Matemática Financeira - Resumo

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Matemática Financeira
A Matemática Financeira é o ramo da Matemática aplicado aos negócios. No
ambiente da Matemática Financeira os conceitos fundamentais básicos, sendo eles o
juros; capitais; fluxo de caixa; valor atual; capitalização simples e composta; juros simples
e juros compostos; montante; capital; taxas proporcionais e equivalentes; desconto
simples, racional ou “por dentro”, são utilizados por todos os que se deparam com
problemas matemáticos relacionados com os negócios.
A matemática é uma ferramenta que auxilia na tomada de decisão do gestor, a
matemática financeira é uma área da matemática que estuda o valor do dinheiro no
tempo.
Rovina (ibidem, p. 5) conceitua a Matemática Financeira, conforme o próprio nome
indica, como um dos inúmeros ramos da Matemática, que surgiu da necessidade de
termos que lidar com o dinheiro ao longo do tempo. Para a Matemática usual, aquela que
sempre aprendemos, dois sempre é igual a dois, mas para a Matemática Financeira essa
informação é insuficiente, pois, além de quantificar, ou seja, dizer que dois é igual a dois,
precisa situar o momento temporal, ou seja, dois só é igual a dois, se, e somente se, os
dois valores estiverem situados no mesmo momento temporal, ou, melhor falando, na
mesma data.
Recursos necessários para usar os conceitos da Matemática Financeira:
• Capital: o valor principal de uma operação, ou seja, do dinheiro em um momento
inicial. Ele pode ser chamado de valor atual, na linguagem financeira é abreviado com
PV, Present Value.
• Montante: o valor do dinheiro futuro, na linguagem financeira FV, valor futuro.
• Taxas de juros: É um coeficiente que determina as correções monetárias, sempre
expressas em porcentagem (%). Na calculadora financeira é expresso pela letra “i”.
• Juros: É a correção monetária em espécie ou o valor acrescido pela taxa de juros, ela
pode ser simples ou composta.
• Desconto: É o abatimento sobre uma operação financeira; é proporcional à taxa de
juros e ao período considerado.
• Período: São os prazos envolvidos na operação financeira. Podem ser expressos em
dia, semana, mês, semestre, ano; Todas as informações de taxa e período devem
constar na mesma menção de tempo. 
• Investimento: Operação financeira em que se faz aplicação de um valor e espera
recebê-lo acrescido dos juros incorridos no período.
• Empréstimo: Operação financeira na qual se buscam recursos no mercado para fazer
às necessidades das mais variadas espécies.
• Amortização: Antecipação de pagamentos de operação de financiamentos, na qual se
fazem necessários os conceitos de valor atual e futuro.
Taxa de Juros
Taxa de juros é o coeficiente que determina o valor do juro, a razão entre os juros
recebidos (ou pagos) e o capital inicial aplicado (ou emprestado). Elas se referem sempre
a uma unidade de tempo (dia, mês, semestre, ano etc.) e podem ser representadas
equivalentemente de duas maneiras: taxa unitária (fração decimal) e taxa percentual.
Taxa Unitária: É a fração decimal da taxa que expressa quanto que um juro obtido
representa do valor principal. É expressa pela fórmula: i = J / C, onde “i” é a taxa de juros,
“J” os juros e “C” o capital, podem expressar o “C” como “P” de principal.
Taxa Percentual: é a taxa unitária expressada em porcentagem. A fórmula usada é i x
100, obtendo assim o valor em por cento. O que da mesma forma, a taxa unitária é a taxa
percentual dividida por cem, x% / 100.
Conceituamos juros como o valor acrescido em uma operação. Então, podemos
encontrá-lo pela fórmula: J = M – C, ou seja, para sabe o valor dos juros é subtraído do
montante o valor do capital, é o que sobrar é o juros adicionado ao valor principal.
Para calcular o Juros que serão acrecidos no montante, é usado a fórmula J = C x
i x n, onde n é o período em que o capital será aplicado. Mas se em vez de acrescentar
for descontar, é usada a fórmula D = C x i x n, e depois é obtido o valor do montante com
a fórmula M = C – D.
Esse é o conceito de taxa de juros, mas na Matemática Financeira ela é
diferenciado em juro exato e juro comercial.
Juro Exato: Utiliza o calendário civil, ou seja, 365 dias no ano.
Juro Comercial: Usa calendário com base no ano comercial, ou contábil, 360 dias/ano.
Os juros exatos e juro comercial são usados nas operações em curto prazo,
situação em que é comum fazer uso de juros simples, com prazos definidos em dias.
Essa condição é usada quando é necessário transformar um período anual em diário,
onde dependo do tipo de juro, em juro exato, dividimos a taxa de juros pelo número exato
de dias do ano Je = i / 365 e em juro comercial, dividimos a taxa de juros pelo número de
dias comercial, ou ano contábil Jc = i / 360. Esse calculo é feito com base no juros
simples.
Juros Simples: A capitalização ocorre somente sobre o valor principal, ou capital inicial.
Juros Composto: A capitalização ocorre sobre o valor principal e sobre os juros
incorridos; é o chamado juros sobre juros.
Equivalências de Taxas
É a forma de igualarmos taxas em períodos diferentes, onde os períodos mais 
usados são: diário (dia), mensal (mês), bimestral (dois meses), trimestral (três meses), 
quadrimestral (quatro meses), quimestral (cinco meses), semestral (seis meses) e anual 
(doze meses). A seguir mostra como transformar uma taxa maior tempo em menor tempo,
e depois em taxas menores em taxas maiores:
Mês em dias: i / 30
Bimestre em mensal: i / 2
Trimestral em mensal: i / 3
Quadrimestral em mensal: i / 4
Quimestral em mensal: i / 5
Semestral em mensal: i / 6
Anual em mensal: i / 12
Dia em mês: i x 30
Mensal em bimestral: i x 2
Mensal em trimestral: i x 3
Mensal em quadrimestral: i x 4
Mensal em quimestral: i x 5
Mensal em semestral: i x 6
Mensal em Anual: i x 12
As taxas são chamadas de equivalente porque o valor diário equivale ao mensal 
multiplicado por trinta.
Equivalências de Capitais
Com a mesma definição de equivalência de taxas, dois capitais são equivalentes 
quando colocados no mesmo prazo. Sabendo que dinheiro tem valor no tempo, onde 10 
hoje é 11 amanhã, pode se afirmar que 10 e 11 são equivalentes, ou seja, são o mesmo 
valor acrecido do tempo.
Pagamentos diferentes em sua magnitude total, mas que são feitos em datas 
diferentes, podem ser equivalentes. Capitais são ditos equivalentes quando os seus 
valores, transferidos para a mesma data, com a mesma taxa de desconto (custo de 
oportunidade), são iguais.
Taxas equivalentes em Juros Simples
Para calcular o valor atual: PV = FV / (1 + i x n) ou C = M / (1 + i x n). E para
calcular o valor futuro: VF = VP x (1 + i x n) ou M = C x (1 + i x n). 
Para equivaler o valor do capital é feita o calculo do capital do segundo período
usando apenas o valor do montante do primeiro e o período do segundo, para assim obter
o capital equivalente ao primeiro.
Exemplo:
1º Período
PV = 100 / (1 + 0,1 x 1)
2º Período
FV = PV x (1 + i x n)
FV = 90 x (1 + 0,1 x 2)
Regime de capitalização dos Juros
É a forma como os juros são incorporados ao capital no decorrer do tempo e
podem ser identificados em dois regimes de capitalização: simples e composto.
Simples: Compara-se a uma progressão aritmética, isto é, o juro cresce de forma linear
ao longo do tempo. Os juros incidem somente sobre o capital inicial da operação, e não
sobre o acumulativo. As fórmulas usadas são:
Para calculo do Juros:
J = C x i x n
Para calcular o Capital:
C = J / i x n
Para calcular a taxa de juros:
i = J / C x n
Para calcular o período:
n = J / C x i
São usado as abreviações:
a.d
a.m
a.b
a.t
a.q
a.s
a.a
Ao dia
Ao mês
Ao bimestre
Ao trimestre
Ao quadrimestre
Ao semestre
Ao ano
Montante é o valor obtido através da soma do capital e dos juros produzidos em
um determinado período; alguns autores, nas resoluções de exercícios, representam o
montante pela letra M, e outros utilizam a abreviação FV, que, na calculadora financeira
HP12C, representa valor futuro. Ele é calculado com a forma: M = C + J
Regime simplesracional ou “por dentro”
O desconto simples racional, também chamado de desconto “por dentro”, assume
os conceitos e relações básicas de juros simples. Dessa forma, Dr é o valor do desconto
racional, C é o capital (ou valor atual), i é a taxa periódica de juros e n é o prazo do
desconto (número de períodos em que o título é negociado antes de seu vencimento).
Tem-se a seguir a expressão de juros simples: Dr = C x i x n
Pela definição de desconto, e incorporando o conceito de valor descontado no lugar do
capital no cálculo do desconto, obtém-se: Dr = N – Vr, sendo que N é o valor nominal (ou
valor de resgate ou montante) e Vr é o valor descontado racional (ou valor atual) na data
da operação. São usados as fórmulas:
Desconto = (M x i x n) / (1+ i x n)
Valor descontado = M / (1 + i x n)
Desconto bancário ou comercial “por fora”
Desconto comercial (ou “por fora”) proporciona maior volume de encargos
financeiros nas operações, porque incide sobre o valor nominal, ou “valor de resgate”.
Determina-se o desconto por fora (DF, no regime de juros) da seguinte forma: o produto
do valor nominal do título (N) multiplicado pela taxa de desconto periódica “por fora”
contratada na operação (d) e pelo prazo de antecipação definido para o desconto (n), o
que pode ser matematicamente representado da seguinte forma: DF = N x d x n. Sendo
assim, aplicando-se a definição para o valor descontado “por fora” (VF), obtém-se a
seguinte fórmula: VF = N – DF, ou VF = N – N x d x n, ou VF = N (1 – d x n).
Regime de Capitalização Composta
Compara-se a uma progressão geométrica, ou seja, o juro cresce de forma
exponencial ao longo do tempo. Os juros incorporam-se ao capital inicial da operação e
de forma acumulativa, isto é, juros sobre juros.
Juro composto: juros gerados a cada período e incorporados ao valor principal para
serem referência no cálculo dos juros do período seguinte, isto é, são juros sobre juros. O
momento em que os juros são incorporados ao valor principal é quando ocorre a
capitalização.
Na comparação entre juros simples e compostos, o mesmo capital aplicado pelo
mesmo período e taxa de juros ficam com uma diferença grande no montante final, onde
o composto rende mais que o simples.
Fórmulas:
Montante M = C x (1 + i)^n
Capital C = M / (1+i)^n
Juro J = C x [(1+i)^n -1]
Juro J = M – C
Taxa de Juros i = (M/C)^(1/n) – 1
A taxa de juros, representada pela letra i, tem de ser expressa na mesma medida
de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.
Taxas proporcionais e equivalentes em capitalização composta
No regime de juros compostos, o conceito de taxa equivalente permanece válido, 
diferenciando a fórmula de cálculo da taxa de juros. Duas taxas são equivalentes quando 
um determinado capital aplicado produz mesmo montante no mesmo período.
A fórmula usada é iq = ((1+i)^(1/q) – 1)x100 onde q são os períodos de capitalização.
Ou seja, tenho uma taxa ao mês que renderá ao ano, logo o meu período de 
capitalização será 12, semestre será 6, trimestre 3, bimestre 2. Mas se a taxa for 
bimestral, e render semestralmente o que q será 3, anual 6.
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS
Os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de 
empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos do 
valor principal e encargos financeiros.
Sistema Financeiro da Habitação (SFH)
Criado em 1964, com o objetivo de viabilizar a concessão de financiamentos de longo 
prazo para aquisição da casa própria. 
A concessão de um financiamento habitacional inicia-se com a procura, pelos 
interessados, de um agente financeiro. Os recursos para esse empréstimo podem ser 
oriundos das contas vinculadas do FGTS, Fundo de Garantia do Tempo de Serviço, do 
SBPE, Sistema Brasileiro de Poupança e Empréstimo e demais fundos ou mesmo 
recursos próprios do agente financeiro.
A hipoteca do imóvel é a garantia do financiamento. Na vigência desse sistema 
(SFH), foram criados planos e formas de reajuste de prestações.
Há várias maneiras de amortizar uma dívida. É imprescindível, em cada operação, 
que as partes estabeleçam contrato para esclarecimento das formas, taxas e afins para o 
acerto da antecipação do montante e quitação da dívida.
Uma característica fundamental dos sistemas de amortização é a utilização 
exclusiva do critério de juros compostos, incidindo os juros exclusivamente sobre o 
saldo devedor (montante) apurado em período imediatamente anterior.
Para cada sistema de amortização, é construída uma planilha financeira que 
relaciona, dentro de certa padronização, os diversos fluxos de pagamentos e 
recebimentos.
São consideradas também, no SFH, modalidades de pagamento com e sem 
carência.
Na carência, não há pagamento do valor principal, sendo pagos somente os juros, 
que podem eventualmente ser capitalizados durante esse período.
Os sistemas de amortização mais usados no mercado são:
• Sistema de Amortização Constante – SAC;
• Sistema de Amortização Francês (Price) – SAF;
• Sistema de Amortização Misto – SAM;
• Sistema de Amortização Americano – SAA;
• Sistema de Amortização Crescente – Sacre;
• Sistema de Amortização Variável (parcelas intermediárias).
Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos tratam da forma 
pela qual o valor principal e os encargos financeiros são restituídos ao credor.
Encargos financeiros: representam os juros da operação, caracterizados como 
custo para o devedor e retorno para o credor. Eles podem ser prefixados ou pós-fixados. 
O que distingue essas duas modalidades é a correção (indexação) da dívida em função 
de uma expectativa (prefixação) ou verificação posterior (pós-fixação) do comportamento 
de determinado indexador.
Nas operações pós-fixadas, há um desmembramento dos encargos financeiros em 
juros e correção monetária (ou variação cambial, no caso de a dívida ser expressa em 
moeda estrangeira) que vier a se verificar no futuro; nas prefixadas, estipula-se uma taxa 
única, a qual incorpora evidentemente uma expectativa inflacionária para todo o horizonte 
de tempo.
As operações pós-fixadas possui encargo real da taxa de juros e preveem também 
a correção monetária (ou variação cambial) do saldo devedor da dívida, representa 
normalmente a recuperação da perda de valor do capital emprestado e ainda não 
restituído, situação gerada pela desvalorização perante a inflação.
Amortização: a fração (parte) do capital paga ou recebida em um determinado 
período (data). É representada pela variável A.
Prestação: é o pagamento efetuado ao longo da série de pagamentos, sendo 
composto de uma parcela de capital chamada amortização e uma parcela de juros. É 
representada por PMT (abreviatura de payment, que significa pagamento).
Prestação = Amortização + Juros.
PMT = A + INT
Carência: significa a postergação só do valor principal, excluídos os juros. Os 
encargos financeiros podem, dependendo das condições contratuais, ser pagos ou não 
durante essa etapa.
Saldo devedor: este é o elemento principal da dívida em um momento em que se 
tem deduzido o valor pago ao credor a título de amortização e de carência (que é uma 
diferenciação da data convencional do início dos pagamentos).
Sistema de Amortização Constante (SAC)
O Sistema de Amortização Constante tem como característica básica as 
amortizações sempre iguais do valor principal, em todo o prazo da operação. O valor da 
amortização é facilmente obtido mediante a divisão do capital (quantia emprestada) pelo 
número de prestações.
Nessa modalidade, os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante 
decresce após o pagamento de cada amortização, assumem valores decrescentes nos 
períodos.
Em consequência do comportamento da amortização e dos juros, as prestações 
periódicas e sucessivas do SAC são decrescentes em progressão aritmética.
No período 0 (zero), não há amortização, pois é o momento em que ocorre o 
empréstimo.
Expressões de cálculo do SAC
Amortização (Amort):os valores são sempre iguais e obtidos por:
Amort = PV / n
PV = principal (valor do financiamento)
n = número de prestações
Saldo devedor (SD): é decrescente em PA (progressão aritmética) pelo valor constante 
da amortização. Logo, a redução periódica do SD equivale a subtrair, do seu valor 
anterior, a amortização (PV/n) do período atual:
SD = PV – Amort
Juros (J): pela redução constante do saldo devedor, os juros diminuem linearmente ao 
longo do tempo, comportando-se como uma PA decrescente.
J = (PV/n) x (n-t+1) x i
Prestação (PMT): é a soma da amortização com juros e encargos administrativos que 
deve ser analisada em cada situação de empréstimo com a instituição financeira.
PMT = Amort + J
ou
PMT = (PV/ n) x [1+ (n − t +1) i]
SAC com carência
Carência é o prazo concedido nas operações de financiamento em que o credor não paga
ou não amortiza o valor principal da dívida contraído. Três situações podem ocorrer:
a) os juros são pagos durante a carência;
b) os juros são capitalizados e pagos totalmente quando do vencimento da primeira 
amortização;
c) os juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor, gerando um fluxo de 
amortizações de maior valor.
Ignora-se a carência quando não mencionada no problema. Nesse caso, a amortização já
começa então no 1º mês.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS
O Sistema de Amortização Francês (SAF), desenvolvido originalmente pelo inglês 
Richard Price, assumiu essa denominação pelo seu uso amplamente generalizado na 
França no século passado. Amplamente adotado no mercado financeiro do Brasil, estipula
que as prestações sejam iguais, periódicas e sucessivas. Equivalem, em outras palavras, 
ao modelo de fluxos de caixa. Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são 
decrescentes, e as parcelas de amortização assumem valores crescentes.
SAF pode ser realizado com ou sem carência, capitalizando ou não os juros 
durante a carência.
Expressões de cálculo do SAF
No SAF, as prestações são constantes, os juros, decrescentes e as amortizações, 
exponencialmente crescentes ao longo do tempo.
Amortização (Amort): é obtida pela diferença entre o valor da prestação e os juros:
Amort = PMT – J
Na primeira amortização é usada a seguinte fórmula:
Amort = PMT – (PV x i)
E para saber o valor da amortização em um período:
Amort = Amort(t) x (1 + i)^t-1
Prestação (PMT): o valor da prestação é calculado mediante a aplicação da fórmula do 
valor presente desenvolvida para o modelo padronizado para fluxos de caixa:
PMT = PV x (1 / FPV (i,n))
onde:
FPV(i,n) = (1-(1+i)^-n)/ i
Saldo devedor (SD): para cada período, é calculado pela diferença entre o valor devido 
no início do intervalo de tempo e a amortização do período.
SD = PMT x (1-(1+i)^-(n-t)) / i
Juros (J): incidem sobre o saldo devedor apurado no início de cada período (ou ao final 
de cada período imediatamente anterior).
J = (PV – Amort) x i
TABELA PRICE
O Sistema Price de Amortização (ou Tabela Price) representa uma variante do SAF,
Sistema de Amortização Francês.
O termo postecipado significa que o primeiro pagamento será realizado no período 
seguinte.
Sistema de amortização misto
O Sistema de Amortização Misto (SAM) foi desenvolvido originalmente para as 
operações de financiamento do Sistema Financeiro de Habitação. Trata-se simplesmente 
de uma mescla do Sistema de Amortização Francês (SAF) e do Sistema de Amortização 
Constante (SAC), por meio de uma média aritmética. Essa média é feita com cada parte 
da tabela, parcela, juros, amortização e saldo devedor.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO
O Sistema de Amortização Americano (SAA) estipula que a devolução do capital 
emprestado seja efetuada ao final do período contratado, ou seja, deve ser efetuada de 
uma só vez. De acordo com essa característica básica do SAA, não estão previstas 
amortizações intermediárias durante o período de empréstimo. Os juros costumam ser 
pagos periodicamente, em que é feito um calculo de juros simples, que é igual em todas 
as parcelas.
Sinking fund ou fundo de amortização
Dentro do Sistema de Amortização Americano, costuma-se utilizar um dispositivo 
denominado sinking fund, ou fundo de amortização, cujo propósito é estocar poupanças 
periodicamente durante a vigência do empréstimo para, ao final do empréstimo, o 
montante do fundo igualar-se ao valor da dívida. A preocupação em formar um fundo 
desse tipo é a de evitar que o mutuário tenha de desembolsar uma quantia muito grande 
de dinheiro de uma vez só.
Taxa de juros: i
Período: n
Montante igual ao principal: S
Depósito do período: R
O fato de valor presente em séries uniformes postecipadas (valor da tabela): K
R = S / k
K = i / n
Sistema de Amortização Crescente (Sacre)
O Sacre é um sistema misto de cálculos do SFH, muito utilizado pela Caixa 
Econômica Federal. Nele utiliza-se a metodologia de amortização constante (SAC anual), 
mas sem adicionar o valor da TR (Taxa Referencial).
Dessa forma, o Sacre proporciona uma amortização variável. Apesar do nome, 
amortização “crescente”, ele pode resultar amortizações decrescentes, caso a TR esteja 
com valor baixo.
O grande atrativo do Sacre é que nele, a partir de um momento, as prestações 
começam a diminuir.
Custo efetivo
Quando é cobrado unicamente juro nas operações de empréstimos e 
financiamentos, o custo efetivo, qualquer que seja o sistema de amortização adotado, é a 
própria taxa de juro considerada. Por outro lado, é comum as instituições financeiras 
cobrarem, além do juro declarado, outros tipos de
encargos, tais como: IOC (Imposto sobre Operações de Crédito), comissões, taxas 
administrativas etc. Essas despesas adicionais devem ser consideradas na planilha de 
desembolsos financeiros.