Atividade Avaliativa Gravitação

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Movimento geral sob a interac¸a˜o gravitacional Atividade avaliativa
Disciplina: Fenoˆmenos de Transporte I Tema: Gravitac¸a˜o
Estudante 1: Entrega: 23/03/2016
Estudante 2: Devoluc¸a˜o: 05/04/2016
Prof.: Emanuel J. Reis de Oliveira Valor: 4,0 pontos Nota:
Ate´ o momento, as leis de Kepler foram enunciadas apenas para movimentos elı´pticos.
Provou-se que, de acordo com essas leis, o movimento e´ produzido por uma forc¸a atrativa e
inversamente proporcional ao quadrado da distaˆncia. No entanto, ao discutirmos a energia,
afirmou-se que essas leis tambe´m sa˜o va´lidas para o´rbitas hiperbo´licas e parabo´licas, ale´m das
o´rbitas elı´pticas. Vamos, agora, provar essa afirmac¸a˜o.
Para uma forc¸a central, quando a energia potencial U depende apenas da distaˆncia r, isto e´,
U = U(r), a energia mecaˆnica e´ dada por:
E =
1
2
mv2 + U(r), (1)
com a qual e´ possı´vel determinar a velocidade da partı´cula a qualquer distaˆncia.
A principal caracterı´stica da interac¸a˜o gravitacional e´ o fato dela ser do tipo central, ou seja,
ela e´ da forma
~F = F (r)rˆ, (2)
onde
F (r) = −GMm
r2
. (3)
Questa˜o 01
A partir da definic¸a˜o de torque, momento angular e da relac¸a˜o entre eles, mostre que, para uma
forc¸a central da forma (2), o momento angular e´ conservado.
(Dica: Use que a velocidade pode ser escrita em coordenadas polares como ~v = vrrˆ + vθθˆ.)
Logo, para um movimento sob a ac¸a˜o de forc¸as centrais, ha´ dois teoremas de conservac¸a˜o:
um e´ a conservac¸a˜o do momento angular e o outro a conservac¸a˜o da energia mecaˆnica.
Pode-se mostrar que, usando coordenadas polares (r, θ), as componentes da velocidade sa˜o:
vr =
dr
dt
(4)
vθ = r
dθ
dt
= ωr, (5)
onde vr e´ a componente radial e vθ e´ a componente tangente do vetor velocidade ~v. Daı´, temos
que:
v2 = v2r + v
2
θ
v2 =
(
dr
dt
)2
+ r2
(
dθ
dt
)2
(6)
1
Questa˜o 02
Usando a definic¸a˜o de momento angular, ~L = ~r × ~p, a relac¸a˜o entre a componente tangente da
velocidade (vθ) e a velocidade angular (ω), mostre que
v2 =
(
dr
dt
)2
+
L2
(mr)2
(7)
Questa˜o 03
Daı´, mostre que a energia mecaˆnica na equac¸a˜o (1) pode ser escrita como
E =
1
2
m
(
dr
dt
)2
+
L2
2mr2
+ U(r), (8)
ou ainda,
E =
1
2
m
(
dr
dt
)2
+ Uef (r), (9)
onde
Uef (r) ≡ L
2
2mr2
+ U(r) (10)
e´ denominada energia potencial efetiva.
O primeiro termo na equac¸a˜o (10) e´ chamada energia potencial centrı´fuga,
Uc(r) =
L2
2mr2
, (11)
pois a ”forc¸a”associada a ele,
Fc = −dUc(r)
dr
=
L2
mr3
, (12)
sendo positiva, esta´ dirigida para fora da origem, isto e´, se afastando do centro de forc¸as. Na
verdade, a u´nica forc¸a centrı´fuga que pode agir sobre a partı´cula e´ aquela que tenha origem no
potencial real U(r), caso ele seja repulsivo. Aqui, a ”forc¸a”centrı´fuga Fc e´ apenas um conceito
matema´tico u´til. Fisicamente, este conceito descreve a tendeˆncia da partı´cula, de acordo com a
lei da ine´rcia, de se mover em linha reta e evitar o movimento sobre uma curva.
Questa˜o 04
(a) A partir da equac¸a˜o (9), mostre que
dr
dt
=
√
2
m
[E − Uef (r)] (13)
(b) Escrevendo o momento angular em coordenadas polares, mostre que
dθ
dt
=
L
mr2
. (14)
2
(c) Dividindo as equac¸o˜es (13) e (14) (considerando as derivadas como frac¸o˜es) membro a
membro, mostre que
dr
dθ
=
√
2
m
[E − Uef (r)]
L
mr2
. (15)
A equac¸a˜o (15) representa a equac¸a˜o diferencial que nos permite, em princı´pio, determinar
a equac¸a˜o da trajeto´ria de uma partı´cula sob a ac¸a˜o de uma forc¸a do tipo central.
Note que a equac¸a˜o (15) e´ completamente geral para qualquer tipo de forc¸a da forma indi-
cada pela equac¸a˜o (2).
Questa˜o 05 Usando a equac¸a˜o (10) para a energia potencial efetiva, mostre que a podemos
reescrever a equac¸a˜o (15) na forma(
dr
dθ
)2
=
m2r4
L2
{
2
m
[E − U(r)]− L
2
m2r2
}
, (16)
onde L e´ o momento angular da partı´cula.
Assim, as o´rbitas possı´veis para uma partı´cula sob a influeˆncia de uma forc¸a central depende
dos valores da energia total e do momento angular da partı´cula.
A equac¸a˜o de uma sec¸a˜o coˆnica em coordenadas polares com a origem num dos focos e´
dada por
εd
r
= 1 + ε cos θ, (17)
onde ε e´ a excentricidade, d e´ a distaˆncia do foco a` diretriz e r e´ uma func¸a˜o do aˆngulo θ, isto
e´, r = r(θ).
Questa˜o 06
(a) Derivando a equac¸a˜o (17) em relac¸a˜o a θ mostre que(
dr
dθ
)2
=
r4 sin2 θ
d2
. (18)
(b) Substituindo a equac¸a˜o (18) na equac¸a˜o (16), mostre que
sin2 θ =
m2d2
L2
{
2
m
[E − U(r)]− L
2
m2r2
}
, (19)
(c) Por outro lado, da equac¸a˜o das sec¸o˜es coˆnicas, (17), temos que:
cos θ =
d
r
− 1
ε
(20)
Daı´, mostre que
sin2 θ = 1− d
2
r2
+
2d
εr
− 1
ε2
(21)
3
(d) Portanto, igualando as equac¸o˜es (19) e (21), mostre que
1 +
2d
εr
− 1
ε2
=
2d2mE
L2
− 2d
2mU(r)
L2
(22)
Questa˜o 07
Na equac¸a˜o (22) podemos notar a presenc¸a de termos constantes e termos que dependem expli-
citamente da distaˆncia radial r ao centro de forc¸as (origem do sistema de coordenadas polares).
Separando estes termos como numa igualdade de polinoˆmios, mostre que
E =
L2
2md2
(
1− 1
ε2
)
(23)
U(r) = − L
2
mrd
(24)
A equac¸a˜o (24) mostra que, para descrever uma sec¸a˜o coˆnica com o centro de forc¸as num
dos focos, a energia potencial U(r) deve variar com a distaˆncia como 1/r e a forc¸a deve variar
como 1/r2. Isso generaliza a primeira lei de Kepler, incluindo a hipe´rbole e a para´bola como
o´rbitas possı´veis, como se afirmou na discussa˜o sobre energia mecaˆnica anteriormente.
Questa˜o 08
A partir da equac¸a˜o (23) e da discussa˜o realizada em sala de aula relacionando a energia total
E ao tipo de o´rbita da partı´cula, defina os valores da excentricidade ε para cada o´rbita possı´vel
(elipse, hipe´rbole e para´bola).
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