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�PAGE � �PAGE �1� CÁLCULO III – ENGENHARIAS – 2° SEM/2001 – AULA 8 APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS 1 ) Regra de Laplace ( Laplaciano ) Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis e , suas “parciais” de segunda ordem, chamamos de LAPLACIANO, a seguinte expressão : Analogamente, para w = f(x,y,z) temos o LAPLACIANO : Nestes casos, dizemos que z e w ( Respectivamente ) satisfazem a Regra ( ou Equação ) de Laplace. Exemplos : ● Verifique se as funções dadas satisfazem a Regra ( ou Equação ) de Laplace. a ) w = x² -2y² +z² Resolução : ☺ ☺ ☺ Logo w satisfaz à Laplace. b ) Idem para z = ex.seny Resolução : ☺ ☺ ; logo z satisfaz à Laplace Exercício : ● Idem para w = Resolução : 2 ) Diferencial Total ( ou Derivada Total ) Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis e , as “ parciais “ de z = f(x,y), chamamos de Diferencial ( ou Derivada ) Total a seguinte expressão : OU Analogamente, para w = f(x,y,z) temos : OU Exemplos : ● Calcule a expressão do Diferencial Total de : 1 ) z = 3x²y + ln ( x²y³ ) Resolução : ◙ = 6xy + = 6xy + ◙ = 3x² + = 3x² + 2 ) Idem para z = Resolução : ◙ = ◙ = Exercícios : 1 ) Idem para z = x³.e3x + 4y² 2 ) Idem para z = 3x²y.sen ( 2x + 3y ) 3 ) Idem para z = sec ( x² + 2xy³ ) 3 ) Vetor Gradiente Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis e , as “ parciais “ de z = f(x,y). Seja Po (xo, yo), um ponto do plana e , as derivadas calculadas no ponto Po, chamamos de Vetor Gradiente ao seguinte vetor : = z yo y xo Po x O Vetor Gradiente aponta para onde z = f(x,y) tem maior velocidade. Exemplos : ● Determine o vetor gradiente das funções abaixo no ponto Po . 1 ) z = ln ( x² + y² ) em Po ( 0, 1 ). Resolução : ◙ = = ( 0, 2 ) ◙ = 2 ) z = x.sen y em Po ( 1, ). Resolução : ◙ = = ( 1, 0 ) ◙ = Exercícios : 1 ) Idem para z = 3.x²y³.e2xy em Po ( 1, -1 ) . 2 ) Idem para z = em Po ( -1, 1 ) . �PAGE � _1062920281.unknown _1062921421.unknown _1062922927.unknown _1062928489.unknown _1062929319.unknown _1062929581.unknown _1062929778.unknown _1062930157.unknown _1062929343.unknown _1062929462.unknown _1062928784.unknown _1062928888.unknown _1062923418.unknown _1062923571.unknown _1062923285.unknown _1062921950.unknown _1062922898.unknown _1062921769.unknown _1062921080.unknown _1062921146.unknown _1062921351.unknown _1062921115.unknown _1062920957.unknown _1062921040.unknown _1062920901.unknown _1062894689.unknown _1062919782.unknown _1062919913.unknown _1062920221.unknown _1062919435.unknown _1062919480.unknown _1062919237.unknown _1062894698.unknown _1062892758.unknown _1062893721.unknown _1062894556.unknown _1062894616.unknown _1062893198.unknown _1062893410.unknown _1062892325.unknown _1062892454.unknown _1062892275.unknown
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