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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - GAAL Aula 11 Walter Duarte Costa Filho 1º Semestre - 2011 Aula 11 Multiplicação de um Número Real por um Vetor Dado: v ≠ 0 ( vetor ) e α≠ 0 (número real), temos: I.Módulo: | α v | = | α | | v | O comprimento de α v é igual ao comprimento de v multiplicando por | α | . II. Direção: α v é paralelo a v. III. Sentido: α v e v tem o mesmo sentido se α > 0 e contrário de α < 0. Se α = 0 ou v = 0 , então α v = 0. ÂNGULO DE DOIS VETORES Considerando dois vetores não nulos, o ângulo entre dois vetores é o ângulo θ formado por duas semi-retas OA e OB de mesma origem O, onde u = OA , v = OB e 0o ≤ θ ≤ 180° . �Se u // v e u e v tem o mesmo sentido: θ = 0. �Se u // v e u e v tem sentido contrário: θ = 180 o. Condição de Paralelismo: Sendo: u e v - vetores α – número real qualquer Versor de um vetor • Considerando O vetor u é versor do vetor v tal que: • O versor de um vetor é sempre o próprio vetor sobre seu módulo. Caso adquira sinal negativo, o seu versor será o vetor com sinal negativo sobre seu módulo. Ou seja, u é igual a • Módulo é igual a 1. Ou seja, é um vetor unitário • Possui a mesma direção e o mesmo sentido de v Soluções 3) Determinar os vetores, expressando-os com origem no ponto A. • OC = AO e CH = FA , então AO + FA = FO = AE • AH = AO e FG = AO, então AO + AO = AC • 2AE = AD e 2AF = AB, então AD + AB = AC • EH = AO e EF = EF, portanto AO + EF = FB • EO = AF e BG = AE, então AF + AE = AO • 2EO = CD e 2OC = AC, então AC + CD = AD • ½BC = AE = OH e EH = AO, então OH + AO = AH • FE + FG = FH = AD • OG = AF e – HO = OH então OG + OH = OC = AO • AF + FO + OC = AO • AD + AB = AB + DC = AC • BA + DA = CD + DA = CA • AC – BC = AC + CB = AB • NA + BC = NA + NM = AM • MD + MB = BN + MB = MN • BM - ½ DC = BM + ½ CD = BM + MD = BD 4) Determinar: Exercício 14 1ª) Um quadrilátero que tem dois lados opostos paralelos e congruentes é uma paralelogramo. Considerando o Δ ADC podemos escrever: MN = ½ AC ( semelhança de triângulos ). Do mesmo modo Δ ABC, PQ = ½ AC. Das expressões MN = PQ 2ª) Paralelogramo MPQN, as diagonais MQ e PN e E o ponto médio de PN e de MQ. QE = QN + NE = PM + EP = EM Logo E é o ponto médio de QM. Exercício 16 Expressar os vetores AM e NA em função de AB e AC. AM = AB + BM AC = AB + BC BC = AC - AB AB + ½ BC AB + ½ ( AC – AB ) AB + ½ AC – ½ AB ½ ( AB + AC ) AN = AB + BN BC = AC - AB AB + ⅓ BC AB + ⅓ ( AC – AB ) AB + ⅓ AC - ⅓ AB AN = ⅔ AB + ⅓ AC
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