PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO ALGÉBRICA EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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LISTA DE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO ALGÉBRICA
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1 -	A soma de uma sequência de números ímpares, começando do 1, é sempre igual a um número quadrado perfeito. Com base nessa informação, responda:
Qual será a soma dos dez primeiros números ímpares?
102 = 100
É possível demonstrar esse truque por meio de um desenho. Observe:
Para formar um novo quadrado, sempre é acrescentada uma “camada” com quantidades ímpares de bolinhas, o que mostra visualmente que a soma dos n primeiros números ímpares é sempre um quadrado perfeito.
Como você explica o resultado da soma dos números ímpares com base no desenho.
A soma da sequência de números ímpares começando do 1 é sempre um quadrado perfeito.
Qual é a soma da sequencia 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 33 + 35?
Do 1 ao 35 temos 18 números ímpares, portanto a soma será 182 = 324
2 -	Para cada figura, escreva uma expressão reduzida (simplificada) que represente a medida da área colorida: 
(x + 3)(x – 3) = x2 – 9
x2 - 25
3 -	Algumas potências e multiplicações de números podem ser resolvidas com os produtos notáveis. Veja:
Usando esses padrões, determine o resultado das operações a seguir.
232 = (20 + 3)2 = 202 + 2 . 20 . 3 + 32 = 400 + 120 + 9 = 529
312 = (30 + 1)2 = 302 + 2 . 30 . 1 + 12 = 900 + 60 + 1 = 961
382 = (40 – 2)2 = 402 – 2 . 40 . 2 + 22 = 1600 – 160 + 4 = 1444
29 . 31 = (30 – 1)(30 + 1) = 302 – 11 = 900 – 1 = 899
102 . 98 = (100 + 2)(100 – 2) = 1002 – 22 = 10000 – 4 = 9996
4 -		Nos retângulos abaixo, as medidas estão indicadas numa mesma unidade de comprimento. Determine a expressão algébrica que representa a área de cada um desses retângulos. 
FORMA FATORADA
(x + 2)(2x + 3)
(x + 5)(x + 5) = (x + 5)2
(x + 10)(x + 10) = (x + 10)2
(2x + y)(2x + 6)
FORMA SIMPLIFICADA
2x2 + 7x + 6
x2 + 10x + 25
x2 + 20x + 100
4x2 + 12x + 2xy + 6y
5 -	Observe que, na figura, a área de um quadrado é x2 e a área do outro quadrado é 49: 
Qual a área do retângulo hachurado (riscado)?
7x
Qual a área do retângulo colorido (preto)?
7x
Qual a área total da figura?
(x + 7)(x + 7) = (x + 7)2 = x2 + 14x + 49
6 -	Em um loteamento, cada quadra de terreno é um quadrado com 61 metros de lado. O autor do projeto resolveu então aumentar a largura da calçada e, com isso, cada quadra passou a ser um quadrado de 59 metros de lado. Que área os terrenos perderam? 
612 – 592 = (61 + 59)(61 – 59) = 120 . 2 = 240
7 -	Ao redor do jardim da casa de Carlos, vai ser construída uma calçada revestida de pedra. As medidas estão em metros. 
Qual a área ocupada pelo jardim?
40
Escreva, na forma reduzida, um polinômio que expresse a área ocupada pela calçada.
4x2 + 28x
Se a largura da calçada for de 2m e o preço do metro quadrado de revestimento de pedras for R$ 25,00, quanto Carlos irá gastar?
4 . 22 + 28 . 2 = 16 + 56 = 72
72 . 25 = 1800
8 -	Bruno realizou a multiplicação: (2x + 3)(2x + 3) = 4x2 + 9
Observando o que Bruno fez em seu caderno, responda: 
Ele acertou a multiplicação de polinômios? Tente entender e escreva o que ele fez.
Não, fez quadrado do primeiro termo mais quadrado do segundo termo.
Represente os polinômios como medidas de um quadrado e calcule a área desse quadrado.
(2x+ 3)(2x + 3) = (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9
9 -	O desenho representa a planta de uma pequena casa construída sobre um terreno. Indique o que representam as expressões: 
x2 – área do quarto
2xy – área da cozinha mais área do banheiro
y2 – área da sala
(x + y)2 – área da casa
10 -	Utilize as regras práticas para desenvolver os produtos notáveis a seguir:
(x3 + y)2 = x6 + 2x3y + y2
(2a – 3)2 = 4a2 – 12a + 9
(2x + 3y)(2x – 3y) = 4x2 – 3y2
(4 – 3e)2 = 16 – 24e + 9e2
(5 + z2)2 = 25 + 10z2 + z4
(x3 – 3y2)(x3 – 3y2) = (x3 – 3y2)2 = x6 – 6x3y2 + 9y4
(2f – 3g)2 = 4f2 – 12fg + 9g2
11 -	Desenvolva os produtos notáveis e reduza os termos semelhantes:
(x + y)2 – 2xy = x2 + y2
(5 – 2z)2 – (25 +10z) = 4z² - 30z
(3x+1)2 + (3x-1)2 – 2 = 18x²
(2 – 2x)2 + (3 – 2x)2 – 2(x – 3) = 8x² - 22x + 19
(x – 3)(x + 3) – x(x – 3y) = 3xy - 9
(5a + 3)2 + (5a - 3)2 – 2(a + 5) = 50a² - 2a + 8
(2x – 3)2 + (x – 5)(x + 5) – (x + 4)2 = 4x2 – 20x - 32
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12 -	Fatore cada uma das expressões algébricas:
x2 – 121 = (x + 11) (x – 11)
81 – q2 = (9 + q) (9 – q)
4z2 – 25 = (2z + 5) (2z – 5)
 5x + 5z = 5(x + z)
a(x – 2) + b(x – 2) = (x – 2) (a + b)
ax2 + bx + cx = x(ax + b + c)
x + bx + cz +dz = x(1 + b) + z(c + d)
5z2t + 10t – 3ab +5b = 5t(z² + 2) – b(3a – 5)
bd + cd +d + cx + bx +x = d(b + c + 1) + x(c + b +1) = (b + c + 1)(d+x)
z2 – 26z + 169 = (z – 13)²
4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)²
49x2 – 56xy + 16y2 = (7x – 4y)²
25 – 20x + 4x2 = (5 – 2x)²
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13 -	Represente graficamente, pintando a área pretendida.
(x + 3)(x + 2)
(a – b)(a - b)
c) (y + 2)(y – 2)
14 -	Sabendo que x + y = 5 e que x – y = 1, determine o valor de:
3x + 3y = 3(x + y) = 3 . 5 = 15
7x – 7y = 7(x – y) = 7 . 1 = 7
x2 – y2 = (x + y)(x – y) = 5 . 1 = 5
x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 = 52 = 25
x2 - 2xy + y2 = (x – y)2 = 12 = 1
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b)(a – b) = a2 – b2
1052 = (100 + 5)2 = 1002 + 2 . 5 . 100 + 55 = 10000 + 1000 + 25 = 11025
472 = (50 – 3)2 = 502 – 2 . 3 . 50 + 32 = 2500 – 300 + 9 = 2209 
35 . 25 = (30 + 5)(30 – 5) = 302 - 52 = 900 – 25 = 875