7 Cálculo Númérico - Sistema de Equações Lineares

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CÁLCULO NUMÉRICO 
- EAMB018 / ECIV019 - 
Período Letivo: 2013-1 
Carga Horária: 60h 
Horários: 2ª feira (11:10 – 12:50) 
 4ª feira (11:10 – 12:50) 
Professor: Eduardo Toledo de Lima Junior 
 limajunior@lccv.ufal.br 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
2 
Caracterização Matemática 
 
 
Onde: 
 aij são os coeficientes; 
 xj são as variáveis; 
 bi são as constantes, tal que 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
3 
Caracterização Matemática 
 
 
Onde: 
 aij são os coeficientes; 
 xj são as variáveis; 
 bi são as constantes, tal que 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
4 
Caracterização Matemática 
 
 
Ou ainda, 
Onde: 
 A é a matriz dos coeficientes; 
 x é o vetor de incógnitas; 
 b é o vetor de constantes. 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
5 
Classificação Quanto à Solução 
 
 
Possível 
Determinado Indeterminado 
Impossível 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
6 
Sistema Possível 
 
 
f1(x) 
f2(x) 
y 
x 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
7 
Sistema Possível 
 
 
 Sistema Possível e Determinado 
 - Possui uma única solução; 
 - O determinante de A deve ser diferente de zero; 
 - Se b for um vetor nulo (constantes nulas), a solução do 
sistema será a solução trivial, ou seja, o vetor x 
também será nulo. 
f1(x) 
f2(x) 
y 
x 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
8 
Sistema Possível 
 
  Sistema Possível e Indeterminado 
 - Possui infinitas soluções; 
 - O determinante de A deve ser nulo; 
 - O vetor de constantes b deve ser nulo ou múltiplo 
de uma coluna de A. 
f1(x) 
f2(x) 
y 
x 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
9 
Sistema Impossível 
 
 
 O determinante de A é nulo; 
 O vetor B não pode ser nulo ou múltiplo de alguma 
coluna de A. 
f1(x) 
f2(x) 
y 
x 
PROBLEMAS DE ENGENHARIA 
10 
Método da Rigidez Direta 
 
 
Objetivo: Aplicar a análise matricial de estruturas para 
calcular os deslocamentos, as reações de apoio e os 
esforços internos solicitantes em uma dada estrutura. 
 
PROBLEMAS DE ENGENHARIA 
11 
Método da Rigidez Direta 
 
 Incógnitas: Valores dos deslocamentos (translações e 
rotações) correspondentes aos graus de liberdade dos 
nós da estrutura. Sistema de equações resultante do 
método da rigidez: 
 
 
Matriz dos coeficientes (Matriz de rigidez da estrutura): 
Função dos parâmetros geométricos e do material. 
 
Vetor das constantes (Vetor de forças nodais): 
Função dos parâmetros geométricos, do material e das 
solicitações. 
PROBLEMAS DE ENGENHARIA 
12 
Circuitos Elétricos 
 
 
Exemplo: Aplicação das Leis de Kirchhoff das Tensões e 
das Correntes para a determinação das correntes nos 
circuitos elétricos CC. 
 
 
 
 
 
 
Incógnitas: Correntes i1, i2 e i3 passando pelos vários 
trechos do circuito. 
PROBLEMAS DE ENGENHARIA 
13 
Circuitos Elétricos 
 
 Equações resultantes da aplicação da Lei de Kirchhoff 
das Tensões: 
Ciclo 1: 
Ciclo 2: 
 
 
Equação resultante da aplicação da Lei de Kirchhoff das 
Correntes: 
No nó central superior: 
Na formatação matricial: 
 
 
 
 
PROBLEMAS DE ENGENHARIA 
14 
Interpolação 
 
 
x 
y 
x1 x2 x3 x4 
y1 
y2 
y3 
y4 
PROBLEMAS DE ENGENHARIA 
15 
Interpolação 
 
 Objetivo: A partir de um conjunto de pares de dados 
discretos (ex.: tempo vs intensidade de chuva, carga vs 
deslocamentos, etc.), encontrar o polinômio interpolador 
que permita fazer estimativas para outros dados. 
x 
y 
x1 x2 x3 x4 
y1 
y2 
y3 
y4 
PROBLEMAS DE ENGENHARIA 
16 
Interpolação 
 
 Objetivo: A partir de um conjunto de pares de dados 
discretos (ex.: tempo vs intensidade de chuva, carga vs 
deslocamentos, etc.), encontrar o polinômio interpolador 
que permita fazer estimativas para outros dados. 
x 
y 
x1 x2 x3 x4 
y1 
y2 
y3 
y4 
Polinômio interpolador: 
y(x) = c0 + c1x + c2x
2 + c3x
3 
PROBLEMAS DE ENGENHARIA 
17 
Interpolação 
 
 
Incógnitas: Coeficientes c0, c1, c2 e c3 do polinômio 
interpolador. 
 
Forma-se um sistemas de equações lineares (notação 
matricial) resultante da imposição que os pares de dados 
pertençam ao polinômio em questão: 
CLASSIFICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SSEL 
18 
Métodos Diretos 
 
  São aqueles que conduzem à solução, exata a menos de erros de 
arredondamento introduzidos pela máquina, após um número finito de 
passos; 
A x = b  x = A-1 b 
CLASSIFICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SSEL 
19 
Métodos Diretos 
 
  São aqueles que conduzem à solução, exata a menos de erros de 
arredondamento introduzidos pela máquina, após um número finito de 
passos; 
A x = b  x = A-1 b 
 
 Pertencem a esta classe todos os métodos estudados nos ensinos 
fundamental e médio. No entanto, esses métodos não são usados em 
problemas práticos quando o número de equações é elevado, pois 
apresentam problemas de desempenho; 
 
 Surge a necessidade de utilizar técnicas eficientes como: 
 
Método de Eliminação de Gauss 
 
Método de Gauss-Jordan. 
CLASSIFICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SSEL 
20 
Métodos Indiretos 
 
 
 São aqueles que se baseiam na construção de 
seqüências de aproximações. 
 
 A cada passo, os valores calculados anteriormente são 
utilizados para melhorar a aproximação. 
 
 
A x = b  xk+1 = xk+d
 
CLASSIFICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SSEL 
21 
Métodos Indiretos 
 
  O resultado obtido é aproximado; 
 
 Geralmente são utilizados critérios de parada para as 
iterações: 
Limitação no número de iterações 
Determinação de uma tolerância para a exatidão da solução; 
 
CLASSIFICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SSEL 
22 
Métodos Indiretos 
 
  O resultado obtido é aproximado; 
 
 Geralmente são utilizados critérios de parada para as 
iterações: 
Limitação no número de iterações 
Determinação de uma tolerância para a exatidão da solução; 
 
 Podem não convergir para a solução exata; 
 
 Podem ser inviáveis quando o sistema é muito grande 
ou mal-condicionado; 
CLASSIFICAÇÃO DOS MÉTODOS DE SSEL 
23 
Métodos Indiretos 
 
  O resultado obtido é aproximado; 
 
 Geralmente são utilizados critérios de parada para as 
iterações: 
Limitação no número de iterações 
Determinação de uma tolerância para a exatidão da solução; 
 
 Podem não convergir para a solução exata; 
 
 Podem ser inviáveis quando o sistema é muito grande 
ou mal-condicionado; 
 
 Exemplos de Métodos Iterativos: 
Métodos de Gauss-Jacobi 
Método de Gauss-Seidel.