Lei de Coulomb e Campo Elétrico

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Lei de Coulomb e Campo Elétrico
Sérgio Antenor de Carvalho
c©2011
2
Conteúdo
2 Lei de Coulomb e Campo Elétrico 5
2.1 Introdução 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2 Lei de Coulomb Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.3 Lei de Coulomb na Forma Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.4 Propriedades da Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Definição do conceito de Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2 Conceito de Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.3 Campo Elétrico de uma Carga Pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.4 Propriedades do Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.5 Campo Elétrico de Distribuições Pontuais de Carga . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Sumário 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Introdução 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Densidade de Carga Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6.1 Densidade Linear de Carga ρl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6.2 Densidade Superficial de Carga ρs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6.3 Densidade Volumétrica de Carga ρv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.7 Campo Elétrico de Distribuições de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7.1 Campo Elétrico de uma Distribuição Volumétrica de Cargas . . . . . . . . . . 21
2.7.2 Campo Elétrico das distribuições ρs e ρl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7.3 Campo Elétrico de uma Linha Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7.4 Campo Elétrico de um Plano Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.8 Introdução 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.9 Linhas de Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.9.1 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.9.2 Equação da Linha de Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.9.3 Exemplos de Linhas de Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.10 Exemplos de Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.10.1 Tubo de raios catódicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.10.2 Separador de Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.10.3 Copiadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.10.4 Pintura Eletrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3
4 CONTEÚDO
Capítulo 2
Lei de Coulomb e Campo Elétrico
2.1 Introdução 01
2.1.1 Objetivos
• estudo da força elétrica entre cargas
• definição do conceito de campo elétrico
• método para analisar (visualizar) campos
– esboço de linhas de campo elétrico
– método numérico para plotar linhas de campo elétrico
• exemplos de aplicações e sua modelagem
2.2 Lei de Coulomb
2.2.1 Introdução
• documentos de cerca de 600 a.C mostram evidências do conhecimento de eletricidade estática
• os gregos esfregavam pequenos pedaços de âmbar e observavam como ele atrai pedaços de
penugem
• Dr. Gilbert, físico de Sua Majestade a Rainha da Inglaterra foi o primeiro a realizar um
trabalho experimental com o fenômeno
– em 1600 estabeleceu que vidro, enxofre, âmbar e outros materiais atraíam
– palha, todos os metais, madeira, folhas, pedras, terra, água e óleo
2.2.2 Lei de Coulomb Experimental
• o coronel Charles Coulomb da área de engenharia do exército frances
• realiza uma série de experimentos para determinar quantitativamente a força exercida entre
dois objetos carregados eletricamente
• usa uma balança de torção inventada por ele
5
6 CAPÍTULO 2. LEI DE COULOMB E CAMPO ELÉTRICO
• Coulomb estabeleceu experimentalmente que
F = k
q1 q2
R2
• onde q1 e q2 são quantidades positivas ou negativas de cargas
• R é a distância
entre os objetos
• k é a constante de
proporcionalidade
• para ajuste dimensional da equação
• a esquerda da equação temos força e a direita temos carga elétrica e distância
• no Sistema Internacional de Unidades ( SI) temos
– a carga q é medida em Coulombs ( C)
– a distância R é dada em metros ( m)
– a força F deve estar em newtons ( N) F = k
q1 q2
R2
• para isto a constante k é escrita como
k =
1
4pi ε0
• o fator 4pi aparece no denominador da Lei de Coulomb para não aparecer em outras equações
• a nova constante ε0 é denominada permissividade do espaço livre
• sua unidade é farads por metro, sua magnitude é
ε0 = 8, 854× 10−12 = 1
36pi
10−9 (F/m)
2.2. LEI DE COULOMB 7
• a constante ε0 não é adimensional a Lei de Coulomb mostra que
ε0 =
q1 q2
4pi F R2
em unidades temos
farads/m =
Coulomb Coulomb
Newtonmetrometro
farads = Coulomb2/Newtonmetro
F = C2/N m
• foi adotado pela XI Conferência Geral de Pesos e Medidas em Paris em 1960
• é o sistema adotado no Brasil
• suas unidade fundamentais, que definem as outras, são
– metro (m) - unidade fundamental de comprimento
– Kelvin (K) - unidade fundamental de temperatura
– quilograma (Kg) - unidade fundamental de massa
– segundo (s) - unidade fundamental de tempo
– candela - unidade fundamental de intensidade luminosa
– ampère (A) - unidade fundamental de corrente
2.2.3 Lei de Coulomb na Forma Vetorial
• forma vetorial da Lei de Coulomb
~F2 =
q1 q2
4pi ε0R212
~aR12
• repulsiva para cargas de mesmo sinal
• atrativa para cargas de sinais contrários
• a força atua ao longo da linha que une as duas cargas
No espaço livre temos duas cargas, uma de 3× 10−4C no ponto P (1; 2; 3) e a outra de −10−4C
no ponto Q (2; 0; 5). Determine a força exercida na carga do ponto P .
Solução:
~F2 =
q1 q2
4pi ε0R212
~aR12
q1 = 3× 10−4C, q2 = −10−4C
~R12 = (1− 2)~ax + (2− 0)~ay + (3− 5)~az
~aR12 =
−~ax + 2~ay − 2~az
3
~Fp =
3× 10−4 (−10−4)
4pi (1/36pi) 10−9 9
(−~ax + 2~ay − 2~az
3
)
= −10 (−~ax + 2~ay − 2~az)N
8 CAPÍTULO 2. LEI DE COULOMB E CAMPO ELÉTRICO
2.2.4 Propriedades da Lei de Coulomb
• a força dada pela lei de Coulomb é uma força mútua
~F2 =
q1 q2
4pi ε0R212
~aR12 ~F1 =
q2 q1
4pi ε0R221
~aR21 ~F1 = − ~F2
• a lei de Coulomb é linear
~F2 =
q1 q2
4pi ε0R212
~aR12
– q1 → ~F2 em q2, n q1 → n ~F2 em q2
– q1 → ~F12 em q2 e q3 → ~F32 em q2 então (q1 + q3)→ ~F2 = ~F12 + ~F13 em q2
• esta última propriedade da origem ao Princípio da Superposição
• permite considerar os efeitos das fontes separadamente
• facilita a análise dos problemas
2.3. DEFINIÇÃO DO CONCEITO DE CAMPO ELÉTRICO 9
2.3 Definição do conceito de Campo Elétrico
2.3.1 Introdução
• a lei de Coulomb: força elétrica entre cargas elétricas
– é uma ação à distância
– o cálculo é feito para cada carga
• é necessário avaliar a influência de uma carga em uma região
2.3.2 Conceito de Campo Elétrico
• atuação de uma carga elétrica em uma região
• carga elétrica é a fonte que gera um campo elétrico
• aplicamos a Leide Coulomb em uma carga de teste qt
~Ft =
q1 qt
4pi ε0R21t
~aR1t
• escrevemos essa força como
~Ft
qt
=
q1
4pi ε0R21t
~aR1t força por unidade de carga
• a direita da equação temos uma função só da carga q1
– está dirigida ao longo do segmento q1 qt
– descreve o campo vetorial denominado
10 CAPÍTULO 2. LEI DE COULOMB E CAMPO ELÉTRICO
• campo elétrico
~E ,
~Ft
qt
=
q1
4pi ε0R21t
~aR1t
• vetor força por unidade de carga positiva
• a carga de teste qt não altera a carga fonte q1
– posição
– estrutura e valor
• é medida em newtows por coulomb (N/C)
• antecipamos uma nova quantidade dimensional, o volt (V ), que tem dimensões joule por
coulomb (J/C) ou newton metro por coulomb (N m/C)
• a intensidade de campo elétrico é medida em unidades de volt por metro (V/m)
• campo elétrico
~E =
q1
4pi ε0R21t
~aR1t
• dispensando os índices na equação temos
~E =
q
4pi ε0R2
~aR (V/m)
• quais informações estão expressas por esta equação
– é proporcional a quantidade de carga q
– é função do inverso do quadrado da distância R2
– está na direção radial ~aR
– o meio é o espaço livre (vácuo) ε0
2.3.3 Campo Elétrico de uma Carga Pontual
• a equação
~E =
q
4pi ε0R2
~aR (V/m)
• representa o campo de uma carga pontual
• coloquemos esta carga pontual na origem do sistema
~E =
q
4pi ε0 r2
~ar (V/m)
2.3. DEFINIÇÃO DO CONCEITO DE CAMPO ELÉTRICO 11
• analisemos a equação
~E =
q
4pi ε0 r2
~ar (V/m)
• o campo só possui a componente radial ~ar
• o campo decresce com o quadrado da distância r2
• quais são as simetrias existentes?
– simetria em φ
– simetria em θ
• como percebemos estas simetrias?
• consideremos a carga pontual fora da origem
• o campo elétrico no ponto P (x, y, z) é dado por
~E =
q
4pi ε0R2
~aR (V/m)
• ~R = ~r − ~r′, ~aR = ~R/|~R|
~E =
q
4pi ε0 |~r − ~r′|2
(~r − ~r′)
|~r − ~r′|
~E =
q (~r − ~r′)
4pi ε0 |~r − ~r′|3
=
q [(x− a)~ax + (y − b)~ay + (z − c)~az]
4pi ε0 [(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2]3/2 (V/m)
• a expressão
~E =
q [(x− a)~ax + (y − b)~ay + (z − c)~az]
4pi ε0 [(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2]3/2
• é o caso geral, quando a carga está na origem temos
~E =
q [x~ax + y~ay + z ~az]
4pi ε0 [x2 + y2 + z2]3/2
• que é igual a
~E =
q
4pi ε0 r2
~ar (V/m)
• no sistema de coordenadas esféricas
12 CAPÍTULO 2. LEI DE COULOMB E CAMPO ELÉTRICO
2.3.4 Propriedades do Campo Elétrico
• como a Lei de Coulomb é linear e a definição do Campo Elétrico também é uma operação linear
podemos aplicar o Princípio da Superposição
• o campo elétrico gerado por n cargas pontuais é
~E =
q1
4piε0|~r − ~r1|2 ~a1 +
q2
4piε0|~r − ~r2|2 ~a2 + · · ·
+
qn
4piε0|~r − ~rn|2 ~an
• usando o símbolo de somatório Σ temos
~E =
n∑
m=1
qm
4pi ε0 |~r − ~rm|2 ~am
2.3.5 Campo Elétrico de Distribuições Pontuais de Carga
• o campo elétrico de uma distribuição pontual de carga é dado por
~E =
n∑
m=1
qm
4pi ε0 |~r − ~rm|2 ~am
• Consideremos duas cargas pontuais de 1mC e −2mC localizadas em (3, 2,−1) e (−1,−1, 4),
respectivamente. Calcule o campo elétrico no ponto (0, 3, 1).
• aplicando a equação acima encontramos
~E =
n=2∑
m=1
qm
4piε0|~r − ~rm|2 ~am
=
q1
4piε0|~r − ~r1|2 ~a1 +
q2
4piε0|~r − ~r2|2 ~a2
• Consideremos duas cargas pontuais de 1mC e −2mC localizadas em (3, 2,−1) e (−1,−1, 4),
respectivamente. Calcule o campo elétrico no ponto (0, 3, 1).
~E =
q1
4piε0|~r − ~r1|2 ~a1
+
q2
4piε0|~r − ~r2|2 ~a2
=
q1(~r − ~r1)
4piε0|~r − ~r1|3
+
q2(~r − ~r2)
4piε0|~r − ~r2|3
2.3. DEFINIÇÃO DO CONCEITO DE CAMPO ELÉTRICO 13
• Consideremos duas cargas pontuais de 1mC e −2mC localizadas em (3, 2,−1) e (−1,−1, 4),
respectivamente. Calcule o campo elétrico no ponto (0, 3, 1).
~E =
q1(~r − ~r1)
4piε0|~r − ~r1|3
+
q2(~r − ~r2)
4piε0|~r − ~r2|3
• ~r − ~r1 = [(0, 3, 1)− (3, 2,−1)]
• ~r − ~r2 = [(0, 3, 1)− (−1,−1, 4)]
• Consideremos duas cargas pontuais de 1mC e −2mC localizadas em (3, 2,−1) e (−1,−1, 4),
respectivamente. Calcule o campo elétrico no ponto (0, 3, 1).
• ~r − ~r1 = −3~ax + ~ay + 2~az
• ~r − ~r2 = ~ax + 4~ay − 3~az
~E =
1
4piε0
{
10−3[−3~ax + ~ay + 2~az]
(9 + 1 + 4)3/2
− 2× 10
−3[~ax + 4~ay − 3~az]
(1 + 16 + 9)3/2
}
= −650, 7~ax − 381, 7~ay + 750, 6~az k V/m
• Calcule a força que uma carga de 15nC sofre no ponto (0, 3, 1).
• no ponto (0, 3, 1) temos
~E = −650, 7~ax − 381, 7~ay
+750, 6~az k V/m
• assim
~F = 15nC × ~E
= −9, 761~ax − 5, 726~ay
+11, 259~az mN
14 CAPÍTULO 2. LEI DE COULOMB E CAMPO ELÉTRICO
• Calcule o campo elétrico no ponto P (0, 4, 0) devido a três cargas de 3mC distribuídas conforme
mostra a figura.
~E =
q1
4piε0|~r − ~r1|2 ~a1
+
q2
4piε0|~r − ~r2|2 ~a2
+
q3
4piε0|~r − ~r3|2 ~a3
• da figura temos ~r = 4~ay, ~r1 = −3~az, ~r2 = ~0 e ~r3 = −3~az
• Calcule o campo elétrico no ponto P (0, 4, 0) devido a três cargas de 3mC distribuídas conforme
mostra a figura.
• da figura obtemos os unitários ~ai
~a1 =
4~ay + 3~az
5
~a2 = ~ay
~a3 =
4~ay − 3~az
5
• Calcule o campo elétrico no ponto P (0, 4, 0) devido a três cargas de 3mC distribuídas conforme
mostra a figura.
• substituindo os elementos obtidos na equação encontramos
~E =
3× 10−3
4piε0
{
4~ay + 3~az
9× 5
+
~ay
16× 5 +
4~ay − 3~az
9× 5
}
=
(
3× 10−3
4piε0
)
73~ay
720
= 2, 7375× 106~ay V/m
2.4 Sumário 01
• fornece a lei de interação entre as cargas elétricas
• lei escrita na forma de uma equação vetorial
~F2 =
q1 q2
4pi ε0R212
~aR12
2.4. SUMÁRIO 01 15
• é uma lei que atende as condições de linearidade
• Princípio da Superposição
• tem a característica de uma ação a distância
• representa a influência de uma carga elétrica
• carga elétrica é a fonte geradora de campo elétrico
~E ,
~Ft
qt
=
q1
pi ε0R
2 ~aR
• a intensidade de campo elétrico é medida em unidades de volt por metro (V/m)
• podemos usar Princípio da Superposição
• tem a característica de uma ação a distância
• campo elétrico de uma carga pontual apresenta simetrias, colocando-a na origem do sistema
de coordenadas esféricas, enxergamos estas simetrias como
– simetria em φ
– simetria em θ
~E =
q1
4pi ε0R2
~aR
16 CAPÍTULO 2. LEI DE COULOMB E CAMPO ELÉTRICO
2.5 Introdução 02
2.5.1 Introdução
• carga elétrica é uma propriedade fundamental da matéria, é medida em Coulombs (C)
• no átomo temos partículas carregadas, os prótons e os elétrons
– elétrons - são as partículas com menor carga elétrica e massa, a sua carga elétrica e massa
são
qe = −1, 602177× 10−19 (C)
me = 9, 10956× 10−31 (kg)
– o sinal negativo é simplesmente uma convenção adotada por Flanklin, que pensava que
era a carga positiva que se deslocava, hoje sabemos que é ao contrário
• prótons - são as partículas com carga elétrica contrária da do elétron, a sua carga elétrica e
massa são
qp = +1, 602177× 10−19 (C)
mp = 1, 67261× 10−27 (kg)
• observe que a massa do próton é cerca de 1836 vezes maior que a do elétron
• os prótons se localizam no núcleo do átomo e os elétrons circulam em torno do núcleo
• carga elétrica são múltiplos inteiros de uma valor discreto de 1, 602177× 10−19 (C)
– carga negativa - n elétrons −1, 602177× 10−19 (C)
– carga positiva - n protons +1, 602177× 10−19 (C)
• assim qualquer quantidade de carga é formada por um número inteiro de cargas discretas
– exemplo −1C é formado por cerca de 6, 24× 1018 elétrons
• é prático usar a expressão do campo elétrico de distribuições pontuais de carga
~E =
n∑
m=1
qm
4pi ε0 |~r − ~rm|2 ~am
• para calcular o campo elétrico total num ponto?
2.6. DENSIDADE DE CARGA ELÉTRICA 17
2.6 Densidade de Carga Elétrica
• a praticidade de usar
~E =
n∑
m=1
qm
4pi ε0 |~r − ~rm|2 ~am
•está associada na capacidade de avaliar o somatório
• cargas estão associadas a matéria, assim ocupam um volume finito
• podemos olhar um conjunto de cargas de duas formas
• nível microscópico
– dimensões são da ordem da dimensão atômica
– magnitudes de carga da ordem das cargas atômicas
• nível macroscópico
– dimensões grandes se comparadas a dimensão atômica
– magnitudes de carga grandes se comparadas as cargas atômicas
• considerando cargas e dimensões macroscópicas podemos interpretar (considerar) um volume
carregado como constituído de volumes carregados menores o quanto se queira, que não atin-
giremos a escala microscópica, temos assim, um modelo contínuo
18 CAPÍTULO 2. LEI DE COULOMB E CAMPO ELÉTRICO
• cargas elétricas podem estar distribuídas na seguintes formas
– em um ponto - distribuição pontual
– sobre uma linha - distribuição linear
– sobre uma superfície - distribuição superficial
– em um volume - distribuição volumétrica
– de forma genérica - distribuição genérica combinação das anteriores
2.6.1 Densidade Linear de Carga ρl
• a densidade linear de carga ρl é definida como
ρl , lim
∆`→0
[
∆Q
∆`
]
C/m
• carga total na linha
Q =
∫
`
ρl d ` C
• um laço de cargas possui uma densidade linear de carga ρl = 1 C/m, calcule a carga total no
laço
2.6. DENSIDADE DE CARGA ELÉTRICA 19
• a carga total na linha é dada por
Q =
∫
`
ρl d ` =
∫ 2pi
0
1 ρ dφ
=
∫ 2pi
0
1 (0, 1) dφ = 0, 2piC
• considere agora ρl = sen φ C/m, assim, a carga total na linha é dada por
Q =
∫
`
ρl d ` =
∫ 2pi
0
sen φ ρ dφ =
∫ 2pi
0
sen φ (0, 1) dφ
= [−0, 1 cos φ]2pi0 = 0 C
2.6.2 Densidade Superficial de Carga ρs
• a densidade superficial de carga ρs é definida como
ρs , lim
∆S→0
[
∆Q
∆S
]
C/m2
• carga total na superfície
Q =
∫
s
ρs dS C
• calcule a carga total na área marcada sabendo que a densidade superficial de carga é ρs =
15 C/m2
20 CAPÍTULO 2. LEI DE COULOMB E CAMPO ELÉTRICO
• a carga total na superfície marcada é dada por
Q =
∫
s
ρs dS
=
∫
s
15 r sen θ dφ r dθ
=
∫ θ=90o
θ=0o
∫ φ=90o
φ=60o
15 (0, 1)2 dφ sen θ dθ
= 15(0, 1)2 [φ]90
o
60o [−cos θ]90
o
0o = pi/40 C
2.6.3 Densidade Volumétrica de Carga ρv
• a densidade volumétrica de carga ρv é definida como
ρv , lim
∆V→0
[
∆Q
∆V
]
C/m3
• carga total no volume
Q =
∫
v
ρv dV C
• calcule a carga total num feixe de elétrons mostrado na figura, cuja densidade volumétrica de
carga é
• ρv = −5× 106 e−105 ρ z C/m3
• a carga total no volume é dada por
Q =
∫
v
ρv dV
=
∫
v
ρv ρ dρ dφ dz
=
∫ z=0,04
z=0,02
∫ φ=2pi
φ=0
∫ 0,01
0
−5× 106e−105ρ z ρdρdφdz
2.7. CAMPO ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES DE CARGA 21
Q =
∫ z=0,04
z=0,02
∫ φ=2pi
φ=0
∫ 0,01
0
−5× 106 e−105 ρ z ρ dρ dφ dz
• integramos primeiro em relação a φ já que é uma integração direta
Q =
∫ z=0,04
z=0,02
∫ 0,01
0
(φ)2pi0 (−5)× 106 e−10
5 ρ z ρ dρ dz
=
∫ z=0,04
z=0,02
∫ 0,01
0
−105 pi e−105 ρ z ρ dρ dz
Q =
∫ z=0,04
z=0,02
∫ 0,01
0
−105 pi e−105 ρ z ρ dρ dz
• integramos agora em relação a z porque simplificará a última integração em relação a ρ
Q =
∫ 0,01
0
(−105 pi
−105 ρ e
−105 ρ z
)0.04
0,02
ρ dρ
=
∫ 0,01
0
−105 pi (e−2000 ρ − e−4000 ρ) dρ
Q =
∫ 0,01
0
−105 pi (e−2000 ρ − e−4000 ρ) dρ
• integrando agora em relação a ρ obtemos
Q = −10−10 pi
(
e−2000 ρ
−2000 −
e−2000 ρ
−4000
)0,01
0
≈ −0, 0785× 10−12 = −0, 0785 pC
2.7 Campo Elétrico de Distribuições de Carga
2.7.1 Campo Elétrico de uma Distribuição Volumétrica de Cargas
• consideremos um região com uma densidade de carga volumétrica ρv
• a contribuição de um volume diferencial de carga é
~E∆q =
∆q
4pi ε0 |~r − ~rq|2 ~aq
22 CAPÍTULO 2. LEI DE COULOMB E CAMPO ELÉTRICO
• somando-se todas as contribuições temos
~E =
n∑
m=1
∆qm
4pi ε0 |~r − ~rm|2 ~am
• consideremos o volume ∆V tender a zero, assim
– o número de elementos ∆q torna-se infinito
– o somatório torna-se um integral
~E =
n=∞∑
m=1
∆qm
4pi ε0 |~r − ~rm|2 ~am
~E =
∫
v
ρv(~r
′) dv′
4pi ε0 |~r − ~r′|2
~r − ~r′
|~r − ~r′|
~E =
∫
v
ρv dv
′
4pi ε0R2
~aR
2.7.2 Campo Elétrico das distribuições ρs e ρl
• distribuição volumétrica de carga
~E =
∫
v
ρv dv
′
4pi ε0R2
~aR
• distribuição superficial de carga
~E =
∫
s
ρs ds
′
4pi ε0R2
~aR
• distribuição linear de carga
~E =
∫
l
ρl dl
′
4pi ε0R2
~aR
2.7. CAMPO ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES DE CARGA 23
2.7.3 Campo Elétrico de uma Linha Infinita
• linha infinita com densidade uniforme ρl
• como posicionaremos a linha no sistema de coordenadas?
• linha infinita com densidade uniforme ρl
• colocamos no eixo z, por quê?
• que sistema de coordenadas adotaremos
• critério para escolha do sistema de coordenadas
24 CAPÍTULO 2. LEI DE COULOMB E CAMPO ELÉTRICO
– facilidades para calcular o campo elétrico
• escolhemos o sistema de coordenadas cilíndricas
– a coordenada ρ fornece a distância de qualquer ponto a linha infinita
~E =
∫
l
ρl dl
′
4pi ε0R2
~aR
d ~E =
ρl dl
4pi ε0R2
~aR
• com quais coordenadas o campo não varia? φ e z
• que componentes de campo existem? Eρ
– componente Eφ não existe
– a simetria cancela a componente Ez
d ~E =
ρl dl
4pi ε0R2
~aR
dEρ = d ~E · ~aρ = ρl dl
4pi ε0R2
~aR · ~aρ
=
ρl dz
′ sen θ
4pi ε0R2
dEρ =
ρl dz
′ sen θ
4pi ε0R2
2.7. CAMPO ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES DE CARGA 25
• da figura obtemos
– sen θ = ρ/R
– R2 = z′2 + ρ2
• substituindo e integrando obtemos
Eρ =
∫ +∞
−∞
ρl ρ dz
′
4pi ε0 (z′2 + ρ2)3/2
• para resolver a integral
Eρ =
∫ +∞
−∞
ρl ρ dz
′
4pi ε0 (z′2 + ρ2)3/2
• fazemos a mudança de variável z′ = ρ tan θ, assim
– dz′ = ρ d θ/cos2 θ
– cos θ = ρ/
√
z′2 + ρ2
• substituindo na integral obtemos
Eρ =
ρl
4pi ε0
∫ +pi/2
−pi/2
cos θ d θ
ρ
=
ρl
4pi ε0 ρ
[sen θ]
+pi/2
−pi/2 =
ρl
2pi ε0 ρ
V/m
• campo gerado por uma linha infinita uniformemente carregada
~E =
ρl
2pi ε0 ρ
~aρ V/m
26 CAPÍTULO 2. LEI DE COULOMB E CAMPO ELÉTRICO
• é coerente o resultado?
– o campo de uma carga pontual decresce com r2
– o campo de uma linha infinita decresce com ρ
2.7.4 Campo Elétrico de um Plano Infinito
• plano infinito com densidade uniforme ρs
• posicionamos o plano infinito no plano x = 0
• com quais coordenadas o campo não varia? y e z
• que componentes de campo existem? Ex
– a simetria cancela as componentes Ey e Ez
~E = Ex~ax
• que caso já estudado ajuda na análise deste problema? linha infinita
• como usamos o resultado de campo elétrico de uma linha infinita para o caso de um plano
infinito?
• podemos considerar o plano infinito formado por linhas infinitas de carga
• plano infinito formado por linhas infinitas de carga
• a densidade de linha de cada linha infinita é ρl = ρs dy′
• contribuição de cada faixa diferencial para o campo Ex
2.7. CAMPO ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES DE CARGA 27
dEx =
linha infinita︷ ︸︸ ︷
ρl
2pi ε0 ρ
cos θ
=
ρs dy
′
2pi ε0 ρ
cos θ
• da figura temos que ρ =√x2 + y′2 e cos θ = x/√x2 + y′2
• contribuição de cada faixa diferencial para o campo Ex
dEx =
ρs x dy
′
2pi ε0 (x2 + y′2)
• para o campo total temos
Ex =
ρs
2pi ε0
∫ +∞
−∞
x dy′
x2 + y′2
=
ρs
2pi ε0
[
tan−1
y′
x
]+∞
−∞
=
ρs
2 ε0
V/m
• num ponto x > 0 o campo Ex é
~E =
ρs
2 ε0
~ax
28 CAPÍTULO 2. LEI DE COULOMB E CAMPO ELÉTRICO
• num ponto x < 0 o campo Ex é
~E = − ρs
2 ε0
~ax
• como o campo está sempre dirigido para fora da carga positiva podemos escreve-lo como
~E =
ρs
2 ε0
~anV/m• onde ~an é um vetor unitário normal ao plano e direcionado para fora do mesmo
~E =
ρs
2 ε0
~anV/m ~E =
ρs
2 ε0
~anV/m
• campo de uma carga pontual
~E =
q
4pi ε0 r2
~ar (V/m)
2.7. CAMPO ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES DE CARGA 29
• campo de uma linha infinita
~E =
ρl
2pi ε0 ρ
~aρ (V/m)
• campo de um plano infinito
~E =
ρs
2 ε0
~an (V/m)
• consideremos dois planos infinitos com densidades de cargas opostas
• os campos gerados pelos planos são
~E+ =
ρs
2 ε0
~an e ~E− =
ρs
2 ε0
~an
• para cada região o campo total é a superposição dos campos gerados pelos planos infinitos
• região x > a
~E = ~E+ + ~E− =
ρs
2 ε0
~ax +
−ρs
2 ε0
~ax = 0
• região x < 0
30 CAPÍTULO 2. LEI DE COULOMB E CAMPO ELÉTRICO
~E = ~E+ + ~E− =
−ρs
2 ε0
~ax +
ρs
2 ε0
~ax = 0
• região entre os planos 0 < x < a
~E = ~E+ + ~E− =
ρs
2 ε0
~ax +
ρs
2 ε0
~ax =
ρs
ε0
~ax
• o campo entre planos infinitos com distribuições opostas
~E =
ρs
ε0
~a±
• onde ~a± é o vetor unitário direcionado da placa positiva para negativa
• é o campo entre as placas paralelas de um capacitor
– dimensões lineares da placa bem maiores que a separação entre elas
– pontos distantes das bordas
– isolamento a ar
2.8 Introdução 03
• expressão matemática x gráfico
• campo elétrico de uma carga pontual
~E =
q
4pi ε0 r2
~ar (V/m) direção do campo
• expressão matemática x gráfico
2.8. INTRODUÇÃO 03 31
• campo elétrico de uma carga pontual
~E =
q
4pi ε0 r2
~ar (V/m) direção e intensidade do campo
• expressão matemática x gráfico
• campo elétrico de um dipolo elétrico
~E =
q
4pi ε0 r2+
~ar+ −
q
4pi ε0 r2−
~ar− (V/m)
• expressão matemática x gráfico
32 CAPÍTULO 2. LEI DE COULOMB E CAMPO ELÉTRICO
• campo elétrico de um dipolo elétrico
~E =
q
4pi ε0 r2+
~ar+ −
q
4pi ε0 r2−
~ar− (V/m)
• expressão matemática x gráfico
• campo elétrico de um conjunto de cargas pontuais
• o gráfico fornece um entendimento da distribuição do campo elétrico
• em que regiões temos concentrações de cargas?
• em que regiões temos concentrações de cargas?
2.9 Linhas de Campo Elétrico
2.9.1 Conceito
• linhas em que o campo elétrico é tangente
• são usadas para mostrar a direção do campo elétrico
2.9. LINHAS DE CAMPO ELÉTRICO 33
• carga pontual positiva
• linhas em que o campo elétrico é tangente
• são usadas para mostrar a direção do campo elétrico
• maior concentração de linhas indica campo elétrico mais intenso
34 CAPÍTULO 2. LEI DE COULOMB E CAMPO ELÉTRICO
2.9.2 Equação da Linha de Campo
• na figura temos linhas de campo elétrico
• da geometria temos a seguinte relação
Ey
Ex
=
dy
dx
• conhecendo as componentes Ey e Ex temos a equação diferencial que resolvida fornecerá as
equações das linhas de campo
• linhas de campo de uma carga pontual no plano z = 0
• campo de uma carga pontual na origem
~E =
q
4pi ε0 r2
~ar
=
q
4pi ε0 (x2 + y2 + z2)
x~ax + y~ay + z ~az√
x2 + y2 + z2
• no plano z = 0 o campo reduz-se a
~E =
q
4pi ε0 (x2 + y2)
x~ax + y~ay√
x2 + y2
2.9. LINHAS DE CAMPO ELÉTRICO 35
• a partir da equação
~E =
q
4pi ε0 (x2 + y2)
x~ax + y~ay√
x2 + y2
• temos as componentes Ex e Ey, assim obtemos
Ey
Ex
=
dy
dx
=
y
x
dy
y
=
dx
x
• assim ln y = ln x+ lnC, a equação da linha é dada por
y = C x
• que é uma equação da reta que passa pela origem
• as linhas de campo são retas passando pela origem
y = C x
• linha de campo que passa pelo ponto (−1,−2)
C =
y
x
= 2→ y = 2x
2.9.3 Exemplos de Linhas de Campo Elétrico
36 CAPÍTULO 2. LEI DE COULOMB E CAMPO ELÉTRICO
2.10 Exemplos de Aplicações
2.10.1 Tubo de raios catódicos
2.10. EXEMPLOS DE APLICAÇÕES 37
2.10.2 Separador de Elementos
2.10.3 Copiadoras
• fotocopiadoras usam o princípio de atração e repulsão de cargas elétricas
• cilindro foto-sensível polarizado positivamente é carregado com a imagem refletida do original
através de espelhos
• região iluminada (espaços vazios da imagem) perde a carga elestrostática
• o toner(tinta em pó) carregado negativamente é atraído pelo cilindro, que gira contra o papel
imprimindo a imagem, o papel é aquecido para fixar tinta
38 CAPÍTULO 2. LEI DE COULOMB E CAMPO ELÉTRICO
2.10.4 Pintura Eletrostática
• princípio de atração e repulsão de cargas elétricas
• a tinta é carregada positivamente
• a peça está carregada negativamente