EM_V05_MATEMÁTICA LIVRO DE ATIVIDADES

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Livro do Professor
Saymon Michel Sanches
Volume 5
Livro de 
atividades
Matemática
©Editora Positivo Ltda., 2017 
Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP) 
(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)
S211 Sanches, Saymon Michel.
 Matemática : livro de atividades : livro do professor / Saymon 
Michel Sanches. – Curitiba : Positivo, 2017.
 v. 5 : il.
 ISBN 978-85-467-1502-2
 1. Ensino médio. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.
CDD 373.33
©iStockphoto.com/
demiren
©Editora Positivo Ltda., 2017
Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.
Dados Internacionais para Catalogaçã
(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584
S211 Sanches, Saymon Michel.
Matemática : livro de atividades 
Michel Sanches. – Curitiba : Positivo
v. 5 : il.
ISBN 978-85-467-1502-2
1. Ensino médio. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.
CDD 373.33
o, 2017.
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4
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Volume 5
Livro de 
atividades
Matemática
©Editora Positivo Ltda., 2017 
Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP) 
(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)
S211 Sanches, Saymon Michel.
 Matemática : livro de atividades : livro do professor / Saymon 
Michel Sanches. – Curitiba : Positivo, 2017.
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 ISBN 978-85-467-1502-2
 1. Ensino médio. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.
CDD 373.33
Matrizes e 
determinantes
01
Conceito de matriz
Uma matriz do tipo m × n (lê-se “m por n”) tem m linhas e n colunas.
Essa notação é ordenada; sempre nos referimos primeiro ao número de linhas e, em seguida, ao de colunas.
 • Matriz transposta de uma matriz A do tipo m × n é a matriz n × m em que as linhas são ordenadamente iguais às colunas da matriz A. 
Indicamos por At.
 • Matriz simétrica é a que apresenta elementos iguais nas posições simétricas em relação à diagonal principal, ou seja, aij = aji. 
 • Igualdade de matrizes: duas matrizes são iguais quando forem do mesmo tipo e todos os elementos correspondentes forem iguais.
Operações com matrizes
Adição e subtração de matrizes 
Dadas duas matrizes A aij m n= ×[ ] e B bij m n= ×[ ] , a soma A + B é a matriz C cij m n= ×[ ] tal que c a bij ij ij= + .
Dadas duas matrizes A aij m n= ×[ ] e B bij m n= ×[ ] , a diferença A – B é a matriz C cij m n= ×[ ] obtida pela soma da matriz A com a matriz oposta 
de B. 
Para obter a oposta de uma matriz, basta trocar o sinal de cada um dos seus elementos.
Multiplicação de um número real por uma matriz
Dada uma matriz A = [aij]m × n e um número real k, a matriz k ⋅ A é obtida pelo produto de todos os elementos da matriz A por k.
Multiplicação de matrizes 
Dadas as matrizes A aij m n= ×[ ] e B bij n p= ×[ ] , o produto A ⋅ B é a matriz C cij m p= ×[ ] , em que cada elemento cij é obtido multiplicando-se 
ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j da matriz B e somando-se os produtos obtidos. Simbolicamente, 
podemos escrever que:
c a b a b a bij i j i j in nj= ⋅ + ⋅ + + ⋅1 1 2 2
Matriz inversa
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Quando existir uma matriz B de ordem n tal que A ⋅ B = In e B ⋅ A = In, dizemos que B é a matriz inversa 
de A. Indicamos a matriz inversa de A por A–1.
2 Volume 5
Determinante de uma matriz
Chamamos de determinante de uma matriz quadrada um número a ela associado, obtido por meio de determinadas regras. Indicamos o 
determinante da matriz A por det A. 
 • Toda matriz quadrada tem um único determinante. 
 • Existe um dispositivo prático para calcular o determinante de uma matriz de ordem 3 denominado Regra de Sarrus.
Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n 2 é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos 
respectivos cofatores.
 • O cofator do elemento aij é o produto de (–1)
i + j pelo determinante da matriz obtida ao eliminarmos a linha i e a coluna j.
Propriedades dos determinantes
Lembre-se de que só faz sentido tratar de determinantes para matrizes quadradas.
1. Se todos os elementos de uma fila da matriz A forem nulos, det A = 0.
2. Se duas filas paralelas da matriz A forem iguais ou proporcionais, det A = 0.
3. Os determinantes de uma matriz quadrada A e de sua transposta At são iguais.
4. Se multiplicarmos uma fila da matriz A por um número real k, o determinante da matriz B obtida será igual ao produto do determinante de 
A por k, ou seja, det B = k · det A.
5. Se trocarmos entre si duas filas paralelas de uma matriz A, o determinante da matriz B obtida será igual ao oposto do determinante da matriz 
A, ou seja, det B = –det A.
6. Teorema de Jacobi: se, em uma matriz A, uma fila for substituída pela adição dela com outra fila paralela, previamente multiplicada por uma 
constante, o determinante da matriz B obtida será igual ao determinante de A. 
7. Teorema de Binet: se A e B são matrizes de mesma ordem, então det(A · B) = det A · det B.
8. Se uma matriz A é invertível, então det
det
A
A
− =1 1 .
Atividades
Conceito de matriz
1. (IFG – GO) O fato de uma loja i atender ou não a uma cidade j é representado por 1 ou 0, respectivamente, formal-
mente representado por:
⎧= ⎨
⎩
ij
1, se a loja atende a cidade
a
0, se a loja não atende a cidade
i j
i j
 Assim, essa situação no caso de três lojas e quatro cidades pode ser descrita através de 12 valores, supondo que esta 
relação de atendimento ou não seja descrita pela matriz
A =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 0 1 0
1 0 1 1
0 1 0 1
Matemática 3
 A partir dos elementos dessa matriz, é correto afirmar que
a) a cidade 3 é atendida por três lojas. 
b) a loja 3 não atende à cidade 2. 
c) todas as cidades são atendidas pelo menos por 
duas lojas. 
X d) a loja 2 é a que atende a mais cidades. 
e) as lojas 1 e 3 atendem às mesmas cidades. 
De acordo com o enunciado, 1 indica que a loja i aten-
de a cidade j, e 0 indica que a loja i não atende a 
cidade j. Portanto:
– a loja 1 atende as cidades 1 e 3;
– a loja 2 atende as cidades 1, 3 e 4;
– a loja 3 atende as cidades 2 e 4.
Assim, a alternativa correta é a letra d. 
2. Em uma grande cidade, para estudar o nível de ruído a 
que estavam expostos os habitantes, a prefeitura rea-
lizou quatro medições diárias durante cinco dias em 
um cruzamento de grande movimento. Cada elemento 
aij da matriz a seguir representa o nível de ruído, em 
decibels (dB), registrado na medição i do dia j.
45 62 68 44 63
51 49 72 48 68
39 52 71 52 62
51 45 63 40 69
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
 De acordo com a Organização Mundial de Saúde (OMS), 
50 dB é o nível máximo recomendável à exposição do 
ouvido humano.
 Com as informações apresentadas, determine:
a) em qual medição e dia o nível de ruído registrado foi 
o mais alto;
Na segunda medição do terceiro dia.
b) em qual medição e dia o nível de ruído registrado foi 
o mais baixo;
Na terceira medição do primeiro dia.
c) o nível médio de ruídos registrados no quarto dia;
44 48 52 0
4
184
4
46
+ + + = =4
Assim, o nível médio de ruídos registrados no quarto 
dia foi de 46 dB.
Incorreto. É atendida por duas lojas.
Incorreto. A cidade 2 é atendida pela loja 3.
Incorreto. A cidade 2 só é atendida pela loja 3.
Incorreto. As duas lojas atendem cidades diferentes.
d) em quantas medições o nível de ruído registrado fi-
cou acima do máximo recomendável pela OMS.
Em 13 medições.
3. Escreva a matriz B = bij x
⎡⎣ ⎤⎦3 4 definida por b i jij = −3 .
 
j⎣ ⎦3 4x j
b b b b
b b b b
b b b b
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
3 1 1 3 1 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
=
⋅ − ⋅ − 33 1 3 3 1 4
3 2 1 3 2 2 3 2 3 3 2 4
3 3 1 3 3 2 3 3 3 3 3 4
⋅ − ⋅ −
⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ −
⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎥
⎥
=
=
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
2 1 0 1
5 4 3 2
8 7 6 5
4. Calcule a soma dos elementos da matriz C= cij x
⎡⎣ ⎤⎦3 3 
na qual c
i j se
i jij
=
+ =
− ≠
⎧
⎨
⎩
2
3
,
,
 i j
 se i j
.
c c c
c c c
c c c
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 2 1 3 1 2 3 1 3
3 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
=
+ ⋅ ⋅ − ⋅ −
⋅ −− + ⋅ ⋅ −
⋅ − ⋅ − + ⋅
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 2 2 2 3 2 3
3 3 1 3 3 2 3 2 3
3 1 0
5 6 3
8 7 9
5. Com relação à matriz A = aij x
⎡⎣ ⎤⎦3 3 definida por 
a
i se
j se
ij =
<
≥
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2
2
,
,
 i j
 i j
, avalie os itens a seguir, escrevendo 
V se a afirmação for verdadeira e F se for falsa.
a) ( V ) A matriz A é simétrica.
b) ( F ) O traço da matriz é igual a 36. 
c) ( F ) A soma dos elementos da diagonal secundária 
da matriz é igual à soma dos elementos da dia-
gonal principal.
d) ( V ) O produto dos elementos da segunda linha da 
matriz é igual a 16. 
e) ( V ) O valor da soma a a a11 23 31 é igual a 6.
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1
1 2 2
1 2 3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
=
⎢⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 1 1
1 4 4
1 4 9
O traço da matriz é 1 + 4 + 9 = 14.
4 Volume 5
6. Seja a matriz M = mij x
⎡⎣ ⎤⎦8 8, em que m
i j se
i
j
seij
=
+ ≤
>
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 2,
,
 i j
 i j
, 
determine o valor de 
m m
m m
45 34
88 74
+
⋅
.
m45 2 4 5 8 25 33
2= ⋅ + = + =
m34
22 3 4 6 16 22= ⋅ + = + =
m88
22 8 8 16 64 80= ⋅ + = + =
m74
7
4
 
m m
m m
45 34
88 74
33 22
80
7
4
55
140
11
28
+
⋅
= +
⋅
= =
7. Sabe-se que a matriz A = aij x
⎡⎣ ⎤⎦3 3 é definida por 
a
i j se i j
i se i j
j se i j
ij =
+ <
=
>
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
,
,
. Determine At .
⎩
A
a a a
a a a
a a a
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
+ +
+
⎡
⎣
⎢
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 1 2 1 3
1 2 2 3
1 2 3
⎢⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 3 4
1 2 5
1 2 3
At =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 1
3 2 2
4 5 3
1
8. Uma matriz é dita antissimétrica quando for igual ao 
oposto da sua transposta, ou seja, uma matriz A é an-
tissimétrica somente se A At= − . Determine os valores 
desconhecidos da matriz abaixo, sabendo que ela é 
antissimétrica.
P
x y
x y z=
+
+ −
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
0 2
3 0
5 3 0
Como a matriz é antissimétrica, temos que P Pt= − , então:
0 2
3 0
5 3 0
0 3 5
2 0 3
0
0 2
x y
x y z
x
x y y z
+
+ −
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
= −
+ −
+ −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⇒
⇒
xx y
x y z
x
x y y z
+
+ −
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
− −
− −
− − − +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
3 0
5 3 0
0 3 5
2 0 3
0
 
Assim:
2 = –x – 3 ⇒ x = –3 – 2 ⇒ x = –5
x + y = 5 ⇒ –5 + y = 5 ⇒ y = 10
y – z = –3 ⇒ 10 – z = –3 ⇒ –z = –13 ⇒ z = 13
9. Calcule os valores desconhecidos para que as igualda-
des abaixo sejam verdadeiras. 
a) 
p p q+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
5 8
3 2
2
3 2
3
p + 5 = 2p ⇒ p = 5
q3 = 8 ⇒ q = 2
b) 
m n t
m n t
− −
+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
− −⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3
2 3
2 9
21 362
 
Da igualdade, temos:
m n
m n
− = −
+ =
⎧
⎨
⎩
2
2 3 21
Multiplicando a primeira equação por 3 e somando com 
a segunda, temos:
3 3 6
2 3 21
5 15
3
m n
m n
m
m
− = −
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
=
=
Agora, substituindo o valor de m na primeira equação, 
temos:
m – n = –2 ⇒ 3 – n = –2 ⇒ –n = –5 ⇒ n = 5
t
t
t
t
t
t
− = −
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
=
= ±
− = −
= −
3 9
36
36
6
3 9
6
2
Cuidado em relação ao valor obtido para t: para a primeira 
equação, o valor 6 não é válido, pois t – 3 = –9, então 
t = –6.
Portanto, m = 3, n = 5 e t = –6.
10. Dadas as matrizes A =
− −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1 3
2 2
 e
 B
a b a b
=
−
+ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1 2
, determine os valores de a e b de 
modo que A Bt . 
Do enunciado, temos que A Bt, então:
1 3
2 2
1
2− −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
+
− −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
a b
a b
Da igualdade, temos:
a b
a b
a
a
+ =
− = −
⎧
⎨
⎩
⊕ =
=
3
2
1
2
2 1
a + b = 3
1
2
3
5
2
+ = ⇒ =b b
Matemática 5
11. Determine os valores de a, b e c de modo que a matriz 
A seja simétrica. 
A a
b c
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
1 1 3
1 125
13
Como a matriz é simétrica, temos que A At, então:
1 1 3
1 125
1
1
1 1
3 125 13
3a
b c
a b
c
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
a = 1 b = 3 c
3 125 ⇒ c = 5
12. (UDESC) Dada a matriz A = −
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 2 2
2 1 2
1 2 1
, então a soma 
dos elementos da primeira linha da matriz At é:
a) –1 b) 5 c) 2 d) 3 X e) 4
A
2
t = − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 1
2 1 2
2 2 1
Assim, a soma dos elementos da primeira linha da 
matriz transposta de A é 1 + 2 + 1 = 4.
13. (UNESP – SP) Considere três lojas, L1 , L2 e L3 , e três 
tipos de produtos, P1 , P2 e P3 . A matriz a seguir des-
creve a quantidade de cada produto vendido por cada 
loja na primeira semana de dezembro. Cada elemento 
aij da matriz indica a quantidade do produto Pi vendido 
pela loja L j , i, j = 1, 2, 3.
 L L L1 2 3
P
P
P
1
2
3
30 19 20
15 10 8
12 16 11
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 Analisando a matriz, podemos afirmar que
a) a quantidade de produtos do tipo P2 vendidos pela 
loja L2 é 11. 
b) a quantidade de produtos do tipo P1 vendidos pela 
loja L3 é 30. 
c) a soma das quantidades de produtos do tipo P3 ven-
didos pelas três lojas é 40. 
d) a soma das quantidades de produtos do tipo Pi ven-
didos pelas lojas Lj, j = 1, 2, 3, é 52. 
X e) a soma das quantidades dos produtos dos tipos P1 e 
P2 vendidos pela loja L1 é 45. 2 1 
a) Essa quantidade é 10.
b) Essa quantidade é 20.
c) Essa quantidade é 12 + 16 + 11 = 39.
d) Essa quantidade é 30 + 19 + 20 + 15 + 10 + 8 + 
12 + 16 + 11 = 141.
e) 30 + 15 = 45
Operações com matrizes
14. Sejam as matrizes A =
−⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
2 1
3 4
2 0
, B =
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2 7 0
8 1 5
, 
C =
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
0 4 2
6 2 8
 e D =
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
3 12
6 6
0 9
. Determine a ma-
triz resultante para cada uma das operações a seguir. 
a) A + 2D
2 1
3 4
2 0
2
3 12
6 6
0 9
2 1
3 4
2 0
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+ ⋅
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+
−−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
=
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
6 24
12 12
0 18
4 23
15 8
2 18
b) 3B – 4C
3
2 7 0
8 1 5
4
0 4 2
6 2 8
6 21 0
24 3 15
0 16 8
⋅
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ − ⋅
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
=
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ +
−
−224 8 32
6 5 8
0 11 17− −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
−
− −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
c) A
C Dt+ −
2
4
3
 
2 3
2 1
3 4
2 0
0 4 2
6 2 8
2
4
3 12
6 6
0 9
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
⋅
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
t ⎥⎥
⎥
⎥
=
3
=
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
2 1
3 4
2 0
0 6
4 2
2 8
2
12 48
24 24
0 36
⎥⎥
⎥
⎥
=
=
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
3
2 1
3 4
2 0
0 3
2 1
1 4
4 16
8 8
0 12⎢⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
6 14
3 13
1 8
6 Volume 5
d) 
1
2
1
3
A B Ct − +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
2
2 1
3 4
2 0
1
3
2 7 0
8 1 5
0 4 2
6 2 8
⋅
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
− ⋅
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ +
−⎡
t
⎣⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
= ⋅
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ − ⋅
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ +
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
1
2
2 3 2
1 4 0
1
3
2 7 0
8 1 5
0 4 2
6 2 8
=
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
+
−⎡
⎣
1
3
2
1
1
2
2 0
2
3
7
3
0
8
3
1
3
5
3
0 4 2
6 2 8
⎢⎢
⎤
⎦
⎥
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
=
=
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
−
− −⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
=
1
3
2
1
1
2
2 0
2
3
19
3
2
26
3
5
3
29
3
=
+ − +
− − − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
=
1
2
3
3
2
19
3
1 2
1
2
26
3
2
5
3
0
29
3
=
+ −
− − − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
=
3 2
3
9 38
6
3
3 52
6
6 5
3
29
3
5
3
29
6
3
55
6
1
3
29
3
−
− −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
15. Encontre a matriz X em cada uma das equações a se-
guir, sabendo que M =
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3 5
2 4
, N =
− −⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 3
6 7
, 
P =
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
0 4
1 1
 e Q =
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥4 1
6 0
.
a) X = 3M – 2∙(N + M)
X = 3M – 2N – 2M
X = M – 2N
X
X
=
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ − ⋅
− −⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ + − −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥=
3 5
2 4
2
1 3
6 7
3 5
2 4
2 6
12 14
5 111
14 10− −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
b) 
X P N Q+ = −3
2 3
 
3∙(X + 3P) = 2∙(N – Q)
3X + 9P = 2N – 2Q
3X = 2N – 2Q – 9P
X
N Q P= − −2 2 9
3
X =
⋅
− −⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ − ⋅
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ − ⋅ −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥2
1 3
6 7
2
4 1
6 0
9
0 4
1 1
3
X =
− −⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ +
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ +
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2 6
12 14
8 2
12 0
0 36
9 9
3
X =
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
6 44
33 5
3
2
44
3
11
5
3
c) 4X + 3M = 2P – (Q + 2N) 
4X + 3M = 2P – Q – 2N
4X = 2P – Q – 2N – 3M
X
P Q N M= − − −2 2 3
4
X =
⋅
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ −
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ − ⋅
− −⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ − ⋅ −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥2
0 4
1 1
4 1
6 0
2
1 3
6 7
3
3 5
2 4
4
X =
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ +
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ + − −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ +
− −
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
0 8
2 2
4 1
6 0
2 6
12 14
9 15
6 12
4
X =
− −
− −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=
− −
− −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
3 2
2 24
4
3
4
1
2
1
2
6
Matemática 7
16. Calcule o valor de x y2 2, sabendo que x e y satisfa-
zem a equação
 
1 2
1 4
3 2
6 4
2
1 2
3 4
x
y
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
− −
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⋅
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ . 
− −
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2 4
7 8
2 4
6 8
x
y
Da igualdade, temos:
x – 4 = 4 ⇒ x = 8
y – 7 = –6 ⇒ y = 1
x y2 2 2 28 1 64 1 65+ = + = + =
17. Se A = −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
12
3
11
, B =
−⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
2
4
7
 e C = −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
3
2
6
, então a matriz 
X que representa a solução da equação A + B – C – X = 0 
é:
a) X =
−
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
7
3
12
b) X = −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
13
1
24
 
c) X = −
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
11
5
2
X d) X =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
7
3
12
e) X =
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
13
1
24
 
⎝ ⎠
A + B – C – X = 0
X = A + B – C
X
X
= −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
+
−⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
− −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
= −
⎛
⎝
12
3
11
2
4
7
3
2
6
12
3
11
⎜⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
+
−⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
+
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
2
4
7
3
2
6
7
3
12
18. Sendo A =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
2
3
0
 e B =
−⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
1
0
2
, determine as matrizes X 
e Y, tais que 
X Y A B
X Y A B
− = −
+ = −
⎧
⎨
⎩
2
.
X Y A B
X Y A B
X A B X
A B
X
− = −
+ = −
⎧
⎨
⎩
⊕
= − ⇒ = −
=
⋅
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
− ⋅
−
2
2 3 2
3 2
2
3
2
3
0
2
1
00
2
2
6
9
0
2
0
4
2
8
9
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
+
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
=
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠X
⎟⎟
⎟
⎟
⇒ =
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
4
9
2
2
X
Substituindo a matriz X na segunda equação para encontrar 
a matriz Y, temos:
X Y A B
Y
Y
+ = −
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
+ =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
−
−⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
4
9
2
2
2
3
0
1
0
2
2
33
0
1
0
2
4
9
2
2
2
3
0
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
−
−⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟⎟
⎟
+
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
+
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⇒ =
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
1
0
2
4
9
2
2
1
3
2
0
Y
19. Determine os valores de m e n para que cada uma das 
igualdades a seguir seja verdadeira.
a) P Q Rm n× × ×⋅ =2 3 2 3 
m vale 2, pois o número de linhas da matriz R deve ser o 
mesmo da matriz P.
n vale 2, pois o número de linhas da matriz Q precisa ser 
igual ao número de colunas da matriz P. 
b) A B Cm n2 4 2 3× × ×⋅ = 
m = 4, pois o número de linhas da matriz B deve ser igual
ao número de colunas da matriz A.
n = 3, pois o número de colunas da matriz C é o mesmo da
matriz B.
8 Volume 5
c) G F Em n6 4 4 5× × ×⋅ = 
m = 6, pois o número de linhas da matriz E é o mesmo da 
matriz G.
n = 5, pois o número de colunas da matriz E é o mesmo da
matriz F.
20. Calcule os produtos a seguir. 
a) 
5 4
2 3
1
3−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ 
5 1 4 3
2 1 3 3
17
7
⋅ + ⋅
− ⋅ + ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
b) 
1 0 2
3 2 0
1 4 3
2
0
5
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⋅
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 
1 2 0 0 2 5
3 2 2 0 0 5
1 2 4 0 3 5
⋅ −( ) + ⋅ + −( ) ⋅
⋅ −( ) + ⋅ + ⋅
⋅ −( ) + ⋅ + −( ) ⋅
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
==
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
12
6
17
c) 2 4 2
0
2
2
−⎡⎣ ⎤⎦⋅
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥⎣ ⎦
2 0 4 2 2 2 12⋅ + ⋅ + −( ) ⋅ −( )⎡⎣ ⎤⎦ = [ ]
d) 
2
0
3
1
0 2 1 5
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⋅ ( ) 
⎝ ⎠
2 0 2 2 2 1 2 5
0 0 0 2 0 1 0 5
3 0 3 2 3 1 3 5
1 0 1 2
⋅ ⋅ ⋅ −( ) ⋅
⋅ ⋅ ⋅ −( ) ⋅
⋅ ⋅ ⋅ −( ) ⋅
−( ) ⋅ −( ) ⋅ −11 1 1 5
0 4 2 10
0 0 0 0
0 6 3 15
0 2 1 5
( ) ⋅ −( ) −( ) ⋅
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟⎟
=
=
−
−
− −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟⎟
21. Com relação à matriz A aij x=
⎡⎣ ⎤⎦2 2, definida por 
a
i j se
i jij
=
+ =
− ≠
⎧
⎨
⎩
,
,
 i j
 se i j2 2
, obtenha:
a) A2
Obtendo a matriz A, temos 
a a
a a
11 12
21 22
1 1 2 1 2 2
2 2 2 1 2 2
2 2
2 4
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
+ ⋅ − ⋅
⋅ − ⋅ +
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2 2
2 4
2 2
2 4
2 2 2 2 2 2 2 4
2 2 4 2 2 2
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⋅ + −( ) ⋅ ⋅ −( ) + −( ) ⋅
⋅ + ⋅ ⋅ −(( ) + ⋅
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
=
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
4 4
0 12
12 12
b) A At
2 2
2 4
2 2
2 4
2 2 2 2 2 2 2 4
2 2 4 2 2
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅ −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⋅ + −( ) ⋅ −( ) ⋅ + −( ) ⋅
⋅ + ⋅ −( ) ⋅⋅ + ⋅
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
=
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2 4 4
8 4
4 20
22. Calcule o valor de m e n na equação matricial 
3 1
1 3
4
1
2
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = ⋅
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
m
n
.
3 1
1 3
4
1
2
3
3
4
8
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = ⋅
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
−
+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
m
n
m n
m n
Da igualdade, temos:
3 4
3 8
m n
m n
− =
+ =
⎧
⎨
⎩
9 3 12
3 8
10 20
2
m n
m n
m
m
− =
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
=
=
Substituindo o valor de m 
na primeira equação, ob-
temos o valor de n:
3 ∙ 2 – n = 4
–n = –2
n = 2
Matemática 9
23. Dadas as matrizes M =
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3 5
1 3
 e N = ⎡⎣ ⎤⎦4 0 , obte-
nha X tal que X ∙ M = N.
Como a matriz M é do tipo 2 × 2 e N é do tipo 1 × 2, a matriz 
X precisa ser do tipo 1 × 2 para a multiplicação entre X e M 
existir. Escrevendo a matriz X como a b[ ], temos:
X M N
a b
a b a b
⋅ =
[ ] ⋅
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = [ ]
+ −[ ] = [ ]
3 5
1 3
4 0
3 5 3 4 0
Da igualdade, temos:
3 4
5 3 0
a b
a b
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
Multiplicando a primeira equação por 3 e somando com a 
segunda, determinamos o valor de a:
9 3 12
5 3 0
14 12
a b
a b
a
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
⊕
=
a
6
7
Em seguida, substituindo o valor de a na primeira equação, 
obtemos o valor de b:
3
6
7
4
18
7
4
28
7
18
7
10
7
⋅ + =
+ =
= −
=
b
b
b
b
Assim, a matriz X é 
6
7
18
7
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
.
24. (UFG – GO) Para transmitir dados via satélite, dentre 
outros processos da área de telecomunicações, utiliza-
-se atualmente o Código de Hamming. Ele pode garan-
tir que, por meio de um canal de comunicação, uma 
mensagem chegue ao seu destinatário sem erros, sem 
ruídos, ou com possibilidade de correção. 
 Ao transmitir uma mensagem, usa-se um Código de 
Hamming de redundância r = n – k, sendo k um parâ-
metro. Para detectar um erro na transmissão, efetua-
-se a operação matricial H vt , na qual H é uma matriz 
de ordem r × n, o comprimento do código é n r= −2 1 
e, neste caso, Vt é uma matriz coluna, transposta da 
matriz v, que representa a mensagem enviada. A trans-
missão será bem-sucedida se essa multiplicação re-
sultar em uma matriz nula. 
 Com base nestas informações, um código de redun-
dância r = 3 pode detectar erros de transmissão de 
mensagens cuja matriz v é, necessariamente, uma 
matriz
X a) linha, de ordem 1 × 7 
b) coluna, de ordem 3 × 1 
c) linha, de ordem 1 × 3 
d) identidade, de ordem 3 × 3 
e) nula, de ordem 3 × 7
Como r = 3, podemos encontrar o valor de n pela expres-
são n r= −2 1:
n = −2 13 ⇒ n = 8 –1 ⇒ n = 7
Por meio dessa informação e do enunciado, sabemos que 
a matriz H é do tipo 3 × 7 e que a matriz v
t
 é matriz co-
luna, então, para existir o produto entre H e v
t
, a matriz 
v t precisa ser do tipo 7 × 1.
Assim, a matriz v é do tipo 1 × 7.
25. (UEPB) Sejam as matrizes
 A =
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
3 5
2 1
0 1
, B =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
4
3
 e C = ( )2 1 3 .
 Sendo D A B Ct= + ⋅ , a soma dos elementos d12 e 
d22 da matriz D é igual a:
a) 22
X b) 10
c) 20
d) 34
e) 17
D
D
t
=
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅( )
=
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⋅ ⋅
3 5
2 1
0 1
4
3
2 1 3
3 2 0
5 1 1
4 2 4 1 4 ⋅⋅
⋅ ⋅ ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
3
3 2 3 1 3 3
3 2 0
5 1 1
8 4 12
6 3 9
11 6 12
11 4 8
D
⎝⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Portanto, d d12 22 6 4 10+ = + = .
26. (UNIRIO – RJ) Um laboratório farmacêutico fabrica 3 
tipos de remédios utilizando diferentes compostos. 
Considere a matriz A = ( aij ) dada a seguir, onde aij 
representa quantas unidades do composto j serão utili-
zadas para fabricar uma unidade do remédio do tipo i.
10 Volume 5
 A =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 2 4
2 5 3
0 1 4
 Quantas unidades do composto 2 serão necessárias 
para fabricar 3 remédios do tipo 1; 2 remédios do tipo 
2 e 5 remédios do tipo 3?
a) 18
X b) 21
c) 24
d) 27
e) 30
3 ∙ 2 + 2 ∙ 5 + 5 ∙ 1 = 6 + 10 + 5 = 21
Matriz inversa
27. Encontre a inversa de cada uma das matrizes a seguir.
a) 
3 4
2 3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎝ ⎠
A A I
a b
c d
a c b d
a c b
⋅ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
+ +
+ +
−1
2
3 4
2 3
1 0
0 1
3 4 3 4
2 3 2 33
1 0
0 1d
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Da igualdade, temos dois sistemas de equações:
I. 
3 4 1
2 3 0
a c
a c
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
− − = −
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
= −
6 8 2
6 9 0
2
a c
a c
c
Substituindo o valor de c na primeira equação, deter-
minamos o valor de a:
3a + 4c = 1
3a + 4 ∙ (–2) = 1
3a – 8 = 1
3a = 9 ⇒ a = 3
II. 
3 4 0
2 3 1
b d
b d
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
− − =
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
=
6 8 0
6 9 3
3
b d
b d
d
Substituindo o valor de d na primeira equação, deter-
minamos o valor de b:
3b + 4d = 0
3b + 4 ∙ 3 = 0
3b + 12 = 0
3b = –12 ⇒ b = –4
Portanto, a inversa da matriz dada é 
3 4
2 3
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ .
b) 
4 3 1
2 1 0
2 0 0
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
A A I
a b c
d e f
g h i
⋅ =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⋅
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
−1
3
4 3 1
2 1 0
2 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1⎣⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+ + + + + +
+ + +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
4 3 4 3 4 3
2 2 2
2 2 2
a d g b e h c f i
a d b e c f
a b c ⎥⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Podemos formar três sistemas de equações com base 
nas igualdades entre as colunas:
I. 
4 3 1
2 0
2 0
a d g
a d
a
+ + =
+ =
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2a = 0 ⇒ a = 0
2a + d = 0 ⇒ 2 ∙ 0 + d = 0 ⇒ d = 0
4a + 3d + g = 1 ⇒ como a e d valem zero, podemos 
afirmar que g = 1.
II. 
4 3 0
2 1
2 0
b e h
b e
b
+ + =
+ =
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2b= 0 ⇒ b = 0
2b + e = 1 ⇒ 2 ∙ 0 + e = 1 ⇒ e = 1
4b + 3e + h = 0 ⇒ 4 ∙ 0 + 3 ∙ 1 + h = 0 ⇒ 
⇒ 0 + 3 + h = 0 ⇒ h = –3
III. 
4 3 0
2 0
2 1
c f i
c f
c
+ + =
+ =
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2c = 1 ⇒ c = 1
2
2c + f = 0 ⇒ 2 ∙ 1
2
 + f = 0 ⇒ f = –1
4c + 3f + i = 0 ⇒ 4 ∙ 1
2
 + 3 ∙ (–1) + i = 0 ⇒ 
⇒ 2 – 3 + i = 0 ⇒ i = 1
Portanto, a inversa da matriz dada é 
0 0
1
2
0 1 1
1 3 1
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
.
Matemática 11
28. Verifique se a matriz 
4 2
5 3
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ é a inversa de 
3 2
5 4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ .
A A I⋅ =−1 2
3 2
5 4
4 2
5 3
1 0
0 1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3 4 2 5 3 2 2 3
5 4 4 5 5 2 4 3
1 0
0 1
⋅ + ⋅ −( ) ⋅ −( ) + ⋅
⋅ + ⋅ −( ) ⋅ −( ) + ⋅
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥⎥
2 0
0 2
1 0
0 1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ≠
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Portanto, a matriz 
4 2
5 3
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ não é a inversa de 
3 2
5 4
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ .
29. Determine os valores de a e b, sabendo que a inversa 
de 
a a
a
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
4
5 1
 é a matriz 
b
a
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3
2
. 
A A I⋅ =−1 2
a a
a
b
a
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
4
5 1
3
2
1 0
0 1
a b a a a a
a b a a
⋅ + −( ) ⋅ −( ) ⋅ −( ) + −( ) ⋅
−( ) ⋅ + ⋅ −( ) −( ) ⋅ −( ) + ⋅
⎡
⎣
4 2 3 4
5 1 2 5 3 1
⎢⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 0
0 1
ab a a a a
ab b a a
− + − + −
− − − + +
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2 8 3 4
5 2 3 15
1 0
0 1
2
ab a a a
ab b a
− + −
− − − +
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2 8 7
5 2 2 15
1 0
0 1
2
–2a + 15 = 1 ⇒ –2a = –14 ⇒ a = 7, que satisfaz também 
a igualdade a a
2 7 0− = .
ab – 2a + 8 = 1 ⇒ 7 ∙ b – 2 ∙ 7 + 8 = 1 ⇒ 
⇒ 7b – 14 + 8 = 1 ⇒ 7b = 7 ⇒ b = 1, que satisfaz tam-
bém a igualdade ab – 5b – 2 = 0.
Portanto, os valores de a e b são, respectivamente, 7 e 1.
30. Sejam as matrizes A =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3 2
7 5
 e B =
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 1
1 1
. 
Obtenha a matriz resultante da operação A B A⋅ + −1 . 
Cálculo de A ∙ B:
3 2
7 5
1 1
1 1
3 1 2 1 3 1 2 1
7 1 5 1 7 1 5 1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅ −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⋅ + ⋅ −( ) ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ −( ) ⋅ + ⋅
⎡
⎣⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 5
2 12
Cálculo de A–1:
A A I
a b
c d
a c b d
a c b
⋅ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
+ +
+ +
−1
2
3 2
7 5
1 0
0 1
3 2 3 2
7 5 7 55
1 0
0 1d
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Da igualdade, temos dois sistemas de equações:
I. 
3 2 1
7 5 0
a c
a c
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
− − = −
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
− = −
=
15 10 5
14 10 0
5
5
a c
a c
a
a
Substituindo o valor de a na primeira equação, determi-
namos o valor de c:
3a + 2c = 1
3 ∙ 5 + 2c = 1
15 + 2c = 1
2c = –14
c = –7
II. 
3 2 0
7 5 1
b d
b d
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
− − =
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
− =
= −
15 10 0
14 10 2
2
2
b d
b d
b
b
Substituindo o valor de b na primeira equação, determi-
namos o valor de d:
3b + 2d = 0
3 ∙ (–2) + 2d = 0
–6 + 2d = 0
2d = 6
d = 3
Portanto, a inversa da matriz A é 
5 2
7 3
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ .
Assim, a matriz resultante da operação 
A B A⋅ + −1 é: 
1 5
2 12
5 2
7 3
6 3
5 15
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ +
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
12 Volume 5
31. (EFOA – MG) Sejam as matrizes A =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1 2
2 6
 e 
M
x
y
=
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
1
, onde x e y são números reais e M é a 
matriz inversa de A. Então o produto yx é:
X a) 
3
2
b) 
2
3
c) 
1
2
d) 
3
4
e) 
1
4
Como M é a inversa de A, então:
A M I
x
y
x
⋅ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⋅ + ⋅ −( ) ⋅ −( ) +
2
1 2
2 6
1
1
1 0
0 1
1 2 1 1 1 2 ⋅⋅
⋅ + ⋅ −( ) ⋅ −( ) + ⋅
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
− − +
− − +
y
x y
x y
x
2 6 1 2 1 6
1 0
0 1
2 1 2
2 6 2 6yy
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1 0
0 1
Assim:
x x
y y y
− = ⇒ =
− + = ⇒ = ⇒ =
2 1 3
1 2 0 2 1
1
2
Portanto, y x⋅ = ⋅ =1
2
3
3
2
32. (UFAM) Seja A aij= ( ) a matriz quadrada de 2.ª ordem, 
definida por 
a i se i j
i j se i j
ij =
=
− ≠
⎧
⎨
⎩
2,
,
 Nestas condições a transposta da inversa de A [nota-
ção: A
t−( )1 ] é igual:
a) 
4
5
1
5
1
5
1
5
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
b) 
4
5
1
5
1
5
1
5
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
c) 
4
5
1
5
1
5
1
5
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
X d) 
4
5
1
5
1
5
1
5
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
e) 
4
5
1
5
1
5
1
5
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
A
a a
a a
=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
11
2
12
21 22
21 1
2 1
1 1
1 4
2
2
A A I⋅ − =1 2
1 1
1 4
1 0
0 1
4 4
1 0
0 1
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
− −
+ +
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
a b
c d
a c b d
a c b d
⎡⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Da igualdade, temos dois sistemas de equações:
I. 
a c
a c
− =
+ =
⎧
⎨
⎩
1
4 0
Multiplicando a primeira equação por –1 e somando 
as equações, determinamos o valor de c:
− + = −
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
= −
a c
a c
c
1
4 0
5 1
Substituindo o valor de c na primeira equação:
a – c = 1 
a – −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
5
= 1 ⇒ a + 1
5
 = 1 ⇒ a = 4
5
II. 
b d
b d
− =
+ =
⎧
⎨
⎩
0
4 1
Multiplicando a primeira equação por –1 e somandoas equações, determinamos o valor de d:
− + =
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
= ⇒ =
b d
b d
d d
0
4 1
5 1
1
5
Substituindo o valor de d na primeira equação:
b – d = 0
b – 
1
5
= 0 ⇒ b = 1
5
 
Portanto, a inversa da matriz A é 
4
5
1
5
1
5
1−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥5
, e a 
transposta da inversa de A é 
4
5
1
5
1
5
1
5
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
.
⇒ = −c 1
5
Matemática 13
Determinante de uma matriz
33. Calcule os determinantes das matrizes a seguir.
a) 
3 5
1 3
 = –9 – 5 = –14
b) 
0 9
2 5
 = 0 + 18 = 18
c) 
1
1
2
2
1
3
 
= 
1
3
1
4
3
+ =
d) 
1 1 3
2 1 2
1 1 3
 = = + + − − − =
1 1 3
2 1 2
1 1 3
1 1
2 1
1 1
3 2 6 6 2 3 0
e) 
0 3 0
2 3 1
4 2 5
 
34. Calcule o determinante da matriz A, quadrada de or-
dem 3, definida por a
se i j
se i j
se i j
ij
i
j
=
<
=
>
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
2
1
3
,
,
,
. 
A
a a a
a a a
a a a
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢11
2
12 1
21 22 23
31 32 33
1 1
1
1 2
1 2 2
3 1 2
3 3 1
3
⎢⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 2 2
3 1 4
3 9 1
Cálculo do determinante de A: 
1 2 2
3 1 4
3 9 1
1 2
3 1
3 9
1 24 54 6 36 31= + + − − − =6
35. Com relação à matriz A
x y
x y
=
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟2 3 , resolva os itens 
a seguir. 
a) Calcule o determinante de A. 
x y
x y
x y y x xy y x
2 3
23 2= ⋅ − ⋅ = ⋅ −( )
= −
−
−
−
= + =
0 3 0
2 3 1
4 2 5
0 3
2 3
4 2
12 30 42
b) Calcule o determinante de A, sabendo que x = 2 e 
y = 3. 
xy y x⋅ − = ⋅ ⋅ − =
= ⋅ − = ⋅ =
( ) ( )
( )
2 2 3 3 2
6 9 2 6 7 42
2
c) Calcule o valor de x quando y = 1 e det A = –6.
xy y x
x x
x x
x x
a b c
b
⋅ − = −
⋅ ⋅ − = −
− = −
− − =
= = − = −
= −
( )
( )
; ;
2 6
1 1 6
6
6 0
1 1 6
2
2
2
2Δ 44
1 4 1 6 25
2
⋅ ⋅
= −( ) − ⋅ ⋅ −( ) =
a c
Δ
 
x
b
a
x
x
x
= − ±
⋅
= ±
⋅
= + =
= − = −
Δ
2
1 25
2 1
1 5
2
3
1 5
2
2
Assim, os possíveis valores para x são 3 e –2.
36. Obtenha o valor de m para que a igualdade a seguir 
seja verdadeira. 
 
m
m
m
+
−
=
−
1 2 3
1 5
3 1 2
4 1
2
Cálculo do determinante de ordem 3:
m
m
m
m
m m m m
+
−
+
=
= − − + + + − − − =
1 2 3
1 5
3 1 2
1 2
1
3 1
2 2 30 3 4 5 5 9 14
Cálculo do determinante de ordem 2:
–8 – m
Dessa forma, temos a igualdade resultante do cálculo dos 
dois determinantes:
14 = –8 – m
m = –8 – 14
m = –22
37. (IFG – GO) O valor real de x da equação 
 
1 0 0
16 8 4
1 1 2
1log log logx x x é:
14 Volume 5
a) 4
X b) 16
c) 2
d) 32
e) 8
Cálculo do determinante de ordem 3:
1 0 0
16 8 4
1 1 2
1 0
16 8
1 1
2 8 4
log log log log log
log log
x x
x x
x x x =
= ⋅ −
Resolução da equação:
2 8 4 1
8 4 1
64 4 1
16 1 16
2
⋅ − =
− =
− =
= ⇒ =
log log
log log
log log
log
x x
x x
x x
x x
38. (IFPE) As matrizes são muito utilizadas na computação 
gráfica para representar translação e rotação, por 
exemplo. Também usamos matrizes para resolver 
sistemas de equações. Na engenharia elétrica, é muito 
difícil resolver problemas de circuitos elétricos e linhas 
de transmissão de energia elétrica sem matrizes. 
Trabalhar com uma malha de linha de transmissão 
e passar esse circuito para forma matricial, torna o 
trabalho mais fácil. A rigor, determinante é uma função 
que associa uma matriz quadrada a um número real. 
Esse número real, que é a imagem, é chamado de 
determinante da matriz quadrada. Os determinantes 
simplificam e sistematizam a resolução de sistemas 
de equações lineares. Podemos usar determinante, 
também, para calcular áreas e volumes. Na geometria 
analítica, se conhecemos as coordenadas dos vértices 
de um triângulo, usamos o determinante para calcular 
a área desse triângulo. Considere um triângulo cujos 
vértices são os pontos A(1; 3), B(7; 1) e C(3; 5). Qual é 
a área do triângulo com vértices nos pontos A, B e C ?
X a) 8
b) 9 
c) 12 
d) 14
e) 16
A D
A
= ⋅
= ⋅
1
2
1 3
7 1
3 5
1
2
1 3 1
7 1 1
3 5 1
A
A
A u a
= ⋅ + + − − −
= ⋅
=
1
2
1 9 35 3 5 21
1
2
16
8 . .
39. No plano cartesiano abaixo, represente os pontos 
A(1, 1), B(4, 4), C(7, 4), D(10, 1) e, depois, responda às 
questões propostas.
0
1
–1
–2
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a) Ligando os quatro pontos com segmentos de reta, 
qual é a figura geométrica obtida?
Pode-se obter um trapézio.
b) Calcule a área da figura obtida.
Dividindo o trapézio em dois triângulos, a área pode 
ser obtida por:
Área (ABCD) = Área (ABD) + Área (BCD)
Área ABCD( ) = ⋅ + ⋅1
2
1 1 1
4 4 1
10 1 1
1
2
4 4 1
7 4 1
10 1 1
A = ⋅ + ⋅1
2
1 1 1
4 4 1
10 1 1
1 1
4 4
10 1
1
2
4 4 1
7 4 1
10 1 1
4 4
7 4
10 1
A = ⋅ + + − − − +
+ ⋅ + + − − −
1
2
4 10 4 4 1 40
1
2
16 40 7 28 4 40
A = ⋅ − + ⋅ −1
2
27
1
2
9
A = + = =27
2
9
2
36
2
18
40. (UFAM) Dadas as matrizes A
a a
a
=
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1
 e
 B
a
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3 2
1 1
, o produto das raízes da equação 
 det(A + B) = 0 é:
a) 1 b) 2 c) 1
2
d) 
3
2
X e) –1
A B
a a
a
a a a
a
+ =
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
− +
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
3 2
1 1
4 2
2 1
Matemática 15
 
det(A + B) = 0
4 2
2 1
0
4 1 2 2 0
4 4 2 4 0
4 6 4 0
2
2
2
2
a a
a
a a a
a a a
a a
a
− +
+
=
⋅ +( ) − − +( )⋅ =
+ + − =
+ − =
+ 33 2 0a − =
O produto das raízes da equação é: x x
c
a
1 2⋅ =
x x1 2
2
2
1⋅ = − = −
41. (UFSCAR – SP) Sejam as matrizes 
 A = 
3 2
0 1 5log ,
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ e B = 
log ,0 01 0
4 3−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
 Calcule: 
a) o determinante da matriz (B – A).
log , log log
log , log log
0 1 10 1 10 1 1 1
0 01 10 2 10 2
1
2
= = − ⋅ = − ⋅ = −
= = − ⋅ = −
−
− ⋅⋅ = −1 2
B A− =
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
=
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
3 2
1 5
2 0
4 3
3 2
1 5
2 0
4 3
5 2
5 88
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
det B A−( ) =
−
= ⋅ − −( )⋅ = + =5 2
5 8
5 8 5 2 40 10 50
b) a matriz inversa da matriz (B – A).
 
A A I
a b
c d
a c b d
a c
⋅ =
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
+ +
− + −
−1
2
5 2
5 8
1 0
0 1
5 2 5 2
5 8 55 8
1 0
0 1b d+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Da igualdade, temos dois sistemas de equações:
I. 
5 2 1
5 8 0
a c
a c
+ =
− + =
⎧
⎨
⎩
Somando as equações, determinamos o valor de c:
5 2 1
5 8 0
10 1
1
10
a c
a c
c c
+ =
− + =
⎧
⎨
⎩
⊕
= ⇒ =
Substituindo o valor de c na primeira equação:
5a + 2∙
1
10
= 1
5a + 
1
5
 = 1
5a = 1 – 
1
5
= 
4
25
II. 
5 2 0
5 8 1
b d
b d
+ =
− + =
⎧
⎨
⎩
Somando as equações, determinamos o valor de d:
5 2 0
5 8 1
1
10
10 1
b d
b d
dd
+ =
− + =
⎧
⎨
⎩
⊕
⇒ ==
Substituindo o valor de d na primeira equação:
5b + 2 ∙ 
1
10
= 0
5b = –
1
5
⇒ b = – 1
25
 
Portanto, a inversa da matriz (B – A) é 
4
25
1
10
25
1
10
1−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
. 
Teorema de Laplace
42. Calcule o valor dos seguintes determinantes:
a) 
2 3 1 2
0 4 3 5
1 2 1 3
0 4 1 0
 
Escolhemos a 1ª. coluna, pois é a que tem mais zeros. O 
determinante D é igual a:
D a A a A a A a A= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅11 11 21 21 11 11 41 41
D a A a A pois a a= ⋅ + ⋅ = =11 11 11 11 21 41 0,
D = ⋅ −( ) ⋅
−
+ ⋅ −( ) ⋅
−
−+ +2 1
4 3 5
2 1 3
4 1 0
1 1
3 1 2
4 3 5
4 1 0
1 1 3 1
D = ⋅ ⋅ − + − −( ) + ⋅ ⋅ − + + −( )2 1 36 10 20 12 1 1 20 8 24 15
D = ⋅ −( ) + ⋅ −( )2 58 1 3
D D= − − ⇒ = −116 3 119
b) 
0 0 0 3
1 2 1 4
3 4 6 1
2 0 4 1
 
Escolhemos a 1ª. linha, pois é a que tem mais zeros. O 
determinante D é igual a:
D a A a A a A a A
D a A pois a a a
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ = =
11 11 12 12 13 13 14 14
14 14 11 12 13, ==
= ⋅ −( ) ⋅
−
=
= ⋅ −( ) ⋅ − + − −( ) = ⋅ −( ) ⋅ −
+
0
3 1
1 2 1
3 4 6
2 0 4
3 1 16 24 8 24 3 1 24
1 4
D
(( ) = 72
16 Volume 5
c) 
8 9 1 3
0 2 1 4
0 0 4 1
0 0 0 1
 
Escolhemos a 1ª. coluna, pois é a que tem mais zeros. O 
determinante D é igual a:
D a A a A a A a A a A
pois a a a
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅
= = =
11 11 21 21 31 31 41 4 11 11
21 31 41
1 ,
00
8 1
2 1 4
0 4 1
0 0 1
8 1 8 64
1 1
D = ⋅ −( ) ⋅ − = ⋅ ⋅( ) =+
Essa matriz é triangular e seu determinante pode ser calcu-
lado pela multiplicação dos elementosda diagonal principal.
43. Resolva as equações a seguir.
a) 
1 1 5 1
0 1
1 2 0 1
1 1 0 1
0
2x x
Escolhemos a 3ª. coluna, pois é a que tem mais zeros. O 
determinante D é igual a:
D a A a A a A a A
D a A pois a a a
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ = =
13 13 23 23 33 33 43 43
13 13 23 33 43, ==
⋅ −( ) ⋅ =
⋅ ⋅ + + − − −( ) =
⋅ −( ) =
+
0
5 1
1
1 2 1
1 1 1
0
5 1 2 1 2 0
5 1 0
5
1
2
2 2
3
x x
x x x x
x
x −− =
= ⇒ =
5 0
5 5 1x x
b) 
1 0 2 0
2 0 0
3 1 2
4 0 1
39
−
−
= −
x
x
x
Escolhemos a 2ª. coluna, pois é a que tem mais zeros. O 
determinante D é igual a:
D a A a A a A a A
D a A pois a a a
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ = =
12 12 22 22 32 32 42 42
32 32 12 22 42, == 0
1 1
1 2 0
2 0
4 1
39
3 2⋅ −( ) ⋅ − = −+ x
x
1 1 8 4 39
1 11 39
11 39
39
11
⋅ −( ) ⋅ − + −( ) = −
−( )⋅ −( ) = −
= − ⇒ = −
x x x
x
x x
 
44. O determinante da matriz 
−
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
1 1 1 0
1 0 2 3
2 3 6 5
2 1 4 0
 vale:
a) –5 X b) 7 c) 0 d) 5 e) –1
Escolhemos a 4ª. coluna, pois é a que contém a maior 
quantidade de zeros. O determinante D é igual a:
D a A a A a A a A
a A a A pois a
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
= ⋅ + ⋅
14 14 24 24 34 34 44 44
24 24 34 34 14, == =
= ⋅ −( ) ⋅
−
−
−
+ ⋅ −( ) ⋅
−
−
= ⋅
+ +
a
D
D
44
2 3 4
0
3 1
1 1 1
2 3 6
2 1 4
5 1
1 1 1
1 0 2
2 1 4
3
4
.
11 12 12 2 6 6 8 5 1 4 1 2 4
3 1 6 5 1 5
⋅ − + − + −( ) + ⋅ −( ) ⋅ − + + −( )
= ⋅ ⋅ −( ) + ⋅ −( ) ⋅ −( )D
DD D= − + ⇒ =18 25 7
Propriedades dos determinantes
45. O valor de cada um dos determinantes a seguir é zero. 
Justifique essa afirmação com a propriedade que ga-
rante a nulidade de cada um deles.
a) 
1 2 3 5
8 2 4 3
3 6 9 15
3 5 6 6
Filas paralelas proporcionais. A 1.ª e a 3.ª linhas são propor-
cionais, pois basta multiplicar os elementos da 1.ª linha por
–3 para obter os elementos da 3.ª linha.
b) 
1 0 2 5
4 0 8 3
1 2 2 1
4 0 8 3
Filas paralelas proporcionais. A 1.ª e a 3.ª colunas são propor-
cionais, pois basta multiplicar os elementos da 1.ª coluna por 2 
para obter os elementos da 3.ª coluna. Também podemos 
justificar a nulidade observando que a 2.ª e a 4.ª linhas são 
iguais.
Matemática 17
c) 
a b c
d e0
0 0 0
Fila nula. A 3.ª linha é formada somente por zeros.
d) 
1 0 1 5
4 0 4 3
1 2 1 1
0 0 0 1
 
Filas paralelas iguais. A 3.ª coluna é igual à 1.ª coluna.
46. (ACAFE – SC) Analise as afirmações abaixo, sabendo 
que: 
a b c
d e f
g h i
= −2
 I. 
d e f
a b c
g h i
2 
 II. 
3 3 3
3 3 3
3 3 3
6
a b c
d e f
g h i
= − 
 III. 
a b c
g h i
0 0 0 0 
 IV. 
a b c
d a e b f c
g h i
+ + + = −2 2 2 2 
 Assinale a alternativa correta.
X a) Apenas I, III e IV são verdadeiras. 
b) Apenas a afirmação III é verdadeira. 
c) Apenas I e II são verdadeiras. 
d) Todas as afirmações são verdadeiras.
Verdadeira. Propriedade 5.
Falsa. 3 2 27 2 54
3( ) ( ) ( )⋅ − = ⋅ − = −
Verdadeira. Há uma fila nula.
Verdadeira. Teorema 
de Jacobi. 
47. (IFSC) Após assistir a uma aula sobre determinantes 
de matrizes, Pedro decidiu codificar sua senha ban-
cária. A senha é composta pelos números A, B, C e 
D, justapostos nessa ordem e codificados através dos 
determinantes abaixo:
A
1 2 4
3 1 2
1 2 1
B =
−
−
1 7 1 25
0 3 8 32
0 0 2 11
0 0 0 1
C =
−
− −
− −
−
1 2 0 2
2 4 3 3
4 8 2 1
8 16 0 2
D =
−
−
3 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 4 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
 Sobre a senha de Pedro, determine o número 
correspondente à proposição correta ou à soma das 
proposições corretas.
(01) A senha possui dois dígitos nulos. 
X (02) A senha possui seis dígitos. 
(04) O último dígito da senha é zero. 
(08) Os dígitos da senha estão em ordem crescente. 
X (16) A + B + C + D = 45. 
X (32) Os dois primeiros dígitos da senha são 1 e 5. 
Somatório: 50 (02 + 16 + 32)
A = = + + − − − =
1 2 4
3 1 2
1 2 1
1 2
3 1
1 2
1 4 24 6 4 4 15
B é matriz triangular, então B = 1 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6
C = 0, pois a segunda coluna é proporcional à primeira.
D é matriz triangular, então D = (–3) ∙ (–2) ∙ 4 ∙ 1 ∙ 1 = 24.
Incorreta. A senha tem um único dígito nulo.
Incorreta. O último dígito da senha é 4.
Incorreta. Estão em ordem alternada.
18 Volume 5
48. Calcule o determinante 
1 3 1 4
2 3 5 1
3 2 3 5
4 2 4 1
. 
Podemos utilizar o elemento a11 = 1 para anular os elemen-
tos a21 , a31 e a41 . Nesse caso, multiplicamos: 
a 1ª. linha por –2 e adicionamos à 2ª.. 
a 1ª. linha por –3 e adicionamos à 3ª.. 
a 1ª. linha por –4 e adicionamos à 4ª..
1 3 1 4
0 9 7 7
0 7 0 7
0 14 8 15
Escolhendo a 1ª. coluna, para calcular o determinante D, temos:
D a A a A a A a A a A
pois a a a
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅
= = =
11 11 21 21 31 1 1 41 11 11
21 31 41
3 4 ,
00.
D = ⋅ −( ) ⋅
− −
− −
− −
=
− −
− −
− −
−
−
−
=+1 1
9 7 7
7 0 7
14 8 15
9 7 7
7 0 7
14 8 15
9 7
7 0
14 8
1 1
== + − − = −686 392 735 504 161
Há outras possibilidades de resolução.
49. Calcule os determinantes a seguir.
a) 
1 1 1 1
1 3 5 7
1 9 25 49
1 27 125 343
 
Para calcular o determinante da Matriz de Vandermonde, 
fazemos: 
(–3 – 1) ∙ (5 – 1) ∙ (5 – (–3)) ∙ (–7 – 1) ∙ (–7 – (–3)) ∙ (–7 – 5) = 
= (–4) ∙ 4 ∙ 8 ∙ (–8) ∙ (–4) ∙ (–12) = 49 152
b) 
1 3 9 27
1 6 36 216
1 10 100 1000
1 11 121 1331
 
Como o determinante de uma matriz é igual ao da sua 
transposta, então:
1 3 9 27
1 6 36 216
1 10 100 1000
1 11 121 1331
1 1 1 1
3 6 10 11
9 36 100 121
27 216 10000 1331
 
Para calcular o determinante da Matriz de Vandermonde, 
fazemos: 
(6 – 3) ∙ (10 – 3) ∙ (10 – 6) ∙ (11 – 3) ∙ (11 – 6) ∙ (11 – 10) = 
= 3 ∙ 7 ∙ 4 ∙ 8 ∙ 5 ∙ 1 = 3 360
50. Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 e det(A) = 6. 
Calcule:
a) det (3A) 
b) det ( At ) 
c) det ( A2 ) 
51. Analise as afirmações abaixo e assinale V se a afirma-
ção for verdadeira e F se a afirmação for falsa.
a) ( F ) O valor de um determinante será nulo se pelo 
menos um de seus elementos for igual a zero.
b) ( V ) O determinante de uma matriz fica multiplicado 
por m quando se multiplica uma fila da matriz 
por m. Propriedade 4.
c) ( F ) O determinante de uma matriz que tem os elemen-
tos de uma coluna iguais aos de uma linha vale 0. 
d) ( F ) O determinante de uma matriz não se altera 
quando se trocam, na matriz, duas filas entre si. 
e) ( V ) O determinante de uma matriz que tem duas 
filas paralelas iguais vale zero. Propriedade 2.
f) ( F ) Quando o número de elementos positivos de 
uma matriz é igual ao número de elementos ne-
gativos, o valor de seu determinante é zero.
(3)3 ⋅ 6 = 27 ⋅ 6 = 162
6
det A ∙ det A = 6 ∙ 6 = 36
Matemática 19
52. O determinante de uma matriz quadrada vale 28. Qual 
o valor do determinante obtido quando os elementos da 
3a. linha de uma matriz quadrada são divididos por 7, 
os elementos da 1a. coluna são multiplicados por 2 e os 
elementos da 2a. coluna são divididos por 4? 
28
7
4 4 2 8
8
4
2= ⋅ = =
53. M é uma matriz quadrada de ordem 4 e det M = –6. 
Calcule:
a) det (2M) 
2 6 16 6 96
4( ) ⋅ −( ) = ⋅ −( ) = −
b) o valor de k tal que det (2M) = k – 30 
det (2M) = k – 30
–96 = k – 30
k = –66
54. Seja A uma matriz quadrada de ordem 3, tal que 
a i i j
j
ij =
=
≠
⎧
⎨
⎩
2
3
, se 
 se i j,
, então determine o valor de 
 det ( A 1) + 2 ∙ det( At ) + det (3A).
Primeiramente, precisamos obter a matriz A e o valor do 
seu determinante:
A
a a a
a a a
a a a
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅
11 12 13
21 22 23
31 32 33
2
2
1 3 2 3 3
3 1 2 3 3
3 11 3 2 3
1 6 9
3 4 9
3 6 92⋅
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
det A = =
= + + − − − =
1 6 9
3 4 9
3 6 9
1 6
3 4
3 6
36 162 162 162 54 108 36
Assim:
det det detA A At−( ) + ⋅ ( ) + ( ) =
= + ⋅ + ⋅ =
= + =
1
2
2 3
1
36
2 36 3 36
1
36
396
14 257
366
55. (MACKENZIE – SP) Dadas as matrizes A
x
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
5 1
 
e B
x
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2 1
4
, a soma das raízes da equação 
det (A B) 28⋅ = − é:
a) 
5
11
b) 
3
11
c) 
4
5
d) 
11
3
X e) 
11
5
11 3
det
det det
A B
A B
x
x
x x
⋅( ) = −
⋅ = −
⋅ = −⋅ − ⋅( ) ⋅ ⋅ − ⋅( ) =
28
28
1
5 1
2 1
4
28
1 1 5 2 1 4 −−
−( )⋅ −( ) = −
− − + = −
− + + =
−
28
1 5 2 4 28
2 4 10 20 28
10 22 24 0
5 11
2
2
2
x x
x x x
x x
x xx − =12 0
A soma das raízes da equação é:
x x
b
a
x x x x1 2 1 2 1
11
5
11
5
2
+ = − ⇒ + =
− −( )
⇒ + =
56. (UFMS) Considere as matrizes reais 3 × 3, 
A = −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
1 2 3
0 1 2
0 0 3
 e B
c
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
1 0
0 2 0
0 0 1
, em que c é um 
número real. Sabendo-se que o valor do determinante 
da matriz produto A ∙ B é −60, calcular o valor de c.
det A B⋅( ) = −60
det detA B⋅ = −60
1 2 3
0 1 2
0 0 3
1 0
0 2 0
0 0 1
60− ⋅ = −
c
1 1 3 2 1 60⋅ −( ) ⋅( ) ⋅ ⋅ ⋅( ) = −c
−( )⋅( ) = −3 2 60c
− = −6 60c ⇒ c 10
20 Volume 5
Sistemas lineares
02
Equação linear
Denomina-se equação linear toda equação que puder ser escrita na forma:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b, em que:
• a1, a2, a3, ..., an são números reais chamados de coeficientes das incógnitas. 
• x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas.
• b é um número real denominado termo independente.
Sistema de equações lineares
Denomina-se sistema linear m × n um conjunto formado por m equações lineares e n incógnitas.
 • Sistema determinado: tem uma única solução. 
 • Sistema indeterminado: tem infinitas soluções. 
 • Sistema impossível: não tem solução. 
Qualquer sistema linear m × n pode ser escrito na forma A · X = B. 
Exemplo:
Sistema linear
x y z
x y z
x y z
− + =
+ + =
− + − = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 0
2 6
5 3 7 5
A =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
−
− −
1 2 1
2 1 1
5 3 7
Matriz dos coeficientes Matriz dos termos independentes
B =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥−
0
6
5
1 2 1
2 1 1
5 3 7
0
6
5
−
− − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⋅
x
y
z
Representação matricial
Regra de Cramer
A Regra de Cramer consiste em calcular o valor de uma incógnita dividindo-se dois determinantes. O denominador é o determinante da ma-
triz dos coeficientes, e o numerador é o determinante da matriz obtida quando, na matriz dos coeficientes, substituímos a coluna correspondente 
a essa incógnita pelos termos independentes.
Desse modo, em um sistema com incógnitas x e y, podemos escrever que x
D
D
x e y
D
D
y
.
Matemática 21
Escalonamento de sistemas lineares
É um procedimento para resolver sistemas lineares. Consiste em obter um sistema equivalente ao original, porém mais fácil de resolver. 
Um sistema está escalonado quando a matriz dos seus coeficientes está escalonada.
Uma matriz está escalonada quando:
 • o primeiro elemento diferente de zero de cada linha localiza-se à esquerda do primeiro elemento diferente de zero da linha seguinte;
 • qualquer linha com todos os elementos iguais a zero está abaixo das outras.
Operações permitidas para escalonar uma matriz:
 • trocar duas linhas entre si;
 • multiplicar (ou dividir) qualquer linha por um número real não nulo;
 • substituir uma linha pela adição dela com outra previamente multiplicada por um número real.
Na prática, o importante é que a quantidade de zeros aumente de uma linha para outra, podendo-se dispensar a forma de escada.
Discussão de sistemas lineares
Se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero, o sistema será determinado. Caso contrário, poderá ser indeterminado ou 
impossível.
O sistema será indeterminado se encontrarmos uma situação do tipo 0x + 0y + 0z = 0, que permite infinitas soluções, e será impossível se nos 
depararmos com 0x + 0y + 0z = k, k ≠ 0.
Atividades
Equação linear
1. Amanda foi realizar um saque de R$ 110,00 num caixa 
eletrônico que dispunha somente de notas de R$ 10,00 
e R$ 20,00. Determine:
a) todas as possibilidades de distribuição de notas que 
podem ser feitas para totalizar os R$ 110,00.
1 nota de 20 e 9 notas de 10; ou 2 notas de 20 e 7 no-
tas de 10; ou 3 notas de 20 e 5 notas de 10; ou 4 notas 
de 20 e 3 notas de 10; ou 5 notas de 20 e 1 nota de 10.
b) escreva a equação linear que representa a situação 
descrita no enunciado.
Nomeando x a quantidade de notas de 10 reais e y a 
quantidade de notas de 20 reais, a equação pode ser 
escrita como 10x + 20y = 110.
2. Verifique quais das ternas abaixo são soluções da 
equação linear x – y + 2z = 3.
a) (2, 5, 3) 
2 – 5 + 2 ∙ 3 = 2 – 5 + 6 = 3 
É solução.
b) (3, 2, 1)
3 – 2 + 2 ∙ 1 = 3 – 2 + 2 = 3
É solução.
c) 
2
3
1
3
1
3
, ,⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎝ ⎠
2
3
1
3
2
1
3
2
3
1
3
2
3
3
3
1 3− + ⋅ = − + = = ≠
Não é solução.
22 Volume 5
d) 
1
3
2
3
2
3
, ,⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎝ ⎠
1
3
2
3
2
2
3
1
3
2
3
4
3
3
3
1 3− + ⋅ = − + = = ≠
Não é solução.
3. Numa lanchonete, cada coxinha de frango custa 
R$ 5,00 e cada refrigerante custa R$ 4,00. Raul e sua 
família foram lanchar nessa lanchonete. Consumiram x 
coxinhas de frango e y refrigerantes, gastando um total 
de R$ 54,00.
a) Escreva uma equação linear relacionando as variá-
veis x e y.
5x + 4y = 54 
b) Verifique se é possível que a família tenha consumi-
do 5 coxinhas de frango.
Se a família tivesse consumido 5 coxinhas de frango, 
teria gastado 25 reais somente com elas. Assim, 
sobrariam 29 reais consumidos em refrigerantes, o que 
não é possível, pois esse valor não é múltiplo de 4.
c) Escreva todas as possíveis quantidades de coxinhas 
de frango e refrigerantes consumidos pela família.
2 coxinhas de frango e 11 refrigerantes; ou 6 coxinhas 
de frango e 6 refrigerantes; ou 10 coxinhas de frango 
e 1 refrigerante. 
4. Determine p para que (–2, 2, –4) seja solução da equa-
ção px + 2y – z = 6.
p∙(–2) + 2 ∙ 2 – (–4) = 6
–2p + 4 + 4 = 6
–2p = –2
2p = 2 ⇒ p = 1
5. Dada a equação 
x y
3 4
2+ = − , calcule o valor de b para 
que (b, b + 1) torne a sentença verdadeira. 
b b
b b
b b
3
1
4
2
4 3 3
12
24
12
3 24 21
− + = −
− − = −
− = − ⇒ = −
Sistema de equações lineares
6. Classifique cada um dos sistemas lineares a seguir.
a) 
x y
x y
− = −
+ =
⎧
⎨
⎩
5 4
3 2 5
 
⎩
− + =
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
=
=
3 15 12
3 2 5
17 17
1
x y
x y
y
y
Substituindo o valor de y na primeira equação, determi-
namos o valor de x:
x – 5 ∙ 1 = –4
x = 1
O sistema é possível e determinado, pois tem uma única 
solução (1, 1).
b) 
2 4 2
4 8 4
x y
x y
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩⎩
− − = −
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
=
4 8 4
4 8 4
0 0
x y
x y
O sistema é indeterminado, pois admite infinitas so-
luções.
c) 
2 3 2
8 12 12
x y
x y
− =
− =
⎧
⎨
⎩
 
⎩
− + = −
− =
⎧
⎨
⎩
⊕
=
8 12 8
8 12 12
0 4
x y
x y
O sistema é impossível.
(× –3)
(× –2)
(× –4)
Matemática 23
7. Para quais valores de p e q o sistema 
x y
px qy
+ =
+ = −
⎧
⎨
⎩
3
15
 
é indeterminado?
5 5 15
15
5 5 0
x y
px qy
p x q y
+ =
+ = −
⎧
⎨
⎩
⊕
+( ) + +( ) =
Para que o sistema seja possível e indeterminado, pre-
cisamos ter 0 = 0 na última expressão obtida, desta 
forma:
p + 5 = 0 ⇒ p = –5
q + 5 = 0 ⇒ q = –5
8. Determine os valores de a, b e c para que a terna orde-
nada (2, 5, 2) seja solução do sistema 
x y z a
bx y z a
x y bz c
− + = −
+ − =
+ − = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 2 7
2 4
4
. 
 I. Resolvendo a primeira equação, obtemos a:
2 – 5 + 2 ∙ 2 = 2a – 7
2 – 5 + 4 = 2a – 7
2a = 8
a = 4
 II. Resolvendo a segunda equação com o resultado obtido 
em I, calculamos b:
b ∙ 2 + 2 ∙ 5 – 4 ∙ 2 = 4
2b + 10 – 8 = 4
2b = 2
b = 1 
III. Resolvendo a terceira equação com o resultado obtido em 
II, calculamos c:
2 + 5 – 1 ∙ 2 = c – 4
2 + 5 – 2 = c – 4
c = 9
Assim, os valores de a, b e c que tornam a terna (2, 5, 2) 
solução do sistema são, respectivamente, 4, 1 e 9.
9. (UNICAMP – SP) As companhias aéreas costumam es-
tabelecer um limite de peso para a bagagem de cada 
passageiro, cobrando uma taxa por quilograma de ex-
cesso de peso. Quando dois passageiros compartilham 
a bagagem, seus limites são considerados em con-
junto. Em um determinado voo, tanto um casal como 
um senhor que viajava sozinho transportaram 60 kg 
de bagagem e foram obrigados a pagar pelo excesso 
de peso. O valor que o senhor pagou correspondeu a 
3,5vezes o valor pago pelo casal. Para determinar o 
(× 5) peso excedente das bagagens do casal (x) e do senhor 
que viajava sozinho (y), bem como o limite de peso que 
um passageiro pode transportar sem pagar qualquer 
taxa (z), pode-se resolver o seguinte sistema linear:
X a) 
x z
y z
x y
+ =
+ =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 60
60
3 5 0,
b) 
x z
y z
x y
+ =
+ =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
60
2 60
3 5 0,
c) 
x z
y z
x y
+ =
+ =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 60
60
3 5 0,
d) 
x z
y z
x y
+ =
+ =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
60
2 60
3 5 0,
10. (FUVEST – SP) Em uma festa com n pessoas, em um 
dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram 
convidados na razão de 2 homens para cada mulher. 
Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e 
restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres 
para cada homem. O número n de pessoas presentes 
inicialmente na festa era igual a: 
a) 100
b) 105
c) 115
X d) 130
e) 135
Vamos considerar x o número de homens e y o número 
de mulheres que estavam inicialmente na festa.
I. O texto descreve a seguinte situação: “em um dado 
instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convi-
dados na razão de 2 homens para cada mulher”, que 
pode ser traduzida por esta equação: 
x
y −
=
31
2
1
 ⇒ x = 2∙(y – 31) ⇒ x = 2y – 62
II. Em outro momento, temos a seguinte situação: “Um 
pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e resta-
ram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres 
para cada homem”, que pode ser traduzida por esta 
equação (lembre-se de manter a continuidade, já saí-
ram 31 mulheres da festa):
x
y
−
−
=55
31
1
3
 ⇒ 3∙(x – 55) = y – 31 ⇒ 
⇒ 3x – 165 = y – 31
Agora, substituindo I em II, temos:
3∙(2y – 62) – 165 = y – 31
6y – 186 – 165 = y – 31
5y = 320
y = 64
E, finalmente, substituindo o valor de y em I ou II, temos:
x = 2y – 62
x = 2 ⋅ 64 – 62
x = 66.
Assim, o número inicial de presentes à festa era de 
64 + 66 = 130.
 
24 Volume 5
11. (IFPE) O cartaz de uma lanchonete anuncia: dois san-
duíches iguais mais três sucos iguais custam R$ 9,00 
e três sanduíches iguais mais dois sucos iguais cus-
tam R$ 11,00. Se você deseja comer nessa lanchonete 
apenas um desses sanduíches da oferta, você irá pagar 
por ele a quantia de:
a) R$ 3,50
X b) R$ 3,00
c) R$ 2,50
d) R$ 2,00
e) R$ 1,50
Nomeando a quantidade de sanduíches por x e a 
quantidade de sucos por y, temos o seguinte sistema:
2 3 9
3 2 11
x y
x y
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
Multiplicando a primeira equação por –3 e a segunda 
por 2 e somando as expressões obtidas, temos:
− − = −
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
− = −
=
6 9 27
6 4 22
5 5
1
x y
x y
y
y
Substituindo o valor de y na primeira equação, deter-
minamos o valor de x:
2x + 3 ∙ 1 = 9
2x = 6
x = 3
Portanto, apenas 1 sanduíche custará 3 reais.
12. (FURG – RS) Um feirante estava com a balança defeituosa, 
medindo apenas quantidades acima de 3 quilogramas. 
Como o freguês não estava disposto a levar mais de 3 
quilogramas de cada alimento, o feirante sugeriu pesar 
os produtos dois a dois. O freguês escolheu uma certa 
quantia de cebolas, outra de batatas e outra de tomates. 
As pesagens apontaram a seguinte situação: cebolas e 
tomates juntos pesaram 4,5 quilogramas; cebolas e 
batatas juntas pesaram 4 quilogramas e tomates e batatas 
juntos pesaram 4,5 quilogramas. Com base nesses dados 
é correto afirmar que o freguês levou para casa
a) mais de 2,0 quilogramas de cebola.
b) mais de 2,0 quilogramas de batata.
c) 1,5 quilograma de cebola.
d) 2,0 quilogramas de tomate.
X e) 2,0 quilogramas de batatas. 
Nomeando a quantidade de cebolas por x, a quanti-
dade de batatas por y e a quantidade de tomates por 
z, temos o seguinte sistema:
x z
x y
y z
x z
x y
y z
+ =
+ =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒
+ =
+ =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
4 5
4
4 5
4 5
4
4 5
,
,
,
,
Resolvendo o sistema:
x + z = y + z ⇒ x = y
x + y = 4 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
y = 2 
z = 2,5
13. (UNIFOR – CE) Se a terna (a, b, c) é solução do sistema 
2 4
4
4 1
x y
y z
x z
+ =
− =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
, então
a) a + c = −1
b) a + b = 1
X c) b + c = 2
d) 2a = 2
e) 3b = 3
Resolvendo o sistema:
2x + y = y – z ⇒ 2x = –z
4x + z = 1 
4x – 2x = 1 ⇒ x 1
2
 = a
z = –1 = c
y – z = 4
y + 1 = 4 ⇒ y = 3 = b
Assim, temos que b + c = 2.
14. (UNESP – SP) Numa determinada empresa, vigora a se-
guinte regra, baseada em acúmulo de pontos. No final 
de cada mês, o funcionário recebe: 3 pontos positivos, 
se em todos os dias do mês ele foi pontual no trabalho, 
ou 5 pontos negativos, se durante o mês ele chegou 
pelo menos um dia atrasado. Os pontos recebidos vão 
sendo acumulados mês a mês, até que a soma atinja, 
pela primeira vez, 50 ou mais pontos, positivos ou ne-
gativos. Quando isso ocorre, há duas possibilidades: se 
o número de pontos acumulados for positivo, o funcio-
nário recebe uma gratificação e, se for negativo, há um 
desconto em seu salário. Se um funcionário acumulou 
exatamente 50 pontos positivos em 30 meses, a quan-
tidade de meses em que ele foi pontual, no período, foi:
a) 15.
b) 20.
X c) 25.
d) 26.
e) 28.
Nomeando a quantidade de meses em que o funcionário foi 
pontual por x e a quantidade de meses em que o funcionário 
não foi pontual de y, temos o seguinte sistema:
x y
x y
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
30
3 5 50
Matemática 25
Multiplicando a primeira equação por 5 e somando as 
equações, temos:
5 5 150
3 5 50
8 200
25
x y
x y
x
x
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
⊕
=
=
Portanto, o número de meses em que o funcionário foi 
pontual é 25.
15. (VUNESP – SP) A agência Vivatur vendeu a um turista 
uma passagem que foi paga, à vista, com cédulas de 
10, 50 e 100 dólares, num total de 45 cédulas. O valor 
da passagem foi 1 950 dólares e a quantidade de cé-
dulas recebidas de 10 dólares foi o dobro das de 100. 
O valor, em dólares, recebido em notas de 100 pela 
agência na venda dessa passagem, foi
a) 1 800.
b) 1 500.
c) 1 400.
X d) 1 000.
e) 800.
Nomeando a quantidade de notas de 10 dólares por x, 
a quantidade de notas de 50 dólares por y e a quanti-
dade de notas de 100 dólares por z, temos o seguinte 
sistema:
x y z
x y z
x z
+ + =
+ + =
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
45
10 50 100 1950
2
Como x = 2z, podemos substituir nas duas primeiras 
equações, obtendo o seguinte sistema:
2 45
10 2 50 100 1950
3 45
50 120 1950
z y z
z y z
y z
y z
y
+ + =
⋅ + + =
⎧
⎨
⎩
⇒
⇒
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
⇒
++ =
+ =
⎧
⎨
⎩
3 45
5 12 195
z
y z
Multiplicando a primeira equação por –5, e somando as 
equações, temos:
− − = −
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
− = −
=
5 15 225
5 12 195
3 30
10
y z
y z
z
z
Portanto, o valor recebido em notas de 100 dólares foi 
US$ 1.000,00.
Regra de Cramer
16. Utilizando a Regra de Cramer, solucione os sistemas 
lineares a seguir.
a) 
x y
x y
+ =
− = −
⎧
⎨
⎩
2 5
2 3 4⎩
D
Dx
=
−
= ⋅ −( ) − ⋅ = − − = −
=
− −
= ⋅ −( ) − ⋅ −( ) = − + = −
1 2
2 3
1 3 2 2 3 4 7
5 2
4 3
5 3 2 4 15 8 7
DDy = −
= ⋅ −( ) − ⋅ = − − = −1 5
2 4
1 4 5 2 4 10 14
x
D
D
y
D
D
x
y
= = −
−
=
= = −
−
=
7
7
1
14
7
2
A solução do sistema é (1, 2).
b) 
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + =
+ − =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 2
2 3 9
3 3 2 3⎩
D
Dx
=
−
−
−
− = + − + − − =
=
−
−
−
−
1 2 1
2 1 3
3 3 2
1 2
2 1
3 3
2 18 6 8 9 3 10
2 2 1
9 1 3
3 3 2
2 2
9 1
3 33
4 18 27 36 18 3 10
1 2 1
2 9 3
3 3 2
1 2
2 9
3 3
18 18 6 8 9 27
= + − + − − =
=
−
−
= − + − + − + =Dy 220
1 2 2
2 1 9
3 3 3
1 2
2 1
3 3
3 54 12 12 27 6 30Dz = − − = − + + − − + =
x
D
D
y
D
D
z
D
D
x
y
z
10
10
1
20
10
2
30
10
3
A solução do sistema é (1, 2, 3).
26 Volume 5
c) 
x y
x z
y z
+ − =
− − =
− − =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
10 0
5 0
3 0
 ⇒
+ =
− =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
x y
x z
y z
10
5
3
 
⎩
D
Dx
= −
−
= + =
= −
−
= − + + =
1 1 0
1 0 1
0 1 1
1 1
1 0
0 1
1 1 2
10 1 0
5 0 1
3 1 1
10 1
5 0
3 1
3 5 10 12
DD
D
y
z
= −
−
= − + + =
= = − −
1 10 0
1 5 1
0 3 1
1 10
1 5
0 3
5 10 3 8
1 1 10
1 0 5
0 1 3
1 1
1 0
0 1
10 3 55 2=
x
D
D
y
D
D
z
D
D
x
y
z
12
2
6
8
2
4
2
2
1
A solução do sistema é (6, 4, 1).
17. Determine o valor de p para que cada sistemaa seguir 
tenha solução única.
a) 
px y
x py
− =
− + =
⎧
⎨
⎩
4 1
9
 
⎩
Para um sistema ter solução única, D deve ser diferente 
de zero, então:
p
p
−
−
≠
4
1
0
p2 4 0− ≠
 p2 ≠ 4
p ≠ ±2 
b) 
4 3 9
8 2 18
6
x y z
x y z
x py z
− + = −
− + − =
− + =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪⎩
Para um sistema ter solução única, D deve ser diferente 
de zero, então:
4 3 1
8 2 1
1 1
4 3
8 2
1
0
8 3 8 24 4 2 0
4 15
15
4
−
− −
−
−
−
−
≠
+ + − − − ≠
≠ ⇒ ≠
p p
p p
p p
18. Leia o texto a seguir e faça o que se pede.
 “Sejam A, B e C três livros vendidos em certa loja 
virtual. Sabe-se que o preço do livro A é o mesmo dos 
livros B e C juntos, o preço do livro B é a diferença entre 
o preço de dois livros A e 40 reais e o preço do livro C 
é a diferença entre três livros B e 50 reais.” 
a) Escreva um sistema correspondente à situação cita-
da acima.
A B C
B A
C B
= +
= −
= −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 40
3 50
b) Resolva o sistema.
A B C
B A
C B
A B C
A B
B C
= +
= −
= −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒
− − =
− + = −
− + = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 40
3 50
0
2 40
3 50
D =
− −
−
−
−
−
−
= − − = −
1 1 1
2 1 0
0 3 1
1 1
2 1
0 3
1 6 2 7
DA =
− −
−
− −
−
−
− −
= − − − = −
0 1 1
40 1 0
50 3 1
0 1
40 1
50 3
120 50 40 210
DB =
−
− −
−
− −
−
= − − = −
1 0 1
2 40 0
0 50 1
1 0
2 40
0 50
40 100 140
DC =
−
− −
− −
−
−
−
= − + − = −
1 1 0
2 1 40
0 3 50
1 1
2 1
0 3
50 100 120 70
A
D
D
B
D
D
C
D
D
A
B
C
= = −
−
=
= = −
−
=
= = −
−
=
210
7
30
140
7
20
70
7
10
Matemática 27
19. (IFSC) Uma loja de doces comercializa três variedades 
de bombons (recheados, trufados e mesclados) em 
caixas de três tamanhos diferentes (pequena, média 
e grande). O valor de cada caixa é dado pela soma 
dos preços unitários de cada bombom. O quadro 
abaixo mostra o conteúdo e o valor de cada caixa 
comercializada:
Caixa
Bombons em cada 
caixa
Pequena – R$ 19,00
5 recheados, 3 mesclados e 
3 trufados
Média – R$ 36,00
10 recheados, 4 mesclados e 
6 trufados
Grande – R$ 50,00
12 recheados, 18 mesclados 
e 4 trufados
 Com base nas informações referentes às caixas 
de bombons comercializadas, determine o número 
correspondente à proposição correta ou à soma das 
proposições corretas.
X (01) O valor unitário do bombom trufado é igual ao 
dobro do bombom mesclado.
X (02) O bombom recheado custa R$ 2,00 a unidade.
(04) Os três tipos de bombons têm valores unitários 
distintos. 
X (08) Um dos tipos de bombom custa R$ 1,00 a 
unidade.
(16) O bombom trufado custa R$ 2,50 a unidade.
X (32) Os valores unitários de cada bombom podem ser 
expressos por números inteiros.
Somatório: 43 (01 + 02 + 08 + 32)
Nomeando o preço de cada bombom recheado por x, 
de cada bombom mesclado por y e de cada bombom 
trufado por z, temos o seguinte sistema:
5 3 3 19
10 4 6 36
12 18 4 50
5 3 3 19
5 2
x y z
x y z
x y z
x y z
x y
+ + =
+ + =
+ + =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒
+ + =
+ ++ =
+ + =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
3 18
6 9 2 25
z
x y z
D = =
= + + − − − =
5 3 3
5 2 3
6 9 2
5 3
5 2
6 9
20 54 135 30 135 36 8
Dx = =
= + + − − − =
19 3 3
18 2 3
25 9 2
19 3
18 2
25 9
76 225 486 108 513 150 16
Dy = =
= + + − − − =
5 19 3
5 18 3
6 25 2
5 19
5 18
6 25
180 342 375 190 375 324 8
D
x
D
D
z
x
= =
= + + − − − =
= =
5 3 19
5 2 18
6 9 25
5 3
5 2
6 9
250 324 855 375 810 228 16
16
8
==
= = =
= = =
2
8
8
1
16
8
2
y
D
D
z
D
D
y
z
A solução do sistema é (2, 1, 2).
Escalonamento de sistemas 
lineares
20. Verifique se os sistemas a seguir são equivalentes.
a) S
x y
x y1
7
4 2 24
:
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
 e S
x y
x
y2
2 1
5
1
:
= +
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪⎩
Resolvendo o primeiro sistema de equações:
x y
x y
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
7
4 2 24
Multiplicando a primeira equação por –4 e somando 
com a segunda, determinamos o valor de y:
− − = −
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
− = −
=
4 4 28
4 2 24
2 4
2
x y
x y
y
y
Substituindo o valor de y na primeira equação, determi-
namos o valor de x:
x + y = 7
x + 2 = 7
x = 5 
Agora, basta substituir os resultados no segundo sis-
tema e verificar se o par (5, 2) também é sua solução:
x y
x
y
= +
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒
= ⋅ +
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒
=
=
⎧
⎨
⎩
2 1
5
1
5 2 2 1
5
5
1 2
5 5
2 2
Logo, os sistemas são equivalentes, pois o par satisfaz 
ambas as equações.
28 Volume 5
b) S
a b
a b1
2 1
3 11
:
− = −
+ =
⎧
⎨
⎩
 e S
a b
a b2
2 3
:
+ =
=
⎧
⎨
⎩
 
⎩ ⎩
Resolvendo o segundo sistema de equações:
a b
a b
+ =
=
⎧
⎨
⎩
2 3
Substituindo a por b na primeira equação, temos:
b + 2b = 3
3b = 3
b = 1 
Como a = b, então a = 1. 
Agora, basta substituir os resultados no primeiro sistema 
e verificar se o par (1, 1) também é sua solução:
2 1
3 11
2 1 1 1
3 1 1 11
1 1
4 11
a b
a b
− = −
+ =
⎧
⎨
⎩
⇒
⋅ − = −
⋅ + =
⎧
⎨
⎩
⇒
= −
=
(falso)
(falsoo)
⎧
⎨
⎩
Logo, os sistemas não são equivalentes, pois o par não 
satisfaz ambas as equações.
21. Determine o valor de p e q para que os sistemas 
x y
x y
− =
+ =
⎧
⎨
⎩
1
2 5
 e 
px qy
qx py
− = −
+ =
⎧
⎨
⎩
1
2
 sejam equivalentes. 
Inicialmente, resolvemos o primeiro sistema:
x y
x y
− =
+ =
⎧
⎨
⎩
1
2 5
Multiplicando a primeira equação por –2 e somando com 
a segunda, determinamos o valor de y:
− + = −
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
= ⇒ =
2 2 2
2 5
3 3 1
x y
x y
y y
E substituindo o valor de y na primeira equação, determi-
namos o valor de x:
x – y = 1
x – 1 = 1 ⇒ x = 2 
Como os sistemas são equivalentes, o par (2, 1) também é 
solução do segundo sistema: 
p q
q p
p q
p q
⋅ − ⋅ = −
⋅ + ⋅ =
⎧
⎨
⎩
⇒
− = −
+ =
⎧
⎨
⎩
2 1 1
2 1 2
2 1
2 2
Multiplicando a segunda equação por –2 e somando com a 
primeira, determinamos o valor de q:
2 1
2 4 4
5 5 1
p q
p q
q q
− = −
− − = −
⎧
⎨
⎩
⊕
− = − ⇒ =
Substituindo o valor de q na primeira equação, determina-
mos o valor de p:
2p – 1 = –1
2p = 0 ⇒ p = 0
 
22. Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares a 
seguir:
a) 
x y z
x y z
x y z
+ + =
− + =
− + = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
12
3 2 14
2 2 3
 
⎩
Matriz ampliada
1 1 1 12
3 1 2 14
2 2 1 3
1
2
3
−
− −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L1 por –3 e 
somamos com L2.
Multiplicamos L1 por –2 e 
somamos com L3.
1 1 1 12
0 4 1 22
0 4 1 27
1
2
3
− − −
− − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L2 por –1 e 
somamos com L3.
A última linha correspon-
de à equação 0 · x + 0 · 
y + 0 · z = –5. Note que 
não existem valores de x, 
y e z que satisfaçam essa 
equação. Assim, o sistema 
é impossível: S = ∅
1 1 1 12
0 4 1 22
0 0 0 5
1
2
3
− − −
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
b) 
2 3 11
6
5 2 3 18
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 
 
⎩
Matriz ampliada (observe 
que foram trocadas conve-
nientemente de posição as 
duas primeiras linhas do 
sistema).
1 1 1 6
2 3 1 11
5 2 3 18
1
2
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L1 por –2 e 
somamos com L2.
Multiplicamos L1 por –5 e 
somamos com L3.
1 1 1 6
0 1 1 1
0 3 2 12
1
2
3
− −
− − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L2 por 3 e 
somamos com L3.
1 1 1 6
0 1 1 1
0 0 5 15
1
2
3
− −
− −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Assim:
x y z
y z
z
+ + =
− = −
− = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
6
1
5 15
–5z = –15 ⇒ z = 3
y – z = –1 ⇒ y – 3 = – 1 ⇒ y = 2
x + y + z = 12 ⇒ x + 2 + 3 = 6 ⇒ x = 1
A solução é (1, 2, 3). O sistema tem uma única solução, 
logo é determinado.
Matemática 29
c) 
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
0
2 2 4 0
3 0
 
 
⎩
Matriz ampliada
1 1 1 0
2 2 4 0
1 1 3 0
1
2
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L1 por –2 e so-
mamos com L2.
Multiplicamos L1 por –1 e so-
mamos com L3.
1 1 1 0
0 0 2 0
0 0 2 0
1
2
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Assim:
x y z
z
z
+ + =
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
0
2 0
2 0
2z = 0 ⇒ z = 0
x + y + z = 0 ⇒ x + y + 0 = 0 ⇒ x = –y
A solução é (–y, y, 0). O sistema tem infinitas soluções, 
portanto é indeterminado.
d) 
x y z
x y z
+ − =
+ + =
⎧
⎨
⎩
2
2 3 2 5
 
⎩
Matriz ampliada
1 1 1 2
2 3 2 5
1
2
−⎡
⎣
⎢
⎤⎦
⎥
L
L
Multiplicamos L1 por –2 e so-
mamos com L2.
1 1 1 2
0 1 4 1
1
2
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
L
L
Assim:
x y z
y z
+ − =
+ =
⎧
⎨
⎩
2
4 1
y + 4z = 1 ⇒ y = 1 – 4z
x + 1 – 4z – z = 0 ⇒ x = 1 + 5z
A solução é (1 + 5z, 1 – 4z, z). O sistema tem infinitas 
soluções, portanto é indeterminado.
e) 
x y
x y
x y
+ =
− =
+ = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2
5
2 9
 
⎩
Matriz ampliada
1 1 2
1 1 5
2 1 9
1
2
3
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L1 por –1 e so-
mamos com L2.
Multiplicamos L1 por –2 e so-
mamos com L3.
1 1 2
0 2 3
0 1 13
1
2
3
−
− −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
 
Assim:
x y
y
y
+ =
− =
− = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2
2 3
13
Como a segunda e a terceira equações determinam valo-
res diferentes para y, o sistema é impossível.
S = ∅
23. (IFPR) Uma concessionária de veículos na cidade de 
Jacarezinho, no Paraná, vende carros de 1 000 cilin-
dradas, carros de 1 400 cilindradas e carros de 1 600 
cilindradas. O gerente da loja quer fazer o levantamen-
to sobre as vendas desses carros durante 3 finais de 
semana consecutivos:
• No primeiro fim de semana, foram vendidos: 1 car-
ro de 1 000 cilindradas, 2 carros de 1 400 cilindra-
das e 3 carros de 1 600 cilindradas, arrecadando 
R$ 260.000,00;
• No segundo fim de semana, foram vendidos: 2 car-
ros de 1 000 cilindradas, 1 carro de 1 400 cilindra-
das e 1 carro de 1 600 cilindradas, arrecadando 
R$ 150.000,00; 
• No terceiro fim de semana, foram vendidos: 4 car-
ros de 1 000 cilindradas, 3 carros de 1 400 cilin-
dradas e 1 carro de 1 600 cilindradas, arrecadando 
R$ 290.000,00. 
 Com base no levantamento obtido pelo gerente, os 
preços unitários dos carros de 1 000, 1 400 e 1 600 
cilindradas são, respectivamente:
a) R$ 25.000,00, R$ 40.000,00 e R$ 55.000,00. 
b) R$ 30.000,00, R$ 50.000,00 e R$ 60.000,00. 
X c) R$ 30.000,00, R$ 40.000,00 e R$ 50.000,00. 
d) R$ 30.000,00, R$ 40.000,00 e R$ 60.000,00. 
e) R$ 25.000,00, R$ 40.000,00 e R$ 50.000,00.
Nomeando o preço de cada carro de 1 000 cilindradas 
por x, de cada carro de 1  400 cilindradas por y e de 
cada carro de 1 600 cilindradas por z, temos o seguinte 
sistema:
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 3 260000
2 150000
4 3 290000
30 Volume 5
 
Resolvendo o sistema:
Matriz ampliada
1 2 3 260 000
2 1 1 150 000
4 3 1 290 000
1
2
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L1 por 
–2 e somamos com L2.
Multiplicamos L1 por 
–4 e somamos com L3.
1 2 3 260 000
0 3 5 370 000
0 5 11 750 000
1
2
3
− − −
− − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L2 por 
–5 e somamos com L3 
multiplicada por 3.
1 2 3 260 000
0 3 5 370 000
0 0 8 400 000
1
2
3
− − −
− −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Assim:
x y z
y z
z
+ + =
− − = −
− = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 3 260 000
3 5 370 000
8 400 000
–8z = –400 000 ⇒ z = 50 000
–3y – 5z = –370 000 ⇒ –3y – 5 ∙ 50 000 = –370 000 ⇒ 
⇒ –3y = –120 000 ⇒ y = 40 000
x + 2y + 3z = 260 000 ⇒ x + 2 ∙ 40 000 + 3 ∙ 50 000 = 
= 260 000 ⇒ x = 30 000
24. (UFRN) No início da utilização de mensagens cifradas, 
usava-se a teoria das matrizes para codificar/decodi-
ficar mensagens. A codificação era feita da seguinte 
maneira: os números correspondentes às letras de 
uma palavra formavam uma matriz coluna e depois 
multiplicava-se uma matriz geradora por essa coluna. 
Cada letra do alfabeto corresponde a um valor numéri-
co, segundo a sua ordem: A = 1, B = 2, C = 3 ... Y = 25 
e Z = 26. Uma mensagem foi enviada com os números 
23 – 17 – 70 para uma pessoa que conhecia a matriz 
geradora a seguir.
1 0 1
0 1 2
3 0 4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 A palavra enviada foi: 
a) não b) pai c) sim X d) voa
1 0 1
0 1 2
3 0 4
23
17
70
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⋅
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
x
y
z
x z
y z
x z
+
+
+
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
2
3 4
23
17
70
Resolvendo o sistema formado pela igualdade matricial:
Matriz ampliada
1 0 1 23
0 1 2 17
3 0 4 70
1
2
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L1 por –3 
e somamos com L3.
1 0 1 23
0 1 2 17
0 0 1 1
1
2
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Assim:
x z
y z
z
+ =
+ =
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
23
2 17
1
z = 1 
y + 2z = 17 ⇒ y = 15
x + z = 23 ⇒ x = 22
Portanto, a sequência das letras da palavra é 22 – 15 – 1, 
que representa a palavra voa.
25. (UFSM – RS) Na peça “Um xadrez diferente”, que en-
cenava a vida de um preso condenado por crime de 
colarinho branco, foi utilizado como cenário um mosai-
co formado por retângulos de três materiais diferentes, 
nas cores verde, violeta e vermelha. 
 Considere que x, y e z são, respectivamente, as 
quantidades em quilos dos materiais verde, violeta e 
vermelho utilizados na confecção do painel e que essas 
quantidades satisfazem o sistema linear
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
3 2 250
2 5 3 420
3 5 2 430
 Sobre a solução desse sistema e a quantidade dos 
materiais verde, violeta e vermelho utilizada no painel, 
afirma-se:
I. O sistema tem solução única e x + y + z = 120, 
isto é, a soma das quantidades dos três materiais 
empregados é 120 quilos.
II. O sistema não tem solução, é impossível determinar 
a quantidade de cada material empregado. 
III. O determinante da matriz dos coeficientes a qual 
está associada ao sistema é diferente de zero e 
x = 2y e y = 3z. 
IV. O determinante da matriz dos coeficientes a qual 
está associada ao sistema é zero. O sistema tem 
solução, porém, para determinar a quantidade dos 
materiais utilizados, é necessário saber previamente 
a quantidade de um desses materiais. 
 Está(ão) correta(s):
Incorreta. O sistema é indeterminado.
Incorreta. O sistema é indeterminado.
Incorreta. O sistema é indeterminado.
Correta.
Matemática 31
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas I e III. 
X e) apenas IV. 
Resolvendo o sistema:
Matriz ampliada (observe 
que foram trocadas con-
venientemente de posi-
ção as duas primeiras 
linhas do sistema)
1 3 2 250
2 5 3 420
3 5 2 430
1
2
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L1 por –2 
e somamos com L2. 
Multiplicamos L1 por –3 
e somamos com L3. 
1 3 2 250
0 1 1 80
0 4 4 320
1
2
3
− − −
− − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L2 por –4 
e somamos com L3. 
1 3 2 250
0 1 1 80
0 0 0 0
1
2
3
− − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Assim:
x y z
y z
+ + =
− − = −
⎧
⎨
⎩
3 2 250
80
–y – z = –80 ⇒ y = 80 – z
x + 3y + 2z = 250 ⇒ x + 3 ∙ (80 – z) + 2z = 250 ⇒ 
⇒ x + 240 – 3z + 2z = 250 ⇒ x = z + 10
Portanto, o sistema é indeterminado, pois S = (z + 10, 
80 – z, z).
26. (IFSC) Segundo uma promoção realizada por um time 
de futebol, os associados ganham crédito de R$ 6,00 
em compras, na loja oficial do clube, por vitória do 
time, ganham R$ 2,00 por empate e não ganham, nem 
perdem créditos quando há derrota. Até o momento, 
o time jogou 8 partidas e cada vitória vale 3 pontos 
na tabela do campeonato, cada empate vale 1 ponto 
e cada derrota zero ponto, totalizando 16 pontos no 
campeonato e R$ 32,00 de créditos para associados. 
Em relação aos dados acima, analise as proposições 
abaixo e determine a soma da(s) correta(s). 
X (01) A situação apresentada no enunciado pode ser 
representada por um sistema linear.
(02) Há apenas uma solução para a quantidade de 
vitórias, empates e derrotas do time. 
(04) Não existem valores reais que representem so-
lução para a quantidade de vitórias, empates e 
derrotas do time. 
X (08) Há mais de uma solução para a quantidade de 
vitórias, derrotas e empates do time.
(16) Podemos garantir que a quantidade de vitórias é 
maior que a soma de empates e derrotas.
Somatório: 09 (01 + 08)
Nomeando o número de vitórias por x, o número de empates 
por y e o número de derrotas por z, temos o seguinte sistema:
x y z
x y
x y
+ + =
+ =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
8
3 16
6 2 32
Resolvendo o sistema:
Matriz ampliada
1 1 1 8
3 1 0 16
6 2 0 32
1
2
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L1 por