MATEMÁTICA AVANÇADA - UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ATIVIDADE 2 - BANCO DE QUESTÕES

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Banco de Questões – Unidade II – Matemática Avançada
 
Title: Máximo e mínimo local
1) Para Stewart (2013, p. 250), os métodos utilizados por Pierre Fermat (1601-1665) “para encontrar as tangentes às curvas e os valores máximo e mínimo (antes da invenção de limites e derivadas) fazem dele um precursor de Newton na criação do cálculo diferencial.” Em sua homenagem, o seguinte teorema é conhecido como Teorema de Fermat.
Se tiver um máximo ou mínimo local em e se existir, então.
STEWART, James. Cálculo. v. 1. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
Dada a função , assinale a alternativa correta. 
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Derivando a função temos que . Aplicando o Teorema de Fermat temos que,
. 
Calculando os valores funcionais de e temos:
Portanto, quando a função possui um máximo local e quando a função possui um valor mínimo local.
 
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Ao derivar a função obtemos . Os pontos e satisfazem o Teorema de Fermat para a função . Calculando os valores funcionais de e temos que é um valor de máximo local para e é um valor de mínimo local para .
*a) Quando a função possui um valor máximo local.
b) Quando a função possui um valor mínimo local.
c) A função possui três pontos de mínimo local.
d) Quando a função possui um valor máximo local.
e) A função não possui valores de máximo e mínimo local.
 
Title: Máximo e mínimo absoluto
2) Muitas vezes, para determinar os valores de máximo e mínimo absoluto de uma função é normal restringirmos um intervalo do domínio desta para fazer a verificação. Ao tomar um intervalo, temos que os valores extremos irão satisfazer o Teorema de Fermat ou irão pertencer às extremidades do intervalo. Com relação aos extremos absolutos da função no intervalo , assinale a alternativa correta.
~ Resposta correta. A alternativa está correta. A função é polinomial, logo, contínua no intervalo . Calculando a derivada de temos que . Os pontos críticos de satisfazem a condição , logo, se , então e Note que não pertence ao intervalo . Então, este valor será descartado. Assim, temos que 
Portanto, concluímos que é o valor de mínimo absoluto e é o valor de máximo absoluto.
 
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Os pontos críticos da função são os valores de e . Note que não pertence ao intervalo avaliado, , assim, os possíveis valores de máximo e mínimo absoluto estão entre os valores de , e . Donde segue que é o valor de mínimo absoluto e é o valor de máximo absoluto.
*a) é um valor de máximo absoluto
b) é um valor de máximo absoluto.
c) A função tem um valor de mínimo absoluto quando .
d) é um valor de mínimo absoluto.
e) Os pontos críticos de , e , são os valores de máximo e mínimo da função.
 
Title: Ponto crítico
3) Se uma função possuir um valor de máximo ou de mínimo local em um número , então é denominado número crítico de . O número crítico (ou ponto crítico) de uma função é um número no domínio da função tal que ou não existe. Baseado nessa informação, considere a função e assinale a alternativa correta. 
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Derivando a função temos que . Como é uma função polinomial não há restrições para o valor de , então implica , donde segue que apenas satisfaz a condição . Portanto, a função possui apenas um ponto crítico.
 
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Aplicando as definições de ponto crítico, temos que implica em . Como é polinomial, ela existe para todo valor real de , o que nos leva a concluir que a função possui apenas um ponto crítico. Avaliando agora, os valores de para e temos que:
se , então é decrescente,
se , então é crescente.
Portanto, a função possui apenas um valor de mínimo local em .
*a) A função possui um ponto crítico.
b) A função possui 3 pontos críticos.
c) A função não possui pontos críticos.
d) A função tem um valor de máximo local quando .
e) A função não possui valor de mínimo local.
Title: Teorema do valor extremo
4) O Teorema do valor extremo assegura a existência de valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua num intervalo:
Se a funçäo for contínua no intervalo fechado , entäo terá um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto em .
Podemos aplicar este teorema à seguinte situação: Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas a partir de pedaços de papelão com , cortando quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando os lados para cima. O maior volume possível é obtido cortando um quadrado de lado:
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Cortando um quadrado de lado em cada canto temos que a base da caixa será um quadrado de lado e a altura da caixa será . Assim, o volume da caixa será sendo que . O maior volume está nos extremos ou nos pontos críticos da função . Os pontos críticos de são tais que , isto é, e (ambos os valores pertencem ao intervalo). Calculando o valor funcional dos pontos críticos e dos extremos, temos
Portanto, o valor máximo absoluto de é e ocorre em .
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. A função volume é dada por , sendo que . Os pontos críticos de são e , ambos pertencem ao intervalo dado. Assim, , e . Portanto, o maior volume possível é obtido cortando um quadrado de lado .
*a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Title: Máximos e mínimos
5) Muitas vezes, para designar os valores máximos e mínimos de uma função, devemos restringir seu domínio a um intervalo. Dessa forma, podemos observar a existência de valores máximos e mínimos locais e absolutos. A figura abaixo mostra o gráfico de uma função restrita ao intervalo .
 
Fonte: Elaborada pela autora.
Analisando o gráfico da função e de acordo com as definições de máximos e mínimos, assinale a alternativa correta.
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Dizemos que um número no domínio da função é um valor mínimo absoluto de se , para todo . A partir do gráfico é possível observar que o valor de para todo . Então, concluímos que é um valor de mínimo absoluto.
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. A partir das definições de máximo e mínimo, concluímos que, no intervalo , a função possui: um valor de máximo absoluto em , um valor de máximo local em , um valor de mínimo local em e , um valor de mínimo absoluto em . Note que não é valor de máximo local pois ele é o extremo do intervalo.
*a) é um mínimo absoluto.
b) A função dada possui três valores de mínimo local.
c) é um máximo absoluto.
d) A função dada possui dois valores de máximo local.
e) é um máximo absoluto.
Title: Máximos e mínimos
6) Uma função pode apresentar valores de máximos e mínimos locais ou absolutos. Para identificar um ponto de maneira correta é preciso conhecer a diferença entre ser local e absoluto. Dado um número no domínio da função , analise as afirmativas a seguir:
I. é o valor de máximo absoluto se quando está próximo de .
II. é o valor de mínimo absoluto se para todo no domínio.
III. é o valor de máximo local se quando está próximo de .
IV. é o valor de mínimo local se quando está próximo de .
Está correto apenas o que se afirma em:
~ Resposta correta. A alternativa está correta. A partir das definições, considerando um intervalo aberto contendo , isto é, , temos que: 
Se então é um valor máximo local.
Se então é um valor mínimo local.
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. A partir das definições, é o valor de máximo absoluto quando for o ponto mais alto do gráfico. Isto ocorre quando para todo no domínio. De modo análogo, é o valor de mínimo absoluto quando for o ponto mais baixo do gráfico, isto ocorre quando para todo no domínio.
*a) III, IV
b) I, III, IV
c) I, II, III
d) II, III, IV
e) I, II
 
Title: Máximo absoluto
7) O Teorema do valor extremo nos garante a existência de um valor extremo para a função quando esta estiver restringida a um intervalo de seu domínio. De acordo com este teorema,o valor extremo ocorrerá nas extremidades do intervalo ou no ponto crítico da função. Nós podemos utilizá-lo para solucionar a seguinte situação: Um senhor deseja cercar um galinheiro em forma retangular. Para isso, ele irá aproveitar um muro como um dos lados do galinheiro. Se o custo do material é de por metro, ache as dimensões do galinheiro, para que este tenha a maior área possível que possa ser cercada com de material. Assinale a alternativa correta.
~ Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as informações do problema, cada metro do material custa . Então, o custo total do material é . A área do galinheiro é dada por . Temos então um sistema de duas equações:
	(1)
		(2)
Isolando na equação (1) e substituindo na equação (2) temos que em que . Para encontrar a maior área, devemos ter , então,. Pelo Teorema do valor extremo, o valor máximo absoluto de deve ocorrer em 0, 55 ou 110. Calculando temos , e , ou seja, o valor máximo da área ocorre quando e .
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. De acordo com as informações do problema, devemos solucionar o seguinte sistema:
	(1)
		(2)
É possível notar que todas as alternativas satisfazem a equação (1), porém a que possui maior área é:
		
	
	
	
	
Logo, as dimensões do galinheiro devem ser .
*a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Title: Regra de L’Hospital
8) A regra de L’Hospital é usada para o cálculo de limites que apresentam indeterminações do tipo e . Para usá-la, é preciso que as funções e sejam deriváveis em e em com e para , então 
.
Aplique a regra de L’Hospital para calcular o seguinte limite:
.
Assinale a alternativa correta.
~ Resposta correta. A alternativa está correta. O limite dado é uma indeterminação da forma . Aplicando a regra de L’Hospital, vamos derivar o numerador e o denominador, assim temos
.
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Tomando o numerador como a função , ao derivá-la e calcular o valor da derivada em , temos que . Portanto, o valor do numerador deve ser . Tomando o denominador como , derivando e calculando seu valor em obtemos. Portanto, o valor do denominador deve ser 4. Assim, o valor do limite é .
*a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
Title: Teorema do valor médio
9) O Teorema do valor médio nos diz que: dada uma função contínua no intervalo fechado e derivável no intervalo aberto , então, existe um número tal que . Podemos notar que o teorema garante a existência de um número com certa propriedade, mas não nos diz como encontrá-lo. Porém, ele pode ser usado para resolver o seguinte problema: suponha que e para todos os valores de . Qual é o maior valor que pode assumir? 
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Foi dado que a função é derivável em toda a parte. Podemos, então, aplicar o Teorema do valor médio no intervalo . Assim, existe um número tal que . Como para todo , segue que . Logo, . Portanto, o maior valor possível para é .
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. A função dada cumpre as hipóteses do Teorema do valor médio e temos o arbítrio de escolher o intervalo para aplicá-lo. Assim, aplicando o teorema ao intervalo , concluímos que o valor máximo possível de é .
*a) 10
b) 9
c) 8
d) 4
e) 6
 
Title: Comportamento da função
10) A derivada de uma função pode nos informar onde esta função é crescente ou decrescente. Seja uma função, então é crescente em um intervalo se nele e é decrescente em um intervalo se nele. Considere a função , assinale a alternativa correta em relação aos intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro precisamos determinar os números críticos de , pois estes irão dividir o domínio em intervalos. Nestes intervalos, precisa ser sempre positiva ou sempre negativa. Então, derivando a função , temos que Os pontos críticos de são , e . Olhando para o intervalo , temos que neste. Logo, a função é crescente no intervalo .
 
@ Sua resposta está incorreta. A derivada de é e seus pontos críticos são , e . Avaliando os intervalos, temos:
	Intervalo
	Sinal de 
	Conclusão
	
	-
	função decrescente
	
	+
	função crescente
	
	-
	função decrescente
	
	+
	função crescente
Portanto, a função é decrescente nos intervalos e . E, a função é crescente no intervalo e .
*a) é crescente no intervalo .
b) é crescente no intervalo .
c) é crescente no intervalo .
d) é decrescente no intervalo .
e) é decrescente no intervalo .
 
Title: Comportamento da função
11) As derivadas de primeira e segunda ordem de uma função descrevem características da função de acordo com seus valores. Por exemplo, elas podem definir o intervalo no qual a função é crescente ou decrescente, o intervalo no qual a função tem concavidade para cima ou para baixo e mesmo se esta possui valores de máximo e mínimo local. A partir das informações que e fornecem sobre , assinale a alternativa correta. 
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Se , então no ponto do gráfico de possui uma reta tangente horizontal. Logo, este pode ser um ponto de máximo ou mínimo local. Para determinar, basta lembrar pelo teste de concavidade que se , o gráfico é côncavo para cima, portanto, concluímos que tem um mínimo local em quando e .
 
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Para a derivada primeira, temos que: se em um intervalo, então é crescente. Pelo teste da derivada primeira, se o sinal de mudar de positivo para negativo em , a função possui um máximo local em . Pelo teste de concavidade, se em um intervalo, o gráfico de é côncavo para baixo. Por fim, um ponto de inflexão é aquele que muda a concavidade do gráfico da função.
*a) Se e , então tem um mínimo local em .
b) Se em um intervalo, então é decrescente nele.
c) Se o sinal de mudar de positivo para negativo em , então tem um mínimo local em .
d) Se em um intervalo, então o gráfico de é côncavo para cima.
e) A função possui um ponto de inflexão em se a curva mudar o sentido de crescente para decrescente (ou vice-versa) em . 
 
Title: Comportamento da função
12) Os sinais das derivadas de primeira e segunda ordem de uma função nos fornecem informações sobre o comportamento desta e a identificação de valores de máximo e mínimo local. Aplicando estas informações à função , assinale a alternativa correta.
~ Resposta correta. A alternativa está correta. O sinal da primeira derivada nos fornece a informação se a função é crescente ou decrescente. Derivando e determinando seus pontos críticos, temos que: para e . Assim,
- Se e então e, portanto, é decrescente no intervalo .
- Se então e, portanto, é crescente no intervalo .
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Calculando os pontos em que a derivada primeira e segunda se anulam, temos que para e ; para e . Assim, avaliando os intervalos temos:
	Intervalo
	
	
	
	Conclusão
	
	
	-
	+
	 é decrescente e possui concavidade voltada para cima
	
	0
	0
	0
	ponto de inflexão
	
	
	-
	-
	 é decrescente e possui concavidade voltada para baixo
	
	-1
	-
	0
	ponto de inflexão
	
	
	-
	+
	 é decrescente e possui concavidade voltada para cima
	
	
	0
	+
	ponto de mínimo local
	
	
	+
	+
	 é crescente e possui concavidade voltada para cima
*a) A função é decrescente no intervalo .
b) é um valor de mínimo local.
c) O gráfico de é côncavo para cima no intervalo .
d) A função possui um ponto de inflexão em .
e) é um valor de máximo local.
Title: Pontos crítico e de inflexão
13) Os pontos que anulam as derivadas primeiras e segundas possuem nomes específicos. Os pontos críticos são os pontos que anulam a derivada primeira da função. Estes são possíveis candidatos a máximo e mínimo local da função. Já os pontos de inflexão são aqueles que anulam a derivada segunda da função. Eles demarcam a mudança de concavidade no gráfico. Sejam os pontos e o extremo relativo e o ponto de inflexão de , respectivamente. Se , determine os valores reais de , , e . Assinale a alternativa correta. 
~Resposta correta. A alternativa está correta. Derivando e pelas informações dadas, temos que quando e quando . Para determinar os valores de e devemos resolver o seguinte sistema:
		(1)
	(2)
			(3)
			(4)
Resolvendo o sistema, temos que . Portanto, a função dada é .
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Pelas informações fornecidas pelo problema, devemos ter quando e quando . Ou seja, devem ser satisfeitas as equações
			(1)
			(2)
Substituindo os valores de e temos que:
Se , então as equações (1) e (2) são satisfeitas:
		e	
Se , então as equações (1) e (2) não são satisfeitas:
		e	
Se , então as equações (1) e (2) não são satisfeitas:
		e	
Se , então as equações (1) e (2) não são satisfeitas:
		e	
Se , então as equações (1) e (2) não são satisfeitas:
		e	
Portanto, a solução é .
*a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Title: Regra de L’Hospital
14) A regra de L’Hospital nos fornece um meio de calcular limites em formas indeterminadas. Geralmente, é aplicado em limites cuja função é um quociente, sendo sua aplicação simples, usando a derivada de funções, isto é, .
Devemos tomar o cuidado para não nos confundir no momento de aplicar a regra de L’Hospital, pois para aplicá-la devemos derivar o numerador e o denominador separadamente. Não usamos a regra do quociente de derivadas. Porém, se, ao aplicar a regra de L’Hospital, a indeterminação persistir, é possível aplicá-la novamente. Use a regra de L’Hospital para calcular o seguinte limite . Assinale a alternativa correta.
~ Resposta correta. A alternativa está correta. O limite dado é uma indeterminação da forma . Aplicando a regra de L’Hospital, vamos derivar o numerador e o denominador, assim, temos =. Novamente, temos uma indeterminação da forma . Aplicando novamente a regra de L’Hospital, concluímos que o limite dado é , pois =.
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. O limite dado é uma indeterminação, pois e quando . Para sair da indeterminação, será necessário aplicar a regra de L’Hospital duas vezes, pois 
Primeira derivada: e quando ; resultado indeterminação. 
Segunda derivada: e quando ; resultado .
*a) 
b) 0
c) 1
d) não existe
e) 
 
Title: Problema de otimização
15) Os métodos para encontrar valores extremos tem aplicações práticas em muitas situações, como por exemplo, minimizar custos, minimizar tempo, maximizar transportes, entre outras. Considere a seguinte situação: um fazendeiro deseja cercar um campo retangular com de cerca à margem de um rio. Ele não precisa cercar ao longo do rio. Qual é a maior área possível deste campo? Assinale a alternativa correta.
~ Resposta correta. A alternativa está correta. O perímetro do campo a ser cercado é dado por , onde é a largura e é o comprimento, cujo um dos lados é a margem do rio. A área do campo retangular é . Assim, dadas as equações
	(1)
		(2)
precisamos maximizar a área. Isolando na equação (1) e substituindo na equação (2), temos que , em que . O ponto crítico de é . Assim, temos , e . Portanto, o valor máximo da área é .
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Para determinar a maior área possível, é preciso determinar as medidas de largura e comprimento do campo. Para isso, elas devem satisfazer as seguintes equações
	(1)
		(2)
Podemos escrever a área em função do comprimento, assim, , em que . Aplicando o teorema do valor extremo, conclui-se que a maior área é dada por .
*a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
Title: Problema de otimização
16) Dado um cilindro circular reto de raio e altura , sua área de superfície total é a soma da área da superfície lateral com a área da tampa e da base, ou seja, . Já o seu volume é dado como o produto da área da base com a altura, isto é, . Considere uma lata fechada com a forma de um cilindro circular reto. Se o volume da lata é de , determine o valor da altura e do raio para que seja usado a menor quantidade de material em sua fabricação. Assinale a alternativa correta.
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Como o volume da lata é , para resolver o problema precisamos resolver o sistema:
		(1)
			(2)
Isolando a altura na equação (2) e substituindo-a na equação (1), temos que , onde . Derivando temos que , para (note que não existe em , mas este não é um número crítico, pois 0 não está no domínio de ). Como , aplicando o teste da derivada segunda temos que:
Para , e , então é um valor mínimo relativo.
Substituindo na equação (2), obtemos .
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Dentre as alternativas, é possível verificar que apenas uma satisfaz a condição imposta pelo volume . Observe que:
- Se , então (opção correta)
- Se , então 
- Se , então 
- Se , então 
- Se , então 
*a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
Title: Testes da primeira e segunda derivada
17) Os testes da primeira e segunda derivada nos fornecem meios para encontrar os extremos relativos de uma função. Além disso, os sinais dessas derivadas ainda fornecem informações sobre o comportamento da função: se o gráfico é crescente ou decrescente, se possui concavidade para cima ou para baixo. Observe o quadro a seguir:
	Intervalo
	Sinal de 
	Sinal de 
	
	positiva
	negativa
	
	0
	negativa
	
	negativa
	negativa
	
	-3
	0
	
	negativa
	positiva
	
	0
	positiva
	
	positiva
	positiva
Fonte: Elaborado pelo autor.
Baseado nas informações do quadro acima e dos testes da primeira e segunda derivada, analise as afirmativas a seguir:
I. A função é decrescente no intervalo .
II. A função possui um valor máximo local em .
III. A função possui um ponto de inflexão em .
IV. O gráfico possui concavidade para baixo no intervalo .
Está correto apenas o que se afirma em:
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Quando a derivada primeira é negativa a função é decrescente, portanto, é decrescente no intervalo . Quando e , é um valor de máximo local, portanto, é um valor de máximo local. Quando a derivada segunda é negativa, a concavidade do gráfico é voltada para baixo, portanto, tem concavidade voltada para baixo no intervalo .
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. De acordo com as informações fornecidas no quadro, a função é crescente no intervalo e e decrescente no intervalo . A função possui concavidade para baixo no intervalo e concavidade para cima no intervalo . Além disso, é o valor máximo local, é o ponto de inflexão e é o valor mínimo local.
*a) I, II, IV.
b) I, II, III.
c) I, IV.
d) II, III.
e) II, III, IV.
 
Title: Mínimo relativo
18) Muitas grandezas físicas são obtidas como a taxa de variação de outras. Por exemplo, a corrente elétrica pode ser entendida como a variação da carga elétrica no decorrer do tempo. Considere uma carga elétrica, em Coulombs, transmitida por meio de um circuito que varia de acordo com a função . Determine o valor do tempo , em segundos, para que a corrente atinja um valor mínimo. Assinale a alternativa correta. 
~ Resposta correta. A alternativa está correta. A questão pede para minimizar a função . Vamos avaliar o sinal da derivada segunda de em seu ponto crítico para verificar a existência de um valor de mínimo. Como quando e , segue que e , implica em ser um valor de mínimo relativo. Portanto, o tempo para que a corrente atinja um valor mínimo é .
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. A corrente elétrica é definida como a derivada da carga elétrica em relação ao tempo, ou seja, . Para minimizar a função , devemos encontrar o valor de , tal que e . Efetuando os cálculos necessários, obtemos .
*a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
Title: Problema de otimização
19) Problemas que buscam determinar os valores extremos de uma função são conhecidos como problemas de otimização. Tais problemas buscam maximizar ou minimizar a função. Um exemplo de problema de otimização é o dado a seguir: Um agricultor deseja construir um reservatório cilíndrico, fechado em cima, com capacidade de . O preço da chapa de aço é de o metro quadrado. Determine as dimensões do cilindro, raio e altura (ambas em metros),para que o custo seja mínimo. Assinale a alternativa correta. 
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Como o volume do reservatório é , para resolver o problema precisamos resolver o sistema:
		(1)
			(2)
Isolando a altura na equação (2) e substituindo-a na equação (1), temos que , onde . Derivando , temos que para (note que não existe em , mas este não é um número crítico, pois 0 não está no domínio de ). Como , aplicando o teste da derivada segunda temos que:
Para , e , então é um valor mínimo relativo.
Substituindo na equação (2), obtemos .
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Dentre as alternativas, é possível verificar que apenas uma satisfaz a condição imposta pelo volume . Observe que:
- Se e , então (opção correta)
- Se e , então 
- Se e , então 
- Se e , então 
- Se e , então 
*a) e 
b) e 
c) e 
d) e 
e) e 
 
Title: Problema de otimização
20) A função custo é o custo da produção de unidades de certo produto, e sua derivada é a função custo marginal. Já a função custo médio é a razão da função custo com a quantidade de unidades produzidas, ou seja, . Seja a função custo de produção de uma certa mercadoria, determine a produção que minimizará o custo médio. Assinale a alternativa correta: 
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Queremos minimizar a função custo médio, ou seja, . Derivando a função custo médio, temos que , seu ponto crítico é , pois . Para verificar se é um valor mínimo, precisamos saber qual é o valor da derivada segunda neste ponto. Assim, temos que e ,portanto, é um valor de mínimo.
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Queremos minimizar a função custo médio, ou seja, . Calculando o ponto crítico de e verificando o sinal da derivada segunda neste, temos que: se então ; como e , então é um valor de mínimo.
*a) 400 unidades
b) 300 unidades
c) 500 unidades
d) 450 unidades
e) 600 unidades