GMG106-Aula 05

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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Simetria de Translação – conceitos básicos
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Simetria de Translação: um determinado motivo é repetido por translações sucessivas em uma, duas ou três direções não paralelas.
Cada direção de translação é identificada por um vetor de translação, que define a orientação e o módulo (= dimensão, distância) da operação. 
Uma direção : vetor t1, com módulo a = retículo linear;
Duas direções : vetores t1 e t2, com módulos a e b e ângulo γ entre eles = retículo planar
Três direções: vetores t1, t2 e t3, com módulos a, b e c e ângulos entre vetores α, β e γ = retículo espacial
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Motivo: tem identidade própria = simetria de grupo pontual.
Para ilustrar o padrão resultante da translação apenas, ou seja: os retículos linear, planar ou espacial, substitui-se o motivo por um ponto = ponto equivalente (identipoint). O ponto equivalente pode ser localizado em qualquer detalhe do motivo, mas deve ser sempre posicionado no mesmo detalhe escolhido, para qualquer motivo do arranjo.
Exemplos de motivos com simetria de Grupo Pontual planar:
1 - ♪			2 - 		m - ♥	
3m - 		4m - ☼		6m - 
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Grupos Pontuais
Planares:
2, 2mm
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Grupos Pontuais Planares: 3, 3m
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Grupos Pontuais Planares: 4, 4mm
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Grupos Pontuais Planares: 6, 6mm
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Os 10 Grupos 
Pontuais Planares 
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Translação linear: poucas opções de simetria, em função da simetria do motivo – apenas planos e/ou eixos binários.
A simetria do retículo linear, por si (apenas os pontos equivalentes), é 2m. Exemplos:
♪		 ♪	 ♪	 ♪	 ♪	 ♪	 ♪	 ♪
	  	 	  	 	  	 	  	
♥		 ♥	 ♥	 ♥	 ♥	 ♥	 ♥	 ♥
☼	 ☼	 ☼	 ☼	 ☼	 ☼	 ☼	 ☼
		 	 	 	 	 	 	  
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Translação linear – simetria planar (m):
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Translação em duas direções: retículo planar – vetores t1 e t2
Motivo:  - sem simetria = Grupo Pontual 1
Translação segundo o vetor t1 (), de módulo a:
 
 |< a >|
Sem indicação do vetor:
 								
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 
		  	  	  	 	  	  	 	 
 
		  	  	  	 	  	  	 	 
 
		  	  	  	 	  	  	 	 
 
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								
									
								
									
								
									
								
									
								
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
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	 
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	 	 
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	 	 	 	 
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	 	 	 	 
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	 	 	 	 	 
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	 	 	 	 	 	
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	 	 	 	 	 	 	 	 
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	 	 	 	 	 	 	 	 
	 	 	 	 	 	 	 	 
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	 	 	 	  	 	 	 	 
	 	 	 	 	 	 	 	 
	 	 	 	 	 	 	 	 
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	 		 	 	 	 	 	 	 
	 		 	 	 	 	 	 	 
	 		 	 	 	 	 	 	 
	 		 	 	 	 	 	 	 
	 		 	 	 	 	 	 	 
	 		 	 	 	 	 	 	 
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		 	 	 	 	 	 	 	 
	 		 	 	 	 	 	 	 
	 		 	 	 	 	 	 	 
	 		 	 	 	 	 	 	 
	 		 	 	 	 	 	 	 
		 	 	 	 	 	  	 	 
	 		 	 	 	 	 	 	 
	 	  	  	  	  	  	  	  	
		 	 	 	 	 	 	 	 
		 	 	 	 	 	 	 	 
		 	 	 	 	 	 	 	 
		 	 	 	 	 	 	 	 
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
			 	 	 	 	 		 	
			 	 	 	 	 		  
			 	 	 	 	 		  
			 	 	 	 	 		 
			 	 	 	 	 		  
			 	 	 	 	 		  
			 	 	 	 	 		  	
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Translação em uma e duas direções: vetores t1 e t2
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Variáveis envolvidas na definição dos retículos planares: módulo dos vetores t1 e t2 (a e b) e o ângulo γ entre eles:
Clinorede:
a ≠ b, γ ≠ 90º
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Ortorede simples: a ≠ b, γ = 90o
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Ortorede centrada: x ^ y = γ* e: cos γ* = a/2b
A rede pode ser representada com: a ≠ b”, γ = 90º (x ^ y’)
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Hexarede: a = b, γ = 60º
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Tetrarede: a = b, γ = 90º
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Combinando os 5 Retículos Planares com os 10 Grupos Pontuais Planares = 17 Grupos Planares
Ex: Tetrarede
 + Grupo Pontual 4
= Grupo p4
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Grupo Planar P4: motivo e retículo com o motivo nos nós
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Grupo Planar P4: Elementos de simetria resultantes da combinação da tetrarede e do motivo com simetria de Grupo Pontual Planar 4
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Cela Unitária do Grupo Planar P4:
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Cela Unitária: o menor pedaço de um retículo que, por translações sucessivas paraleas a suas arestas, reproduz o retículo inteiro. As informações contidas na Cela Unitária: 
dimensões a, b e c das suas arestas (= módulos de t1, t2 e t3);
ângulos inter-arestas α, β e γ;
número de nós (= fator de multiplicidade);
elementos de simetria;
grupo pontual do motivo e 
simetria do retículo, 
funcionam como um “código genético”, que permite reconstituir as características do retículo sem ter que recorrer à análise de porções extensas do mesmo.
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Nós da Cela Unitária: correspondem aos pontos equivalentes que foram selecionados para servir de vêrtices da cela. Além dos nós nos vêrtices, podem haver nós no centro e nas faces da cela (celas P, I, F, C, A, B).
Critérios para a definição da Cela Unitária (Donnay 1943):
a)	Seus vêrtices devem coincidir, sempre que possível, com algum dos eixos de simetria presentes no retículo;
b)	Se possível, estes vêrtices devem estar relacionados através da simetria do retículo;
c)	Deve-se escolher a menor cela que preencha os requisitos anteriores (a e b).
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Outro exemplo: 
Tetrarede + Grupo Pontual Planar 4mm = Grupo Planar p4mm
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Grupo Planar P4mm: motivo e retículo com o motivo nos nós
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Grupo Planar P4mm: 
planos deslizantes
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Planos deslizantes 
(g – de gliding): 
combinam translações
de t/2 com reflexão 
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GMG-106 – Cristalografia FundamentalGrupo Planar P4mm: elementos de simetria
Azul: conjunto de
planos de simetria
// arestas da cela;
Laranja: conjunto
de planos de simetria
oblíquos ás arestas
da cela;
Laranja tracejado:
planos deslizantes.
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Grupo Planar P4mm: cela unitária
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Mais um exemplo: Grupo Planar P2mg
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Grupo Planar P2mg: cela unitária. Notar que os pontos a e n não são equivalentes: a configuração dos elementos do motivo nos seus arredores são distintas. Por isso: cela P, e não C.
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Grupo Planar P2mg: operação dos eixos binários nos vêrtices, arestas e centro da cela unitária
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Grupo Planar P2mg: planos de simetria simples (m).
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Grupo Planar P2mg: planos de simetria deslizantes (g)
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Grupo Planar P2mg: todos os elementos de simetria
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Os 17 
Grupos 
Planares
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Grupo Planar P1
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Grupo Planar P2
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Grupo Planar Pm 
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Grupo Planar Pg
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Grupo Planar Cm
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Grupo Planar P2mm
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Grupo Planar Pgg
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Grupo Planar C2mm
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Grupo Planar P4mm
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Grupo Planar P4gm
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental
Grupo Planar P3
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GMG-106 – Cristalografia Fundamental