temos: lim 𝑥→1 𝑓(𝑥) = 3 O gráfico da Figura 1.57 confirma este resultado. 115 Expressões Indeterminadas Expressões do tipo 0 0⁄ , ∞ ∞⁄ , ∞ − ∞ , 0 × ∞ , 0 0 , ∞0 são consideradas indeterminadas. Em função destas indeterminações, alguns cálculos de limites necessitam de artifícios algébricos para que suas soluções sejam encontradas. Exemplo 9 Determinar lim𝑥→−2 𝑥3−3 𝑥+2 𝑥2 − 4 (= 0 0 ) Fatora-se o numerador e o denominador fazendo-se, a seguir, as simplificações possíveis. Teremos: lim 𝑥→−2 𝑥3 − 3𝑥 + 2 𝑥2 − 4 = Escrever limite original Fatorar numerador. = lim 𝑥→−2 (𝑥 + 2)(𝑥2 − 2 𝑥 + 1) (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) Cancele o valor comum = lim 𝑥→−2 (𝑥2 − 2 𝑥 + 1) (𝑥 − 2) Substituição direta = − 9 4 Solução completa 116 Exemplo 10 Determinar lim𝑥→0 √𝑥+2−√2 𝑥 É utilizado o artifício da racionalização do numerador da função. Então, lim 𝑥→0 √𝑥 + 2 − √2 𝑥 = Escrever limite original Racionalizar o numerador. = lim 𝑥→0 (√𝑥 + 2 − √2)(√𝑥 + 2 + √2) (𝑥)(√𝑥 + 2 + √2) Substituir o produto especial = lim 𝑥→−0 (√𝑥 + 2) 2 − (√2) 2 𝑥 (√𝑥 + 2 + √2) Simplificar = lim 𝑥→0 1 (√𝑥 + 2 + √2) Substituição direta = 1 2√2 Solução final 117 Exemplo 11 Determinar lim𝑥→1 √𝑥 3 −1 √𝑥−1 A solução, nesse caso, é obtida por troca de variáveis: 𝑥 = 𝑡6 , 𝑡 ≥ 0 Quando 𝑥 → 1, temos que 𝑡6 → 1 e ainda 𝑡 → 1 , portanto: lim 𝑥→1 √𝑥 3 − 1 √𝑥 − 1 = lim 𝑡→1 √𝑡6 3 − 1 √𝑡6 − 1 Escrever limite original Trocar variáveis. = lim 𝑡→1 𝑡2 − 1 𝑡3 − 1 Fatorar numerador e denominador = lim 𝑡→1 (𝑡 − 1)(𝑡 + 1) (𝑡 − 1)(𝑡2 + 𝑡 + 1) Cancelar termo comum = lim 𝑡→1 (𝑡 + 1) (𝑡2 + 𝑡 + 1) Substituição direta = 2 3 Solução final 118 Exemplo 12 Determinar limℎ→0 (𝑥+ℎ)2−𝑥2 ℎ Desenvolve-se o numerador para posteriores simplificações: lim ℎ→0 (𝑥 + ℎ)2 − 𝑥2 ℎ = Escrever limite original Desenvolver numerador. = lim ℎ→0 𝑥2 + 2 𝑥 ℎ + ℎ2 − 𝑥2 ℎ = Simplificar = lim ℎ→0 2 𝑥 ℎ + ℎ2 ℎ = Simplificar = lim ℎ→0 2 𝑥 + ℎ = Substituição direta = 2 𝑥 Solução final 119 Funções que Aumentam ou Diminuem Indefinidamente (Limites Infinitos) Outro caso da não existência de um limite é aquele em que a função aumenta ou diminui indefinidamente quando x tende a c. Exemplo 13 Determine o lim𝑥→2 3 𝑥−2 . Solução Como mostra a Figura 1.59, a função f(x) diminui indefinidamente, quando x tende a 2 pela esquerda, e aumenta indefinidamente quando x tende a 2 pela direita. Simbolicamente, podemos escrever que: lim 𝑥→2− 3 𝑥 − 2 = −∞ e lim 𝑥→2+ 3 𝑥 − 2 = +∞ 120 Limites no Infinito Definição 1 Seja f uma função definida em um intervalo aberto (𝑎 , +∞). Escrevemos, lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 𝐿 quando o número L satisfaz à seguinte condição: Para qualquer 𝜀 > 0, existe A > 0 tal que |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖 sempre que x > A. Definição 2 Seja f uma função definida em um intervalo aberto (−∞ , 𝑏). Escrevemos, lim 𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = 𝐿 quando o número L satisfaz à seguinte condição: Para qualquer 𝜀 > 0, existe B > 0 tal que |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖 sempre que x < B. 121 Teorema Se n é um número inteiro positivo, então: lim 𝑥→+∞ 1 𝑥𝑛 = 0 lim 𝑥→−∞ 1 𝑥𝑛 = 0 Exemplo 14 Determinar lim𝑥→+∞ 2 𝑥−5 𝑥+8 ( ∞ ∞ ) lim 𝑥→+∞ 2 𝑥 − 5 𝑥 + 8 = Escrever limite original Dividir numerador e denominador por x. = lim 𝑥→+∞ 2 − 5 𝑥 1 + 8 𝑥 = 2 Substituição direta Solução final 122 Exemplo 15 Determinar lim𝑥→−∞ 2𝑥3−3𝑥+5 4𝑥5−2 ( ∞ ∞ ) lim 𝑥→−∞ 2𝑥3 − 3𝑥 + 5 4𝑥5 − 2 = Escrever limite original Dividir numerador e denominador por maior potência de x. = lim 𝑥→−∞ 2 𝑥2 − 3 𝑥4 + 5 𝑥5 4 − 2 𝑥5 Substituição direta = 0 4 = 0 Solução final 123 Exemplo 16 Determinar lim𝑥→+∞ 2𝑥+5 √2𝑥2−5 lim 𝑥→+∞ 2 𝑥 + 5 √2 𝑥2 − 5 = Escrever limite original Dividir numerador e denominador por x. = lim 𝑥→+∞ 2 + 5 𝑥 √2𝑥2 − 5 √𝑥2 ⁄ Simplificar = lim 𝑥→+∞ 2 + 5 𝑥 lim 𝑥→+∞ √2𝑥 2 − 5 𝑥2 = 2 √2 = √2 Simplificar Substituição direta Solução final 124 Exemplo 17 Determinar lim𝑥→−∞ 2𝑥+5 √2𝑥2−5 O raciocínio é idêntico ao exemplo anterior. Deve-se observar apenas a divisão por x no denominador que deve ser −√𝑥2 uma vez que x, do numerador, é negativo. lim 𝑥→−∞ 2 𝑥 + 5 √2 𝑥2 − 5 = Escrever limite original Dividir numerador e denominador por x. = lim 𝑥→−∞ 2 + 5 𝑥 √2𝑥2 − 5 (−√𝑥2) ⁄ Simplificar = lim 𝑥→−∞ 2 + 5 𝑥 lim 𝑥→−∞ −√ 2𝑥2 − 5 𝑥2 = − 2 √2 = −√2 Simplificar Substituição direta Solução final 125 I.6 - Continuidade Seja c um número no intervalo (a , b), e seja f uma função cujodomínio contém o intervalo (a , b). A função f é contínua no ponto c se as seguintes condições são satisfeitas: 1. f(c) existe 2. lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 3. lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐). Se f é contínua em todos os pontos do intervalo (a , b), é contínua no intervalo aberto (a , b). O gráfico na Figura 1.60 mostra três valores de x para os quais a função f não é contínua. 1. O ponto x = c1, por que f(c1) não é definida. 2. O ponto x = c2, por que lim𝑥→𝑐2 𝑓(𝑥) não existe. 3. O ponto x = c3, por que 𝑓(𝑐3) ≠ lim𝑥→𝑐3 𝑓(𝑥). Em todos os outros pontos de intervalo (a , b), o gráfico de f não sofre nenhuma interrupção, o que significa ser contínua em todo o intervalo (a , b), com exceção dos pontos c1, c2 e c3. 126 Exemplo 1 Discuta a continuidade das funções dadas. (a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2 𝑥 + 3 (b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 Solução As duas funções são funções polinomiais. Logo, são contínuas para qualquer valor de x, como mostra a Figura 1.62. O gráfico de uma função polinomial é contínuo para qualquer valor de x e, portanto, não apresenta lacunas, saltos ou hiatos. As funções racionais, por outro lado, como mostra o Exemplo 2, não precisam ser contínuas para todos os valores de x. 127 Exemplo 2 Discuta a continuidade das funções dadas. (a) 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 (b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2−1 𝑥−1 (c) 𝑓(𝑥) = 1 𝑥2+1 Solução Todas essas funções são racionais e são contínuas para todos os valores de x pertencentes ao domínio. (a) O domínio de 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 é formado por todos os números reais, exceto x = 0. Assim, essa função é contínua nos intervalos (−∞ , 0) 𝑒 (0 , ∞). [Figura 1.63(a)] 128 (b) O domínio de 𝑓(𝑥) = 𝑥2−1 𝑥−1 é formado por todos os números reais, exceto x = 1. Assim, essa função é contínua nos intervalos (−∞ , 1) 𝑒 (1 , ∞). [Figura 1.63(b)] (c) O domínio de 𝑓(𝑥) = 1 𝑥2+1 é o conjunto dos números reais. Assim, essa função é contínua no intervalo (−∞ , ∞). [Figura 1.63(c)] Considere um intervalo aberto I que contém um ponto c. Se uma função f existe no intervalo I (exceto possivelmente em c) e é descontínua em c, dizemos que f possui uma descontinuidade em c. 129 As descontinuidades podem ser de dois tipos: removíveis e não removíveis. Dizemos que uma descontinuidade no ponto c é removível se é possível tornar contínua a função f mudando a definição de f(c). Por exemplo: a função do Exemplo 2(b) possui uma descontinuidade removível no ponto (1 , 2), já que, para remover a descontinuidade, basta definir a função de tal forma que f(1) = 2. Uma descontinuidade em x = c é não removível se não é possível tornar a função contínua em x = c mudando a definição de f em x = c. Por exemplo: a função do Exemplo 2(a) possui uma descontinuidade não removível no ponto x=0. 130 REFERÊNCIAS Conteúdo deste capítulo foi compilado de: LARSON, R. & EDWARDS, B. H.; Calculus, 9 ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. LARSON, R. & EDWARDS, B. H.; com a assistência de FALVO, D. C., Cálculo com Aplicações, 6 ed., Rio de Janeiro – RJ, LTC, 2008. LEITHOLD, L; O Cálculo com Geometria Analítica, São Paulo – SP, Harbra Editora Harper & Row do Brasil Ltda, 1977.
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