ATIVIDADE 02

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Resposta corr A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja 
determinar a direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso, essa 
direção de maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma 
unitária. Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior 
decrescimento da função. 
 
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da 
função no ponto P(1,2).eta. A alternativa está correta. A 
direção de maior crescimento é . Precisamos então 
determinar o vetor gradiente. O vetor gradiente é o vetor formado 
pelas derivadas parciais da função , assim, 
Derivadas parciais e vetor gradiente no ponto P(1,2): 
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- 
 
A norma do vetor gradiente no ponto P(1,2) é
. 
Assim, a direção de maior crescimento é . 
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 PRÓXIMA QUESTÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponha que seja uma função diferenciável de e , tal que . No 
entanto, e são funções de expressas por e . Para se obter 
a derivada de com relação a variável devemos fazer uso da regra da cadeia. 
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada 
de em relação a , isto é, , para quando . 
 
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções 
da variável , isto é, e . A derivada da função com relação à 
variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Pela 
regra da cadeia, podemos notar que precisamos das derivadas parciais da 
função com relação às variáveis e e precisamos das derivadas das 
funções e com relação à variável . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da 
função com relação à variável , sabendo 
que e . 
 
 
 
As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a inclinação 
da reta tangente a uma função de duas variáveis quando fixadas as direções 
que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, 
determinar a derivada da função com relação a qualquer direção diferente das 
direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja fornecida por 
um vetor unitário. 
 
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa 
por . Assinale a alternativa que corresponde à derivada 
direcional da função no ponto na direção do vetor . 
 
 
O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, 
dada a função o vetor gradiente é o vetor . Dado 
um ponto , o vetor gradiente da função no ponto P é obtido por meio da 
seguinte expressão . 
 
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da 
função no ponto . 
 
Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas 
variáveis temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o 
conjunto de pares ordenados pertencentes ao plano que satisfazem a lei de 
formação da função . Assim, para determinar o domínio da 
função precisamos verificar se não há restrições para os valores 
que e podem assumir. 
 
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta. 
 
 
A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da 
função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os dois 
vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima 
para o vetor unitário do vetor gradiente. 
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo 
crescimento da função no ponto P(-1,1). 
 
Chamamos de curva de nível da função o conjunto de todos os 
pares pertencentes ao domínio de tais que , onde é uma 
constante real. Utilizamos as curvas de nível para visualizar geometricamente o 
comportamento de uma função de duas variáveis. 
 
Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta. 
 
A lei dos gases ideais é uma função que relaciona 
as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e 
volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei 
como a função , onde é uma constante dada, 
considere um gás com o volume de sob uma 
pressão de . O volume está aumentando a uma taxa 
de e a pressão está decrescendo a uma taxa de por 
segundo. 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da 
temperatura considerando as informações anteriores. (Use). 
Resposta: 
A temperatura está diminuindo a uma taxa de 1º por segundo no 
instante dado. ∀ 
Explicação passo-a-passo: 
Interpretando o enunciado temos as seguintes considerações: 
Considere a função T(p;v) = p*v/10; o deslocamento unitário u=(-0,2; 
2); e o ponto T(10;150). 
T'p(p;v) = v/10 
T'v(p;v) = p/10 
Sabendo que Dv = T'p(p;v)*ui + T'v(p;v)*uj teremos a derivada 
direcional no ponto T(10;150) sendo: 
DvT(p;v) = -0,2*v/10 + 2*p/10 
DvT(10;150) = -0,2*150/10 + 2*10/10 = 
DvT(10;150) = -0,2*15 + 2*1 = 
DvT(10;150) = -3 + 2 = 
DvT(10;150) = -1º/s