Máximos e Mínimos Relativos e Absolutos

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MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES 
 
Neste módulo, veremos como utilizar as derivadas parciais para localizar os pontos onde 
ocorrem os valores máximo e mínimo da imagem de uma função de duas variáveis, seja 
considerando todo seu domínio, seja considerando uma parte dele. Estes resultados serão 
aplicados para resolver problemas de otimização, bem como determinar o volume máximo de 
uma caixa sem tampa que deve ser construída com uma quantidade fixa de cartolina. 
 
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS RELATIVOS 
 
O conjunto V(a,b) = {(x,y) / |(x,y) – (a,b)| < } é o conjunto de todos os pontos do plano que 
estão a uma distância menor do que  do ponto (a,b) e é chamado de vizinhança de raio  do 
ponto (a,b). Graficamente o conjunto V(a,b) é um disco de centro em (a,b) e raio . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma função f, de duas variáveis, tem um máximo local em (a,b) se f(x,y) < f(a,b), para todo 
ponto (x,y) em alguma vizinhança de (a,b). O número f(a,b) é chamado valor máximo local. Da 
mesma forma, f tem um mínimo local em (a,b) se f(x,y) > f(a,b), para todo ponto (x,y) em 
alguma vizinhança de (a,b) e o número f(a,b) é chamado valor mínimo local. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
b 
V (a,b) 
 
 
 
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Se f(x,y) < f(a,b) (ou f(x,y) > f(a,b)) para todo (x,y) do domínio de f, então (a,b) é um ponto de 
máximo absoluto de f (ou de mínimo absoluto de f) e f(a,b) é o valor máximo absoluto (ou 
valor mínimo absoluto). 
 
 
 
Na figura ao lado podemos identificar 
pontos onde a imagem atinge um 
máximo ou um mínimo observando os 
“picos de montanhas” (máximos locais) 
e “fundo dos vales” (mínimos locais) 
 
 
Um ponto (a,b) é um ponto crítico de f se fx(a,b) = 0 e fy(a,b) = 0, ou se uma das derivadas 
parciais não existe. 
 
 
TEOREMA: Se uma função f tem um máximo ou um mínimo local em (a,b) e 
as derivadas parciais de primeira ordem de f estão definidas em alguma 
vizinhança de (a,b), então fx(a,b) = 0 e fy(a,b) = 0. 
 
 
O teorema nos diz que, se f tem um máximo ou um mínimo local em (a,b), então (a,b) é um 
ponto crítico de f. Entretanto, nem todos os pontos críticos correspondem a um máximo ou um 
mínimo. 
 
 
Teste da Derivada Segunda: Suponha que as segundas derivadas 
parciais de f sejam contínuas em uma vizinhança de (a,b) e suponha que 
fx (a,b) = 0 e fy (a,b) = 0 (ou seja, (a,b) é um ponto crítico de f ). Seja D a 
função definida por: 
 
 D(x,y) = fxx(x,y).fyy(x,y) – [fxy(x,y)]2 
 
(a) Se D (a,b) > 0 e fxx (a,b) > 0, então f(a,b) é um mínimo local; 
(b) Se D (a,b) > 0 e fxx (a,b) < 0, então f(a,b) é um máximo local; 
(c) Se D (a,b) < 0, então f(a,b) não é nem mínimo local e nem máximo local. 
 
 
 
 
 
mínimos locais 
máximos locais 
 
 
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OBSERVAÇÕES: 
1) No caso (c), (a,b) é chamado de ponto de sela de f, e o gráfico de f atravessa o 
plano tangente. 
 
2) Se D = 0, o teste não fornece informação: (a,b) pode ser tanto um ponto de 
mínimo local, como um ponto de máximo local como, ainda, pode ser um ponto de 
sela. 
3) Para lembrar a fórmula de D é útil escrevê-lo como um determinante: 
 
yyyx
xyxx
ff
ff
D  = fxx.fyy – (fxy)2 
 
EXEMPLO 1: 
Determine os pontos críticos e verifique quais deles são pontos extremais de: 
a) f(x,y) = x2 + y2 –2x – 6y + 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) f(x,y) = y2 – x2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 2: 
Determine os valores de máximo e de mínimo locais e os pontos de sela da função f(x,y) = x4 
+ y4 – 4xy + 1 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe, no gráfico da função e no seu mapa de contorno, os pontos encontrados. 
 
 
 
 
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EXEMPLO 3: 
Determine a distância mais curta entre o ponto (1,0,-2) e o plano x + 2y + z = 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 4: 
Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12m2 de papelão. Determine o volume 
máximo de tal caixa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
z 
y 
 
 
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VALORES MÁXIMO E MÍNIMO ABSOLUTOS 
 
 
Dizemos que um conjunto em IR2 é fechado se contém todos os pontos da fronteira. (Um ponto 
da fronteira de D é um ponto (a,b) tal que qualquer vizinhança de (a,b) contém pontos de D e 
pontos não pertencentes a D.) 
 
 vizinhança de (a,b) 
 
 
 
 
 
 
 conjuntos fechados conjuntos não fechados 
 ponto da fronteira (a,b) 
 
 
Um conjunto limitado em IR2 é um conjunto que está contido em alguma vizinhança. 
 Vizinhança 
 
 Conjunto limitado 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema do Valor Extremo para Funções de Duas Variáveis: Se f for 
contínua em um conjunto fechado e limitado D de IR2, então f atinge um valor 
máximo absoluto f(x1,y1) e um valor mínimo absoluto f(x2,y2) em D. 
 
 
Os pontos de extremo, cuja existência é garantida pelo teorema anterior, serão, ou pontos 
críticos de f, ou pontos da fronteira de D. Por isso, para determinar pontos de extremo de uma 
função contínua f, em um conjunto fechado e limitado D, podemos seguir os seguintes passos: 
 
1°) Determine os valores de f nos pontos críticos de f em D. 
2°) Determine os valores extremos de f na fronteira de D. 
3°) O maior dos valores dos passos 1 e 2 é o valor máximo absoluto e o menor desses 
valores é o valor mínimo absoluto. 
 
 
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EXEMPLO 5: 
Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função f(x,y) = x2 – 2xy + 2y no conjunto D 
= {(x,y) / 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe, ao lado, o gráfico de f. 
 
 
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EXERCÍCIOS: 
 
1. Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela das funções abaixo: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
2. Uma caixa retangular com um volume de 16 cm3 é feita de dois tipos de materiais. O topo e 
a base são feitos de um material que custa 10 centavos por centímetro quadrado e os lados 
de um material que custa 5 centavos por centímetro quadrado. Determine as dimensões da 
caixa de modo que o custo dos materiais seja minimizado. 
 
3. Determine o ponto do plano x + 2y + 3z = 6 mais próximo da origem (0, 0, 0). 
 
4. Determine os extremos absolutos da função sobre o conjunto 
fechado e limitado R, composto pela região triangular com vértices (0,0), (0,4) e (5,0). 
 
5. Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função 
no conjunto . 
 
6. Encontre os extremos da função sujeitos à condição dada pela equação 
. 
RESPOSTAS: 
 
1. a) ponto de sela em (1,-2) b) mínimo relativo em (2,-1) c) mínimos relativos em 
(-1,-1) e (1,1) d) ponto de sela em (0,0) e) ponto de sela em (1, ln2) 
2. Comprimento e largura 2cm, altura 4cm. 3. 





7
9
,
7
6
,
7
3
 4. Máximo absoluto 0 e 
mínimo absoluto -12 5. Máximo absoluto 13/3 e mínimo absoluto -3 
 
6. )2,2,1(max1 P , )2,2,1(max2 P , )2,2,1(min1 P ,