Manual de Problemas Resolvidos de eletromagnetismo vol.I

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Rogerio Moreira Lima Silva
Marcelo Lyra Brandão
Manual de Problemas Resolvidos
ELETROMAGNETISMO
VOLUME I
PA P E L V I R T UA L
Brandão, Marcelo L.
Manual de Exercícios Resolvidos:
Eletromagnetismo / Marcelo L Brandão,
Silva, Rogerio M L. - São Luís, 1999.
V.1, 136 pg.
1. Eletromagnetismo - exercícios I
Silva, Rogerio M L. II Título
CDD 535.14
CDU 537.8
Copyright© 2000 por Marcelo Lyra Brandão e Rogerio
Moreira Lima Silva
Título Original: Manual de Problemas Resolvidos -
Eletromagnetismo
Editor-Chefe: Tomaz Adour
Editoração Eletrônica: Andrea Cavalcanti
Revisão: Patrícia Simões Carneiro
Papel Virtual Editora
Rua Marquês de São Vicente, 225
Prédio Genesis - sala 21-A - PUC-Rio
Gávea - Rio de Janeiro - RJ CEP: 22453-900
Tel: (021) 239-0170 Ramais: 2057 / 2026 (fax)
E-mail: editor@papelvirtual.com.br
Endereço Eletrônico: www.papelvirtual.com.br
Marcelo Lyra Brandão
Doutor em Engenharia Elétrica pela Unicamp
Professor Adjunto do Departamento de Engenharia de
Eletricidade da Ufma
Rogerio Moreira Lima Silva
Estudante de Engenharia Elétrica da Ufma
Manual de Problemas Resolvidos
Eletromagnetismo
VOLUME I
A meus avós; em especial a meu avô William Moreira Lima.
A minha família, em especial aos meus pais.
A meu tio Aluizio Moreira Lima, pelo empenho pessoal.
À minha noiva, Cintia Karine Carneiro Rocha, por tudo.
R. M. L. Silva
PREFÁCIO
Este manual tem por finalidade auxiliar os estudan-
tes de Engenharia Elétrica no estudo do eletromagnetismo.
O manual é direcionado a resolução de problemas do livro
“ Eletromagnetismo, Kraus / Carver”, mas são resolvidos
também exercícios de outros livros. É relevante citar que se
optou por seguir a ordem de capítulos do livro acima cita-
do, ou seja,” Eletromagnetismo, Kraus / Carver”.
Neste primeiro volume serão apresentadas resoluções
de exercícios dos capítulos 1(um) ao 9 (nove) e no segundo
volume, dos capítulos 10(dez) ao 14(catorze). Também se-
rão fornecidas ao final de cada capítulo as referências bibli-
ográficas para pesquisa da teoria, a qual forma a base teóri-
ca necessária para perfeito entendimento dos exercícios re-
solvidos.
Esperamos que este manual seja utilizado por profes-
sores que adotem o livro “Eletromagnetismo, Kraus /
Carver” ou “Eletromagnetics, Kraus”, e que o mesmo seja
de grande valia para melhor entendimento da teoria.
Tendo em vista que todo e qualquer trabalho não está
imune a erros e consequentemente eventuais correções, os
leitores que desejarem fazer críticas e, ou, sugestões devem
dirigir-se aos autores no Departamento de Engenharia de
Eletricidade da Universidade Federal do Maranhão
(UFMA).
Marcelo Lyra Brandão
lyra@dee.ufma.br
Rogerio Moreira Lima Silva
rogeriomls@zipmail.com.br
rogeriomls@ig.com.br
rogermls@telemar-ma.com.br
SUMÁRIO
Capítulo 1 ............................................................................... 13
Capítulo 2 ............................................................................... 19
Capítulo 3 ............................................................................... 33
Capítulo 4 ............................................................................... 51
Capítulo 5 ............................................................................... 59
Capítulo 6 ............................................................................... 87
Capítulo 7 ............................................................................... 95
Capítulo 8 ............................................................................. 103
Capítulo 9 ............................................................................. 113
Bibliografia Consultada ..................................................... 133
Biografia dos autores .......................................................... 135
LISTA DE FIGURAS
Figura Prob. 2-2 ..................................................................... 21
Figura Prob. 3-3 .................................................................... 36
Figura Prob. 3-4 .................................................................... 38
Figura Prob. 3-5 .................................................................... 39
Figura Prob. 3-8a .................................................................. 44
Figura Prob. 3-8b.................................................................. 46
Figura Prob. 3-9 .................................................................... 46
Figura Prob. 3-10 .................................................................. 48
Figura Prob. 4-2 .................................................................... 52
Figura Prob. 5-2 .................................................................... 60
Figura Prob. 5-3a .................................................................. 61
Figura Prob. 5-3b.................................................................. 62
Figura Prob. 5-5 .................................................................... 65
Figura Prob. 5-6a .................................................................. 67
Figura Prob. 5-6b.................................................................. 68
Figura Prob. 5-6c .................................................................. 68
Figura Prob. 5-9 .................................................................... 72
Figura Prob. 5-12 .................................................................. 73
Figura Prob. 5-13a ................................................................ 75
Figura Prob. 5-13b................................................................ 75
Figura Prob. 5-14 .................................................................. 77
Figura Prob. 5-15 .................................................................. 79
Figura Prob. 5-16a ................................................................ 81
Figura Prob. 5-16b................................................................ 81
Figura Prob. 5-18 .................................................................. 83
Figura Prob. 5-19 .................................................................. 85
Figura Prob. 5-20 .................................................................. 86
Figura Prob. 6-5 .................................................................... 90
Figura Prob. 6-7 .................................................................... 93
Figura Prob. 8-2 .................................................................. 104
Figura Prob. 8-3a ................................................................ 105
12
Figura Prob. 8-3b................................................................ 105
Figura Prob. 8-4a ................................................................ 106
Figura Prob. 8-4b................................................................ 107
Figura Prob. 8-5 .................................................................. 108
Figura Prob. 8-6 .................................................................. 109
Figura Prob. 8-7 .................................................................. 110
Figura Prob. 9-11 ................................................................ 122
Figura Prob. 9-15 ................................................................ 125
Figura Prob. 9-16 ................................................................ 127
Figura Prob. 9-17 ................................................................ 128
Figura Prob. 9-18 ................................................................ 130
13
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1- Dar:
a) A descrição dimensional
b) As fórmulas dimensionais em termos dos símbolos M,L,T e I
c) As unidades de SI, para as seguintes expressões:
dt
dl ∫ dlF. dxdl
onde l é o comprimento, t o tempo e F a força
Fonte:[1]
Sol:a)
ensionala
dx
dl
trabalhodlF
velocidade
dt
dl
dim
.
=
=
=
∫
14
b)
c)
1.2) Dar o que se pede no problema 1.1 para
BILJ
r
QdlEEVdv ;;
...4
;
..4
1
;.;;;. 2
0
2
0 επεπ
ρ ∫∫∫∫
Fonte:[1]
Sol:
1)(
)(
.
.
)(
)(*)()(**)(
)(*)(*)()(*)(.
2
2
===
=⇒
=



=
==
==
∫
∫
L
L
ocompriment
ocompriment
dx
dl
T
LMdlF
tempo
ocomprimentmassa
ocompriment
tempo
velocidade
massa
ocomprimentaceleraçãomassaocomprimentforçcadlF
T
L
tempo
ocompriment
dt
dl
ensionala
dx
dl
joulesJdlF
segundopormetrossm
dt
dl
dim
)(.
)....(/
=
=
=
∫
15
a)
b)
ForçaBIL
correntededensidadeJ
força
r
Q
constate
potencialdlE
elétricocampodeensidadeE
potencialV
acdv
=
=
=
=
=
=
=
=
∫
∫∫∫
....
...4
..4
1
.
......int
arg.
2
0
2
0
επ
επ
ρ
( )
2
2
24
3
2
22
2
0
3
2
3
2
22
.
..
?
;
..4
1
.
.
.
.
.
...
..
L
hI
L
I
L
h
HildH
BIL
L
I
S
IJ
IT
MLK
IT
L
T
ML
Q
FrK
r
QKFK
IT
ML
IT
T
ML
Q
FE
IT
MLV
TI
L
T
LM
Q
L
T
LMLQ
FLEdlEV
TIQV
V
Qdv
==⇒=
=
=
∂
∂
=
=
==⇒==
===
=⇒
=====−=
===
∫
∫
∫∫∫
µ
επ
ρ
��
16
c)
2
2
2
222
22
22
2
22
23
2
3
2
:log,.
)........(
)(,
,
//
....
T
MLIL
IT
MLBIL
o
IT
ML
L
I
IT
MLHB
oumetroporindutância
IT
ML
L
IT
ML
m
l
indutância
IT
ML
I
T
IT
ML
l
IT
MLV
mas
I
VT
TI
V
dtdi
vl
dt
dilv
metroporindutânciah
==
===
==
===
===⇒=
=
��
µ
µ
)....(
..4
1
)....(
)(
)(
0
faradaypormetros
F
m
voltsEdl
metroporvolts
m
VE
voltsVV
coulombsCdv
=
=
=
=
=
∫
∫∫∫
επ
ρ
)(
......(
)(
4
2
2
0
2
newtonsNBIL
quadradometroporampères
m
AJ
NewtonsN
r
Q
=
=
=
πε
17
1 Referências para estudo da teoria
1 Referência para estudo da teoria:
KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo
 Editora Guanabara Dois, 1978.
⇒ capítulo 1 (um)
18
19
CAPÍTULO 2
CAMPO ELETROSTÁTICO - PARTE 1
2.1)
(a) Que carga elétrica seria necessária colocar na Terra e na
Lua para que tal força de atração se iguale a força de atra-
ção gravitacional? Suponha que as cargas sejam colocadas
na mesma proporção que as massas. Considere a massa da
Terra 6.1024 Kg, e da Lua 7.1027 Kg, sendo a separação de
40Mm. A constante gravitacional 6,7.10-11 Nm2/Kg2 (é aná-
loga a lei de Coulomb)
(b) Se as separações fossem de sinais contrários qual seria
o momento do dipolo.
Fonte:[1]
Sol:
(a)
Dados: m1=6.10
24Kg; m2=7.10
22Kg; G=6,7.10-11Nm2/Kg2;
r=400Mm
Sabe-se que e0=8,85pF/m p=3,14
2
21
...4
.
r
qqFe
επ
= ; 2
21.
r
mmGFG =
20
⇒= Ge FF 2
21
...4
.
r
qq
επ 2
21.
r
mmG=
2121 .....4. mmGqq επ=⇒
227
21 10.13,3. Cqq =⇒
são proporcionais, logo:
pm
mm
→
→+
1
21 1 99,0
21
1
=
+
=
mm
mp → ).( 211 mmpm +=
'
1
2
21
pm
mm
→
→+
01,0'
21
2
=
+
=
mm
mp → )'.( 212 mmpm +=
como,
22
11
~
~
qm
qm
⇒ ).( 211 qqpq += ; )'.( 212 qqpq +=
2
2121 )'.(.. qqppqq += '.
. 21
21 pp
qqqq =+⇒ Cqq 1421 10.24,5=+⇒
).( 211 qqpq += TC51810.518)10.24.5.(99,0 1214 ===
)'.( 212 qqpq += TC04,610.04,6)10.24.5.(01,0 1214 ===
(b)
para o dipolo CmlqqlQ 22221 10.24,2... ==
2.2)A figura mostra uma longa barra isolante sem massa,
de comprimento L, presa por pino no seu centro e equili-
brada com peso W a uma distância x de sua extremidade
esquerda. Nas extremidades esquerda e direita da barra são
colocadas cargas q e 2q, respectivamente. A uma distância
h diretamente abaixo dessas cargas está fixada uma carga
positiva +Q (veja figura).
21
(a) Determine a posição x do peso quando a barra estiver
equilibrada.
(b) Qual deverá ser o valor de h para que a barra não exer-
ça nenhuma força vertical sobre o suporte quando em equi-
líbrio? (Despreze a interação entre as cargas nos extremos
opostos da barra.) Fonte:[5]
Fig. Prob. 2-2
Fonte:[5]
Sol:
(a)



+=


+=+=



=⇒=−−=
==
=→+=
∑
Wh
qQL
Wh
qQLL
x
L
x
Wh
qQL
x
LFxWLFT
h
qQF
h
qQF
L
xxxx
....4
.1
2..4
.
222
....4
.
2
0
2
.
2
.
...4
.
;
...4
2.
2
222
22221
2221
121
εππε
επ
επεπ
22
(b)
W
Qqh
h
QqW
FFWWFFF
...4
..3
...4
..3
0
2
2121
επεπ
=→=
+=⇒=−+=∑
2.3) Duas pequenas esferas condutoras de massa m
suspensas por fios de seda de comprimento L possuem uma
carga q. Considerando que o ângulo q é tão pequeno que a
tgq possa ser substituída por senq: Mostre que para esta
aproximação temos:
312
....2
.




=
gm
Lq
x
επ
Fonte:[5]
Sol:
2
2
....4 xmg
q
mg
F
tg
επ
θ == ; L
x
2
sen =θ
mas q muito pequeno L
x
tg
2
sen =≅ θθ
2
2
....4 xmg
q
επ L
x
2
=
312
...2 



=⇒
gm
Lq
x
επ
2.4) Duas partículas cada uma de massa m e com carga q,
estão suspensas de um ponto comum, por cordas de com-
primento l. Determine o ângulo q que cada corda forma
com a vertical. {Fonte:[7]}
23
Sol:
2
2
...4 x
qF
επ
=
temos:
2
2
....4
sen
xT
q
T
F
επ
θ == ; T
mg
=θcos ; 2
2
....4 xmg
q
mg
F
tg
επ
θ ==
2
2
2
2
33
2
2
23
2
3
.....16
.
.....2
......4
cos.
1
lgm
q
ql
lxgm
xgm
q
tg
tg
tg
επ
επ
επ
θθ
θ
θ
=
=







==
+
2.5) Uma certa carga Q deve ser dividida em duas: (Q-q) e q.
Qual é a relação entre Q e q para que a repulsão seja máxi-
ma? {Fonte:[5]}
Sol:
qQ
qQ
r
qQ
dq
dF
r
qQq
r
qQqF
2
020
.4
)2(0
.4
)()(
4
1
2
2
2
2
=
=−⇒=
−
⇒=
−
=
−
=
πε
πεπε
24
2.6) Mostre que as placas de um capacitor de placas parale-
las se atraem com uma força dada por 
A
qF
.2
2
ε
= .
Prove o que foi dito, calculando o trabalho necessário para
aumentar a separação entre as placas de x para x+dx, a car-
ga q permanecendo constante. {Fonte:[5]}
Sol:
Para o capacitor de placas paralelas, aplicando a lei de Gauss,
temos:
A
qEqAEqsdE
.
..
εεε
=⇒=⇒=∫ ��
A
qq
A
dq
A
qFdqEdF
qq
.22.
1
.
.
2
0
2
0 εεε
=

==⇒= ∫�
2.7)Em um trabalho que foi escrito em 1911, Ernest
Rutherford disse: “Para se ter alguma idéia das forças ne-
cessárias para desviar uma partícula a através de um gran-
de ângulo, considere um átomo contendo uma carga pon-
tual Ze no seu centro e envolvida por uma distribuição de
carga negativa, -Ze, uniformemente distribuída dentro de
uma esfera de raio R.” O campo elétrico E num ponto den-
tro do átomo, a uma distância r do seu centro, é



−= 32
11
.4 Rr
ZeE
πε
Verifique esta equação {Fonte:[5]}
q


25
Sol:
para r>R,
2
332
2
...4
'
3
.4
3
.4
'
...4
'
..4.'.'.
r
qE
qq
r
q
r
q
r
qE
q
rEqsdEqsdE
επ
ππ
ρ
επ
ε
π
εε
=
=
==⇒=
=⇒=⇒=
+
∫∫ ����
para r<R,
3
3
3
332
2
...4
.
.'
3
.4
3
.4
'
...4
'
'
..4.'.'.
R
rqE
R
rqq
R
q
r
q
r
qE
q
rEqsdEqsdE
επ
ππ
ρ
επ
ε
π
εε
=
=⇒
==⇒=
=⇒=⇒=
−∫∫ ����



−=+=
−+ 32
1
4 R
r
r
qEEE
πε
26
2.8) Duas cargas puntiformes, -q e +q/2, estão situadas na
origem e no ponto (a,0,0), respectivamente. Em que ponto,
ao longo do eixo x, o campo elétrico se anula? {Fonte:[5]}
 Sol:




−
−+−
=



−
+
−
= 22
22
22 )(2
24
.
..4)(2..4
1
axx
aaxxq
ax
q
x
qE
επεπ
o campo elétrico se anula em 0=E
222
2
8164
0.2..4
024
22
22
22
±=−±=⇒
=+−
=−+−⇒
a
aaa
x
axax
aaxx
)12(2 +=→ ax , satisfaz
)12(2 −=→ ax , não satisfaz (não utilizar)
( )
12
2
12
122
)12(
)12().12(2
2
−
=→
−



−
=
−
−
+=→
a
a
x
a
ax
27
2.9) Usando a Lei de Gauss, determine a carga elétrica total
dentro de um volume cúbico de 2m de lado situado no
octante positivo com três arestas coincidentes com os eixos
x,y e z e um vértice na origem, sendo o vetor densidade de
fluxo elétrico D dado por:
(a) 2^ 2xxD =
�
(b) zyxxD ..
^
=
�
(c) )5()4()3(.
^^^
+++++= zzyyxxD
�
(d) 333
^
222
^^
...... zyxzzyxyzyxxD ++=
�
Fonte:[1]
Sol:
(a)
∫ ∫ ∫∫∫∫ =⇒=∇= 20 20 20 32...4)..( CQdzdydxxdvDQ
R
��
(b)
∫ ∫ ∫∫∫∫ =⇒=∇= 20 20 20 8....)..( CQdzdydxzxydvDQ
R
��
(c)
∫ ∫ ∫∫∫∫ =⇒++=∇= 20 20 20 24..).111()..( CQdzdydxdvDQ
R
��
(d)
CQ
dzdydxyxzyxyzdvDQ
R
44,164
...)...3..2()..( 2
0
2
0
2
0
3322
=⇒
++=∇= ∫ ∫ ∫∫∫∫ ��
28
2.10) Carrega-se uniformemente um cilindro infinitamente
longo de raio R
(a) Mostre que E a uma distância r do eixo do cilindro (r<R)
é dado por 
ε
ρ
.2
.rE = ,
onde ρ é a densidade volumétrica de carga.
(b) Que resultado poderíamos esperar para r>R?
{Fonte:[5]}
Sol:
(a)
para r<R,
ε
ρ
πρπε
ρε
.2
.
.....2..
...
22
r
L
E
LrrE
dvqsdE
=
=
==∫ ∫∫∫��
(b)
para r>R,
r
R
L
E
LRrE
dvqsdE
..2
.
.....2..
...
2
22
ε
ρ
πρπε
ρε
=
=
==∫ ∫∫∫��
29
2.11) Se zzyyxxE
^^^
++=
�
, achar o fluxo elétrico sobre uma
esfera de raio R.
Fonte:[1]
Sol:
zzyyxxE
^^^
++=
�
RzyxE =++= 222
�
;
=E
�
^
.rE
� ^
2
...sen. rddRsd φθθ=� ;
3
2
0
2
0
...4
..sen.....
R
ddRRsdE
e
e
επψ
φθθεεψ π π
=
== ∫ ∫ ∫��
2.12) Uma distribuição de potencial dada por V=3y1/2 V.
Qual a expressão de E? Qual é o seu valor vetorial (módulo,
direção e sentido) nos pontos (0;0),(4;0) 3 (0,4) ? {Fonte:[1]}
Sol:
^^
2/1
2
3
2
13 y
y
yyVEEV −=−=∇−=⇒−=∇ −
����
mVE /)0;0( ∞= ; mVE /)0;4( ∞= ; mVyE /75,0)4;0(
^
−=
2.13) Uma distribuição de potencial é dada por :
xyV 127 2 += V. Qual é a expressão de E
�
. Qual é o seu
valor (módulo, direção e sentido) nos pontos (0,0); (5,0); (0,3)
e (5,3)? {Fonte:[1]}
30
Sol:
xyV 127 2 += ;
^^^^
1412 yyxy
y
V
x
x
VVEEV −−=



∂
∂
+
∂
∂
−=∇−=⇒−=∇
����
^^
1412 yyxE −−=
�
V/m
em (0,0) em (0,3)
^
12)0,0( xE −=
�
V/m 
^^
4212)3,0( yxE −−=
�
 V/m
em(5,0) em(5,3)
^
12)0,5( xE −=
�
V/m 
^^
4212)3,5( yxE −−=
�
V/m
2.14) Duas bolas dielétricas de pequeno diâmetro 10g podem
deslizar livremente numa linha plástica vertical. Cada bola
tem uma carga de 1µC.
(a) Achar a distância entre elas, se a bola inferior é impedida
de se mover
(b) Qual é o momento do dipolo
Fonte:[1]
Sol:
Dados: m=10g; g=9,81m/s2; q=1µC
Sabe-se que: ε0=8,85pF/m
31
(a)
ymgW
y
qV
VqW
.
.4
.
=
=
=
πε
gm
qyygm
y
qq
..2
..
.4 πεπε
=⇒=
(b)
00.10. 6 == −lQ
2.15) Uma distribuição de potencial é dada por:
θsen.. 21rkV = . Achar E
�
.
Fonte:[1]
Sol:
θsen.. 21rkV = ; θsen.. rkV =⇒ ; θ
θ
∂
∂
−
∂
∂
−=
V
rr
V
rE .1.
^^�
;
θsen
2 r
k
r
V
=
∂
∂
; θθ
cos.. rkV =
∂
∂
;
θθθ cos...1.sen.
2
^^
rk
rr
k
rE −−=
�








−−=⇒
−−=⇒
θθθ
θθθ
cos.
2
sen..
cos...
1
.sen.
2
^
^
^^
r
r
rkE
rk
rr
rk
rE
�
�
;
my 303,0=⇒








−−=⇒ θθθ cos.
2
sen.. ^
^
r
r
rkE
�
32
2 Referências para estudo da teoria
2 Referência para estudo da teoria:
KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo
 Editora Guanabara Dois, 1978
⇒ capítulo 2 (dois)
KRAUS, John D. Eletromagnetics
 McGraw-Hill International Editions , 1991
⇒ capítulo 2 (dois)
33
CAPÍTULO 3
CAMPO ELETROSTÁTICO - PARTE 2
3.1) Um capacitor foi construído para operar com uma
capacitância constante, em meio a uma temperatura
oscilante. O capacitor é do tipo placas paralelas com
separadores de plástico para alinhar as placas.
(a) Mostre que a razão da mudança da capacitância C com
a temperatura T é dada por 


−=
dT
dx
xdT
dA
A
C
dT
dC 11
onde A é a área da placa e x é a distância entre as placas.
(b) Se as placas fossem de alumínio, qual deveria ser o
coeficiente de expansão térmica dos separadores para
que a capacitância não variasse com a temperatura?
(Ignore o efeito dos separadores sobre a capacitância)
{Fonte:[5]}
34
Sol:
Letra (a)



−=−=
=→
−=
−
=
−
=
=
dT
dx
xdT
dA
A
C
dT
dx
x
C
dT
dA
A
C
dT
dC
x
A
x
C
x
AC
dT
dx
x
A
dT
dA
xx
dT
dxA
dT
dA
x
x
dT
xdAx
dT
Ad
dT
dC
x
AC
11
..
.
.
).(
.
).(
.
2
222
εε
εεεε
εε
ε
Letra (b)
0110 =


−→=
dT
dx
xdT
dA
A
C
dT
dC
, mas 0≠C , logo:
dT
dx
x
A
dT
dA
dT
dx
xdT
dA
A
=→=


− 011 , mas 
x
AC
x
AC =→=
ε
ε .
,
logo:
como 0.εεε r= , e rε do alumínio é grande,então dT
dA
 diminui
3.2) Um capacitor tem placas quadradas de lados iguais a,
que fazem entre si um ângulo. Mostre que para pequenos
valores de, a capacitância é dada por:
35



−=
d
a
d
aC
2
1
2
0 θε
Sugestão: O capacitor pode ser dividido em tiras muito finas
que estão efetivamente em paralelo. {Fonte:[5]}
Sol:
2aA = ; dy
dAdC
+
=
0ε
; dradA .=
θsen.ry = , para pequenos valores de θ, temos θ.ry ≈ :
( ) [ ]ddaadra
rd
dr
aC
aa
ln)ln(.ln.
.
0
0
0
00
−+=


+=
+
= ∫ θθεθθεθε


 +
=
d
daaC θ
θ
ε ln.0



+=
d
aaC θ
θ
ε 1ln0 ; obs.:→ ( ) ...2
11ln 2 +−=+ xxx , isto é,
expandindo em série de potência a função )1ln( x+ , assim
temos:
...
2
11ln
2
+


−=


+
d
a
d
a
d
a θθθ
,
para pequenos valores deθ , temos que:



−≈


+→


−≈


+
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a θθθθθθ 11ln
2
11ln
2
36



−=→
=



−=

 


−=→
d
a
d
AC
aA
d
a
d
a
d
a
d
aaC
2
1
2
1
2
1
0
2
2
00
θε
θεθθ
θ
ε
3.3) Uma barra isolante “semi-infinita” possui uma carga
por unidade de comprimento, de valor ρL. Mostre que o
campo elétrico, no ponto P, forma um ângulo de 450 com a
barra e que este resultado é independente da distância R.
Fonte:[5]
Sol:
Fig. Prob. 3-3
Fonte:[5]
37
yx dEdEdE +=
( ) ( )∫∫
∞∞
+
=
+
=⇒=
0 220 22
...4
sen..
sen.
...4
sen.
xR
dx
xR
dqEdEdE Lx επ
θρθ
επ
θ
chamando θθθ dRdxtgRx .sec. 2=→=
0→x 0→θ
∞→x 2/πθ →
( ) R
d
tgRR
dRE LLx
sec....4
sen..sec.
....4
sen..sec.. 2/
0 22
22/0 222
2
θεπ
θθθρ
θεπ
θθθρ ππ
==
+
= ∫∫
( )
RR
LL
...4
cos
...4
2/
0 επ
ρθ
επ
ρ π
=−=
( ) ( )∫∫
∞∞
+
=
+
=⇒=
0 220 22
...4
cos..
cos.
...4
cos.
xR
dx
xR
dqEdEdE Ly επ
θρθ
επ
θ
chamando θθθ dRdxtgRx .sec. 2=→=
0→x 0→θ
∞→x 2/πθ →
( ) R
d
tgRR
dRE LLy
sec....4
cos..sec.
....4
cos..sec.. 2/
0 22
22/
0 222
2
θεπ
θθθρ
θεπ
θθθρ ππ
==
+
= ∫∫
( )
RR
LL
...4
sen
...4
2/
0 επ
ρθ
επ
ρ π
==
1
...4
...4
===
R
R
E
E
tg
L
L
y
x
επ
ρ
επ
ρ
θ
 [ ] 411
1 πθθ ==→= −tgtg
38
4
πθ =tg rad, ou 045=θtg
3.4) Uma barra isolante, de comprimento L, tem uma carga
–q distribuída uniformemente ao longo de sua extensão,
como mostra a figura.
(a) Qual é a densidade linear de carga da barra?
(b) Qual é o campo elétrico no ponto P a uma distância “a”
da extremidade da barra?
(c) Se P estivesse muito longe da barra em comparação com
L, ela se comportaria como uma carga pontual? Mostre
que a sua resposta, para o item (b) reduz-se ao campo
elétrico de uma carga pontual, para a>l.
Fonte:[5]
Fig. Prob. 3-4.
Fonte:[5]
Sol:
Letra (a)
L
qLqdldqdldq LL
L
L
q
L =→=→=→= ∫∫ ρρρρ ... 00
Letra (b)


+
−=
+
==→= ∫∫ LLLLL alal dlrdqErdqdE 00 20 22 1..4)(..4....4...4 επρεπρεπεπ q 

39
)(...4
.
aLa
LE L
+
=⇒
επ
ρ
, mas Lq L.ρ= , logo:
).(...4 aLa
qE
+
=→
επ
Letra (c)
Para a>l, implica que l→0 vamos aplicar isto como limite
em ).(...4 aLa
qE
+
=
επ
=→ EL 0lim =+→ ).(...4lim 0 aLa
q
L
επ 2....4 a
q
επ
então 2
....4 a
qE
επ
= , para La >> ; logo reduz-se ao campo
elétrico de uma carga pontual
3.5) Uma barra de vidro fino é encurvada num semicírculo
de raio R. Uma carga +q está distribuída uniformemente ao
longo da metade superior, e uma carga –q, distribuída
uniformemente ao longo da metade inferior, como mostra
a figura. Determine o campo elétrico no ponto P que está
no centro do semicírculo.
Fonte:[5]
Fig. Prob. 3-5
Fonte:[5]
40
Sol:
2
...4
cos
cos
r
dldEdE Ly
επ
θρθ ==
∫∫ == 22 .cos.
..4
cos.
..4 R
dR
R
dlE LLy
θθ
επ
ρθ
επ
ρ
( ( )
R
E
RR
d
R
E
L
y
LLL
y
...2
2
...4
sen
...4
.cos
...4
2/
2/3
2/
2/3
επ
ρ
επ
ρθ
επ
ρθθ
επ
ρ π
π
π
π
=
=== ∫
temos que R
q
l
q
L
.π
ρ ==→
22
...2 R
qEy
επ
=⇒
3.6)
(a) Um disco circular de raio R tem uma densidade
superficial uniforme de carga ρS. Determine o campo
elétrico de um ponto sobre o eixo do disco a uma
distância z do plano de disco.
(b) Um cilindro reto, de raio R e altura L, está orientado ao
longo do eixo z. Possui uma densidade volumétrica de
carga ( ) zz .0 βρρ += , em relação a uma origem no
centro do cilindro. Determine a força sobre uma carga
q situada no centro do cilindro. {Fonte:[7]}
41
Sol:
Letra (a)
( ) ( )
( ) 



+
−=−==
+
=
+
==
∫
∫∫∫
220
0 220 222
1
2
cos1
.2
.sen
2
cos..
.2...4
cos.....2
.4
cos.
Rz
zdE
az
daa
az
daa
r
dqE
SSS
RSR S
ε
ρθ
ε
ρθθ
ε
ρ
θ
ε
ρ
επ
θρπ
πε
θ
θ
Obs.: Utilizamos as relações abaixo:
22
sen
Rz
a
+
=θ ; 22cos Rz
z
+
=θ ;
z
a
tg =θ
θ
θθθ
2222
2
sec
.sec
zaz
dzdaztga
=+
=⇒=
e aplicando técnicas de resoluções de integrais trigonomé-
tricas temos que:
( ) ∫∫ ==+ θ θ θθθθθ 0 22
2
0 22 sec.
cos..sec...cos..
z
dsztgz
az
daaR
∫ ∫== θ θ θθθθθ0 0 .sen.cos. ddtg
( ) ∫∫ =+⇒ θ θθθ 00 22 .sencos.. dazdaaR
42
Letra (b)




+
−=
22
1
2 Rz
zE S
ε
ρ
; 



+
−=⇒
22
1
.2 Rz
zddE S
ε
ρ
A
q
S =ρ ; zR
zR
A
VVq
V
q
S .
.
...
. 2
2
ρ
π
ρπρρρρ ===⇒=→=
dzd S .ρρ =⇒




+
−=⇒
22
1
.2
.
Rz
zdzdE
ε
ρ
; ( ) zz .0 βρρ +=
( )




+
−
+
=⇒
22
0 1
.2
..
Rz
zdzzdE
ε
βρ
( ) dz
Rz
zzE 



+
−
+
=⇒ ∫ 220 1
.2
..
ε
βρ



+
−+
+
−= ∫ ∫ ∫∫ 2/0 2/0 2/0 22
2
22
02/
0 0
..
..
.2
1 l l ll
Rz
dzzdzz
Rz
zdzdzE ββρρ
ε
22
22
. Rz
Rz
dzz
+=
+
∫
∫
+ 22
2
.
Rz
dzz
, vamos fazer substituições trigonométricas
(z=R.tgθ);e chegamos em:
R
z
R
RzRRzz
Rz
dzz
+
+
−
+
=
+
∫ 2222222
2
ln
22
.
43
fazendo 00 =ρ ; implica em:




++−



+−= 2
2
22
2
.4
1
.2
ln.
422.2 R
l
R
lRRlllE
ε
β








++−+−+++−=
R
l
R
lRRlllRRllE
.2
1
.4
ln
2448
..
4
.
2
.1
2
22
2
22
0
2
2
0
0 ββρρρ
ε
3.7) O potencial para um ponto axial de um disco carregado
é ( )zRzV S −+= 222ερ
Mostre que E para pontos axiais é dado por




+
−=
22
1
2 Rz
zE S
ε
ρ
{Fonte:[5]}
Sol:
( )




−
+
−=



−+
∂
∂
−=
∂
∂
−=∇−=
1
2
.2
2
.2
22
22
Rz
zE
zRz
zz
VVE
S
S
ε
ρ
ε
ρ��




+
−=
22
1
.2 Rz
zE S
ε
ρ
44
3.8) Uma carga q está distribuída uniformemente num anel
quadrado de lado l. Determinar E e V no centro do anel.
{Fonte:[1]}
Sol:
Fig. Prob. 3-8a
∫= rdqV επ ..4 1 , da figura acima vemos que pelo teorema
de Pitágoras temos:
2
2
2



+=
l
xr
=



+
=



+
=⇒
−
∫∫ 2
2
2
2
2
2
2
..4
2
..
..4
1 l
l
l
x
dx
l
x
dxV
επ
λλ
επ
45












++=
+
−
2
2
2
2
2
ln
..4
l
l
l
xx
επ
λ


 


+−−


+=⇒ 2
22
ln2
22
ln
..4
llllV
επ
λ
=



+−
+
=
















+−
+
=⇒
21
21ln
..42
22
2
22ln
..4 επ
λ
επ
λ
ll
ll
V




−
+
=

12
12ln.
..4 επ
λ
l
q
=→ λ
; 





−
+
=⇒
12
12ln.
...4 l
qV
επ
Como o campo elétrico é um vetor observamos que no cen-
tro do quadrado ele se anula devido à simetria da figura
46
Fig. Prob. 3-8b
3.9) Distribuímos sobre uma barra fina uma carga por unidade
de comprimento dada por ρL=kx, k é uma constante. A barra
tem um comprimento L contido no eixo dos x com uma de
suas extremidades na origem (x=0), conforme indica a figura.
(a) considerando o potencial no infinito igual a zero, calcu-
le o valor de V no ponto P sobre o eixo dos y
(b) Determine o componente vertical Ey, da intensidade do
campo elétrico
(c) Porque não podemos calcular o componente horizon-
tal (Ex) do campo elétrico em P usando o resultado do
item (a)? {Fonte:[5]}
 
Fig. Prob. 3-9
{Fonte:[5]}
47
Sol:
22 yxr += ; dxxkdxdq L ... == ρ
Letra (a)
[ ]LLL yxk
yx
dxxk
yx
dqV 0
22
0 220 22
..4
.
..4
...4
+=
+
=
+
= ∫∫ επεπεπ
( )yyLkV −+= 22
..4 επ
Letra (b)
( )




+
−=




−
+
−=


−+
∂
∂
−=
∂
∂
−=
22
22
22
1
..4
1
2
.2
..4..4
yL
ykE
yL
ykyyLk
yy
VE
y
y
επ
επεπ
�
�
Letra (c)
Porque o cálculo foi feito em função de y, não aparecendo a
variável x, observe que teríamos assim:
x
VEx ∂
∂
−=
�
, como V é função de y , temos: 0
)(
=
∂
∂
−=
x
yVEx
�
3.10) Seja ρLa carga por unidade de comprimento distribu-
ída uniformemente ao longo de um segmento de reta de
comprimento L.
48
(a) Determine o potencial (escolhido como sendo zero no
infinito) num ponto P, afastado por uma distância y de
uma das extremidades do segmento carregado e situa-
do sobre seu prolongamento (Veja figura).
(b) Use o resultado do item (a) para calcular o componente
do campo elétrico em P na direção y (ao longo do seg-
mento de reta).
(c) Determine o componente do campo elétrico em P numa
direção perpendicular ao segmento de reta. {Fonte:[5]}
Fig. Prob. 3-10
{Fonte:[5]}
Sol:
Letra (a)
=
+
==→= ∫∫ yl dlrdqVrdqdV LLL )(..4....4...4 00 επρεπεπ
( )[ ] 

 +
=−+=
L
yLyyLV LL ln
..4
lnln
..4 επ
ρ
επ
ρ
( )( += yl LL ln
..4 0επ
ρ
49
Letra (b)
).(...4
.1
..4
ln
..4
.
2 yLy
L
y
L
y
yLE
y
yL
LL
VE
LL
L
+
=








−
+
−=










 +
∂
∂
−=
∂
∂
−=
επ
ρ
επ
ρ
επ
ρ�
Letra (c)
090cos. 0 == EEx
��
31 Referências para estudo da teoria
3 Referência para estudo da teoria:
KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo
 Editora Guanabara Dois, 1978.
⇒ capítulo 3 (três)
KRAUS, John D. Eletromagnetics
 McGraw-Hill International Editions, 1991
⇒ capítulo 4 (quatro)
50
51
CAPÍTULO 4
CORRENTE ELÉTRICA ESTACIONÁRIA
4.1) Se 
^
3yzxJ =
�
 2/ mA , ache a corrente I através de um
quadrado de 2m de lado com um dos vértices na origem e
outros em )0,2,0( ; )2,0,0( e )2,2,0(
Fonte:[1]
Sol:
∫∫ ∫ ∫∫∫ ===
2
0
2
0
^^
..3..3. dzdyyzdzdyxyzxsdJI �
�
AI 12=⇒
4.2) Um resistor tem a forma de um tronco de cone circular
reto, como é mostrado na figura. Os raios das bases são a e
b, e a altura é L. Se a inclinação for suficientemente pequena,
podemos supor que a densidade de corrente seja uniforme
através de qualquer seção transversal.
(a) Calcule a resistência deste sistema
52
Fig. Prob. 4-2
{Fonte:[5]}
(b)Mostre que o resultado de (a) se reduz a A
Lρ , quando
ba =
{Fonte:[5]}
Sol:
(a)
2y
dldR
π
ρ= ; θθ sen.)()(sen layl
ay
=−→
−
= , mas para
pequenos valores de θ, temos que:
θ.)( lay ≈−
53
θ
θ dydldldy =→= .
θπ
ρ dy
y
dR .
.
2=
2
. y
dydR
θπ
ρ
=


 −
=→

−== ∫ ababRyydyR
b
a
b
a πθ
ρ
πθ
ρ
πθ
ρ 1
2 ; θlay =−
pra by = , temos:
θ
θ abLLab −=→=−
logo: 
ab
L
ab
abR
π
ρ
θπ
ρ .1
=

 −
=
(b)
fazendo-se ba = , A
L
b
L
bb
LR .
...
.
2
ρ
π
ρ
π
ρ
===
4.3) Uma arruela lisa de espessura t tem raio interno r e raio
externo r2. Sendo a condutividade σ , determine a resistência
(a) Entre as bordas interna e externa
(b) Entre as superfícies planas, e
(c) Ao longo da arruela (idêntica a resistência entre as
bordas de um corte de espessura infinitesimal na direção
radial).
Fonte:[1]
54
Sol:
(a)
1
2ln
.
1.
.
1
....2.
.2
.
2
1 r
r
tr
rd
t
R
tr
dr
tr
dr
A
dldR
r
r σσσπσ
π
σ
==⇒=== ∫
(b)
( )21222 2
12
2...2.. rr
t
r
tR
drr
t
A
tdR
r
r
−
==⇒==
σπ
πσ
πσσ
(c)
1
2ln..
2
.
2
..
..2
2
1 r
r
t
r
dr
t
R
drt
rdR
r
r
σ
π
σ
π
σ
π
==⇒=
∫
4.4) Um longo fio de cobre de raio r é esticado paralelamente
a uma placa infinita de cobre e a uma distância h desta. A
região que está acima da placa e circundando o fio é
preenchida com um meio de condutividade σ . Demonstre
que a resistência elétrica entre os dois eletrodos de cobre,
por unidade de comprimento do fio, é dada por
r
hlR 1cosh
2
−
=
πσ
Fonte:[7]
Sol:
lr
dx
A
dxdR
....2.. πσσ
==
55
 mas 22 rxl −= , logo: { rxl hxl →⇒→ →⇒∞→0
[ ]
r
h
rr
h
r
R 1cosh
...2
11coshcosh
...2
1
−
=


−=
σπσπ
r
h
r
R 1cosh
...2
1
−
=⇒
σπ
 (Ω)
4.5) Em geral, cargas superficiais estão presentes na fronteira
entre 2 condutores (condutividades 1σ e 2σ , e permissivida-
de 1ε e 2ε , respectivamente) por onde flui uma corrente.
Mostre que a densidade superficial de carga Sρ é dada por




−=
2
2
1
1
σ
ε
σ
ερ nS J
{Fonte:[1]}
Sol:
Em uma fronteira entre 2 condutores temos que:
nnn JJJ == 21
Para campos eletrostáticos, temos que:


=
−
=⇒
−
=
−∫ hrhr rxrrx
dx
r
R
rxr
dxdR 1
2222
cosh
...2
1
....2
1
....2 σπσπσπ
q


56
Componente Relação de Fronteira Condição
do campo
Tangencial
21 tt
EE = (1) 2 meios quaisquer
Normal Snn DD ρ=− 21 (2) 2 meios quaisquer
com carga na fronteira
Para campos eletrostáticos não se tem uma situação
específica para 2 meios condutores, então:
212121
.. 21 nnnnSSnn EEDDDD εερρ −=−=⇒=−
σ
σ
JEEJ
�
���
=⇒= . ,
logo 
2
2
1
1 21
..
σ
ε
σ
ε
ρ nnS
JJ
−= ; mas nnn JJJ == 21 , então




−=−=
2
2
1
1
2
2
1
1 ..
σ
ε
σ
ε
σ
ε
σ
ερ nnnS J
JJ
4.6) A lei da conservação de carga, que relaciona a densidade
volumétrica em qualquer ponto no espaço com a densidade
de corrente nas vizinhanças desse ponto, é dada por
0. =∇+
∂
∂ J
t
��ρ
.
Como você justifica a relação acima? Explique? (fisicamente)
porque a soma é igual a zero.
57
Sol:
⇒=∇+
∂
∂ 0.J
t
��ρ 0).( =∇+
∂
∂ ∫∫ dVJdVt VV
��ρ
Aplicando o teorema da Divergência, temos:
∫∫ =∇
SV
sdJdVJ �
���
.).(
∫ ∫ =+∂∂⇒ V S sdJdVt 0.
�
�
ρ fluxo da densidade de corrente
sobre a superfície S que envolve o volume V
Se ∫ >
S
sdJ 0. �
�
 existe fluxo líquido de carga para fora 0<∂
∂
t
q
,
ou seja diminui a densidade de carga da região.
Se ∫ <
S
sdJ 0. �
�
 existe fluxo líquido de carga para dentro
0>
∂
∂
t
q
, ou seja aumenta a densidade de carga da região.
A soma deve ser igual a zero para que uma compense a
outra, ou seja,
∫ ∫−=∂∂⇒ V S sdJdVt
�
�
.ρ ,
daí vem a lei dos nós para os casos dos circuitos a parâmetros
concentrados, uma particularidade da teoria de campos “
O somatório das correntes que entram num nó é igual ao
somatório das correntes que saem”.
58
4.7) Em que situação a equação da continuidade 
t
J
∂
∂
−=∇ ρ
��
.
passa a ser escrita como 0. =∇ J
��
? Justifique.
Sol:
tecons
t
tan0 =⇒=
∂
∂
⇒ ρρ ,
ou seja, se a densidade volumétrica de carga não varia, a
carga não varia, logo não existe corrente I →J também não
existe pois:
∫∫=
S
sdJI �
�
Observe que 


∂
∂
=


∂
∂
=
∂
∂
⇒
t
q
dV
d
dV
dq
tt
ρ
, o que implica
que se varia a densidade volumétrica de carga ρ , varia a
carga q .
4 Referências para estudo da teoria
4 Referência para estudo da teoria:
KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo
 Editora Guanabara Dois, 1978.
⇒ capítulo 4 (quatro)
KRAUS, John D. Eletromagnetics
 McGraw-Hill International Editions, 1991
⇒ capítulo 5 (cinco)
59
CAPÍTULO 5
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
CAMPO MAGNETOSTÁTICO DE
CORRENTES ELÉTRICAS ESTACIONÁRIAS
5.1) Dois condutores retos, longos e paralelos conduzem
10A. Se os condutores estiverem separados de 20mm um
do outro, qual é a força por metro de comprimento sobre
um condutor, se as correntes fluírem (a) em sentidos opostos
e (b) no mesmo sentido? {Fonte:[1]}
Sol:
R
II
l
F
R
IIF
..2
'
..2
'.. 00
π
µ
π
µ
=⇒=⇒
Dados:
mmR
F
AI
20
?
10
=
=
=
mmN
l
F /100=⇒
a) Sentido oposto (repulsiva); b)mesmo sentido (atrativa).
60
5.2) Um condutor reto e longo com uma corrente de 10A
coincide com o eixo-z. A corrente flui no sentido positivo de z.
Se 43
^^
yxB +=
�
 (T), ache o vetor força F
�
 por comprimento
do condutor. {Fonte:[1]}
Sol:
Fig.Prob. 5-2
^
10 zI =
�
43
^^
yxB +=
�
^^^^
^^^
30404030
)43()10()()(
yxxy
dl
Fd
yxxzBxI
dl
FddlBxIFd
+−=−=
+==⇒=
�
��
�
���
^^
3040 yx
dl
Fd
+−=
�
(N/m)
61
5.3) (a) Se ( ) ( )2.sen.2.sen6^ yxzB ππ=� (T); ache o fluxo
magnético total sobre uma área quadrada com 2m de lado,
com as bordas coincidindo com os eixos positivos x e y e
um canto na origem.
(b) Se 


= rkzB .
^�
 (T), qual é o fluxo magnético através de
um circulo de raio 0r ? {Fonte:[1]}
Sol:
Fig. Prob. 5-3a
Letra (a)
2
0
2
0
2
0
2
0
^^
)2/.sen(.)2/.sen(.6
.).2/.sen()2/.sen(6
)2/.sen()2/.sen(6.
ππψ
ππψ
ππψ








=
=
==
∫∫
∫ ∫
∫∫ ∫∫
dyydxx
dydxyx
dszyxzsdB
m
m
A R
m
�
�
62
2
0
2
0
6)2/.cos(.2.)2/.cos(.2.6 π
π
π
π
ψ =

 −

 −
= yxm
2
96)2(2).2(26
πππ
==
2
96
π
ψ =m (Wb) ou 73,9≅mψ (Wb)
Letra (b)
Fig. Prob. 5-3b
∫∫=
A
m sdB
�
�
.ψ ; 0
2
0
00
^
0
^
...... rkr
r
kds
r
kdsz
r
k
zsdB
A
m ππψ ===== ∫∫∫∫∫∫ ��
5.4) Se 
^
. zBB =
�
(T), qual é o fluxo magnético através de uma
elipse ?
Onde : 
axialrazãoa
b
e
...
1
==
b = semi-eixo menor
a = semi-eixo maior
focoaoelipsedacentrododistânciaar ...................−=
63
obs.: considere densidade de campo magnético B uniforme
sobre a superfície.
Sol:
Fonte: [15]
∫∫∫∫∫∫∫∫ ==== θρψ ddJBdydxBdsBsdBm ... ��
ρθρθρ
θρ
θρ
ρ
ρ
θ
θ
abababJ
by
ax
x
y
x
y
−=−−==
=
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
22 cossen
sen..
cos.
θ
ρ
θρ
θ
cos
sen
a
x
a
x
=
∂
∂
−=
∂
∂
θ
ρ
θρ
θ
sen
cos
by
by
=
∂
∂
=
∂
∂
64
ππψ
θρψ
θρρψ
θρρψ
π
π
....2.
2
1
...
.
2
...
.....
..
.2
0
1
0
1
0
.2
0
baBbaB
baB
ddbaB
ddabB
m
m
m
m
==
=
=
=
∫ ∫
∫∫
5.5) Mostre que um condutor com corrente I e comprimento l
situado no eixo-z entre os pontos z1 e z2 tem uma densidade de
fluxo B
�
 para uma distância R (para todo ânguloξ ) dada por




+
−
+
=
2
1
2
1
2
2
2
20
..4
.
zR
z
zR
z
R
IB
π
µ
(T)
Observe que se o centro do condutor é simétrico com a
origem ( 21 zz =− ) e se lR >> , 2
0
..4
..
R
lIB
π
µ
= .{Fonte:[1]}
Sol:
Vamos primeiro determinar a densidade de fluxo B
�
, num
ponto P, distante z do eixo de um círculo de raio R,
determina-se o campo num ponto P ao longo do eixo do
anel; depois varre-se de um ponto P1, distante z1, até um
ponto P2, distante z2.
65
Fig. Prob. 5-5
{Fonte:[1]}
Temos que B
�
 é dado por 2
0
..4
sen.
r
IdlBd
π
θµ
=
�
A componente na direção do eixo-z é dada por
r
RdBdBdBz == ξcos
22
0
.,90
zRr
dRdl
+=
== φθ
2222
0
.)..(.4
..
zR
R
zR
dRIdBz
++
=⇒
π
φµ
φ
π
µ d
zR
IRdBz 2/322
2
0
).(.4
.
+
= , observe que o elemento normal
ndB , se anula pela simetria circular ao longo da variação
deφ de 0 a π.2 , logo:
66
( ) 2/322
2
0
2/322
2
0
2
..
).(.4
..
zR
RI
zR
RIBB z
+
=
+
==
µ
π
µ
, este é o valor de B
�
em um ponto P, qualquer distante z o eixo do círculo.
Vamos agora varrê-lo ao longo do eixo-z, de z1 a z2.
Pela análise dimensional vamos dividir pelo comprimento
l, para que a unidade permaneça em T, e não se modifique
para T/m, então teremos:
dz
zRl
RI
l
dz
zR
RIdB 2/322
2
0
.2/322
2
0
).(.2
.
.)(2
.
+
=
+
=
µµ
.φRddl = ∫= π φ.2
0
dRl Rl ..2π=⇒ ,
logo: 



+
−
+
=
2
1
2
1
2
2
2
20
..4
.
zR
z
zR
z
R
IB
π
µ
para lR >> e zzz ==− 21













+
=



+
=
2
0
22
0
1
2
..4
.2
..4
.
z
RR
I
zR
z
R
IB
π
µ
π
µ




+
−
+
=
+
= ∫ 2
1
22
1
2
2
22
2
2
0
2/322
2
0
2
..
)(2
..
2
1 zRR
z
zRR
z
l
RI
zR
dz
l
RIB
z
z
µµ
67
lz → , para lR >> . Desprezamos o fator de 2, temos:
R
l
R
I
R
z
R
IB .
.4
.
..4
. 0
2
0
π
µ
π
µ
=


→
2
0
.4
..
R
lIB
π
µ
≅
5.6)Um fio de forma parabólica conduz uma corrente I. Ache
a densidade de fluxo magnético B
�
 no foco. {Fonte:[1]}
Fig. Prob. 5-6a
Fonte:[8]
Sol:
1a Sol: (solução aproximada)
68
Fig. Prob. 5-6b
Temos que B
�
 é dado por 2
0
..4
sen.
r
IdlBd
π
θµ
=
�
,
Para elementos infinitesimais, temos:
Fig. Prob. 5-6c
Fonte: [8]
69
Da figura temos: φddrdl .=
2
0
..4
..
r
dIdrBd
π
φµ
=
�
∫ ∫∫ ∫ ===
∞−∞− ππ φ
π
µ
π
φµ
0 2
0
0 2
0
.4
.
.4
..
00
d
r
drI
r
dIdrB
rr
∫∫ =



−=
∞− ππ φ
π
µφ
π
µ
0
0
0
0
0
..4
.1
.4
.
0
d
r
Id
r
I
r
0
0
0
0
.4
.
.
..4
.
r
I
r
IB µπ
π
µ
== , lembrando que 0r é a distância focal,
e I a corrente que circula no fio.
2a Sol: (solução aproximada)
Utilizando a equação (7), página 225, da Referência:
Kraus, John D. Eletromagnetics
McGraw-Hill International Editions, 1991
Temos que: ∫= 2
10
0
..4
.
θ
θ
θ
π
µ d
r
iB ,logo:
⇒== ∫
0
0
0
0
0
0
..4
..
..4
.
r
i
d
r
iB
π
θµ
θ
π
µ
π
π
0
0
0
0
.4
.
.
..4
.
r
iB
r
iB µπ
π
µ
=⇒= ,
lembrando que 0r é a distância focal, e I a corrente que
circula no fio.
70
3a Sol: (solução completa)
φφφφ
φφ
φφ
φ
φ
dtgrrdl
d
d
dr
rdl
tgr
d
dr
rr
2
2
0
2
2
0
2
2
22
0
2
sec
22
sec
2
sec
2
.
2
sec



+


=




+=
=→=
φφ drdl
2
sec30=
0
0
0
0
42
0
3
0
0
2
0
2
0
..4
2
cos..
2
sec...4
..
2
sec)(
2
sec
.
.4
..4
..
2..4
sen...
r
dI
r
dI
r
drIdB
r
dlIdB
r
dlIdB
π
φφµ
φ
π
φµ
φ
φφ
π
µ
π
µπθ
π
θµ
===
=⇒=→=
5.7)(a) Qual é o torque máximo numa bobina quadrada com
200 espiras situadas no campo com densidade de fluxo
uniforme B=4T? A bobina tem 150mm de lado e conduz
uma corrente de 8A.
(b) Qual é o momento magnético da bobina?
Fonte:[1]
( )
0
0
0
0
0
0
00
0
0
0
0
).14,3(
.
.
.
0sen
2
sen
.
.)
2
sen2.(2
..4
.
2
cos.2
..4
.
r
I
r
IB
r
I
r
Id
r
IB
µ
π
µ
π
π
µφ
π
µφφ
π
µ ππ
≅=



−


=== ∫
71
Sol:
4=B [T]
200=N [espiras]
8=I [A]
150=l [mm]
Letra (a)
144..... 2 =⇒== MM TBlINBAINT [Nm]
Letra (b)
36'....' 2 =⇒== mlINAINm [Am2]
5.8)Calcule a indutância de uma bobina toroidal com núcleo
de ar, área da seção transversal de 1000mm2 e raio médio
de 500mm. O toroide tem um rolamento uniforme de 10.000
espiras. {Fonte:[1]}
Sol:
1000=A mm2
500=r mm
N=10000 espiras
mHL
HL
r
AN
l
ANL
40
10.4
..2
.. 2
22
=
=⇒== −
π
µµ
5.9)Um longo condutorreto de raio r carrega uma corrente
I que é coincidente com o eixo z. Encontre o campo
magnético na parte de dentro do condutor.
72
Sol:
Fig. Prob. 5-9
∫∫= sdJI ��.
'. IldH
r
=∫ ��
r
IHIrH
..2
'
'..2.
π
π φφ =⇒=⇒
A densidade de corrente é a mesma em qualquer Rr ≤ ,
pois para 0=→> JRr
�
I
ds
dJ
sdJI
A
=⇒= ∫∫ ��.
2
2
22
.
'
..
'
R
rII
R
I
r
I
=→=
ππ
2
22
..2
.
..2
/.
..2
'
R
rI
r
RrI
r
IH
πππ
φ ===
como φφ HH .
^
=
2
^
..2
.
.
R
rIH
π
φ=⇒
73
5.10) Se 2
^^
2
^
2 xzyzyxxF −+=
�
, ache Fx
��
∇ e o caminho de
Fx
��
∇ {Fonte:[1]}
Sol:
5.11) Calcule a intensidade de campo magnético devido a
um condutor reto e infinitamente longo, percorrido por uma
corrente I ampères, em um ponto afastado r metros do
condutor.
Sol:
IldH =∫ �� . IrH == ..2. πϕ ou
r
IH
..2πϕ
= [A/m]
5.12) Uma espira retangular é colocada no campo do
condutor do problema 5.11 como mostra a figura abaixo.
Qual é o fluxo total enlaçando a espira?
Fonte:[1]
xyyxx
z
zyy
x
xFx
z
y
x
x
zyy
z
x
x
x
x
z
zy
y
xFx
2.2)..2()(
)()..2()()(
.
)..2()(
^^^^2
^2^22^2
+−=
∂
∂
−
∂
∂
=∇




∂
∂
−
∂
∂
+



∂
∂
−
∂
∂
+



∂
∂
+
∂
∂
−=∇
��
��
74
Fig. Prob. 5-12
Fonte:[1]
Sol:
r
IHB
..2
.
.
π
µµ ϕϕ == [T]
∫=
==
2
1.2
..
.2
..
.
r
r
m
m
r
drlI
r
drlIdsBd
π
µψ
π
µψ ϕ
1
2ln
.2
..
r
rlI
m
π
µψ = [Wb]
5.13) Considere o circuito da figura abaixo. Os segmentos
curvos são círculos de raio a e b. Os segmentos retilíneos
estão ao longo dos raios. Ache o campo magnético B
�
 em P,
considerando uma corrente i no circuito.
Fonte:[5]
75
Fig. Prob. 5-13a
Fonte:[5]
Sol:
Temos que: 2
0
..4
sen.
r
dliBd
π
θµ
=
�
As seções he e fg indicadas na figura abaixo não contribuem,
pois 0sen. =θdl , pois 0=θ .
Ao longo do trecho fe, temos:
Fig. Prob. 5-13b
Fonte:[16]
76
a
id
a
i
a
daiB
r
dliB
..4
..
..4
.90sen)...(
.4
.
2
,
sen
.4
.
0
0
0
2
0
0
2
2
0
π
θµθ
π
µθ
π
µ
πθθ
π
µ
θ
=


=


=
=→


=
∫∫
∫
De modo análogo o trecho gh é b
iB
..4
..0
1
π
θµ
= ,
como a>b 21 BB >⇒ . Observe que B1 está apontando para
fora e B2 está para dentro; é só ver o sentido da corrente e
aplicar a regra da mão direita.



−=−=
ab
iBBB 11
.4
..0
21
π
θµ
, como 21 BB > logo está apon-
tando para fora.
5.14) Um segmento retilíneo de fio, de comprimento L,
transporta uma corrente i. Mostre que o campo magnético
B
�
 associado a este segmento, a uma distância R tomada
sobre sua mediatriz, é dada em módulo por
22
0
.4..2
.
RL
L
R
iB
+
=
π
µ
Fonte:[5]
Sol:
77
Fig. Prob. 5-14
Fonte:[16]
2
0
..4
sen...
r
dlidB
π
θµ
= , observe que da figura acima tiramos que:
22
)sen(
Rx
R
r
R
+
==−θπ ,
para 22
.4
.2)sen(
2 RL
RL
x
+
=−→= θπ
22
)cos(
Rx
x
+
−=−θπ ,
para 22
.4
)cos(
2 RL
LL
x
+
=−→= θπ
e da figura
θθπ sen)sen( =− & θθπ cos)cos( −=−
78
22
.4
.2
sen
2 RL
RL
x
+
=→= θ & 22
.4
cos
2 RL
LL
x
+
−=→= θ
( )∫
+
−
+
=
2
2
3
22
0
.4
..
L
L
Rx
dxRiB
π
µ
, por simetria temos que:
( ) ].[2..4
.. 2
0 322
0 ∫+
+
=
L
Rx
dxRiB
π
µ
chamando
( ) ( ) θθ
θθθ
θ
θ
33
3
22
3
22
2
cos.cos.
.cos.cot.
ecRecRRx
decRdxgR
tg
R
x
x
R
tg
==+→
−=→==→=
observe que: 
θθ
πθθ
=→=
=→=→=
''
2
2
'0'cot0
L
x
gx
''
'
2
2
0
33
2
0
cos
2
.
.4
..
cos
.cos.'2
..4
..
ec
d
R
Ri
ecR
decRRiB =−=−=
+∫ ∫ θθπµθ θθπµ
θ
θ
θ
π
2
2
0
.sen
2
.
.4
.. d
R
Ri −
=
+∫ θθπµ
θ
π
( )00
2
0 cos2
..4
.
2
coscos2
..4
.
cos(2
..4
..
R
i
R
i
R
iB =


−=−−=
+
θ
π
µπθ
π
µθ
π
µ θ
π
79
22
0
4..2
.
RL
L
R
iB
+
−=
π
µ
o sinal menos indica o sentido de B, logo o módulo de B, é
dado por 22
0
4..2 RL
L
R
iB
+
=
π
µ
5.15) Ache a densidade de fluxo magnético B no centro de
uma espira quadrada com 2m de lado e com uma corrente
de 3A. {Fonte:[5]}
Sol:
Fig. Prob. 5-15
80
2
2
2



+=
L
xr ; 22
2
2sen



+
=
L
x
L
θ
.
2
2
2
1
.
.4
..
..4
sen...
2
2
2
2
0
2
0













+












 


+
==
L
x
L
L
x
dxI
r
dlIdB
π
µ
π
θµ

















 


+



=
2
3
2
2
0
2
.
.4
2
L
x
dx
LI
dB
π
µ
2
02
2
2
02
0
2
3
2
2
0
22
..
2
8.
.8
..
L
L
L
x
L
xLI
L
x
dxLIB








+

=



 


+
= ∫ πµπµ
L
IB
.
..22 0
π
µ
=⇒ , foi dado que AI 3= e mL 2= , então,
TBTB .7,110.7,1 6 µ=⇒=⇒ −
81
obs.: 1) Sabe-se que mH /10..4 70
−
= πµ
 2) O fator de 8 multiplicando a integral, vem do fato de
dividirmos em 8 segmentos de comprimento 2
L
.
5.16) O fio mostrado na figura abaixo transporta uma
corrente i. Qual é o campo magnético B
�
 no centro C do
semicírculo produzido por: (a) por cada segmento retilíneo
de comprimento L; (b) pelo segmento semicircular de raio
R e (c) pelo fio inteiro? {Fonte:[5]}
Fig. Prob. 5-16a
Fonte:[5]
Sol:
Fig. Prob. 5-16b
Fonte:[16]
82
(a) Campo dos segmentos retilíneos
2
0
1
..4
sen...
r
dlidB
π
θµ
= , 00 1 =→= Bθ
(b) Campo do semicírculo
2
0
2
.4
sen.
R
idldB
π
θµ
= , 090=θ e R é o raio da circunferência;
logo π
π
µθ
π
µθ
π
µ π
.
..4
.
..4
.
.
..4
. 0
0
0
22
0
2 R
id
R
iBdR
R
idB ==⇒= ∫
R
iB
.4
.0
2
µ
=
(c) Campo no fio inteiro
R
i
R
iBBB
.4
.
.4
.0 0021
µµ
=+=+=
5.17) Mostre que a densidade de fluxo magnético no centro de
uma espira de forma circular com uma corrente I é dada por
r
IB
.2
0µ
=
Sol:
drdrdydxdl
r
dlidB
rx
ry
).sen.().sen.(
2..4
sen...
2222
cos.
sen.
2
0
θθθθ
πθ
π
θµ
θ
θ
=+−=+=→

=⇒=
=
=
drdr ..cossen 22 θθθθ =+=
drdydrdx .cos.;.sen. θθθθ =−=
83
r
I
r
I
r
I
r
drIB
.2
.2.
..4
.(
..4..4
.. 00
.2
0
0.2
0 2
0 µπ
π
µθ
π
µ
π
θµ ππ
==== ∫
5.18) Mostre que a densidade de fluxo magnético no centro
do eixo das coordenadas de uma espira em forma de um
"Espiral de Archimedes" com uma corrente I é dada por




+



+−++= G
a
IB
2
20 11)(1ln
..4 θ
θθ
π
µ
onde 
2
0
1lim1 



+= →
i
i
G
θθ
Sol:
Fig. Prob. 5-18
Fonte: [8]
84
θθ
θθθ
θ
θ
θ
dadl
daad
d
dr
rdl
a
d
dr
ar
2
222
2
2
1+=
+=


+=
=→=
2
2
0
22
2
0
2
0 1
..4.
1..
..4
.
θ
θθ
π
µ
θ
θθµ
π
µ d
a
I
a
daI
r
dlIdB +=+==
∫ += θ θθ θπµ 0 2
2
0 1
..4
d
a
IB
( )
2
0
2
20
1lim1
111ln
..4
.



+=




+


+−++=
→
i
i
G
G
a
IB
θ
θ
θθ
π
µ
θ
5.19) Mostre que a densidade de fluxo magnético no centro
do eixo das coordenadas de uma espira em forma de uma
"Espiral Logarítmica" com uma corrente I é dada por
( )θ
π
µ ae
a
IB −−


+= 1.11.
..4
2
0
85
Sol:
Fig. Prob. 5-19
2
0
..4
sen.
r
dlIdB
π
ξµ
= , dl→ perpendicular a
r 2
00
..4
.90
r
dlIdB
π
µξ =⇒=⇒
θ.aer = , 
θ
θ
aea
d
dr
.= , θθ
d
d
dr
rdl
2
2 


+= ,
θθ θθθ daedldeaedl aaa 2222 1. +=⇒+=
θθ θθθ daedldeaedl aaa 2222 1. +=⇒+=
θ
π
µθ
π
µ θθ
θ dae
Idae
e
IdB aa
a
202
2
0 1.
.4
1.).(.4 +=+=
−
∫ −+= θ θ θπµ 0
2
0
.4
1 deaIB a 

−
+
=⇒ −
θ
θ
π
µ
0
2
0 1
.4
1 ae
a
aIB
86
( ) ( )θθ
π
µ
π
µ aa e
a
I
e
a
aIB .
2
0
2
0 111
.4
1
..4
1
−−
−


+=−
+
=⇒
( )θ
π
µ ae
a
IB −−


+=⇒ 1.11.
..4
2
0
5.20) Mostre que a densidade de fluxo magnético no centro
do eixo das coordenadas de uma espira em forma de um
"Espiral Hiperbólica" com uma corrente I é dada por



++++= 1ln
2
11
2..4
220 θθθθ
π
µ
a
IB
Sol:
Fig. Prob. 5-20
Fonte:[8]
Referências para estudo da teoria5
5Referências:
 Kraus, John D ; Carver, Keith R. Eletromagnetismo
 Editora Guanabara Dois, 1978
⇒ capítulo 5 (cinco)
Kraus, John D. Eletromagnetics
 McGraw-Hill International Editions , 1991
⇒ capítulo 6 (seis)
87
CAPÍTULO 6
O CAMPO MAGNETOSTÁTICO DE
MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
6.1- Uma agulha magnetizada de momento magnético 20
Am2 está situada num campo magnético uniforme de 50µT
de densidade de fluxo. Ache o torque máximo na agulha.
{Fonte:[1]}
Sol:
mNmTAmmBIABT 1)50)(20( 2 ==== µ
6.2- Uma barra uniformemente magnetizada com um vo-
lume de 0,01 m3 tem um momento magnético de 500 Am2.
Se a densidade de fluxo B=50mT na barra, qual será o valor
de H na barra?{Fonte:[1]}
Sol:
MBHMHB
mKA
m
Am
v
mM
)(
/50
01,0
500
0
0
0
3
2
−
=⇒+=
===
µ
µµ
88
mKA
mH
mKAmHmTH /10
/10..4
)/50)(/10..4(50
7
7
−=
−
=
−
−
π
π
6.3- Uma barra de ferro retangular tem um comprimento
1x e uma área de seção transversal A. A permeabilidade é
uma função de x dada por x
x1
01
0
µµµµ −+= , ache a
permeabilidade da barra. {Fonte: [1]}
Sol:
ℜ
=℘⇒=ℜ ∫∫
∫ 1
.
.
2
1
S
sdB
ldH
�
�
�
∫
∫∫
∫
∫∫
∫
∫∫
∫
∫∫







−
+
==



==℘ 11
0
1
01
0
0
2
1
.
.
.
.
.
xx
x
x
dx
ds
dx
ds
ldB
sdB
ldH
sdB
µµµ
µµ
�
�
�
�
��
�
�
( )[ =−+
−
=
−+
=℘
∫ 00101
01
1
0
0101
1 ln)(
1
1 µµµ
µµµµµ
xx
x
A
xx
dx
x
A
x
x
( )




−
=
0
1
1
01
ln.
µ
µ
µµ
x
A
89
6.4- Um anel de ferro tem uma área de seção transversal
uniforme de 150mm2 e um raio médio de 200mm. O anel é
contínuo exceto por um entreferro de 1mm de largura. Ache
o número de espiras necessário no anel para produzir uma
densidade de fluxo B=0,5T. Despreze a franja. Quando
B=0,5T no ferro 250=rµ .{Fonte:[1]}
Sol:
Dados: B=0,5T; Rm=200mm; g=1mm; A=150mm
2
).(4,2).(.
)/(04,5
.
)/(65,26
..
.2
.
0
0
KAespBANIldH
WbMA
A
g
WbMA
A
gR
A
gl
gf
e
r
m
f
=ℜ+ℜ==
==ℜ
=
−
=
−
=ℜ
∫ ��
µ
µµ
π
µ
6.5-Um eletroimã consiste de um “yoke” de ferro em for-
ma de U e de uma barra de ferro como mostra a fig. 6-5.
Uma lâmina fina de cobre sobre a barra evita o contato de
ferro com ferro entre a barra e o “yoke”. Se o fluxo magné-
tico através do circuito for 15mWb e área de contato da
barra e do “yoke” for de 0,015m2 por pólo, qual será o peso
que o “yoke” suportará (incluindo o peso da barra)? Des-
preze a franja.
90
Fig. Prob. 6-5
Fonte:[1]
Sol:
Dados: mWb15=Φ ; 2015,0 mA =
T
m
mWb
A
BABsdB
S
1
015,0
15
.. 2 ==
Φ
=⇒==Φ ∫∫ ��
( ) ( )
( ) KNmH
mTABF 97,5
/10..4.2
015,01
.2
.
7
22
0
2
===
−πµ
KNFP 94,112 ==
em Kgf, temos que dividir por 9,81
kgfkNP 5,1217
81,9
94,11
==
91
6.6- (a) Se a área de contato do eletroimã do problema 6.5
fosse reduzida a 0,005mm2, afunilando-se as seções do
“yoke”, qual seria o peso que o “yoke” suportaria? Supo-
nha que o fluxo total é o mesmo que antes e despreze a
franja. (b) Na prática, o que impede a força de atração au-
mentar indefinidamente quando a área é reduzida?
Sol:
Letra (a)
( ) ( )
( )
KNFP
KN
mH
mTABF
T
m
mWb
A
B
81,352
9,17
/10..4.2
005,03
.2
.
3
005,0
15
7
22
0
2
2
==
===
==
Φ
=
−πµ
em Kgf, temos que dividir por 9,81
KgfKNP 34,3650
81,9
81,35
==
Letra (b)
A impossibilidade de se reduzir a área indefinidamente.
6.7- Um imã de ferro circular de 0,02m2 de área de seção trans-
versal e 300mm de raio tem um entreferro de 1mm e um
enrolamento de 1200 espiras. Se a corrente através da bobina
for de 6 A, qual será a força que tenderá a fechar o entreferro?
Considere 1000=rµ para o ferro e despreze a franja.
92
Sol:
Fig. Prob. 6-7
Fonte:[1]
Sabe-se que mH /10..4 70
−
= πµ
Dados:
mmg 1= ; mmR 300= ; 202,0 mA = ; 1000=rµ ; 1200=N
espiras; Ai 6=
( )
gf
gfmm
iNiN
ℜ+ℜ
=Φ⇒ℜ+ℜΦ==ℑ ..
93
( ) ( )
WbKA
A
g
WbKA
A
gR
A
gl
g
r
f
/79,39
.
/96,74
..
..2
.
0
0
==ℜ
=
−
=
−
=ℜ
µ
µµ
π
µ
T
A
BmWbiN
gf
14,375,62. =Φ=⇒=
ℜ+ℜ
=Φ⇒
KNABF 3,78
.2
.
0
2
==
µ
6.8- Um circuito magnético cujos braços são de aço fundido.
Esta assim distribuído, a parte 1 tem cml 341 = e 21 6cmS = ;
a parte 2 tem cml 162 = e 22 4cmS = . Calcule a corrente 1I ,
supondo AI 5,02 = , 2001 =N espiras, 1002 =N espiras e
Wbµ120=Φ .{Fonte:[4]}
Sol:
Dados: cml 341 = ; 21 6cmS = ; cml 162 = ; 22 4cmS = ;
AI 5,02 = ; 2001 =N ; 1002 =N & Wbµ120=Φ .
T
S
B
T
S
BSBsdB
S
3,0
4,0..
2
2
1
111
=
Φ
=
=
Φ
=⇒==Φ ∫∫ ��
94
Consultando a curva de magnetização*, temos que:
mAH
mAH
/180
/145
2
1
=
=
22112211221121 ...... lHlHININlHlH +=−⇒+=ℑ−ℑ
A
N
INlHlHI 65,0...
1
222211
1 =
++
=⇒
6 Referências para estudo da teoria.
* Ver a curva de magnetização pág. 164, fig. 11-13 do livro:
EDMINISTER, Joseph A. Eletromagnetismo.
6 Referências para estudo da teoria:
KRAUS, John D; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo.
 Editora Guanabara Dois, 1978.
⇒ capítulo 6 (seis)
EDMINISTER, Joseph A. Eletromagnetismo.
 Editora McGraw-Hill do Brasil, 1980.
⇒ capítulo 11 (onze)
95
CAPÍTULO 7
EQUAÇÃO DE LAPLACE
7.1) Encontre a função potencial na região entre os discos
circulares paralelos . Despreze espraiamento.{Fonte:[4]}
Sol:
O potencial é função de z, ou seja “ )(zV ”, logo:
BzAVdzAdV
A
dz
dVdz
dz
dVd
dz
dV
dz
d
dz
VdV
+=→=→
=→=


→
=


→=→=∇
∫∫
∫∫
..
.0
000 2
2
2
�
7.2) Calcule a função potencial e a intensidade de campo
elétrico entre dois cilindros concêntricos circulares retos.
{Fonte:[4]}
96
Sol:
O potencial é função de r, ou seja “ )(rV ”, logo:
BrAVdr
r
AdV
A
dr
dV
rdr
dr
dV
rd
dr
dV
r
dr
d
r
V
+=→=→
=→=


→
=


→=∇
∫∫
∫∫
ln
..0.
0.102
�
( ) r
r
A
rVE �
�
.. −=∇−=
7.3) Em coordenadas cilíndricas, dois planos estão isolados
ao longodo eixo z. Despreze espraiamento e encontre a
expressão para E
�
 entre os planos.
Fonte:[4]
Sol:
O potencial é função de φ , ou seja “ )(φV ”, logo:
BAVdAdV
A
dr
dV
rd
d
dVd
d
Vd
d
Vd
r
V
+=→=→
=→=



→=→
=→=∇
∫∫
∫∫
φφ
φφφ
φ
..
..0.0
010
2
2
2
2
2
�
97
BAV += φ. )(V
( ) ( )
φ
φφφφφ
�
��
.
..
11
.
r
AE
BA
d
d
rd
dV
r
VE
−=
+−=−=∇−=
 )/( mV
7.4) Resolva a equação de Laplace para a região compreen-
dida entre dois cones. Em 1θ o potencial vale 1V , e em 2θ é
zero. Os vértices dos cones são isolados em 0=r .{Fonte:[4]}
Sol:
O potencial é função de θ , ou seja “ )(θV ”, logo:
d
dVd
d
dV
d
d
r
V =


→=


→=∇ ∫ .sen0sensen. 10 22 θθθθθθ
�
A
dr
dVd =→=
 ∫ .sen.0 θθ
BtgAVdAdV +



=→=→ ∫∫ 2ln..sen
θ
θ
θ
pois, chamando 2
θ
tgz = temos:
2
2
1
1
cos
z
z
+
−
=θ ; 21
2
sen
z
z
+
=θ ; 21
2
z
dzd
+
=θ
98
BtgABzA
z
dzA
z
dz
z
zA
z
dz
z
z
AdA
+


=+=→
+
+
=
+
+
=
∫
∫∫∫
2
lnln
1
2
2
1
1
2
1
2
1
sen
.
2
2
2
2
θ
θ
θ
As constantes são encontradas a partir de:
BtgAV +


=
2
ln. 11
θ
; BtgA +


=
2
ln.0 2θ



−





−


=⇒
2
ln
2
ln
2
ln
2
ln
.
21
2
1 θθ
θθ
tgtg
tgtg
VV
7.5) Um potencial em coordenadas cilíndricas é função de
r e φ , mas não de z. Obtenha as equações diferenciais
separadas para R e φ , onde )().( φΦ= rRV , e resolva-as.
A região é sem cargas. {Fonte:[4]}
Sol:
2
2
2
22
2
2
22
2
2
.
1
..
0...0
φ
φ
d
d
dr
dR
R
r
dr
Rd
R
r
d
d
r
R
dr
dR
rdr
RdV
Φ
Φ
−=+⇒
=
Φ
+
Φ
+Φ⇒=∇
�
99
Como um lado da igualdade só depende de r e o outro só
de φ ; então:
0..1.. 2
2
2
2
2
2
22
=−+⇒=+⇒
r
Ra
dr
dR
rdr
Rd
a
dr
dR
R
r
dr
Rd
R
r
,
multiplicando ambos os lados da equação por 2r , temos:
0... 22
2
2
=−+⇒ Ra
dr
dR
r
dr
Rd
r , que é uma equação de euller,
fazendo a substituição de variável
rter t ln=→= − ;
te
rdr
dt
−
==
1
dr
dt
dr
dR
dt
d
dr
dR
dr
d
dr
Rd
dt
dR
e
dr
dt
dt
dR
dr
dR t 


=


=→==→ − 2
2
..
( )




−=



+−=→




+=


=→
−−−−
−−
−
−−
dt
dR
dt
Rd
ee
dt
Rd
e
dt
dR
e
dr
Rd
e
dt
Rd
e
dt
dR
dt
ed
e
dt
dR
e
dt
d
dr
Rd
tttt
tt
t
tt
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
...
.....
0.
0.
0......2
0...
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
=−⇒
=−+−⇒
=−


+



−⇒
=−+
−−
Ra
dt
Rd
Ra
dt
dR
dt
dR
dt
Rd
Ra
dt
dR
ee
dt
dR
dt
Rd
ee
Ra
dr
dR
r
dr
Rd
r
tttt
100
tirando a equação característica, temos:


→=−
=
−=
a
a
a
1
2
022
λ
λ
λ
( )
( ) ( ) ( ) atat
atattt
eCeCtR
eCeCeCeCtR
−
−
+=
+=+=
21
21
.
2
.
1 ....
21 λλ
voltando a equação original, por meio de ter = , temos:
( ) aa rCrCrR −+= .. 21
0.1 22
2
2
2
2
=Φ+Φ→=Φ
Φ
− a
d
d
a
d
d
φφ
tirando a equação característica, temos:
ia
iaa
.0
.022
±=→
±=→=+
λ
λλ
logo para o caso em que as raízes são complexas, temos
como solução a equação diferencial :
( ) ( )
( ) φφφ
φφφ φ
.sen..cos.
sen.cos.
43
43
.0
aCaC
aCaCe
+=Φ
+=Φ
7.6) O potencial de Coulomb atenuado pela presença dos
demais elétrons 
r
eqV
r
λ
επ
−
=
0..4
 ocorre comumente num
meio condutor . Calcule o campo elétrico e a densidade de
carga correspondente. {Fonte:[8]}
101
Sol:
Sabemos que: 
r
r
r
r
r
^^
==
�
�
; logo, temos:
2
^
0
^
0
..
11
..4
.
1
..
11
..4 r
r
e
r
q
r
r
r
e
r
qE
rr
λλ
λεπλεπ
−− 


+=


+=
�
2
^
0
..
11
..4 r
r
e
r
qE
r
λ
λεπ
−


+=⇒
�
επε
ρ λ
−=








∇→−=∇
−
r
r
eqV
..4
.
2
00
2
ρ
πε
ρ λλ
−=


 

∇+



∇→−=




−−
rr
e
r
e
r
q
.
11
.4
22
0
( )δπ
λπ
λ
=


−→
−
r
er
r
q
...4
.
1
.4 2
r
r
e
r
q
r
r
e
r
eqE
r
ee
r
q
r
eqVE
rr
r
rr
r
�
�
�
�����
..
11
..4
.
11
.
..4
1
.
1
..4..4
.
0
2
0
00
λλ
λ
λλ
λ
λεπλεπ
επεπ
−−
−
−−
−



+=











−+


−−=



 

∇+



∇


−=








∇−=∇−=
102
( ) ρδ
λπ
ρ λ =


+−→−=
−
r
er
r
q .
...4
1
. 2
( ) λ
λ
δρ
r
e
r
r
−


−=⇒ .
..4
1
2
pois, ( )r
r
δπ ..412 −=

∇ . Verificar em (Reitz, Fundamentos
da Teoria Eletromagnética; página 54, eq.2-58)
6 Referências para estudo da teoria
7 Referência para estudo da teoria:
KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo
 Editora Guanabara Dois, 1978.
⇒ capítulo 7 (sete)
EDMINISTER, Joseph A. Eletromagnetismo.
 Editora McGraw-Hill d Brasil, 1980.
⇒ capítulo 8 (oito)
103
CAPÍTULO 8
CAMPOS MAGNÉTICOS
VARIANDO NO TEMPO
8.1) (a) Um anel de 3 voltas, com 0,5m2 de área, situado no
ar, tem um campo magnético normal ao plano do anel. Se a
densidade de fluxo magnético variar de 5mTs-1, qual é a
força eletromotriz que aparecerá nos terminais do anel? (b)
Se a fem nos terminais do anel for de 100mV, qual será a
taxa de variação do campo magnético?{Fonte:[1]}
Sol:
A
t
B
sd
t
B
v
S
.
.
.
.
.
.
∂
∂
=
∂
∂
−= ∫ �
�
mVmmTvsmT
t
B
mmA
aletra
5,7)5,1).(5(/5;5,1)5,0).(3(
)(
22
==⇒=
∂
∂
==
smT
m
mV
A
v
t
BA
t
B
v
bletra
/67,66
5,1
100
.
)(
2 ===∂
∂
⇒
∂
∂
=
104
8.2) Um pêndulo de fio com uma escova oscila normal a um
campo magnético uniforme de 250mT, como mostra a figura.
A velocidade de qualquer ponto do pêndulo a uma distância
r do seu ponto de apoio é dada por ( ) wtRrdwv cos..= , onde
d é o deslocamento horizontal máximo ou meia amplitude.
Se o comprimento R do pêndulo for de 4m, seu período na
superfície terrestre será aproximadamente 4s
( ) ( ) ( )[ ]2.8,9/.2 −= smRT ms π .
Empregando este valor para o período, determine a fem má-
xima que aparece nos terminais se d=100mm. {Fonte:[1]}
Fig. Prob. 8-2
Fonte:[1]
Sol:
( )
RB
T
d
v
Vv
T
ddw
R
RdwVwt
R
rdwV
RBVlBVldBxVv
...
..2
..2
.1...cos...
......
max
maxmax
max
θπ
π
θ
=
→
===→=
=== ∫ ���
105
da figura tiramos 


=⇒= −
R
d
R
d 1sensen θθ , logo



=
−
R
dRB
T
d
v 1max sen...
..2π
8.3) Ache a fem induzida num fio reto que se move per-
pendicular a um campo magnético uniforme B com uma
velocidade v como na figura. O campo magnético está res-
trito ao raio R das peças polares de um imã. {Fonte:[1]}
Fig. Prob. 8-3a
{Fonte:[1]}
Sol:
( ) 22...22... rRBVlBVldBxVv −=== ∫ ��� , pois
Fig. Prob. 8-3b
{Fonte:[1]}
106
de onde temos pelo Teorema de Pitágoras:22222
rRllrR −=⇒+=
8.4) Um aro condutor com único raio gira perpendicular B
(figura). O campo magnético está restrito ao raio R das pe-
ças polares de um imã. Um circuito externo faz contato com
o eixo e o raio de escovas. (a) Se o aro for girado Nrs-1, ache
a fem induzida no circuito. (b) Se uma corrente I passar
através do circuito, ache o torque no aro. (c) Se a corrente
fluir como indicado, o torque será no sentido horário ou
anti-horário? {Fonte:[1]}
Fig. Prob. 8-4a
{Fonte:[1]}
Sol:
Letra (a)
( ) lBVldBxVv ... == ∫ ���
RRl .
2
..2
π
π
== e RNRwV .. == ; pois ( )sradNw /=
( )VoltRBNRBRNlBVv 2......... ππ ===
107
Letra (b)
BxmT
�
�
�
= , BAITAIm ... =⇒=
da figura tiramos a área
Fig. Prob. 8.4b
)(...
2
1
.
2
.
22
.
2
2
2
NmRBIBRIT
RRRA
==⇒
==
8.5) (a) Um disco fino de cobre de 300mm de diâmetro está
situado com o plano normal a um campo magnético uni-
forme e constante B=600mT. Se o disco girar 30rs-1, ache a
fem desenvolvida nos terminais conectados às escovas como
mostra a figura. Uma escova faz contato com o eixo. Este
arranjo é chamado de gerador de disco de Faraday. (b) Se o
campo magnético variar com o tempo, como dado por
B=B0senwt, onde B0=600mT e w=2πx5 rads
-1, ache a fem
desenvolvida nos terminais. {Fonte:[1]}
108
Fig. Prob. 8-5
Fonte:[1]
Sol:
Letra (a)
Dados: mmRd 3002 == ; 1.30 −= srw ; mTB 600=
( )
mTB
smRwV
mRRl
lBVldBxVvfem
600
/5,4.
47,0.
2
..2
...
=
==
===
=== ∫
π
π
���
)(27,1.. VlBVv ==
Letra (b)
Dados: 1
.5.2 −= srxw π ; mTB 6000 = onde wtBB sen0=
( ) ( )
)(.10cos.8,1827,1cos......
..sen....
.
.
.
0
0
VtabwtbawBlBVv
bawtB
t
lBVsd
t
BldBxVv
S
π−=−=







∂
∂
−=
∂
∂
−= ∫∫ �
�
���
109
8.6) Ache a indutância mútua entre um fio longo e uma
espira retangular de fio como mostra a figura. {Fonte:[1]}
Fig. Prob. 8-6
Fonte:[1]
Sol:
)(ln
.2
..
.2
..
..
..2
.
.
,
ln.
.2
ln
.2
..
.
.
1
2
1
221
1
2212121
2
1
Wb
r
rlI
r
drlIdrl
r
I
sdB
pois
r
rINNM
r
rlI
I
NN
sdB
ldH
NNNNM
r
r π
µ
π
µ
π
µ
π
π
==⇒
=⇒
==
ℜ
=
∫∫∫∫∫
∫∫∫
�
�
�
�
��
e, ∫ =⇒==⇒ rIHIrHldH ...2...2.. ππ ϕϕ
��
e, 
r
IHBHB
..2
.
..
π
µµµ ϕϕ ==→=⇒
110
8.7) Uma barra condutora reta, presa a um peso, está
suspensa por molas metálicas num campo magnético uni-
forme B como na figura. O comprimento da barra é de
500mm. Ache a corrente I (grandeza e sentido) necessária
para equilibrar a barra e o peso se B=2T e a massa da barra
e do peso for de 5kg.{Fonte:[1]}
Fig. Prob. 8-7
Fonte:[1]
Sol:
( ) ( )lIxBFdlIxBdF .. =→=
lB
gmIlIBmglIBF
gmFF
mgFFmgFF
el
elelel
.
.
....
..2
2
00
=→=→=
==
=→=+−→=∑
( )A
lB
gmI 49
.
.
==→
111
8.8) Levitação magnética. Uma barra condutora estreita com
um peso é suspensa por um par de molas em um campo
magnético uniforme (como mostra a figura do problema
8.9) O comprimento da barra é de 500mm e B=2T. Se I=60A,
encontre a máxima massa da barra e do peso que pode fazê-
la “boiar” ou levitar. {Fonte:[2]}
Sol:
( )
( )kg
g
lIB
m
lIBmglIBFlBxIF
12,6..
.....
==→
=→=→=→
8.9) Ache a densidade de corrente de deslocamento de um
campo magnético no ar dado por
(a) ( )xwtHH y .sen.0 β−= ,
(b) ( ) ( )ywtxHzywtxHxH zx .cos.2sen.sen.2sen.
^^ ββ −+−=�
Fonte:[1]
Sol:
JHx
���
→=∇
J
y
H
x
H
z
x
H
z
Hy
z
H
y
H
x x
yzxyz
�
=



∂
∂
−
∂
∂
+


∂
∂
−
∂
∂
+



∂
∂
−
∂
∂
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
^^^
Letra (a)
( )( )
( )xtwHzJ
xwtHzJJz
x
H
JHx y
..cos..
..cos..
.
.
0
^
0
^^
ββ
ββ
−−=→
−−=→=
∂
∂
→=∇
�
�����
112
Letra (b)
J
y
H
z
x
Hy
y
H
xJHx yzz
.
.
.
.
.
.
^^^
=



∂
∂
−+


∂
∂
−+



∂
∂
→=∇
����
( )[ ]ywtxHxJ z .sen.2sen.
^ ββ −−=→ �
( )[ ] ( )[ ]ywtxHzyywtxH xz .cos.2sen...cos.2cos.2
^^ βββ −+−−
8 Referências para estudo da teoria
8 Referência para estudo da teoria:
KRAUS, John D ; CARVER, Keith R. Eletromagnetismo
 Editora Guanabara Dois, 1978.
⇒ capítulo 8 (oito)
KRAUS, John D. Eletromagnetics
 McGraw-Hill International Editions, 1991
⇒ capítulo 10 (dez)
113
CAPÍTULO 9
RELAÇÃO ENTRE A TEORIA
DOS CIRCUITOS E DO CAMPO:
EQUAÇÕES DE MAXWELL
9.1) (a) Partindo da lei de Ampère, obtenha a equação de
Maxwell na forma integral baseada nesta lei. (b) Obtenha a
relação pontual ou diferencial correspondente, aplicando o
Teorema de Stokes. {Fonte:[1]}
Sol:
Letra (a)
∫ ∫∫  +=+== .).()(.. 000 sddtdqJiiildB deslcond
�
���
µµµ
∫ ∫ ∫∫ ==



∂
∂
→=→= deslidr
dq
sd
t
D
dt
dq
sdD
td
dqsdD �
�
�
�
�
�
.
.
.
.
.
.
∫ ∫∫∫∫ ∫∫ 



∂
∂
+=







∂
∂
+= sd
t
DJsd
t
D
sdJldB �
�
�
�
�
�
���
.
.
.
.
.
.
.. 00 µµ
114
∫ ∫∫
∫ ∫ ∫∫∫∫




∂
∂
+=⇒




∂
∂
+=→



∂
∂
+=
sd
t
DJdlH
sd
t
DJldBsd
t
DJldB
�
�
��
�
�
��
�
�
�
���
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
1
00 µµ
Letra (b)
∫ ∫∫ 



∂
∂
+= sd
t
DJdlH �
�
��
.
.
.
.
( )
t
DJHx
sd
t
DJsdHx
.
.
.
.
.
.
∂
∂
+=∇⇒




∂
∂
+=∇∫∫ ∫∫
�
���
�
�
�
�
��
9.2) (a) Partindo da lei de Faraday, obtenha a equação de
Maxwell na forma integral baseada nesta. (b) Obtenha a
relação pontual ou diferencial correspondente aplicando o
teorema de Stokes. {Fonte:[1]}
Sol:
Letra (a)
∫∫= sdBm ��.ψ , mas dtdv mψ−= e ∫= ldEv
��
.
∫ ∫∫∫∫ ∂∂−=→−= sdtBldEsdBdtdv �
�
��
�
�
.
.
..
115
Letra (b)
∫ ∫∫ ∂∂−= sdtBldE �
�
��
.
.
.
( )
t
BEx
sd
t
B
sdEx
.
.
.
.
.
∂
∂
−=∇
∂
∂
−=∇∫∫ ∫∫
�
��
�
�
�
��
9.3) (a) Partindo da lei de Gauss para os campos elétricos,
obtenha a expressão de Maxwell na forma integral baseada
nesta lei. (b) Obtenha a relação pontual ou diferencial cor-
respondente. {Fonte:[1]}
Sol:
Letra (a)
∫ ∫ ∫ =→=→= qsdDqsdEqsdE ������ .)..(. εε
Letra (b)
ρ
ρρ
=∇⇒
=∇→=→=∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫
D
dvdvDdvsdDqsdD
��
��
�
�
�
�
.
.)..(...
9.4) (a) Partindo da lei de Gauss aplicada aos campos mag-
néticos, obtenha a expressão de Maxwell na forma integral
baseada nesta lei. (b) Obtenha a relação pontual ou diferen-
cial correspondente. {Fonte:[1]}
116
Sol:
Letra (a)
∫∫=
S
m sdB
�
�
.ψ , mas na superfície fechada temos ∫ =
S
sdB 0. �
�
Letra (b)
( ) 0.0..0. =∇→=∇→= ∫∫∫∫ BdvBsdB
vS
����
�
�
9.5) Porque as equações de Maxwell não são completamen-
te simétricas?
Fonte:[1]
Sol:
∫
∫ ∫∫∫
∫ ∫∫
∫ ∫∫
=∇→==
=∇→==
∂
∂
−=∇→
∂
∂
−==
∂
∂
+=∇→



∂
∂
+==
0.,0.
.,..
.
.
,
.
.
.
.
.
,.
.
.
.
BousdB
DoudvsdD
t
BExousd
t
BldEv
t
DJHxousd
t
DJldHF
m
el
S
mm
��
�
�
��
�
�
�
��
�
�
��
�
���
�
�
���
ψ
ρρψ
Observe que:
A lei de Gaus do campo elétrico ∫ ∫∫∫ == qdvsdD .. ρ�� (ou
ρ=∇ D
��
.
) indica a existência de cargas elétricas isoladas