MATEMÁTICA FINANCEIRA DECON UFPE

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FLUXO FÍSICO E FINANCEIRO ENTRE OS SISTEMAS PRODUTIVOS E O SISTEMA FINANCEIRO
 BENS
 
 
 
 (JUROS)$ 
 CRÉDITO, POUPANÇA, EMPRÉSTIMOS
 ($) 
Mercado Financeiro:
Função = disponibilizar recursos para o sistema produtivo, para as famílias, governo.
Ganho = o crédito concedido é remunerado pelo fato da disponibilização dos recursos; este ganho chama-se juros.
Juros = remuneração do capital durante um período
Tipos de juros : a) Monetários e não Monetários
 b) Simples e Composto
Juros Monetários: Este é o meio tradicional. Pagamento em $ pelo uso do dinheiro. Quem empresta está deixando de usufruir de seu valor para que outro o faça. Para isso cobra-se ou paga-se por este uso.
Juros não Monetário: Em geral, este tipo de juros é bastante empregado na agricultura, quando o uso de bens e recursos agrícolas é remunerado com a própria produção obtida.
Capitalização dos juros, definição:
Juros Simples: É calculado apenas sobre o valor principal, não é acumulativo.
Juros Compostos: É calculado em princípio sobre o valor principal no primeiro instante e para os períodos seguintes são acumulados sucessivamente
O juros medido por sua taxa:
i = ___juros___
aplicação
Juros = Montante final – Valor da aplicação (Também chamado de capital inicial)
A taxa de juros é o referencial para todos os negócios na economia, pois ela indica o custo do dinheiro; e este como é o meio de troca entre bens e serviços dos produtores e consumidores sofre os efeitos de variação do custo do dinheiro.
Equlíbrio do Mercado Financeiro
 M ( dinheiro na economia
 i( taxa de juros
 P
 Taxa de Juros
 i Curva de Demanda 
 ( Curva de Oferta
 io taxa de equilíbrio
 M = M (i)
 (M ( 0
 (i
 io - equilíbrio
 M (Recursos ou Moeda na Economia)
 
 Para a taxa de juros elevada as pessoas tendem a ter menos dinheiro em seu poder, aplicando-o no sistema financeiro 
Conseqüências de taxas de juros elevada
Na economia a taxa de juros é o referencial de decisões empresariais, pois a tomada de recursos no sistema financeiro ou aplicação dependerá do nível dos juros praticados
Se ( (rendimento do negócio ou atividade) for maior que a taxa de juros i então a captação de recursos parece ser interessante para a expansão dos negócios.
Caso contrário é preferível aplicar no sistema financeiro
(
REDUÇÃO DA ATIVIDADE ECONÔMICA
A continuação do uso de taxas elevadas de juros faz com que a economia passe por períodos recessivos.
 M
(i ( 0 retração econômica 
 (i (variação da taxa de (t juros no tempo)
 nível de atividade econômica (M)
Perdurando esta situação haverá uma evidente mudança da riqueza na economia, onde a concentração de renda é o efeito mais perverso devido à redução de atividade econômica.
Outros efeitos negativos quando a taxa de juros é excessiva:
Percebendo o desbalanço entre valor da riqueza da economia e valor monetário, as empresas e pessoas, observando o aumento de risco em perder seus valores procuram outros refúgios (exterior) ou mesmo adquirir bens duráveis.
Perda de credibilidade ou solvência do sistema financeiro.
EFEITOS POSITIVOS:
Entrada de recursos externos, via taxa de câmbio fixa (iex(iint) dada a garantia de envio dos ganhos ao exterior
Prover a economia de recursos ‘fortes’ para a sua expansão tendo como conseqüência aumento do emprego, da produção, etc.
COMO DECIDIR
política econômica Banco Central
 i
 
 A B oferta __ 
 i1 AB(desequilíbrio 
 io mercado
 monetário
 demanda
 
 M2 M0 M1 M
 i0 ( i1
Se a taxa de juros passa de i0 para i1 haverá um desbalanço no mercado financeiro onde:
Os investidores estariam dispostos a aplicar mais recursos M1 e os tomadores de empréstimos buscam uma menor quantidade, dado por M2.
Desequilíbrio:
(M = M1 – M2
O processo dinâmico no mercado financeiro, sem um outro agente influenciador, é que, ao longo do tempo, o desequilíbrio tende a desaparecer: => (M = 0
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
No regime de capitalização simples, os juros de cada período são sempre calculados sobre o mesmo principal.
Os juros calculados não são incorporados ao principal
REPRESENTAÇÃO DE UM FLUXO FINANCEIRO AO LONGO DO TEMPO
 P=1000
 i = 10%a.m.
 J1 J2 J3 J4
 1 2 3 4
 J1 = P x i J1 = 1000 x 0,10 = 100,0
 J2 = 1000 x 0,10 = 100,0
 J3 = 1000 x 0,10 = 100,0
 J4 = 1000 x 0,10 = 100,0 
 Juros Total = 
 
 J = 400,0
FÓRMULA DO CÁLCULO DO JUROS SIMPLES
 juros comerciais
 i ( juros mensais
 n ( em dias
 juros comerciais
 i ( juros anuais
 n ( em meses
 i ( juros anuaisn ( em dias
 (juros exatos)
 i ( juros anuais
 n ( em dias
Exemplo: um capital aplicado em 4 meses e 18 dias a juros simples de 12% a.m. transformou-se em R$ 23.000,0. Calcular os juros ganhos na aplicação.
Dados: n = 138 dias i = 12% a.m. s = 23.000
Juros ganhos = Montante – Aplicação
 J = S - P 
Como J = P.i.n ( P = ____J____
 i.n
e como J = S – P então
J = S - ____J___ ( J = ____S.i.n____
 i.n 1+i.n 
 COMO: substituindo os valores
J = __J__ = S 23.000 x __0,12 x 138
 i.n J = _______ 30___________ 
J +__j__ = S 1 + 0,12 x 138
 i.n 30
 J = 8.180,41
 
 
EXERCÍCIOS
1 – Qual a taxa de juros anual simples para uma aplicação de R$ 1.300,0 que produz após um ano um montante de R$ 1.750,0?
i = ? P = 1.300,0 J = S – P
 S = 1.750,0 J = 1.750 – 1.300
 J = 450
 i = __J__ = __450__,
 P 1.300, i = 34.61% a.a.
2 – Um capital de R$ 135.000 transformou-se em R$ 180.000 após 44 dias de aplicação. Calcular a taxa de juros ganha na operação>
 
i = ? P = 135.000
 S = 180.000
 J = 180.000 – 135.000 = 45.000
 i = __J__= __45.000__ = 33,33% em 44 dias
 P 135.000
 i = __33,33%__ = > i% ___ 30 dias
 44 dias 33,33% ___ 44 dias 
 
 i = 33,33% x __30__ = 22,72%
 44
3 – Há 13 meses e 10 dias um capital de R$ 10.000, foi aplicado à taxa de juros simples de 6% a.a. Se fosse aplicada a importância de R$ 8.000,0 a juros simples de 12% a.a. em que prazo os montantes respectivos serão iguais?
1a PARTE
n = 13m e 10d = 400 dias
i1 = 6% a.a. = __6%__a.d. 1) S = ?
 360
P1= 10.000,oo S = P1+J = P1 + P1. i . n = S1 = P1(1 +i1.n)
 
S1 = 10.000 (1 + __6%__ x 400) = 10.000(1 + 0,667) S1= 10.666,67
 360 
2a PARTE
n = ? = S2 = P2 (1 + i2n)
P2 = 8.000,0 10.666,67 = 8.000 (1 + __12%__ . n) 
i2 = 12% a.a. 360 
S2 = S1 = 10.666,67 10.666,67 = 1 + __12%__ . n 
 ( 360 
 1,3333 = 1 + __12%__. n
 360
 1,3333 – 1 = __12%__ . n
 360
 n = 0,3333 x 360 
 12%
 n = 1.000 dias
4 – Dois capitais foram colocados a juros simples, o primeiro à taxa de 20% a.a. calcular os capitais sabendo que somados montam 500,00, e que os dois produziram em um ano 13,00
i1 = 20% a.a. n1 = n2 = 1 ano
i2 = 40% P1 + P2 = 500 J1 = P1. i1 . n1 
 J1 + J2 = 130 J2 = P2 . i2 . n2
Substituindo os valores
P1 + P2 = 500 P1 + P2 = 500 
P1. i1 + P2. i2 = 130 0,2P1 + 0,4P2 = 130 500 1 
 P1= 130 0,4 
Resolver o sistema linear 
 1 1
 1 1 P1 500 ( 0,2 0,4 
 0,2 0,4 P2 130 
 P1 = __500 x 0,4 – 130__
 0,4 – 0,2
P1 = 350 ( P2 = 500 – 350
 P2 = 150
Verificando
J1 = 350 x 0,2 = 70
J2 = 150 x 0,4 = 60 J1 + J2 = 130
5 - Aplicando 80.000 durante 17 meses resgatamos 140.000. Qual é a taxa anual de juros simples ganha na operação?
P = 80.000 S = 140.000 n = 17 meses i = ?
J = S – P = 140.000 – 80.000 = 60.000
i = _J_ = __60.000__ = __3__ em 17 meses
 P 80.000 4
X% a.a. ________ 12 meses 
 ( ( X = __12__ X 3/4 = 
__3__% ​​​​​________ 17 meses 17 
 4 = __9__ a.a. 
 17 i = 52,94%a.a.
6 - Um capital aplicado transformou-se em R$ 13.000 Considerando uma taxa de juros simples de 42% a.a. e uma remuneração de R$ 4.065,29 . Determinar o prazo da operação.
 S = 13.000 J = 4.065,29 i = 42% a.a.
 n = ?
P = S - J = 13.000 – 4.065,29 = 8934,71
Como J = P i n ( n = __J__
 Pi
Assim n = _____4065,29_____ = _____4065,29_____ = 1,08
 8934,71 x 0,42 3752,57
n = 1,08 anos pois a taxa de juros está em anos
 1,083 _______ X meses
 1 _______ 12 X = 12 x 1,083
 = 13m
7 - Uma pessoa aplicou um capital numa conta remunerada que renda juros simples de 30% a.a. Depois de 3 anos resgatou metade dos juros ganhos e reaplicou o saldo à taxa simples de 32% a.a., ganhando juros de $ 20,16 ao ano nessa aplicação. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado.
 
RESOLUÇÃO:
 
 i1 = 30% a.a. i2 = 32% a.a. n1 = 3 anos
 P1 S1 P2
 P2 = P1 + _1_J1
 2
 n1=3 n2 = 1
J1 = P1 . n1 . i1 = P1 . 0,3 x 3 J2 = $ 20,16 
J1 = 0,9 P1 P2 = P1 + __1__ J1 = P1 + __0.9__ . P1 e J2 = $ 20,16
 2 2
 com J2 = P2 i2 n2 
Substituindo:
 20,16 = P2 x 0,32 x 1 ( P2 = __20,16__
 0,32como P2 = P1 + __0,9__ . P1 Então
 2
P1 + __0,9__ P1 = __20,16__ tirando o valor de P1:
 2 0,32
 
P1 = __20,16__ . __2__ = __40,32__ = 43,44 P2 = (1 + 0,45) P1 = 63,00
 0,32 (2+0,9) 0,098
DESCONTO SIMPLES
Racional Simples
Desconto Comercial Simples ( por fora)
CONCEITO DE DESCONTO:
Diferença entre o valor nominal (valor de resgate) de um título e seu valor atual. 
É o abatimento de um valor sobre o título pelo fato de antecipação, pelo devedor, do pagamento do mesmo.
Desconto por Dentro
É obtido multiplicando-se o valor atual ou valor descontado por uma taxa, taxa de desconto, por um determinado prazo
Dr - Desconto Racional
i - Taxa de Desconto 
n - Número de períodos até o vencimento
P - Valor Descontado do Título (valor atual) ( valor presente)
 
Dr = P . i . n
Dr { valor nominal do título } – { valor descontado}
Dr = S – P
S = Dr + P
S = P . i . n + P
S = P (1 + in)
A operação de desconto é realizada quando se conhece o valor futuro de um título (valor nominal) e se quer determinar o seu valor atual.
O desconto deve ser entendido como a diferença entre o valor de resgate e o seu valor presente na data de operação.
 P P + juros S
Fluxo 
 n
 desconto
Em geral tem-se o valor futuro ou nominal dos títulos. Aplicando-se o conceito de desconto
S = P + Dr ( Dr = S – P
E como S = P (i + in) ( P = __S__
 1 + in
Assim: Dr = S __S_
 1 + in
Dr = S(1 + in) _ S = S + Sin – S
 I + in 1 + in
Dr = S i n_
 1 + in
Observação:
Tratando-se de desconto simples racional a taxa de juros simples confunde-se com a taxa de desconto racional simples.
 i = idr
Exemplo
Qual o valor do desconto simples de um título de R4 2.000,0 com vencimento para 90 dias à taxa de 2,5% a.m.?
S = 2.000,0
n= 90d – 3 m Dr = 2.000 x 3 x 0,025
idr = 2,5% a.m. 1 + 3 x 0,025
 Dr = 139,53
Calcular o valor líquido creditado na conta de um cliente, correspondente ao desconto de uma duplicata no valor R$ 34.000,0, com prazo de 41d sabendo-se que o banco está cobrando nessa operação uma taxa de desconto simples de 4,7% a.m.
Dados. S = 34.000 P = ?
 idr = 4,7%
 n = 41d 
Transformar a taxa de juros
Substituindo
DESCONTO COMERCIAL SIMPLES
É chamado de desconto por fora ou desconto bancário, inclui as taxas de título e das despesas bancárias
Onde ie ( é a taxa de desconto comercial
 n ( período
 S ( valor nominal do título
 P ( valor resgatado do título
Ex. Uma pessoa salda uma duplicata de R$ 5.500,0, 3 meses antes de seu vencimento. Se a taxa simples de desconto do título for de 40% a.a., qual será o desconto racional e comercial simples e qual o valor descontado da duplicata?
Desconto Racional
S = 5.500 n = 3m i = 40% a.a.
Desconto Comercial
De = S.i.n = 5500 x __0,40__ x 3 = 550
 12
Ve = S – De = 5.500 – 550 = 4.950
A taxa de desconto efetiva será a seguinte:
ie = __550__ = 0,1111 = 11,11% a.t. ou nos três meses
 4950 
Logo ie ano = 44,44% a.a. 
Observe que no desconto comercial a taxa efetiva (44,44%) é maior que a taxa de desconto da aplicação (40%).
TAXA DE DESCONTO EFETIVA
 ie 
P = Vc S onde S = P (1+i n)
Sendo comercial simples
 P = Ve = S (1 – ie n)
Substituindo na equação acima tem-se:
S = S (1-ie n) (1 + ie n)
i = (1 – ie n ) (1 + ie n) (__1__ = (1 = ie n)
 ie n
Conclusão: Sabendo-se a taxa de desconto comercial pode-se conhecer a taxa efetiva de juros
�
2a PARTE
PROGRAMAÇÃO
Rendas Uniformes e Variáveis
1.1 Rendas postecipadas, antecipadas e diferidas
1.2 Valor atual de uma série de rendas uniformes
1.3 Perpetvidade
1.4 Cálculo do Valor Futuro
1.5 Rendas variáveis
Planos de Amortização de Empréstimos e Financiamentos
2.1 Reembolso de empréstimos
2.2 Sistema Francês de Amortização
2.3 Tabela Price
2.4 Sistema de Amortização Constante - SAC
2.5 Sistema Americano de Amortização
Avaliação de Alternativas de Investimento
3.1 Rentabilidade real e aparente das alternativas de investimento
3.2 Comparabilidade de alternativas
3.3 Escolha ótima de alternativas
RENDAS UNIFORMES
Rendas Uniformes Postecipadas, Antecipadas Diferidas
Renda Uniforme é uma seqüência de pagamentos ou recebimentos iguais efetuados a intervalos de tempo iguais.
Vencimentos ao final do período postecipadas
Vencimento no início do período antecipadas
 
 a) R,, R,, R,, R,, R,, 
 0 1 2 3 4 5
 
 b) R, R, R, R, R,
 1 2 3 4 5 
Rendas Diferidas
= I 
 R R R R R 
Financiamentos
 
 1 2 3 4 5 6 
 (((
 período de carência 
 
VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE RENDAS UNIFORMES
Achar o valor atual, significa, determinar o valor no momento zero (hoje) dessas rendas, obrigações, recebimentos ou fluxo de caixa.
 0 1 2 3 n 
 	
	 
 .................... 
 R R R R 
 
 
VP
Fazendo o somatório de todas as rendas na data de hoje, valor presente.
Colocando R em evidência
 
Fazendo ( = __1___
 1+i
�� EMBED Equation.3 
( Substituindo de volta
Colocando 
em evidência
Assim:
Onde:
�� EMBED Equation.3 
Fator do valor atual de séries uniformes
Permite calcular o valor atual P correspondente a uma série de “n” rendas uniformes quando a taxa de juros for de i% por período.
PERPETUIDADES
Em algumas aplicações, o número de pagamento ou anuidades pode ser considerado infinito (séries de rendas uniformes perpétuas).
Partindo-se da equaçãoP= R 
E calcula-se o seu limite quando n ( ( tem-se então:
 
lim P = lim R 
*
n ( ( n ( ( 
= lim R 
[ ] ]
*Dividindo-se 
 por (1+i)n
 
 (1+i)n – __1 __
 = (1+i)n_ (1+i)n
 (1+i)n . i
 (1+i)n
Resultando em
Perpetuidade 0
 P = R 
 P= 
Em alguns casos de estudos, para uma aproximação de uma renda uniforme constante, por exemplo avaliação de um aluguel de Apto toma-se esta regra para sabermos o aluguel considerando o valor do apto e a taxa de renda esperada.
Exemplo: valor Apto = 25.000,00
i = 0,5% a.m.
Valor do aluguel mensal aproximado
R = Pi=25000 x 0,5
 100
R= 125,0 por mês
Qual o problema na determinação de uma perpetuidade?
Observe que partiu-se de um valor constante para o valor do Apto, no exemplo acima, e não se considerar a depreciação do imóvel, sua própria desvaloração.
Outro fator importante a ser destacado é que a taxa de rendimento esperado pode variar ao longo do tempo
Incorporando estas variações pode-se determinar uma perpetuidade em um grau de tolerância, ou seja:
(R+(R) = (P+(P) . (i+(i)
Sendo
(R( variação da renda constante provocada por (P e (i
(P( variação do valor do título ou patrimônio
(i( variação da rentabilidade ao longo do tempo
Exemplo 1
Um empréstimo será pago em 8 prestações mensais de R$ 60.000. Se a taxa de juros composta for de 15% a.m., qual será o valor desse empréstimo?
Dados: R=R$ 60.000 i = 15% a.m. n = 8 P=?
Supondo que o único custo seja o financeiro/juros/, o valor do empréstimo será igual ao valor atual das prestações:
P = R 
 
P = 60.000 
ou P = 60.000 a(15
 
= 4,48732
P = R$ 269.239,20
P = 269.239,20
8
 i = 15% a.m.
 R = 60.000
Exemplo 2
Determinar o valor de cada uma das seis prestações mensais e iguais que liquidam um débito de R$ 200.000, sendo a taxa de juros composta de 18% a.m. para os três primeiros meses e 20% a.m. para os demais.
 
Dados: P = 200.000 i = 18% a.m. i 4-6 = 20% a.m.
 P’
 200.000
 1 2 3 4 5 6 
 R R R R R R
 ((( ((( 
 i = 18% i = 20% 
 a3(20%
 
200.000 = R 
 ((( ((( 
 a3(20% Valor das 3 últimas prestações na data 3
 = P’
200.000 = R x 
 R = R$ 57.864,73
Em quantos meses uma pessoa consegue liquidar um empréstimo de R$ 1.895.395,00 pagando prestações mensais de R$ 500.000,00 se a taxa de juros cobrada for de%a.m.?
Dados
P= R$ 1.895.395,0 R= 500.000,0 i = 10% a.m. n=?
Solução P = R 
Substituindo
 1.895.395,0 = 500.000,0 
 (((
 an(10%
1.895.395 = an(10% ( Ir na tabela e localizar o valor 3,79079 para taxa de 10%
 500.000 = ( verificar o n? 
3,79079 = an(10% (
Não tendo tabela:
 Dividindo o lado esquerdo por (1,1)n tem-se
 
 = 
 
 
Aplicando-se o logaritimo
Pn (1,1)n = (n 
 
 = Pn 0,62092
 (n 1,1 ( 1,1
 n = 5 meses 
Qual a taxa de juros anual efetiva à qual foi tomado um financiamento de R$ 300.000, que será liquidado em 18 prestações mensais de R$ 37.758,88?
Dados: P = 300.000 n = 18 R = R$ 37.758,88 
 1 2 3 18
 R = 37.758,88
 Substituindo os valores
 300000 = 37758,88 x a18(i%
( a18(i% = 300000 = 7,94515
 37758,88
Pesquisando na tabela an(i% . 0
Valor de 7,94515 está entre a18(10% e a18(11%
a18(10% = 8,20141
a18(11% = 7,70162
Para interpolação
 10% ( a18(10% ( 8,20141
 (1+10,4872)12 = (1+i)
 i = 130,934.a.a
8,20141
7,94515
7,70162
 10 X% 11 %
 X-10 = 11 - 10
 9,94515- 7,70162 8,20141 –7,70162 
 X – 10 = 0,4872 X = 10,4872%
 
Uma quantia de R$ 50.000 foi financiada em 12 prestações mensais iguais antecipadas. Se o credor cobra juros de 8% a.m., calcular o valor das prestações.
Dados P = 50.000 n = 12 i = 8% a.m. R = ?
Fluxo
 
 1 2 11
. . . . .
R R R
 
Como a primeira prestação é paga no ato do financiamento então o valor financiado é:
Fin = 50.000 – R
Ou seja
50.000 – R = R. an-1(1 = n = 12
 = R 
�� EMBED Equation.3 
 (((
 7,13896 
Assim:
50.000 – R = Rx7,13896
 R = 50.000 R = 6.143,29 
 8,13896
4a LISTA DE EXERCÍCIO
CAP. 4 NO)2,4,5,6,7,8,10 PAG. 109/110
Se considerarmos que existe um período de carência para o financiamento de 3 meses até o pagamento da 1a prestação, qual seria a nova prestação?
 P
Novo Fluxo = 50.000(1+i)
 1 2 3 n
 50.000
 R R 
 P’ 50.000(1+i)2
 P = R an(i
 ! ! ! 
 1 2 3 . . . . 
 1 2 R’ 3 R’ R’ 
Inicialmente devemos levar o valor do financiamento para 1 mês antes de pagar a primeira prestação. E a partir disso aplicar normalmente a regra P = R an(i
Então:
No mês 2 = P = (1+0,08)2 x 50.000 = 58.320,0
58.320 = R an(i = R a12(0,08 R(((
 usar a tabela ou calcular 7,53608 
 R = 58.320, = 7.738,77
 7,53608
 R = R$ 7.738,77
Conclui-se que existindo algum prazo de carência e dada as mesmas condições de financiamento haverá um aumento no valor da prestação.
Para um financiamento paga-se 7 prestações mensais iguais antecipadas na compra de um veículo. Se o valor das 4 primeiras for de R$ 4.000,0 e o das 3 últimas de R$ 10.000,0 , qual será o valor do financiamento, dado que os juros é de 12% a.m.
Dados: R1 = 4000 R2 = 10.000 i = 12% a.m. P = ?
Fluxo
 P
 1 2 3 4 5 6 7
 (((
 4.000 ((( 
 10.000 
O valor do financiamento será:
 P = 4.000 + 4.000 a3(12% + { 10.000 a3(12% } x 1
 1,233
= 
 ((( (((
 2.40183 =2,40183 
 ((( ((( 
 valor das 4 primeiras valor das 4 últimas 
 prestações prestações
P = 4000 + 4000 x 2,0183 + 10.000 x 2,40183 x 0,71178
P = 30.703,07 Dado que se paga 1a prestação no ato então o valor financiado será:
Financiamento = 30.703,07 – 4.000
F = 26.703,07
 
Cálculo do valor futuro ou montante de uma série de rendas uniformes
Fluxo equivalente:
 
 S = ?
 •R
 R R R
 1 2 3 . . . . n
O valor futuro de uma série uniforme é igual ao somatório de todas as parcelas na data focal ‘n’, considerando uma taxa de juros i%
Logo:
S = R + R(1+i) + R(1+i)2 + R(1+i)3 + . . . . . R(1+i)n-1
= R [1+(1+i) + (1+i)2 + (1+i)3 + . . . . (1+i)n-1 ]
 
Soma de uma progressão geométrica onde geométrica onde a razão q = (1+i)
Corresponde a:
 = R = Sn(i%
 (((
 Sn(i% ( valor tabelado
O processo metodológico de cálculo e problemas segue a mesma linha de raciocínio do valor presente de uma série uniforme.
Exemplo: Quanto uma pessoa acumularia no fim de 19 meses se depositasse todo final de mês R$ 350 em uma caderneta de poupança que paga juros de 5% a.m.?
Dados: n = 15 meses R = 350 i + 5% a.m. S + ?
 R R S= ?
 R= 350
 0 1 2 3
 N = 350 . 21,57856 N = 7552,40 
Um financiamento de R$ 12,000 será pago em 15 prestações mensais iguais. Se a taxa de juros for de 10% a.m. calcular o valor das prestações e o montante final.
Dados: R = 12.000 n = 15 i = 10% K = ? N = ?
Solução: R= ____P = 12.000 
 an(i% a15(10 ( ver tabela ou calcular!
 
 R = 1.577,68
Para se conhecer o montante final, N:
ou se projeta o valor presente:
 N = 12.000x(1,1)15 = 50.127,00 ou
N = 1577,68 x S15(10% = 1577,68 X 31,77248 = 50.127,00
Um financiamento de R$ 132.000 será liquidado em 14 prestações mensais. Se a taxa de juros efetiva for de 180% a.a. calcular o valor da prestação.
Dados: P = 132.000 n = 14 i = 180% a.a.
Solução: Converter a taxa de juros efetiva em equivalente mensal.
 (1+1a) = (1+im)12 im = (1+1,8)1/12 – 1
 im = 8,959% a.m.
Conhecendo-se a taxa mensal pode-se então usar a fórmula de séries uniformes à valor presente ou seja:
�� EMBED Equation.3 = 
 R = 16914,09
 
RENDAS VARIÁVEIS
Diferentemente dos casos tratados até então, Rendas Uniformes; rendas Variáveis apresentam-se em algumas situações nos cálculos financeiros. Podendo ser crescente ou decrescente.
RENDAS VARIÁVEIS EM PROGRESSÃO ARITMÉTICA
O fluxo de caixa que representa este tipo de série é apresentado abaixo
 O 1 2 3 4 5 n 
 G
 2G 
 3G
 4G
 (n-1)G
Observe que não há pagamento no 1o período
A série cresce em progressão aritmética com razão igual a G
A série pode ser decomposta em n-1 séries uniformes; e assim podemos utilizar a metodologia das séries uniformes.
 
 1 2 3 4 n 0 1 2 n 
 série V1 
 G G
 2G 0 1 2 n-1 n 
 3G
 série V2
 G G 
 
 o 1 n-2 n-1 n
 (n-1)G
 série V3 
 
 G G G
 0 1 2 3 n série Vn-1
O montante (N) da série gradiente será o somatório dos montantes (Ni) das séries uniformes diferidas:
 ((( ((( (((
 V1 V2 V3
Substituindo em (1)
 V1 V2 Vn-1
Colocando G e i em evidência.
 
 
 Existem n-1 termos 1.
Colocando-se o termo n para fora do colchete:
 (((
 Este representa o termo Sn(i
Onde: Sn(i =Substituindo em (2)
Agora podemos calcular a Renda Uniforme
EQUIVALENTE A UMA SÉRIE GRADIENTE
 
O valor atual da série gradiente uniforme
a
 Substituindo o valor de R
a
Quantos devemos aplicar hoje, a uma taxa de juros de 6% a.m. de forma que seja possível, a partir do próximo segundo mês, fazer uma série de 5 pagamentos, em que o primeiro pagamento é igual a R$ 20.000,0 e os outros são gradativamente crescente, formando uma série gradiente uniforme igual A . G, 2G, 3G, 4G, 5G
 G 2G 3G 4G 5G 
 1 2 3 4 5 6
 P=
Aplicando-se a fórmula para montante ou valor futuro de série gradiente, tem-se:
Cálculo Principal
P = R$ 229.187,23
PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIMENTOS
O processo de reembolso de um empréstimo consiste nos pagamentos das prestações: Amortização e Juros.
AMORTIZAÇÃO: Pagamento da parcela referente ao principal do empréstimo
JUROS: Encargo do empréstimo, custo do capital (serviço da dívida)
A discriminação destas parcelas origina-se de fato de que os juros são dedutíveis para efeito de taxação do Imposto de Renda
Nos sistemas de amortização os juros são calculados sempre sobre o saldo devedor.
Principais sistemas:
Sistema Francês de Amortização
Tabela Price
Sistema de Amortização Constante
Sistema Americano de Amortização
Sistema Misto
SISTEMA FRACÊS DE AMORTIZAÇÃO
Por este sistema o mutuário obriga-se a devolver o principal mais o juros em prestações iguais e periódicas.
Ex. P = R$ 200.000 i = 10% a.m.
 N = 4
Série uniforme então 
 SDt = SDt-1 - At
	Mês
	Saldo Devedor
(SDt)
	Amortização
(At = Rt – Jt)
	Juros
Jt = i x SDt-1
	Prestações
(Rt)
	0
	 200.000 x 10%
	-
	-
	-
	1
	 156.906 (-)
 x 10%
	43.094,0
	20.000,0
	63.094
	2
	 109.502,6 
	47.403,4
	15.690,6
	63.094
	3
	 57.358,86
	52.143,74
	10.950,26
	63.094
	4
	0
	57.358,86
	5.735,89
	63.094
Passos 4 3 2 1
 200.000 
 1 2 3 4 
 
 R R R R R = 63.094,00 
ALGORITMO
Cálculo da Prestação
Cálculo dos juros sobre o saldo devedor do período anterior : Jt = i x SDt-1
A amortização de cada período é calculada pela diferença entre o valor da prestação e os juros do período: At = Rt - Jt
O saldo devedor de cada período será igual ao saldo anterior menos a amortização do período
SDt = SDt-1 - At
No exemplo anterior, introduzir prazo de carência de 3 meses - pagar somente o juros na carência
	Mês
	SDt = SDt-1 - At
	Amortização
At = Rt - Jt
	Juros
Jt = i x SDt-1
	Prestação
Rt
	0
	200.000
	-
	-
	-
	1
	200.000
	-
	20.000
	20.000
	2
	200.000
	-
	20.000
	20.000
	3
	156.906
	43.094
	20.000
	63.094
	4
	109.502,6
	47.403,9
	15.690
	63.094
	5
	57.358,86
	52.143,74
	10.950,26
	63.094
	6
	-
	57.358,86
	5.735,89
	63.094
Se o juros não for pago, este deve ser incorporado ao principal
	Mês
	Saldo devedor
SD
	Amortização
At
	
Juros
	Prestação
Rt
	0
	200.000
	-
	-
	-
	1
	220.000
	-
	-
	-
	2
	242.000
	-
	-
	-
	3
	189.856,18
	52.143,82
	24.200,0
	76.343,82
	4
	132.497,98
	57.358,20
	18.985.62
	76.343,82
	5
	69.403,96
	63.094,02
	13.249,80
	76.343,82
	6
	0
	69.403,96
	6.940,40
	76.343,82
SD1 = 200.000 x(1+10%) = 220.000,00
SD2 = 200.000 x(1+10%)2 = 242.000,00
Resumo
Financiamento normal
Financiamento com prazo de carência mas pagando-se o encargo da dívida – juros
Financiamento incorporando-se ao principal o encargo da dívida
TABELA PRICE
Este é um caso particular do Sistema Francês de Amortização, em que a taxa de juros é dada em termos nominais (na prática é dada em termos anuais) e as prestações tem período menor que aquele a que se refere a taxa de juros.
Neste sistema, o cálculo das prestações é feito usando-se a taxa proporcional ao período a que se refere a prestação, calculada a partir da taxa nominal.
Exemplo: um empréstimo de R$ 200.000 será pago em 3 prestações mensais iguais sem período de carência. Se a taxa de juros for de 180% a.a., construir a tabela de amortização.
Pela tabela price os juros são determinados pela porporcionalidade e não pela taxa equivalente mensal.
Logo:
 
 = 
Cálculo das prestações:
	Mês
	Saldo Devedor
	Amortização
	Juros
	Prestação
	0
	200.000
	-
	-
	-
	1
	142.404,79
	57.595,21
	30.000
	87.595,21
	2
	76.170,30
	66.234,49
	21.360,72
	87.595,21
	3
	-
	76.170,30
	11.425,55
	87.595,21
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE
Neste sistema, as amortizações periódicas são constantes e iguais ao valor do empréstimo dividido pelo número de períodos de pagamento
Exemplo: Empréstimo = 200.000
 N = 4 meses sem carência
 i = 10% a.m.
Os juros são calculados sobre o saldo
A prestação = Amortização + juros
	Mês
	SD
	Amortização
	Juros
	Prestação
	0
	200.000
	-
	-
	-
	1
	150.000
	50.000
	20.000
	70.000,0
	2
	100.000
	50.000
	15.000
	65.000,0
	3
	50.000
	50.000
	10.000
	60.000,0
	4
	0
	50.000
	5.000
	55.000,0
Carência
 P
 1 n
 ((( Carência = 1 mês
 R R
 CARÊNCIA 4 MESES
 P (1+i)2-1
 P’ 
 1 2 3 4 5 n
 ((( ((( ((( P = R an(i
 R
 
 P = P (1+i)3
 P P
 1 2 3 4 n
 20.000 
 J1 J2 J3 
 R R
J1 = J2 = J3 Pq a taxa i = constante
J1 = P.i J3 = P.i
J2 = P.i 200.000 x 10%
 = 20.000
TAXA DE JUROS
NOMINAL ? X% a.a. com capitalização diferente do ano
 ix = __J__
 K
 EFETIVA NÃO É DITO QUE EXISTE CAPIT.
Se a taxa for dada ao ano
Ex. 180% a.a. e pagamento mensal ( utilizar a equivalência de taxas (1=ia) = (1+im)12
Receita = 1.000
(-) custos = (200)
Pessoal
Insumo
Materiais
Serviços
De terceiros
(-) Despesas = (100)
Administrativas______________________ 
L A J I R
LucroOperacional ( 25% 
 Bruto
(-) custo capital (50) ( 
Terceiros
(Juros dos financiamentos)__________________
 L A I R 650 BASE TRIBUTÁRIA
(-) IR (25%) (162,50)
(-) CSSL (9%) (14,62)_______
LUCRO LÍQUIDO 472,88
Calcule o sistema de amortização (Sistema Francês) sendo o financiamento de R$ 100.000,0 em 3 parcelas mensais com juros de 10% a.m. Fazer a Tabela
	
	SD
	A
	J
	R
	0
	100.000
	-
	-
	-
	1
	69.788,52
	30.211,48
	10.000
	40.211,48
	2
	36.555,89
	36.232,63
	6.978,85
	40.211,48
	3
	0
	36.555,89
	3.655,59
	40.211,48
P = 200.000 R =
N = 4 Pagamento
I = 10% Antecipado
 P
 1 2 3 Valor Financiado ?
 P - R
 R R R R
P – R = R a3(10% = R 2,486851991
P = R 
P = R + 2,486851991 R
200.000 = P = 3,486851991 R
R = ___200.000____ = 57.358,32
 3,486851991
SD = 200.000 – 57.358,32
 SD = 142.641,68
Esse será o valor a ser usado nos Sistemas de Amortização.
 R
 1+i
 R
(1+i)2
 R
(1+i)3
 R
(1+i)n
lim - _1_
n(( n(( (1+i)n 
 lim i
 n((
10% a.a. com
cap. anual
700
BENS E
SERVIÇOS
FAMíLIAS
INDÚSTRIAS
GOVERNO
ETC.
MERCADO
FINANCEIRO
�PAGE �
�PAGE �10�
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