EM1 - 07-10

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
 
Estrutura da Matéria I – Notas de Aula 2013.2 
Professor Newton 
 
(07/10) 
 
1.1 Radiação Térmica e a Origem da Teoria Quântica 
 
Sabe-se que corpos aquecidos emitem radiação numa ampla faixa de frequências. 
Sabe-se, também, que a emissão de radiação é dependente da temperatura do corpo. Em 
temperaturas mais baixas, os corpos emitem mais na região infravermelha, e em temperaturas 
mais altas, emitem mais na região visível, em direção ao azul ou violeta. A intensidade da 
radiação é definida como a energia irradiada por unidade de área por unidade de tempo. 
Em 1879, Josef Stefan (físico austríaco) determinou experimentalmente 
(empiricamente) que a intensidade total da radiação emitida (energia total por unidade de 
área por unidade de tempo) por um corpo aquecido era proporcional à temperatura absoluta 
do corpo elevada à quarta potência. Mas notou também que o valor da intensidade total 
dependia do tipo de corpo, mesmo estando à mesma temperatura. Escreveu como: 
 
 
 
Onde é a emissividade do corpo, variando entre zero e um, a depender do tipo de corpo; é 
a constante universal de Stefan-Boltzmann; é a temperatura absoluta do corpo e é a 
intensidade total da radiação medida para todo espectro de frequências emitidas. 
A intensidade da radiação emitida por um corpo aquecido depende da faixa de 
frequências selecionada para realizar a medida da emissividade. Se selecionarmos medir a 
intensidade da radiação entre uma frequência e , teremos uma intensidade nessa 
faixa de frequências. 
Define-se a radiância espectral como a intensidade de radiação por unidade 
de frequência: 
 
 
 
 
 
 
 
Experimentalmente, encontram-se curvas de radiância espectral com o seguinte aspecto: FIG 
1.1.1 
 
∫ 
 
 
 
 
2 
 
As primeiras medidas experimentais precisas da radiância espectral foram feitas por 
Lummer e Pringsheim em 1899. A medida da intensidade da radiação se tornou possível com a 
invenção do bolômetro, em 1878, por Samuel Pierpont Langlon. Usado inicialmente para 
medir a radiação do Sol em determinadas faixas de frequência. 
Outro fato experimental também conhecido e que pode ser observado nas curvas de 
radiância espectral é que a frequência nos pontos de máximo é proporcional à temperatura. 
Isto é chamado de Lei do Deslocamento de Wien. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⁄
 
 
1.2 O Corpo Negro 
 
O conceito de corpo negro ou radiador integral foi introduzido por Kirchoff em 1882. 
Por definição, é um corpo que absorve toda a radiação nele incidente. Superfícies “pintadas” 
com negro de fumo ou fuligem (uma forma de carbono amorfo) se aproximam bem da 
definição. Um modelo para um copo negro é o de uma cavidade com um pequeno orifício 
comunicando para o exterior. Uma radiação incidente no orifício atinge as paredes internas, 
ocorrendo um processo de múltipla reflexão/absorção. Essas absorções provocam elevação da 
temperatura do corpo. Diz-se que o orifício tem propriedades de um corpo negro pelo fato de 
absorver toda a radiação nele incidente. 
Por outro lado, se o corpo estiver aquecido, haverá energia eletromagnética no 
interior da cavidade, e uma parte dessa energia sairá pelo orifício. A análise do espectro da 
radiação emitida dar[a informações do espectro da radiação do interior do corpo. FIG 1.1.2 
 
(09/10) 
 
1.3 Teorias Clássicas da Radiação de Cavidade 
 
A origem do estudo da radiação dos corpos aquecidos estava relacionada com a 
necessidade de medir a temperatura dos autofornos usados na siderurgia pela análise da “luz” 
ou radiação emitida através das janelas de inspeção dos fornos. A medida e o controle da 
temperatura são importantes para a qualidade da liga metálica produzida. 
A curva de radiância espectral mostrada anteriormente é a curva de um corpo negro 
aquecido. Vários modelos teóricos baseados na teoria clássica do eletromagnetismo tentaram 
reproduzir resultados obtidos experimentalmente sem sucesso. 
Wilhelm Wien tentou explicar o comportamento da curva usando a termodinâmica e a 
teoria eletromagnética de Maxwell e conseguiu demonstrar matematicamente a Lei do 
Deslocamento que tem seu nome em 1893: 
 
 
 
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Encontrou também uma expressão que se ajustava à curva experimental para altas 
frequências apenas. FIG 1.3.1 
Entre 1900 e 1905, Lord Rayleigh e James H. Jeans apresentaram uma teoria com 
hipóteses diferentes da de Wien, que descreveremos a seguir. 
Consideraram uma cavidade com paredes metálicas com temperatura uniforme e 
admitiram que o interior da cavidade estava em equilíbrio térmico com as paredes. A radiação 
absorvida pelas paredes fazia os osciladores moleculares vibrarem e reemitirem de volta a 
radiação para o interior da cavidade. A superposição das ondas no interior da cavidade 
produziria ondas estacionárias com nós nas paredes. 
A energia média dos osciladores poderia ser calculada pelo princípio da equipartição 
da energia da mecânica estatística. Admitindo dois graus de liberdade para os osciladores 
correspondentes às duas direções de polarização possíveis para a onda eletromagnética. Em 
outras palavras, era admitido que o número de osciladores com uma certa energia podia ser 
calculado pela distribuição de probabilidades de Boltzmann para um gás ideal a uma 
temperatura em equilíbrio térmico. Iniciaremos o raciocínio com um problema 
unidimensional, considerando uma cavidade de comprimento ao longo do eixo . FIG 1.3.2 
Os osciladores das paredes geram ondas eletromagnéticas que se propagam ao longo 
do eixo nos dois sentidos. Consideremos que o vetor campo elétrico esteja na direção 
(uma possível direção de polarização). 
No espaço entre as paredes metálicas, a onda estacionária resultante da superposição 
das duas ondas pode ser genericamente descrita por: 
 
 
 
 
 
 ⁄ ⁄ 
 
A condição de contorno nas superfícies metálicas impõe que o campo elétrico seja 
nulo em e para qualquer instante de tempo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⁄
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, nem todas as frequências são permitidas, apenas aquelas múltiplas de 
 
 
 podem 
existir de modo permanente na cavidade. Temos, então, valores discretos e equidistantes de 
frequências possíveis. FIG 1.3.3 
A cada onda está associada uma frequência da radiação. Contudo, como existem dois 
modos possíveis de polarização para a onda (vetor ⃗ na direção , ou ou combinação), 
podem existir duas ondas associadas à mesma frequência. Para calcular a quantidade de ondas 
estacionárias existentes em um intervalo de frequências entre e , basta contar o 
número de frequências possíveis nesse intervalo e multiplicar por dois. Chamaremos essa 
quantidade de (essa quantidade é proporcional ao intervalo considerado). é a 
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quantidade de ondas por intervalo mínimo de frequências. Por exemplo, considere um 
intervalo: 
 
 
 
 
 
 
Entre e teremos valores possíveis de frequências: 
 
 
 
 
 
 
A quantidade de ondas associadas será . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observemos que, neste caso unidimensional, 
 
 
 não depende de , pois 
 
 
 é 
constante. Para valores de frequência muito elevados ( muito grande,), o intervalo 
 
 
 será, relativamente, muito pequeno, e podemos considerar a aproximação diferencial 
como . 
 
Consideremos, agora, uma cavidade tridimensional com forma de um cubo de arestas 
 paralelas a , e , de paredes metálicas a uma temperatura . FIG 1.3.4 
Nesta situação, podemos ter uma onda estacionária proveniente da superposição de duas 
ondas que se propaguem em sentidos opostos em uma determinada direção do espaço, 
contanto que os componentes desta onda satisfaçam a condição de contorno de valor do 
campo elétrico zero nas paredes do cubo. 
Genericamente, a onda estacionária pode ser escrita como: 
 
 ⃗ ⃗ ( ⃗ ⃗⃗ ⃗) ⃗ ⃗ 
 ⃗ ̂ ̂ ̂ 
| ⃗ | 
 
 
 √ 
 
 
 
 ⃗ ⃗⃗ ⃗ 
 
Se considerarmos os componentes do campo que propagam ao longo dos três eixos, 
deveremos ter o campo se anulando nas paredes do cubo. Por exemplo, para a onda que se 
propaga ao longo do eixo (vetor ⃗ na direção ou ), temos: 
 
 {
 
 
 
 
Como, em deveremos ter , ou 
 
 
 
 
 
. De 
modo semelhante, ou 
 
 
 e ou 
 
 
. 
5 
 
Mas,