Prova (P1) de Cálculo1

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#1 (1.8 pontos) 
a) Seja / duas vezes diferenciável em [O, 2]. Mostre que se /(O) = O, / ( l ) = 2 e / (2) = 4, 
então existe c e (O, 2) tal que f"(c) 0. 
b) Determine uma expressão para a soma S = P + 2^ +... + (n—1)^. Prove sua afirmação. 
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Al 
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#2(2.6 pontos) Calcule o limite, sem usar a regra de THopital . Mostre todo seu trabalho. 
„ \™ sen(3x)sen(2x) 
1 I i V v , 
o 
— >o_ 
c) Encontre as dimensões do triangulo isósceles de menor área que circunscreve um circulo 
de raio r. 
4 
#3 (2.0 pontos) 
a) Calcule a equação da reta tangente e da reta normal à curva 
(ir'-^ + 'ixy + 2i/^ + 17|/ — 6 = O em (—1,0).(Use diferenciação implíci ta) 
+ Ó X c ) u 
o 
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1)? 
/O 
1 ^ 
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b) Deduza a derivada de y arccotg x e calcule a derivada de arccotg {frtj)-
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1 a. 
-
5 
#4 (2.6 pontos) Dada a curva 
X 
X 2 - 9 
(i) Determine Dom(f). 
(ii) A intersecção com os eixos Ox e Oy. 
(iii) Analise a simetria do gráfico. 
(iv) Determine as assintotas. 
(v) Determine as regiões de crescimento e pontos criticos. 
(vi) Estude máx imos e minimos. 
(vii) Estude a concavidade e pontos de inflexão. 
(viii) Esboce o gráfico e determine Im(f). 
O 
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