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Universidade Federal do Ceara´ (UFC) Departamento de Engenharia de Teleinforma´tica (DETI) Curso de Graduac¸a˜o em Engenharia de Teleinforma´tica (CGETI) Modelos Probabil´ısticos para Eng. de Teleinforma´tica - TI 048 Prof. Dr. Charles Casimiro Cavalcante Nu´mero de cre´ditos: 8,0 Carga hora´ria total: 128 h Per´ıodo: 2013 Lista de Exerc´ıcios No 3: Distribuic¸o˜es de Probabilidade Conjuntas 1. A distaˆncia X (em quiloˆmetros) de um local para o epicentro de potenciais terremotos dentro de 50 km e´ distribu´ıdo de acordo com pX(x) = { 2x 2500 , para 0 ≤ x ≤ 50 0, caso contra´rio. A magnitude Y do potencial terremoto na escala de 5 a 9 e´ distribu´ıdo de acordo com pY (y) = 3 (9− y)2 64 , para 5 ≤ x ≤ 9 0, caso contra´rio. Assuma que X e Y sa˜o independentes. Determine a probabilidade do pro´ximo poss´ıvel terremoto estar localizado em um raio de 25 km e ter uma magnitude de pelo menos 8 pontos. 2. Seja a seguinte func¸a˜o de densidade de probabilidade conjunta pXY (x, y) = { k · exp(x+ y), para 0 < x < 1 e 0 < y < 2; 0, caso contra´rio. (a) Qual deve ser o valor de k? (b) Determine as densidades marginais de X e Y . (c) As varia´veis X e Y sa˜o independentes? Por que? 3. Um alvo e´ feito de treˆs c´ırculos conceˆntricos de raios de 3−1/2, 1 e 31/2 metros. Acertos no c´ırculo central contam 4 pontos, no segundo c´ırculo 3 pontos e no u´ltimo c´ırculo 2 pontos. Acertos fora do alvo contam zero pontos. Seja R a varia´vel aleato´ria representando a distaˆncia do ponto atingido ao centro. Suponha que a func¸a˜o de densidade de probabilidade de R e´ dada por pXY (x, y) = 2 pi (1 + r2) , para r > 0; 0, caso contra´rio. Calcule a me´dia de pontos de cada tentativa. 4. Suponha que o tempo de espera (em minutos) a` tarde numa parada oˆnibus e´ uniformemente distribu´ıdo no intervalo [0, 5], enquanto que o tempo de espera pela manha˜ e´ distribu´ıdo de acordo com com a Figura 1. Estes tempos de espera sa˜o assumidos serem independentes para qualquer dia e de um dia para o outro. (a) Se voceˆ pega um oˆnibus pela manha˜ e outro a` tarde, durante cinco dias, qual e´ a me´dia de seu tempo total de espera? (b) Qual a variaˆncia de seu tempo total de espera em cinco dias? Lista de exerc´ıcios: Distribuic¸o˜es de probabilidade conjuntas 1 Universidade Federal do Ceara´ (UFC) Departamento de Engenharia de Teleinforma´tica (DETI) Curso de Graduac¸a˜o em Engenharia de Teleinforma´tica (CGETI) 10 t pT (t) 0 Figure 1: Func¸a˜o de densidade de probabilidade do tempo de espera pela manha˜. (c) Qual a me´dia e variaˆncia da diferenc¸a entre os tempos de espera da manha˜ e da tarde em um dado dia? (d) Qual a me´dia e variaˆncia entre os tempos totais de espera da manha˜ e tarde num per´ıodo de cinco dias? 5. As varia´veis X e Y sa˜o independentes e Z = X + Y . Encontre fY (y) se fX(x) = c · exp(−cx) e fZ(z) = c 2 · z · exp(−zc) para x, z > 0. 6. As varia´veis aleato´rias X e Y independentes e Y e´ uniformemente distribu´ıda no intervalo (0, 1). Mostre que, se Z = X + Y , enta˜o fZ(z) = FX(z)− FX(z − 1) 7. Mostre que a convoluc¸a˜o de duas densidades de probabilidade normais (gaussianas) e´ uma densidade normal. 8. Sejam as seguintes func¸o˜es Z = X · cos(φ) + Y · sin(φ) W = −X · sin(φ) + Y · cos(φ) em que X e Y sa˜o varia´veis uniformemente distribu´ıdas entre (0, 1). Calcule a densidade conjunta fZ,W (z, w). 9. Sendo o seguinte sistema Z = X − Y W = X Y , calcule a densidade conjunta fZ,W (z, w) em func¸a˜o da densidade conjunta fX,Y (x, y). Lista de exerc´ıcios: Distribuic¸o˜es de probabilidade conjuntas 2
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