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Cálculo 2 Aula 1 Aplicações da derivação Máximos e mínimos Problemas de otimização comuns: • Qual é a forma de uma lata que minimiza o custo de manufatura? • Qual é a acelaração máxima de um ônibus espacial? (esta é uma questão importante para os astronautas que têm que suportar os efeitos da aceleração) Extremos absolutos Definição: Uma função f tem máximo absoluto (ou máximo global) em c se f (c) ≥ f (x) para todo x em D, onde D é o domínio de f. O número f (c) é chamado valor máximo de f em D. Analogamente, f tem mínimo absoluto (ou mínimo global) em c se f (c) ≤ f (x) para todo x em D, e o número f (c) é chamado valor mínimo de f em D. Os valores máximo e mínimo são chamados valores extremos de f. Extremos locais Definição: Uma função f tem um máximo local (ou máximo relativo) em c se f (c) ≥ f (x) quando x estiver nas proximidades de c [Isso significa que se f (c) ≥ f (x) para todo x em algum intervalo aberto contendo c.] Analogamente, f tem mínimo local (ou mínimo realtivo) em c se f (c) ≤ f (x) quando x estiver próximo de c. Exemplos 1) f (x) = sen x (1 é máximo global (e local) e -1 é mínimo global (e local)) para todo n inteiro, é ponto de máximo global (e local). x = π 2 + 2πn x = 3π 2 + 2πn para todo n inteiro, é ponto de mínimo global (e local). 2) f (x) = x2 +1 1 é mínimo absoluto e x = 0 é ponto de mínimo local (e absoluto) de f (x) pois f (x) ≥ f (0) ( x2 +1≥1) para todo x. 3) f (x) = x3 Observe que tal função não possui máximo ou mínimos, locais ou absolutos. 4) f (x) = 3x4 −16x3 +18x2 , −1≤ x ≤ 4 f (1) = 5 é máximo local e f (-1) = 37 é máximo absoluto (este máximo absoluto não é local pois ele ocorre em um extremo do intervalo). f (0) = 0 é mínimo local e f (3) = - 27 é mínimo local e absoluto. Observe que não tem um máximo local e nem absoluto em x = 4. Teorema do Valor Extremo: Se f for contínua em um intervalo fechado [a, b], então f assume um valor máximo absoluto f(c) e um valor mínimo absoluto f(d) em certos números c e d em [a, b]. Teorema de Fermat: Se f tiver máximo ou mínimo local em c, e f’(c) existir, então f’(c) = 0. Observe que a recíproca não é verdadeira. Ex: f (x) = x3 mostra que podemos ter f’(c) = 0 e c não ser ponto de máximo ou mínimo. E f(x) = | x | mostra que podemos ter ponto de mínimo (ou de máximo) em c, ainda que f’(c) não exista, ou seja, pode existir um valor extremo mesmo quando f’(c) não existir. Definição: Um número crítico de uma função f é um número c no domínio de f tal que ou f’(c) = 0 ou f’(c) não existe. O Método do Intervalo Fechado: Para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos de uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] 1) Encontre os valores de f nos números críticos de f em ]a, b[. 2) Encontre os valores de f nos extremos do intervalo. 3) O maior valor das etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto. Exemplo: Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função: Exercício: O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 24 de abril de 1990 pelo ônibus espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão, do lançamento em t = 0 até a ejeção do foguete auxiliar em t = 126 s, é dado por: (em metros/segundo). Usando este modelo, estime os valores máximo e mínimo absolutos da aceleração do ônibus entre o lançamento e a ejeção do foguete auxiliar. Resp: v(t) = 0,0003968t3 −0,02752t2 +7,196t −0,9397 a(0) = 7,196 a(23,12) ≈ 6,56 a(126) ≈19,16. Aceleração máxima de 19,16 m/s2 e aceleração mínima de 6,56 m/s2 aproximadamente.
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