aula07d

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Átomo de hidrogênio
Átomo de de Broglie
Equação de Schrödinger
Átomo de hidrogênio
Transições de níveis
Teoria de Bohr para H
Na teoria de Bohr, foi necessário postular a 
existência de números quânticos.
Considerando os elétrons como ondas 
estacionárias, esse postulado sai 
naturalmente.
Limitações da ciências no séc. XIX
Dois fatos são mal explicados:
 Conflito entre o modelo ondulatório e 
corpuscular para a luz
 Quantização da energia
 Para tal, houve um desenvolvimento de uma 
nova teoria para a mecânica
 
Onda-partícula: elétron
Os experimentos de 
Thompson e de 
Milikan confirmaram 
que os elétrons eram 
partículas massívas 
carregadas (de carga 
-e) 
Dualidade onda partícula
Ao tentar explicar o modelo de Bohr e os 
osciladores quantizados de Planck, de Broglie 
propôs que uma partícula de massa m e 
velocidade v pode ser como uma onda de matéria 
cujo comprimento de onda seja:
Dualidade onda partícula
Qual o comprimento de onda de uma bola de 
100g a uma velocidade de 20m/s?
3x10-22pm!!! 
Não é possível experimentos de ondas nessa 
escala e, portanto, não vemos as características 
de onda.
Dualidade onda partícula
Qual o comprimento de onda de um elétron num 
gás de elétrons a 300K? 
Sabendo que a massa é de 9x10-31kg e 
velocidade média de 105m temos o comprimento 
de onda de 7000pm. 
Ou seja, é possível fazer um experimento de 
onda para observar o comportamento de onda do 
elétron nesse gás. 
Dualidade onda partícula
Podemos ver um comportamento ondulatório ao 
passar os elétrons por uma dupla fenda.
Dualidade onda partícula
O padrão de intensidade de elétrons no anteparo 
é como o elétron fosse uma onda. E a detecção 
do elétron no anteparo é como fosse uma 
partícula.
 
Onda-partícula: elétron
De Broglie em 1924, postulou que, da 
mesma forma que o fóton tem 
comportamento de onda e de partícula, o 
elétron teria a mesma propriedade. Assim, 
o elétron é uma onda com comprimento:
 
Onda-partícula: elétron
Davisson e Thompson incidiram elétrons 
com energia alta numa placa metálica e 
obtiveram um padrão de interferência cujo 
comprimento de onda do elétron era o que 
de Broglie tinha postulado.
 
Onda-partícula: elétron
Conclusão:
 o elétron é uma onda no experimento de 
difração
 o elétron é uma partícula no de colisão
Elétron=onda=partícula
 
Onda estacionária
Uma onda estacionária é aquela em que a 
crista, ou a posição de maior amplitude não 
se move. Da mesma forma, pontos em que 
a amplitude é nula, conhecidos como 
nodos, não se move.
 
Onda estacionária
Um exemplo de onde isso ocorre é numa 
corda de violão. No violão, dois pontos são 
presos, ao ser tocado a corda começa a 
vibrar em um modo de vibração.
Se não houvesse o atrito da corda com o ar, 
ela iria vibrar indefinidamente. Como há 
esse contato, ouvimos um som de 
freqüência igual a da vibração.
 
Onda estacionária
Podemos descrever a onda estacionária em 
uma corda através do deslocamento que 
ela faz em relação ao equilíbrio.
 
Onda estacionária
Porém, há vários 
modos em que uma 
onda estacionária 
pode estar na corda 
do violão. Podemos 
escrever a equação 
do deslocamento 
para cada modo 
como sendo:
 
Onda estacionária
O comprimento de 
onda de uma onda 
estacionária numa 
corda depende do 
comprimento da corda 
e e do número de 
ventres e é dado por:
 
Elétron confinado numa caixa
Vamos supor que um elétron esteja 
confinado em uma caixa.
 
Elétron confinado numa caixa
Visto como onda, o 
que temos é o mesmo 
problema da corda de 
violão. Devido a 
impossibilidade da 
partícula estar fora da 
região do poço, 
afirmamos que nessas 
posições a função de 
onda é nula. Havendo, 
portanto, ondas 
estacionárias.
 
Elétron confinado numa caixa
Ao considerar o 
elétron confinado 
como uma onda, 
por deBroglie:
 
Elétron confinado numa caixa
Representamos a 
quantização de 
energia pelo Diagrama 
de Níveis de Energia e 
o número n passa a 
ser o número 
quântico.
 
Elétron confinado numa caixa
Podemos observar processos de transição 
entre modos. Há o de excitação e o de 
decaimento.
A excitação consiste de 
um fóton ser absorvido 
pelo elétron na caixa do 
estado estacionário n e ir 
para m onde m>n. Isso só 
é possível se:
O decaimento consiste de um 
fóton ser emitido pelo elétron 
na caixa do estado 
estacionário m e ir para n onde 
n<m. Isso só é possível se:
Átomo de deBroglie
Vamos supor 
que o modelo 
de Bohr seja 
composto de 
ondas 
estacionárias 
de elétron. 
Átomo de deBroglie
A razão pela qual os elétrons ocupam 
somente níveis discretos tornou-se bem 
compreendida ao se considerar o elétron 
não como uma partícula, mas, também, 
como uma onda como especulado por 
deBroglie.
 
Átomo de deBroglie
deBroglie mostrou que os valores discretos 
dos raios de órbitas de Bohr são uma 
consequência natural de ondas eletrônicas 
estacionárias. 
C= 2 πa=nλa=nλλ
λ=
h
mv
mva=
nλh
2π
Partícula confinada em 2D
Para um elétron confinado em um quadrado 
de lado L, temos as seguintes ondas 
estacionárias para ele envolvendo dois 
números quânticos: n
x 
e n
y
 
Partícula confinada em 2D
Para o elétron confinado em um aro de raio 
R temos as seguintes ondas estacionárias 
caracterizadas por dois números quânticos: 
(n
a
 , n
r
)
Partícula confinada 3D
No confinamento 
3D, os estados 
estacionários 
depende de 3 
números 
quânticos, 
(nx,ny,nz) um para 
cada direção. 
Análise energética
Dessa forma vemos que:
Átomo de hidrogênio
Vamos supor um sistema com um próton 
(partícula de carga positiva) e um elétron. 
O próton cria uma armadilha para o elétron, 
mantendo-o confinado.
Qualquer tipo de confinamento faz surgir 
estados estacionários.
Equação de Schrodinger
De modo geral, as 
condições de contornos 
para existência de um 
estado estacionário são 
imposta por um 
potencial. Dessa forma 
temos a equação de 
Schrodinger.
Equação de Schrodinger
Podemos exemplificar o método de obter a 
função de onda como uma máquina
Átomo de hidrogênio
Um confinamento 
natural do elétron é 
o sistema composto 
de 1 próton e 1 
elétron.
Nesse sistema o 
próton produz um 
confinamento 
natural para o 
elétron. Isso faz com 
que tenhamos ondas 
estacionária em 3D 
para o elétron.
Números quânticos
Por ser 3D, devemos ter 3 números 
quânticos orbitais associado aos estados 
estacionários para descrever 
completamente o átomo de hidrogênio. 
São esses:
 Número quântico principal
 Número quântico momento angular orbital
 Número quântico orbital magnético
Número quântico principal
O número quântico principal, n, é o mais 
importante pois seu valor define a energia 
do átomo. Seu valor sugere os raios das 
órbitas dos elétrons.
Número quântico orbital
O número quântico orbital, l, define o 
momento angular do elétron. Se o elétron 
tem momento angular, implica que eles 
esteja girando em torno do núcleo. 
Dado que parte da energia dele esteja 
sendo usada para o movimento de rotação, 
é natural que os valores permitidos para l 
seja limitado por n.
Número quântico orbital 
magnético
Um elétron com momento angular pode 
percorrer um espira gerando momento 
magnético cujo valor é proporcional a m. 
Como o número quântico magnético indica 
a direção de giro, é natural que ele seja 
limitado por l. 
Classificação dos estados 
estacionários
Usamos para classificar as ondas 
estacionárias:
Rótulo dos estados 
A maneira mais comum de rotular os estados é de 
representar o número do orbital de momento por 
letras, assim para os valores 0,1,2,... temos as letras 
s,p,d,f,g,... um orbital com l=1 é chamado de p, d é 
um orbital com l=2. 
O valor do número quântico principal é escrito antes 
da letra: assim o orbital 3d significa um orbital com 
n=3 e l=2. 
Energia do átomo de H
A energia e o estado estacionário 
correspondente são dados pela equação de 
Schrodinger. Para o sistema descritotemos:
Solução da eq. de Scrodinger
Usamos a equação de Schrodinger para 
determinar os possíveis estados 
estacionários 
Átomo de hidrogênio 
Temos para n=1:
onde
Átomo de hidrogênio
Dessa forma para n=1:
Estado fundamental de H
Para o estado fundamental (o de menor 
energia), também chamado de orbital 1s: 
Raio de H no estado 
fundamental
Ao considerar o quadrado da função de 
onda do estado fundamental de H como a 
probabilidade de encontrar o elétron na 
posição R, podemos determinar um raio 
médio onde em média o elétron encontra-
se distante do próton. Essa distância é o 
raio de Bohr.
1º est. excitado
Para o 1º estado excitado, 
conhecido como orbital 
2s(l=0) e 2p(l=1):
Átomo de hidrogênio
Para n=2,
Átomo de hidrogênio
Podemos visualizar a distribuição dos 
estados estacionários dos orbitais s e p:
Átomo de hidrogênio
Para o orbital d temos:
Átomo de hidrogênio
Para o orbital f:
Densidade radial
Podemos analisar o tamanho do átomo de 
H no estado fundamental e no estado 
excitado e vermos uma ordem.
Espectroscopia
A verificação 
experimental sobre a 
existência de estados 
estacionários no 
átomo de hidrogênio é 
através de 
experimento de 
espectroscopia. Onde 
um gás de hidrogênio 
absorve ou emite 
fótons cuja energia é 
igual a diferença entre 
os níveis. 
Ionização
A ionização 
do átomo 
ocorre 
quando a 
energia do 
fóton for 
maior que o 
módulo da 
energia do 
estado 
estacionário.
Ficando o 
hidrogênio 
com carga 
positiva.
Átomos multi-eletrônicos
Conhecido o átomo de hidrogênio 
poderíamos fazer a mesma análise para 
outros átomos que possuam mais de um 
elétron. Porém esbarramos em alguns 
problemas. Os elétrons interagem entre si e 
não é possível ter dois ou mais elétrons 
num mesmo estado estacionários.
Mas isso é matéria para a próxima aula.
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