Calculo I ITA

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Capítulo 1
Introdução
O objeto de estudo de Mat-12 são as funções reais de variável real. Estudaremos nesta
disciplina os conceitos de limite, continuidade, derivabilidade e integrabilidade de funções
reais de uma variável real.
O conceito de derivada de uma função num ponto está relacionado com a taxa de vari-
ação desta função num determinado instante, por exemplo, a velocidade de uma partícula
em cada instante t. Para o estudo da derivada de uma função faz-se necessário o estudo
de limite.
O conceito de primitiva está relacionado com o conceito de derivada. Alguns autores
denominam a primitiva de uma funjção de anti-derivada, pois a primitiva de uma função
f, num intervalo (a, b), quando existe, é uma função F derivável em (a, b) , cuja derivada
é f.
Para entendermos melhor o conceito de limite, estudaremos primeiramente este con-
ceito no caso discreto, isto é, em sequências e séries.
Como o objeto de estudo de MAT-12 são as funções reais de uma variável real, vamos
iniciar nosso curso estabelecendo os fundamentos da teoria dos números reais. Não nos
preocuparemos aqui com a definição rigorosa de número real, nem mesmo com a con-
strução do conjunto de números reais, pois isto foge ao objetivo de um curso de Cálculo.
Assim, consideraremos conhecidos os conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais.
Daremos as definições de corpo, corpo ordenado e corpo ordenado completo, chegando as-
sim ao conjunto dos números reais que é um corpo ordenado completo. Mostraremos que
existem números reais que não são racionais.Faremos uma breve recordação do conceito
de função, através de uma lista de exercícios e iniciaremos a noção de limite com a noção
de limite de sequências e séries de números reais.
Ao final deste curso o aluno deverá ter uma compreensão clara do conceito de limite
que é fundamental no estudo do Cálculo, ser capaz de avaliar a existência de limite de
uma função num ponto, trabalhando com as propriedades de limite, ser capaz de analisar
a derivabilidade de uma função num ponto, calculando sua derivada, determinar máximos
e mínimos locais e absolutos de uma função e finalmente ser capaz de calcular integrais e
primitivas de funções, utilizando os diversos métodos de integração.
1
2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Capítulo 2
Números Reais
Introduziremos as principais propriedades de números reais. Como já dissemos não fare-
mos a construção dos números reais pois foge ao escopo de um curso de Cálculo I, apenas
faremos uma apresentação de suas propriedades e o compararemos com conjuntos de
números já conhecidos.
Consideraremos N = {1, 2, . . . , n, n + 1, . . .}, Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} e Q =nm
n
;m,n ∈ Z e n 6= 0
o
.
No conjunto dos números naturais existe uma importante propriedade, a saber,
Princípio da indução finita: Seja P (n) uma propriedade referente ao número
natural n. Se:
a) P (m) é verdadeira para um determinado número natural m; e
b) supondo P (k) é verdadeira para um número natural k ≥ m qualquer pudermos
mostrar que P (k + 1) também o é.
Então P (n) é verdadeira para todo natural n ≥ m.
Exemplo 2.1 Mostre por indução que
1 + · · ·+ n = n(n+ 1)
2
,∀n ∈ N.
De fato, 1 =
2
2
=
1× 2
2
, o que mostra que a propriedade acima é válida para n = 1.
Suponhamos que a propriedade é válida para um n ≥ 1 e provemos então que ela é válida
para n + 1. Assim, 1 + · · · + n + (n + 1) = n(n+ 1)
2
+ (n+ 1) = (n + 1)
³n
2
+ 1
´
=
(n+1)
µ
n+ 2
2
¶
=
(n+ 1)(n+ 2)
2
, o que prova que a propriedade é válida para n+1, se o
for para n. Assim do princípio de indução segue que a propriedade vale para todo n ∈ N.
Exemplo 2.2 Prove que
2n > n, para todo n ∈ N.
3
4 CAPÍTULO 2. NÚMEROS REAIS
De fato, 21 = 2 > 1, ou seja a propriedade é verdadeira para n = 1. Ainda supondo que
2n > n é verdadeira para algum n ≥ 1, temos que
2n+1 = 2.2n > 2n = n+ n ≥ n+ 1⇒ 2n+1 > n+ 1,
ou seja a propriedade é verdadeira para n + 1, se o for para n. Assim, a propriedade é
válida para todo n ∈ N.
A propriedade de indução finita será utilizada especialmente no estudo de sequências,
especialmente as definidas por fórmulas de recorrência.
Vejamos a seguir a estrutura algébrica que pode ser estabelecida no conjunto dos
números reais e racionais, mas não no conjunto dos inteiros e naturais.
No conjunto dos números reais, assim como no conjunto dos naturais, inteiros e
racionais pode-se definir duas operações, a de adição e a de multiplicação. No entanto
existe uma diferença entre estes conjuntos munidos destas operações, os conjuntos dos
números racionais e dos números reais munidos destas operações são o que denominamos
de corpo, enquanto que os naturais e os inteiros não o são.
Definição 2.3 Um corpo é um conjunto não vazio K munido de duas operações denom-
inadas adição (+) e multiplicação (·), isto é,
+ : K ×K → K
(x, y) 7→ x+ y
· : K ×K → K
(x, y) 7→ x · y
satisfazendo as seguintes propriedades:
a)associatividade da adição e da multiplicação: Para todo x, y, z ∈ K tem-se que
(x+ y) + z = x+ (y + z) e (x · y) · z = x · (y · z),
b)comutatividade da adição e da multiplicação: Para todo x, y ∈ K tem-se que x+y =
y + x e x · y = y · x,
c)existência de elemento neutro da adição: Existe 0 ∈ K tal que x+ 0 = x, para todo
x ∈ K,
d)existência da unidade multiplicativa: Existe 1 ∈ K, 1 6= 0, tal que x · 1 = x, para
todo x ∈ K,
e)existência de elemento simétrico ou oposto: Para cada x ∈ K existe −x ∈ K tal que
x+ (−x) = 0,
f)existência de inverso multiplicativo: Para cada x ∈ K∗ existe x−1 ∈ K tal que
x · x−1 = 1, onde K∗ = K\{0},
g)distributividade da multiplicação em relação à adição: Para todo x, y, z ∈ K tem-se
que x · (y + z) = x · y + x · z.
5
Exemplo 2.4 Os conjuntos dos números racionais e dos números reais com as operações
de adição e multiplicação usuais são corpos.
Exemplo 2.5 O conjunto dos números inteiros não é um corpo, pois não admite inverso
multiplicativo, para todo n 6= 1.
Exemplo 2.6 O conjunto K = {(a, b) ; a, b ∈ Q} com as operações (a, b) ¢ (c, d) =
(a+ c, b+ d) e (a, b)¡ (c, d) = (ac− bd, ad+ bc) é um corpo. (Verifique!)
Exemplo 2.7 O conjunto dos números complexos com as operações usauis de adição e
multiplicação é um corpo.
Exemplo 2.8 O conjunto Z5 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} com as operações (a+ b) mod 5 e (a.b)
mod 5, onde a mod 5 é o resto da divissão de a por 5, é um corpo.
Nota 2.9 Pode-se mostrar que o conjunto Zp com as operações de adição e multiplicação
módulo p é um corpo se e somete se p é primo.
Exemplo 2.10 Da própria definição de corpo, temos que um corpo deve ter pelo menos
dois elementos, o elemento neutro e a unidade. O Z2 = {0, 1} com as operações de adição
e multiplicação módulo 2 é um corpo com exatamente dois elementos. Suas tábuas de
adição e multiplicação são respectivamente:
•
0
10
00
1 0 1
+
0
10
10
1 1 0
•
0
10
00
1 0 1
•
0
10
00
1 0 1
+
0
10
10
1 1 0
+
0
10
10
1 1 0
Proposição 2.11 Seja K um corpo. Então:
1)O elemento neutro é único.
2)A unidade é única.
3)Para cada x ∈ K existe um único elemento simétrico.
4)Para cada x ∈ K∗ existe um único inverso multiplicativo.
5)Se a, b, c ∈ K são tais que a+ b = a+ c então b = c.
6)Sejam a, b ∈ K então −(−a) = a , −(a+b) = (−a)+(−b), (−a)·b = a·(−b) = −(a·b)
e (−a) · (−b) = a · b.
7)Sejam a, b ∈ K então
a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.
8)Sejam a, b ∈ K∗ tem-se que (a−1)−1 = a e (a · b)−1 = a−1 · b−1.
6 CAPÍTULO 2. NÚMEROS REAIS
A demonstração das propriedades enunciadas acima ficam a cargo do aluno.
Apesar dos números reais, racionais e complexos com as operações usuais de adição e
multiplicação serem corpos existe uma diferença entre eles, a saber, os racionais e os reais
são corpos ordenados enquanto que o corpo dos números complexos não o é. Vejamos
esta definição.
Definição2.12 Um corpo ordenado é um corpo K no qual existe um subconjunto não
vazio, P de K, denominado conjunto dos números positivos de K, tal que:
i) ∀ x, y ∈ P ⇒ x+ y, x · y ∈ P.
ii)Para cada x ∈ K uma e somente uma das três alternativas abaixo ocorre:
ou x = 0 ou x ∈ P ou − x ∈ P.
Assim, se indicarmos por −P o subconjunto {−x;x ∈ P}, segue de (ii) da definição
acima que K = P ∪ (−P ) ∪ {0}, sendo esta união disjunta. Os elementos de −P são
denominados números negativos de K.
Exemplo 2.13 Q é um corpo ordenado cujo subconjunto dos números positivos é P =
{m
n
; mn ∈ N}.
Proposição 2.14 Seja K um corpo ordenado. Se a ∈ K∗ então a2 = a · a ∈ P.
Prova. Como a ∈ K∗ então ou a ∈ P ou −a ∈ P. Se a ∈ P ⇒ a · a = a2 ∈ P. Se
−a ∈ P ⇒ (−a) · (−a) = a · a = a2 ∈ P. ¤
Nota 2.15 Segue imediatamente da proposição anterior que se K é um corpo ordenado
como 1 6= 0 e 1 = 1 · 1 = 12 então 1 ∈ P.
Exemplo 2.16 Segue da proposição que C não é um corpo ordenado pois se fôsse existiria
um subcojunto P de C de números positivos. Como i ∈ C∗ então ou i ∈ P ou −i ∈ P ⇒
i2 = −1 ∈ P, mas 1 ∈ P , que é uma contradição. Logo C não é ordenado.
Exemplo 2.17 Z5 não é um corpo ordenado pois se fôsse existiria P subconjunto dos
números positivos de Z5 e como 4 6= 0 e 4 = 2 ¯ 2 = 22 ⇒ 4 ∈ P . Ainda 1 ∈ P. Logo
4⊕ 1 ∈ P, mas 4⊕ 1 = 0, o que é uma contradição.
Num corpo ordenado pode-se ordenar seus elementos. Vejamos:
Definição 2.18 Sejam K um corpo ordenado e x, y ∈ K. Dizemos que x é menor que y
(ou equivalentemente y é maior que x) e denotamos por x < y (equivalentemente y > x)
se e somente se y − x ∈ P.
Proposição 2.19 A relação definida acima satisfaz as propriedades de transitividade,
tricotomia, monotonicidade da adição e monotonicidade da multiplicação.
7
Prova. i) transitividade: x < y e y < z ⇒ y − x, z − y ∈ P ⇒ (y − x) + (z − y) =
z − x ∈ P ⇒ x < z.
ii) tricotomia: dados x, y ∈ K ⇒ y − x ∈ K ⇒ ocorre uma e somente uma das três
alternativas
ou y − x ∈ P ou − (y − x) = x− y ∈ P ou y − x = 0
logo ocorre uma e somente uma das três alternativas
ou x < y ou y < x ou x = y.
iii) monotonicidade da adição: x < y ⇒ y − x ∈ P, mas ∀z ∈ K tem-se que (y + z)−
(x+ z) = y − x ∈ P ⇒ x+ z < y + z.
iv) monotonicidade da multiplicação: x < y ⇒ y − x ∈ P assim ∀z ∈ P tem-se que
(y − x) · z = y · z − x · z ∈ P ⇒ x · z < y · z. No entanto se −z ∈ P ⇒ (y − x) · (−z) =
x · z − y · z ∈ P ⇒ y · z < x · z. ¤
Em particular, segue da monotonicidade da multiplicação que
x < y ⇔−y < −x.
Pode-se definir a relação "menor ou igual a"ou equivalentemente "maior ou igual a",
de forma trivial. Esta relação não satisfaz a propriedade de tricotomia. Mas satisfaz uma
outra propriedade a anti-simetria, ou seja,
x ≤ y e y ≤ x⇒ x = y.
Até aqui o conjunto dos racionais e dos reais apresentam as mesmas características. Sabe-
mos ainda que existem números reais que não são racionais. É fácil provar, por exemplo,
que não existe número racional tal que x2 = 2.(Prove!) Assim o conjunto dos números
reais foi construído para resolver um problema de não completude dos racionais. Ve-
jamos o que isto significa, mas antes daremos alguma definições necessárias para a sua
compreensão.
Definição 2.20 Seja K um corpo ordenado e X um subconjunto não vazio de K.
a)Dizemos que X é limitado superiormente em K quando existe b ∈ K tal que
x ≤ b, ∀x ∈ X. Neste caso b é denominado uma cota superior de X em K.
b)Dizemos que X é limitado inferiormente em K quando existe a ∈ K tal que
x ≥ a, ∀x ∈ K. Neste caso a é denominado uma cota inferior de X em K.
c) Dizemos que X é limitado em K quando X é limitado superiormente e inferior-
mente em K.
Exemplo 2.21 No corpo dos reais o intervalo X = (0, 1] é limitado e 0 é uma cota
inferior de X e 1 uma cota superior de X em R.
8 CAPÍTULO 2. NÚMEROS REAIS
Exemplo 2.22 No corpo dos racionais o conjunto dos naturais é limitado inferiormente,
mas não é limitado superiormente. De fato n ≥ 1, ∀n ∈ N, o que implica que N é limitado
inferiormente em Q e 1 é uma cota inferior de N em Q. No entanto, para todo p
q
∈ Q,
se
p
q
≤ 0 < 1 já está mostrado que p
q
não é cota superior de N. Se
p
q
> 0, podemos tomar
p, q > 0 ⇒ p, q ∈ N ⇒ q ≥ 1 ⇒ 1
q
≤ 1 ⇒ p
q
≤ p < p + 1 e p + 1 ∈ N ⇒ p
q
> 0 também
não é cota superior de N. Logo N não é limitado superiormente em Q.
Definição 2.23 Seja K um corpo ordenado e X um subconjunto não vazio de K.
a)Se X é limitado superiormente, dizemos que b ∈ K é supremo de X em K quando
b é a menor cota superior de X em K, isto é,
(i)x ≤ b,∀x ∈ X,
(ii)Para cada c ∈ K com c < b, existe xc ∈ X tal que xc > c.
Denotamos por b = supK X.
b)Se X é limitado inferiormente, dizemos que a ∈ K é ínfimo de X em K quando
a é a maior cota inferior de X em K, isto é,
(i)x ≥ a, ∀x ∈ X,
(ii)Para cada d ∈ K com d > a existe xd ∈ X tal que xd < d.
Denotamos por a = infK X.
Observando os exemplos acima é fácil provar que 1 é o supremo de (0, 1] e 0 seu ínfimo
em R e que 1 = infQ N.
Exemplo 2.24 Considere o conjunto A = {(−1)n+ 1
n
;n ∈ N}. Temos que −1 ≤ (−1)n+
1
n
≤ 2, para todo n ∈ N e portanto A é limitado. Logo A admite ínfimo e supremo em R.
Da desigualdade anterior, temos que inf A ≥ −1 e supA ≤ 2. Provemos que inf A = −1.
De fato, para cada c > −1, existe n0 ∈ N, tal que n0 >
1
c+ 1
> 0 ⇒ 1
n0
< c + 1 ⇒
−1 + 1
n0
< c. Logo, se n0 for ímpar, segue que −1 +
1
n0
= (−1)n0 + 1
n0
< c. Caso
contrário, basta tomar m0 = n0 + 1. Ou seja −1 = inf A. Provemos que supA =
3
2
. De
fato,
1
n
≤ 1
2
para todo n ≥ 2 e portanto (−1)n + 1
n
≤ 1 + 1
2
=
3
2
para todo n ≥ 2. Ainda
para n = 1, temos (−1)1 + 1
1
= 0 <
3
2
, logo (−1)n + 1
n
≤ 3
2
para todo n ≥ 2. Ainda
3
2
= (−1)2 + 1
2
∈ A, logo para todo c < 3
2
existe obviamente a =
3
2
∈ A tal que c < 3
2
e
concluímos que supA =
3
2
.
9
Nota 2.25 Uma definição de supremo equivalente à definição acima é a seguinte: b ∈ K
é supremo do subconjunto X em K, limitado superiormente, se e só se:
i)x ≤ b,∀x ∈ X,
ii)Para cada ε > 0, existe xε ∈ X tal que xε > b− ε.
Pode-se definir ínfimo de um conjunto limitado inferiormente, de modo análogo ao
acima, que é equivalente à definição anterior.(Exercício)
Definição 2.26 Dizemos que um corpo ordenado K é completo se todo subconjunto
limitado inferiormente em K admite ínfimo em K.
Veremos a seguir que Q não é completo.
Exemplo 2.27 Seja X = {x ∈ Q; x > 0 e x2 > 2}. É claro que X é limitado inferi-
ormente pois x > 0, ∀x ∈ X. No entanto é intuitivo que a maior cota inferior de X é√
2 /∈ Q. Portanto apesar de ser limitado inferiormente em Q, seu ínfimo está em R e
não em Q. Portanto Q não é um corpo ordenado completo.
O conjunto dos reais foi construído de tal maneira que fôsse completo. Omitiremos
sua construção pois foge ao objetivo do curso. Esta construção pode ser encontrada em
bons livros de Análise. Assim em R temos que todo subconjunto limitado inferiormente
admite ínfimo e é portanto um corpo ordenado completo, esta afirmação é conseqüência
do seguinte postulado.
Postulado de Dedekind: Todo subconjunto de R não vazio constituído de elementos
positivos possui ínfimo em R.
Teorema 2.28 R é um corpo ordenado completo.
Prova. Já sabemos que R é um corpo ordenado. Resta agora provar que é completo
a partir do postulado de Dedekind. Seja A ⊂ R, A 6= ∅ limitado inferiormente em R,
isto é, existe a ∈ R tal que a ≤ x, ∀x ∈ A. Assim, b = a − 1 < a ≤ x, ∀x ∈ A.
Considere B = {y = x − b;x ∈ A}. É claro que y > 0, ∀y ∈ B e B é não vazio, pois
A é não vazio, por hipótese. Assim, estamos na condição do Postulado de Dedekind e
portanto B possui ínfimo, ou seja, existe β ∈ R, β = inf B. Logo, β ≤ y, ∀y ∈ B e para
todo α > β, existe yα ∈ B tal que yα < α. Provemos que β + b = inf A. De fato, como
β ≤ y, ∀y ∈ B e y= x − b, sendo x ∈ A, segue que x ≤ β + b, ∀x ∈ A. Ainda para
todo γ > β + b, temos que γ − b > β e portanto existe yγ ∈ B tal que yγ < γ − b.
Da definição de B, segue que existe xγ ∈ A tal que yγ = xγ − b. E assim, tem-se que
xγ − b = yγ < γ − b⇒ xγ < γ ⇒ β + b = inf A e portanto o teorema está demonstrado.
¤
Pode-se provar a partir do teorema acima que todo subconjunto de R, não vazio
e limitado superiormente admite supremo. Tal resultado consta da lista de exercícios
propostos.
Assim considerando o subconjunto X acima tem-se que X admite ínfimo em R que é
o número real b tal que b2 = 2, denotado por
√
2 /∈ Q.
10 CAPÍTULO 2. NÚMEROS REAIS
Nota 2.29 A completude do corpo dos reais implica que pode-se fazer uma bijeção entre
a reta e o conjunto dos reais, o que não é possível se considerarmos os números racionais.
Ou seja fixando-se um ponto que corresponderá ao número 0 e uma unidade de medida
pode-se marcar facilmente os números inteiros. A partir deles traçam-se os racionais.
Pode parecer que a todo ponto desta reta corresponde um número racional. No entanto se
tomarmos o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos unitários
sobre esta reta, a partir do ponto correspondente ao 0, o ponto final deste segmento não
corresponderá a um número racional. Por isso o corpo dos reais é denominado completo
pois completa as lacunas deixadas pelos números racionais.
0 11− 000 11−
Daremos a seguir uma propriedade que já foi mostrada para o corpo dos racionais e
também é válida no corpo dos reais, que é denominada propriedade de Arquimedes, ou
ainda, diz-se que um corpo ordenado que tem esta propriedade é um corpo arquimediano.
Proposição 2.30 O conjunto dos números naturais N não é limitado superiormente em
R.
Prova. Suponhamos por absurdo que N é limitado superiormente em R, segue que
existe a ∈ R tal que a = supN⇒ n ≤ a, ∀n ∈ N. Como a− 1 < a então a− 1 não é cota
superior de N em R. Portanto existe n0 ∈ N tal que n0 > a− 1⇒ n0 +1 > a, o que é um
absurdo já que n0 + 1 ∈ N e a = supN. Logo N não é limitado superiormente em R. ¤
Daremos a seguir um resultado bastante importante dos números reais.
Proposição 2.31 Dados a, b ∈ R tais que a < b então existe r ∈ Q tal que a < r < b e
existe um s ∈ R \ Q tal que a < s < b.
Prova. Considere t = b − a ∈ R, b − a > 0. Como N não é limitado superiormente
em R segue que existe n0 ∈ N tal que n0 >
1
b− a ⇒
1
n0
< b − a. Considere o seguinte
subconjunto A = {m ∈ Z; m ≥ n0b}. Como A é um subconjunto de números inteiros
limitado inferiormente segue que existe um elemento mínimo em A, isto é, existe m0 ∈ A
tal que m ≥ m0 ≥ n0b, ∀m ∈ A. Ainda como m0 − 1 < m0 ⇒ m0 − 1 /∈ A ⇒ m0 − 1 <
n0b ⇒
m0 − 1
n0
< b e
m0 − 1
n0
∈ Q. Ainda, como 1
n0
< b − a ⇒ a − b < − 1
n0
. Logo,
m0 − 1
n0
=
m0
n0
− 1
n0
≥ b− 1
n0
> b+(a− b) = a⇒ a < m0 − 1
n0
< b, basta então tomarmos
r =
m0 − 1
n0
∈ Q e temos demonstrado a primeira parte da proposição.
11
Para mostrar a existência de s ∈ R \ Q basta tomar a√
2
,
b√
2
e utilizar a existência de
r ∈ Q, r 6= 0 tal que a√
2
< r <
b√
2
e então teremos s = r
√
2 /∈ Q.¤
No que segue, a menos que esteja explícito, estaremos trabalhando com o corpo dos
números reais. Apenas para fixar a notação sobre intervalos, segue que, dados a, b ∈ R,
[a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}, (a, b) = {x ∈ R; a < x < b},
[a, b) = {x ∈ R; a ≤ x < b}, (a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b},
[a,∞) = {x ∈ R; a ≤ x}, (a,∞) = {x ∈ R; a < x},
(−∞, b] = {x ∈ R;x ≤ b}, (−∞, b) = {x ∈ R;x < b},
(−∞,∞) = R.
Em R, define-se o módulo de um número real, da seguinte maneira, para cada x ∈ R,
|x| =
½
x; x ≥ 0
−x; x < 0 ,
ou seja o módulo de um número real é sempre um número não negativo, que representa na
reta, a distância deste número à origem. Esta noção de distância será muito importante
para o conceito de limite. Pode-se ainda definir o módulo de um número real da seguinte
forma, mais compacta:
|x| = max{x,−x},∀x ∈ R.
Da definição de módulo tem-se que, dado r ∈ R, r > 0, então
|x| ≤ r ⇔−r ≤ x ≤ r.
De fato:
|x| ≤ r ⇔ max{x,−x} ≤ r⇔ x ≤ r e − x ≤ r⇔ −r ≤ x ≤ r.
Com a noção de módulo e a propriedade acima, podemos definir intervalos abertos ou
fechados centrados em um número real a e de raio r > 0. Tais intervalos serão muito
utilizados nos conceitos topológicos e na definição de limite.
Exemplo 2.32 Sejam a, r ∈ R, com r > 0 então
(a− r, a+ r) = {x ∈ R; |x− a| < r},
[a− r, a+ r] = {x ∈ R; |x− a| ≤ r}.
12 CAPÍTULO 2. NÚMEROS REAIS
2.0.1 Lista de Exercícios
Exercício 2.33 Seja x ∈ R tal que x > −1. Prove, por indução, que
(1 + x)n ≥ 1 + nx,∀n ∈ N.
Exercício 2.34 Prove, por indução, que
1.2 + 2.3 + · · · + n (n+ 1) = n (n+ 1) (n+ 2)
3
.
Exercício 2.35 Seja K um corpo. Definimos a− b = a+ (−b), ∀a, b ∈ K e a
b
= a · b−1,
∀a ∈ K e ∀b ∈ K∗. Então, mostre que:
a) a · (b− c) = a · b− a · c, ∀a, b, c ∈ K.
b)
a
b
+
c
d
=
ad+ bc
bd
, ∀a, c ∈ K e ∀b, d ∈ K∗.
c)
a
b
· c
d
=
ac
bd
, ∀a, c ∈ K e ∀b, d ∈ K∗.
d)
a
b
c
d
=
ad
bc
, ∀a ∈ K e ∀b, c, d ∈ K∗.
Exercício 2.36 Seja K um corpo ordenado e x, y, z, w ∈ K. Prove que:
a) x < y e z < w⇒ x+ z < y + x.
b) 0 < x < y e 0 < z < w⇒ x · z < y · w.
c) x > 0 e y < 0⇒ x · y < 0.
d) x < 0 e y < 0⇒ x · y > 0.
e) x > 0⇒ x−1 > 0.
Exercício 2.37 Sejam A e B subconjuntos de R, tais que A é limitado inferiormente e
B é limitado superiormente. Mostre que:
a) −A é limitado superiormente e sup(−A) = − inf A.
b) −B é limitado inferiormente e inf(−B) = − supB.
Exercício 2.38 Prove a seguinte afirmação: Todo subconjunto de R limitado superior-
mente admite supremo em R.
Exercício 2.39 Sejam A e B subconjuntos de R e considere C = {a+b; a ∈ A e b ∈ B}.
Mostre que:
a) Se A e B são limitados inferiormente então C é limitado inferiormente e inf C =
inf A+ inf B.
b) Se A e B são limitados superiormente então C é limitado superiormente e supC =
supA+ supB.
13
Exercício 2.40 Sejam S e T subconjuntos não vazios de R tais que
s ≤ t,∀s ∈ S e ∀t ∈ T,
mostre que S é limitado superiormente e T é limitado inferiormente e supS ≤ inf T.
Exercício 2.41 Seja Y um subconjunto não vazio e limitado de números reais. Se m =
inf Y e M = supY. Mostre que M −m = sup{|x− y| ;x, y ∈ Y }.
Exercício 2.42 Seja A um subconjunto de números reais não negativos, limitado supe-
riormente. Denotemos por A2 = {x2;x ∈ A}. Mostre que inf A2 = (inf A)2 e supA2 =
(supA)2 .
Exercício 2.43 Sabe-se que para cada x ∈ R,
|x| =
½
x, x ≥ 0
−x, x < 0 .
Utilizando esta definição, mostre que:
a) |x| ≥ 0, ∀x ∈ R e conclua que |x|2 = x2, ∀x ∈ R.
b) Seja a ∈ R tal que a > 0 então
|x| ≤ a⇔−a ≤ x ≤ a.
c) |x+ y| ≤ |x| + |y| , ∀x, y ∈ R.
d) |xy| = |x| |y| , ∀x, y ∈ R.
e) ||x|− |y|| ≤ |x− y| , ∀x, y ∈ R.
f) |x− z| ≤ |x− y|+ |y − z| , ∀x, y, z ∈ R.
Exercício 2.44 Sejam x, y ∈ R tais que ∀ε > 0, |x− y| < ε. Mostre que x = y.
Exercício 2.45 Determine os valores de x ∈ R tais que:
a) |x+ 1| = |x− 1| ;
b) |x− 1|2 = |2x+ 1| ;
c) |x| = x2 + 1.
Exercício 2.46 Resolva as inquações abaixo:
a) |3x− 1| < −2,
b) |2x2 − 1| < 1,
c) |x− 3| ≤ x+ 1,
d) |x− 1|− |x+ 2| > x,
e) |x− 2| + |x− 1| ≥ 1.
Exercício 2.47 Elimine o módulo da expressão |2x− 1|+ |x− 2| .
Capítulo 3
Funções reais de variável real
Como já dissemos as funções reais de variável real são o objeto de estudo do Cálculo,
mas como este tópico faz parte do ensino médio, faremos uma breve recordação de alguns
conceitos e deixaremos uma lista de exercícios para uma recordação de suas principais
propriedades.
Definição 3.1 Sejam X e Y conjuntos não vazios. Uma função de X em Y é uma regra
que a cada elemento x ∈ X associa um único elemento y ∈ Y. Denotada da seguinte
maneira,
f : X → Y
x 7→ y = f(x).
Neste caso dizemos que X é o domínio de f e o denotamos por Df , enquanto que Y é oseu contradomínio. Ainda y = f(x) é a imagem do elemento x pela função f.
Alguns conjuntos são importantes na definição de função além do domínio e con-
tradomínio, a saber:
Im f = {f(x); x ∈ X},
Gf = {(x, y) ∈ X × Y ; y = f(x)}.
Os conjuntos acima são denominados, respectivamente, imagem de f e gráfico de f.
Nota 3.2 Uma função real de uma variável real é uma função cujo domínio e con-
tradomínio são subconjuntos de R.
Exemplo 3.3 f(x) = 1. Então Df = R e Im f = {1}. E seu gráfico:
15
16 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
x
y
Exemplo 3.4 f(x) = x2. Então Df = R e Im f = [0,∞). E seu gráfico:
-3 -2 -1 0 1 2 3
2
4
6
8
x
y
Exemplo 3.5 f(x) =
√
x− 1. Então Df = [1,∞) e Im f = [0,∞). E seu gráfico:
17
1 2 3 4 5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
y
Exemplo 3.6 f(x) =
1
x
. Então Df = R\{0} = Im f, cujo gráfico é:
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
x
y
Exemplo 3.7 f(x) = lnx. Então Df = (0,+∞), Im f = R e cujo gráfico é:
18 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
0 1 2 3 4 5
-2
-1
0
1
x
y
Definição 3.8 Sejam f : Df → R e g : Dg → R funções reais de variável real. Dizemos
que f = g se e somente se Df = Dg = D e f(x) = g(x), ∀x ∈ D.
Definição 3.9 Sejam f : Df → R e A ⊂ Df . Definimos a restrição de f ao conjunto A,
denotada por f |A da seguinte forma f |A : A→ R, tal que f |A (x) = f (x) , ∀x ∈ A.
Nota 3.10 Assim, o domínio de f |A é A, diferentemente do domínio de f que é Df .
Definição 3.11 Seja f : Df → R, dizemos que f é limitada quando Im f é um subcon-
junto limitado de R. Ou seja, se existem m,M ∈ R tais que
m ≤ f (x) ≤M,∀x ∈ Df .
Ou equivalentemente, se existe K > 0 tal que
|f (x)| ≤ K,∀x ∈ Df .
Definição 3.12 Seja f : Df → R.
a) Dizemos que f é estritamente crescente quando, para todo x, y ∈ Df com x < y,
tem-se que f (x) < f (y) .
b) Dizemos que f é crescente quando, para todo x, y ∈ Df com x < y, tem-se que
f (x) ≤ f (y) .
c) Dizemos que f é estritamente decrescente quando, para todo x, y ∈ Df com
x < y, tem-se que f (x) > f (y) .
d) Dizemos que f é decrescente quando, para todo x, y ∈ Df com x < y, tem-se que
f (x) ≥ f (y) .
Nota 3.13 Quando uma função f satisfaz uma das definições acima, dizemos que f é
monótona.
3.1. OPERAÇÕES COM FUNÇÕES 19
Exemplo 3.14 Seja f : R→ R, f (x) = x+1. Então f é monótona pois f é estritamente
crescente, já que ∀x, y ∈ R com x < y, tem-se que x+ 1 < y + 1⇒ f (x) < f (y) .
Exemplo 3.15 Seja f : (0,+∞)→ R, f (x) = 1
x
. Então f é monótona pois f é estrita-
mente decrescente, já que ∀x, y ∈ (0,+∞) com x < y, tem-se que 1
x
>
1
y
⇒ f (x) > f (y) .
Exemplo 3.16 Seja f : R → R, f (x) =
(
1; x < 0
1
x+ 1
x ≥ 0 . Tal função é decrescente,
pois ∀x, y ∈ R com x < y < 0 tem-se que f (x) = f (y) e ∀x, y ∈ R com 0 ≤ x < y, tem-se
que x+ 1 < y + 1⇒ 1
x+ 1
>
1
y + 1
⇒ f (x) > f (y) . Logo, ∀x, y ∈ R com x < y, tem-se
que f (x) ≥ f (y) .
3.1 Operações com funções
Consideraremos nesta seção apenas funções reais de uma variável real. Portanto o con-
tradomínio será sempre R e o domínio um subconjunto de R, que será denotado por Df
para uma determinada função f.
Definição 3.17 Sejam f, g funções reais de uma variável real tais que Df ∩ Dg 6= ∅ e
k ∈ R. Assim definimos:
a) f + g : Df ∩Dg → R; tal que (f + g) (x) = f (x) + g (x) ,
b) fg : Df ∩Dg → R; tal que (fg) (x) = f (x) g (x) ,
c)
f
g
: {x ∈ Df ∩Dg; g(x) 6= 0}→ R; tal que
µ
f
g
¶
(x) =
f (x)
g (x)
,
d) kf : Df → R; tal que (kf) (x) = kf (x) .
Exemplo 3.18 Considere f : (−∞, 5] → R, g : (1,∞) → R definidas, respectivamente
por f(x) =
√
5− x e g(x) = ln(x− 1). Assim,
Df+g = (1, 5] e (f + g) (x) =
√
5− x+ ln(x− 1),
Dfg = (1, 5] e (fg) (x) =
√
5− x ln(x− 1),
Df
g
= (1, 2) ∪ (2, 5] e
µ
f
g
¶
(x) =
√
5− x
ln(x− 1) .
Vejamos os gráfico de f, g, f + g, fg e
f
g
:
20 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
1 2 3 4 5
-10
-5
0
5
x
y
Em vermelho o gráfico da soma das funções f e g
1 2 3 4 5
-10
-5
0
5
x
y
Em rosa o gráfico do produto das duas funções
3.2. FUNÇÃO COMPOSTA 21
1 2 3 4 5
-10
-5
0
5
x
y
Em azul o gráfico de f/g
3.2 Função composta
Definição 3.19 Sejam f, g funções reais de uma variável real tais que Dg ∩ Im f 6= φ.
Definimos a função g composta com f , denotada por g ◦ f, como
g ◦ f : {x ∈ Df ; f(x) ∈ Dg}→ R tal que (g ◦ f) (x) = g(f(x)).
Exemplo 3.20 Considere f(x) = cosx e g(x) = x2 − x + 1. Como Df = R, Im f =
[−1, 1] e Dg = R. Então Dg◦f = R e (g ◦ f) (x) = cos2 (x) − cosx + 1. Neste caso como
Im g ⊂ R = Df então pode-se definir também (f ◦ g) (x) = cos (x2 − x+ 1) e Df◦g = R.
Observe que g ◦ f 6= f ◦ g.
Exemplo 3.21 Considere f(x) =
1
x
e g(x) = x − 1, segue que Df = R\{0} = Im f,
Dg = R = Im g. Assim, Df◦g = R\{1} e (f ◦ g) (x) = 1x− 1 . Ainda Dg◦f = Df = R\{0}
e (g ◦ f) (x) = 1
x
− 1 = 1− x
x
. Abaixo os gráficos de f em preto, g em marrom, g ◦ f, em
azul e de f ◦ g em amarelo.
22 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
1 2 3 4 5
-1
0
1
2
3
4
5
x
y
3.3 Função inversa
Antes de definirmos função inversa precisamos definir quando uma função é inversível.
Para isso recordaremos a definição de função injetora, sobrejetora e bijetora.
Definição 3.22 Seja f : Df → R.
a) Dizemos que f é injetora quando ∀x, y ∈ Df tais que f(x) = f(y) implica que x = y
ou equivalentemente ∀x, y ∈ Df tais que x 6= y implica que f(x) 6= f(y).
b) Dizemos que f é sobrejetora quando Im f = R, isto é, quando dado y ∈ R, existe
x ∈ Df tal que y = f(x).
c) Dizemos que f é bijetora quando f é injetora e sobrejetora, isto é, dado y ∈ R
existe um único x ∈ Df tal que y = f(x).
Nota 3.23 Observe que toda função é sobrejetora se considerarmos o contradomínio de
f como sendo Im f.
Definição 3.24 Seja f : Df → Im f uma função bijetora. Assim podemos definir a
função f−1 : Im f → Df por
f−1(y) = x⇔ f(x) = y, ∀y ∈ Im f,
observe que f−1 está bem definida pois tal x existe e é único uma vez que y ∈ Im f e f é
injetora.
Nota 3.25 Da própria definição de f−1, pode-se observar que (f ◦ f−1) (y) = y, ∀y ∈
Im f e (f−1 ◦ f) (x) = x, ∀x ∈ Df .
Exemplo 3.26 Seja f : [0,∞)→ [0,∞), definida por f(x) = x2, f é bijetora(mostre!) e
a função f−1 : [0,∞)→ [0,∞), é definida por f−1(x) = √x.
3.3. FUNÇÃO INVERSA 23
Nota 3.27 Os gráficos de f e f−1 são simétricos em relação à reta y = x.
0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
x
y
Gráfico da função y=x2 e sua inversa
Exemplo 3.28 Seja f : (0,∞) → R, f (x) = lnx. Já sabemos que f é bijetora e que
f−1 : R → (0,+∞) , é a exponencial, ou seja, f−1 (x) = ex . Os gráficos de f e f−1
seguem abaixo, em azul e preto, respectivamente.
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
Nota 3.29 Existem funções elementares inversíveis, cuja inversa não é uma função el-
ementar. Por exemplo: f : R → R; f (x) = x + ex . A função f é injetora, pois é
estritamente crescente. Pode-se verificar através do gráfico que f é bijetora. Após o es-
tudo de limite e continuidade de funções poderemos provar a sobrejetividade de f.
24 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
-2 -1 1 2
-2
2
4
6
8
x
y
No entanto sua inversa não pode ser descrita em termos de funções elementares.
3.4 Paridade e periodicidade de funções
Definição 3.30 Seja f : Df → R tal que Df é um conjunto simétrico em relação ao
zero, isto é, se x ∈ Df então −x ∈ Df .
a) Dizemos que f é uma função par se e somente se f(−x) = f(x), ∀x ∈ Df .
b) Dizemos que f é uma função ímpar se e somente se f(−x) = −f(x), ∀x ∈ Df .
Exemplo 3.31 A função f(x) = cosx, ∀x ∈ R é uma funçãopar enquanto que g(x) =
senx, ∀x ∈ R é uma função ímpar.
Exemplo 3.32 A função f : R\{0} → R; f (x) = x sen 1
x
é uma função par, já que
f (−x) = −x sen 1−x = −x sen
−1
x
= x sen
1
x
, já que sen é ímpar. Seu gráfico segue
abaixo;
-3 -2 -1 1 2 3
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
3.5. FUNÇÕES ELEMENTARES 25
Definição 3.33 Seja f : Df → R tal que Df é um conjunto que satisfaz a seguinte
propriedade: existe p ∈ R, p > 0 tal que se x ∈ Df então x + kp ∈ Df , ∀k ∈ Z. Assim,
dizemos que f é periódica de período p se e somente se f(x + kp) = f(x), ∀x ∈ Df e
∀k ∈ Z.
Exemplo 3.34 As funções seno e cosseno são periódicas de período 2π.
-10 -5 5 10
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
-10 -5 5 10
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
-10 -5 5 10
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
-10 -5 5 10
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
Exemplo 3.35 A função f(x) = tg x, ∀x ∈ Df = {x ∈ R; x 6= π
2
+kπ, k ∈ Z} é periódica
de período π.
-10 -5 5
-20
-15
-10
-5
5
10
15
20
3.5 Funções Elementares
As funções elementares são as funções polinomiais, as funções racionais, as funções irra-
cionais e funções transcendentes. Vejamos as definições e exemplos de cada uma delas.
26 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Definição 3.36 Uma função polinomial é uma função f : R→ R, tal que existe n ∈ N e
ai ∈ R, 0 ≤ i ≤ n, an 6= 0 tais que f (x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn.
Definição 3.37 Uma função racional é uma função f : Df → R tal que f (x) =
P (x)
Q (x)
,
onde P,Q : R→ R são funções polinomiais sem zeros em comum e Df = {x ∈ R;Q (x) 6=
0}.
Definição 3.38 Uma função f : Df → R é denominada uma função algébrica quando
existem n ∈ N e Pi : R → R, 0 ≤ i ≤ n, funções polinomiais com Pn não identicamente
nula, tal que y = f (x) é uma solução da equação algébrica Pn (x) yn + Pn−1 (x) yn−1 +
· · ·+ P0 (x) = 0, ∀x ∈ Df .
Nota 3.39 As funções polinomiais e racionais são funções algébricas. (Verifique!)
Definição 3.40 Uma função irracional é uma função algébrica que não é polinomial e
nem racional.
Exemplo 3.41 f : R → R, f (x) = 4
√
x4 + x2 + 3 é uma função irracional, pois não é
polinomial e nem racional e y = f (x) é solução da seguinte equação algébrica
y4 − x4 − x2 − 3 = 0.
Exemplo 3.42 f : Df → R; f (x) =
√
x2 − 1
3
√
x2 − x− 6
, onde Df = (−∞,−2) ∪ (−2,−1] ∪
[1, 3) ∪ (3,+∞) é uma função irracional, pois y = f (x) é solução da seguinte equação
algébrica ¡
x2 − x− 6
¢2 y6 − ¡x2 − 1¢3 = 0.
Definição 3.43 Uma função f : Df → R é denominada uma função transcendente, se f
não é algébrica.
Exemplo 3.44 As funções exponenciais e as funções logarítmicas.
Exemplo 3.45 As funções trigonométriacas e as trigonométricas inversas.
Exemplo 3.46 As funções hiperbólicas e as hiperbólicas inversas.
Como em geral as funções hiperbólicas não são estudadas no ensino médio, daremos
a seguir a definição e algumas de suas propriedades.
As funções hiperbólicas são assim chamadas, pois elas podem ser tomadas na hipérbole
equilátera de semi-eixos unitários, a saber a hipérbole de equação x2 − y2 = 1. Vejamos
graficamente como podemos obter as funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico.
3.5. FUNÇÕES ELEMENTARES 27
543210-1-2-3-4-5
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
x
y
x
y
P=(u,v)
M
N
O
A
P’
543210-1-2-3-4-5
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
x
y
x
y
P=(u,v)
M
N
O
A
P’
543210-1-2-3-4-5
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
x
y
x
y
P=(u,v)
M
N
O
543210-1-2-3-4-5
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
x
y
x
y
P=(u,v)
M
N
543210-1-2-3-4-5
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
x
y
x
y
543210-1-2-3-4-5
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
x
y
x
y
P=(u,v)
M
N
O
A
P’
Assim, considerando x a área do setor hiperbólico OPAP 0O, da figura acima, tem-se que
u = OM = coshx e v = ON = senhx. Do próprio fato que P = (u, v) é um ponto
da hipérbole, tem-se que u2 − v2 = 1, ou seja, (coshx)2 − (senhx)2 = 1. As abreviações
cosh e senh significam, respectivamente, cosseno e seno hiperbólicos. Pode-se fazer uma
"trigonometria hiperbólica", na hipérbole equilátera de semi-eixos unitários, como se faz
para as funções trigonométricas sobre o círculo trigonométrico. Definimos também a
tangente, cotangente, secante hiperbólicas de modo análogo às trigonométricas, ou seja,
tghx =
senhx
coshx
,
cotghx =
coshx
senhx
,
sechx =
1
coshx
,
cossechx =
1
senhx
.
Pode-se provar que
coshx =
ex+e−x
2
,∀x ∈ R,
senhx =
ex− e−x
2
,∀x ∈ R.
Seus gráficos são, respectivamente em azul o de cosh e em verde o de senh .
28 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
-2 -1 1 2
-4
-2
2
4
x
y
Como pode ser observado pelo gráfico acima, a função senh é bijetiva, enquanto que
cosh não o é. Portanto define-se a função arco seno hiperbólico que é a inversa do seno
hiperbólico, ou seja,
arcsenh : R→ R; arcsenhx = ln(x+
√
x2 + 1),∀x ∈ R.
Seu gráfico segue abaixo:
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
x
y
Como cosseno hiperbólico não é bijetora, para podermos definir sua inversa, devemos
restringir seu domínio e contradomínio.
As demais funções hiperbólicas também podem ser definidas em termos da função
exponencial e as funções hiperbólicas inversas também podem ser definidas em termos da
função logaritmo, fazendo-se as devidas restrições aos domínios e ou contradomínios das
funções hiérbólicas. Algumas delas seguem na lista de exercícios.
3.5. FUNÇÕES ELEMENTARES 29
3.5.1 Lista de Exercícios
Exercício 3.47 Seja f : R → R definida por f(x) = x2 − x. Determine f(2), f
µ
1
2
¶
,
f(x2), f(f(x)).
Exercício 3.48 Seja f : R\{1}→ R definida por f(x) = x
x− 1 . Determine f
µ
1
t
¶
, para
t 6= 0, 1; f(x+ h), para x 6= 1− h.
Exercício 3.49 Determine o domínio das funções abaixo. Analise também a paridade
destas funções:
a) f(x) = ex,
b) f(x) = x2 +
√
x2 + 1,
c) f(x) = cosh(x),
d) f(x) = senh(x),
e) f(x) = x |x| ,
f) f(x) =
( 1
x
, x 6= 0
0, x = 0
,
g) f(x) = tghx =
senhx
coshx
,
h) f(x) = tg x.
Exercício 3.50 Seja a ∈ R, a > 0 e f : [−a, a] → R. Mostre que g : [−a, a] → R
definida por g(x) = f(x) + f(−x) é par e que a função h : [−a, a] → R definida por
h(x) = f(x)− f(−x) é ímpar.
Exercício 3.51 Utilizando o exercício anterior, mostre que dada uma função f : [−a, a]→
R, existem funções g, h : [−a, a]→ R, sendo g uma função par e h uma função ímpar, tal
que f (x) = g (x) + h (x) , ∀x ∈ [−a, a] .
Exercício 3.52 Prove que o produto de duas funções pares ou ímpares é uma função par.
Exercício 3.53 Determine o domínio e esboce o gráfico das funções abaixo:
a) f(x) =
√
x+ 2,
b) f(x) = x+ |x| ,
30 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
c) f(x) =
⎧
⎨
⎩
x2 − x, se x ≤ 1,
0, se 1 < x ≤ 2,
x− 2, se x > 2.
d) f(x) =
x2 − 1
x− 1 ,
e) f(x) =
|2x+ 1|
2x+ 1
,
f) f(x) = |x− 1|+ |x+ 2| ,
g) f(x) = ||x|− 1| ,
h) f(x) = x senx.
Exercício 3.54 Determine o domínio de f para o qual Im f ⊂ Dg e a composta h = g◦f.
a) g(x) =
x− 1
x− 2 e f(x) = x+ 2,
b) g(x) =
√
x e f(x) = x2 − x,
c) g(x) =
1
x
e f(x) = x3 − x,
d) g(x) =
√
x2 − 1 e f(x) = x2 − 2.
Exercício 3.55 Verifique se as funções abaixo são ou não injetoras. Sabe-se que a função
exponencial o é. Determine suas imagens e se for o caso determine sua inversa.
a) f : [0,+∞)→ R, f(x) = coshx,
b) f : R\{0}→ R, f(x) = 1
x
,
c) f : R\{−1}→ R, f(x) = x+ 2
x+ 1
.
d) f : R→ R, f (x) = tghx.
Exercício 3.56 Prove que:
a) (tghx)2 + (sechx)2 = 1.
b) senh (x+ y) = senhx cosh y+ senh y coshx
c) cosh (x+ y) = coshx cosh y + senhx senh y
Capítulo 4
Seqüências e séries numéricas
4.1 Seqüências de números reais
É intuitivo pensar numa seqüência de eventos que aconteceram num determinado período
de tempo. Existe um primeiro evento, em seguida um próximo e assim por diante.
Poderíamos dizer que a1 é o primeiro evento deste período, a2 é o segundo evento e
assim por diante an é o n− e´simo evento. Utilizando nossa intuição vamos formalizar o
conceito de seqüência de números reais.
Definição 4.1 Uma sequência de números reais ou simplesmente uma sequência
numérica é uma função s : N→R, tal que s(n) = an ∈ R. Neste caso o conjunto {an;n ∈
N} é denominado conjunto de termos da sequência e o termo an é denominado termo
geral. Denota-se a sequência da seguinte forma (an)n∈N ou simplesmente (an) ou ainda
(a1, a2, . . . , an, . . .). Na maioria das vezes, define-se a sequência a partir de seu termo
geral.
Nota 4.2 Algumas sequências podem estar definidas em subconjuntos de N que sejam da
forma {n ∈ N; n ≥ p}, onde p é um número natural fixado. De qualquer forma pode-se
fazer uma mudança de variável para que seu domínio seja sempre N.
Nota 4.3 A igualdade de sequências segue a mesma definição da igualdade de funções,
ou seja (an) e (bn) são sequências iguais se e só se an = bn, ∀n ∈ N.
Exemplo 4.4 Considere s : N→R definida por s(n) = 1
n
. Então temos a seqüência
(an) = (1,
1
2
,
1
3
, . . . ,
1
n
, . . .). Ou simplesmente, an =
1
n
.
Exemplo 4.5 Considere s : N→R definida por s(n) =
(
1, se n é ímpar
1
k + 1
, se n = 2k, k ∈ N .
Assim a seqüência é (bn) = (1,
1
2
, 1,
1
3
, 1,
1
4
, . . .). Observe que os termos desta sequência
e da sequência do exemplo anterior são os mesmos. No entanto as sequências não são
iguais uma vez que an 6= bn,∀n ≥ 3.
31
32 CAPÍTULO 4. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS
Algumas vezes as sequências são definidas por uma fórmula de recorrência. Por exem-
plo:
Exemplo 4.6 Considere a seguinte sequência a1 =
√
2 e an =
√
2 + an−1, ∀n ≥ 2. Assim
tem-se, (
√
2,
p
2 +
√
2,
q
2 +
p
2 +
√
2, . . .).
Algumas vezes não é possível descrever o termo geral de forma algébrica. Por exemplo:
Exemplo 4.7 Considere a seguinte sequência definida por a1 é o primeiro número primo
maior que 1 e an é o n− e´simo número primo maior que 1. Assim temos (2, 3, 5, 7, . . .).
O conceito fundamental em sequências é o de limite. Intuitivamente significa saber
qual o comportamento da sequência, à medida que n cresce. Por exemplo a seqüência de
termo geral
1
n
. À medida que n cresce verificamos intuitivamente que
1
n
se aproxima de 0,
sem contudo atingir este valor para nenhum n. A sequência que vale 1, quando n é ímpar
e
1
k
, quando n = 2k é par, se aproxima de dois valores à medida que n cresce, o valor 1
e o valor 0. A sequência com termo geral n não se aproxima de nenhum valor à medida
que n cresce, pois assume valores cada vez maiores.
Daremos a seguir a definição rigorosa de limite, assim como suas principais pro-
priedades.
Definição 4.8 Seja (an) uma sequência de números reais e l ∈ R. Dizemos que a se-
quência (an) converge para l, quando n tende a +∞, denotado por, lim
n→+∞
an = l, quando
dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que |an − l| < ε, ∀n ≥ n0. Caso contrário dizemos que a
sequência diverge.
Exemplo 4.9 Considere a sequência (
1
n
). É claro que
1
n
→
n→+∞
0, pois dado ε > 0, como
N não é limitado superiormente, existe n0 ∈ N tal que n0 >
1
ε
⇒ n ≥ n0 >
1
ε
,∀n ≥ n0 ⇒
1
n
< ε, ∀n ≥ n0.
Exemplo 4.10 A sequência an = 1, se n é ímpar e a2k =
1
k + 1
, não converge pois
se existisse um l ∈ R como na definição então para ε > 0 existiria n0 ∈ N tal que
|an − l| < ε, ∀n ≥ n0. Assim se n é ímpar tem-se que |1− l| < ε, ∀ε > 0 ⇒ l = 1 e se
n = 2k > n0 então
¯¯¯¯
1
k + 1
− 1
¯¯¯¯
< ε, o que é um absurdo, pois tomando ε =
1
4
> 0 tem-se
que
¯¯¯¯
1
k + 1
− 1
¯¯¯¯
=
k
k + 1
>
1
4
, ∀k ≥ 1.
Nota 4.11 Observe que a sequência do exemplo acima diverge porque seus termos se
aproximam de dois valores distintos quando n cresce e pela definição de limite é claro que
isto não pode acontecer.
4.1. SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 33
Exemplo 4.12 A seqüência (
n
n+ 1
) converge para 1. De fato, dado ε > 0, existe n0 ∈ N
tal que n0 >
1
ε
⇒ ∀n ≥ n0, n + 1 > n ≥ n0 >
1
ε
⇒ 1
n+ 1
< ε, ∀n ≥ n0 e como¯¯¯¯
n
n+ 1
− 1
¯¯¯¯
=
1
n+ 1
< ε, ∀n ≥ n0 ⇒ (
n
n+ 1
) converge para 1.
Exemplo 4.13 A sequência (n) diverge pois para todo l ∈ R e para todo ε > 0, existe
n0 ∈ N tal que n0 > l + ε ⇒ |n− l| = (n− l) > ε, ∀n ≥ n0 ⇒ (n) não se aproxima de
nenhum valor real, quando n cresce, pois a sequência cresce indefinidamente.
Nota 4.14 Observe que o motivo da seqüência acima divergir é que esta cresce indefinida-
mente, quando n cresce, diferente da seqüência anterior que diverge pois seus termos se
aproximam de dois valores distintos, à medida que n cresce. Quando a sequência di-
verge porque cresce ou decresce indefinidamente, dizemos que ela tende a +∞ ou −∞,
respectivamente, cuja definição daremos mais adiante.
Observe que a definição não fornece uma maneira de calcular o limite, mas sim de
verificar que aquele número real é o limite. Isto basta para sequências com termo geral
simples. Veremos a seguir algumas propriedades de limite que nos ajudarão a determinar
limites de sequências.
Nota 4.15 É importante observar que a existência e o valor do limite de uma sequência
está relacionado com o comportamento desta quando n é suficientemente grande, isto é a
partir de um certo n0 que existe para cada valor de ε > 0. Portanto não importa os valores
que assume um número finito de termos da sequência em relação ao limite desta. Por
exemplo, a seqüência
µ
n
n+ 1
¶
e a seqüência (an) tal que an =
(
n; 1 ≤ n ≤ 100
n
n+ 1
; n > 100
possuem o mesmo limite pois elas diferem apenas num número finito de termos.(Pense
nisso!)
4.1.1 Propriedades de limite
Algumas das provas de propriedades serão deixadas a cargo do aluno. É um bom exercício
para assimilar bem a definição de limite.
Proposição 4.16 O limite de uma sequência é único.
Prova. Seja (an) uma sequência convergente e suponhamos que existam l1, l2 ∈ R
tais que lim
n→+∞
an = l1 e lim
n→+∞
an = l2. Então da definição de limite, segue que dado ε > 0,
existe n0, n1 ∈ N tais que
|an − l1| < ε
2
,∀n ≥ n0 e |an − l2| < ε
2
,∀n ≥ n1,
34 CAPÍTULO 4. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS
logo, tomando N = max{n0, n1} segue que aN satisfaz as duas desigualdades acima e
portanto
|l1 − l2| ≤ |l1 − aN |+ |aN − l2| < ε
2
+
ε
2
= ε,∀ε > 0,
o que implica que l1 = l2. ¤
Proposição 4.17 Toda sequência convergente é limitada.
Prova. Seja (an) uma sequência convergente e l ∈ R seu limite. Então considerando
ε = 1 > 0, existe n0 ∈ N tal que
|an − l| < 1,∀n ≥ n0.
Portanto, das desigualdades de módulo tem-se que
|an| < |l|+ 1,∀n ≥ n0.
Considere agora M = max{|a1| , . . . , |an0−1| , |l| + 1} então segue que |an| ≤ M, ∀n ∈ N.
Provando assim que (an) é limitada. ¤
Nota 4.18 Observe que a recíproca não é verdadeira pois a sequência (an) tal que an =(
1; n = 2k − 1
1
k + 1
; n = 2k
, k ∈ N é limitada pois |an| ≤ 1, ∀n ∈ N e no entanto diverge
como já provamos em exemplo anterior.
Proposição 4.19 Seja (an) uma sequência convergente para l 6= 0. Então existe M > 0
e n0 ∈ N tais que
|an| > M,∀n ≥ n0.
Prova. Como l 6= 0 então |l| > 0. Tomando ε = |l|
2
> 0, segue da definição de limite
que existe n0 ∈ N tal que
|an − l| < |l|
2
,∀n ≥ n0.
Assim das desigualdades de módulo
|l|− |an| ≤ ||an|− |l|| ≤ |an − l| < |l|
2
,∀n ≥ n0,
o que implica que
|an| > |l|− |l|
2
=
|l|
2
= M,∀n ≥ n0.¤
4.1. SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 35
Nota 4.20 Na realidade pode-se provar que os termos de uma sequência convergente para
um limite não nulo tem o mesmo sinal do limite a partir de um certo n suficientemente
grande. Enunciaremos este resultado deixando a demonstração a cargo do aluno, por ser
análoga à demonstração da proposição anterior.
Proposição 4.21 (Teorema da conservação do sinal): Seja (an) uma sequência conver-
gente para l 6= 0.
a)Se l > 0 então existe n0 ∈ N tal que an > 0, ∀n ≥ n0.
b)Se l < 0 então existe n0 ∈ N tal que an < 0, ∀n ≥ n0.
O próximo teorema é importante para determinarmos se uma sequência converge, a
partir de sequências que já sabemos que converge e também determinar seu limite, mas
antes daremos um outro resultado.
Proposição 4.22 Sejam (an) e (bn) tais que
an ≤ bn,∀n ≥ n0,
para algum n0 ∈ N. Se ambas as sequências convergem, então lim
n→+∞
an ≤ lim
n→+∞
bn.
A demonstração desta proposição será deixada a cargo do aluno.
Nota 4.23 Na proposição acima mesmo que a hipótese seja
an < bn,∀n ≥ n0,
só podemos concluir que lim
n→+∞
an ≤ lim
n→+∞
bn.
Exemplo 4.24 Temos que
1
2n
<
1
n
, para todo n ∈ N e no entanto lim
n→+∞
1
2n
= 0 =
lim
n→+∞
1
n
.
Teorema 4.25 (Teorema do Confronto): Sejam (an), (bn) e (cn) tais que
an ≤ bn ≤ cn,∀n ≥ n0,
para algum n0 ∈ N. Se lim
n→+∞
an = lim
n→+∞
cn = l então lim
n→+∞
bn = l.
Prova. Da definição de limite segue que ∀ε > 0 existem n1, n2 ∈ N tais que
|an − l| < ε, ∀n ≥ n1 e |cn − l| < ε,∀n ≥ n2.
Assim tomando N = max{n0, n1, n2} tem-se que a hipótese e as desigualdades acima são
válidas para todo n ≥ N. Logo das propriedades de módulo obtém-se que
|bn − l| ≤ max{|an − l| , |cn − l|} < ε,∀n ≥ N,
o que implica que bn → l. ¤
36 CAPÍTULO 4. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS
Exemplo 4.26 A sequência
µ
cos
1
n
¶
converge para 1, pois cos
1
n
= 1− 2 sen2 1
2n
e para
todo n ∈ N, tem-se que 0 < 1
2n
< 1 <
π
2
, logo, 0 < sen
1
2n
<
1
2n
< 1. Portanto,
1− 1
2n
< cos
1
n
< 1, para todo n ∈ N,
logo pelo teorema do confronto, como 1− 1
2n
→ 1, segue que cos 1
n
→ 1, quando n→ +∞.
Exemplo 4.27 A sequência
µ
n sen
1
n
¶
também converge para 1, pois para todo n ∈ N,
tem-se que 0 <
1
n
≤ 1 < π
2
e portanto,
sen
1
n
<
1
n
< tg
1
n
.
Logo,
1 <
1
n sen (1/n)
<
1
cos (1/n)
⇒ cos 1
n
< n sen
1
n
< 1, para todo n ∈ N,
e aplicando o resultado do exemplo anterior e o teorema do confronto segue o resultado.
Um outro resultado importante é o seguinte:
Proposição 4.28 Seja (an) uma seqüência limitada e (bn) uma seqüência que converge
para 0 então (anbn) também converge para 0.
Prova. Como (an) é limitada, segue que existe M > 0 tal que
|an| ≤M, para todo n ∈ N.
Ainda do fato de bn → 0, tem-se que dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que
|bn| < εM , para todo n ≥ n0.
Logo,
|anbn| = |an| |bn| < M εM = ε, para todo n ≥ n0,
o que implica que anbn → 0. ¤
Exemplo 4.29 A sequência
³senn
n
´
converge para 0, pois |senn| ≤ 1, para todo n ∈ N
e
1
n
→ 0, portanto o resultado segue da proposição acima.
Nota 4.30 Observe que basta que (an) seja limitada e não necessariamente convergente,
como é o caso da sequência (senn) .
38 CAPÍTULO 4. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS
4.1.3 Operações com limites
Veremos a seguir propriedades que envolvem operações algébricas com sequências e que
permitem determinar limite de novas sequências a partir de sequências cujo limite é con-
hecido.
Proposição 4.38 Sejam (an) e (bn) sequências convergentes para l1 e l2, respectivamente.
Então
a) lim
n→+∞
(an ± bn) = l1 ± l2.
b) lim
n→+∞
(anbn) = l1l2.
c) lim
n→+∞
|an| = |l1| .
d) Se l1 6= 0, então lim
n→+∞
bn
an
=
l2
l1
.
Prova. Provaremos apenas a propriedade (d), as demais deixaremos a cargo do aluno.
Como l1 6= 0, segue que existe M > 0 e n0 ∈ N tais que
|an| > M, ∀n ≥ n0. (3.2.1)
Das convergências de (an) e (bn) , segue que, dado ε > 0, existem n1, n2 ∈ N tais que
|an − l1| < εM |l1||l1|+ |l2| , ∀n ≥ n1
|bn − l2| < εM |l1||l1|+ |l2| , ∀n ≥ n2.
(3.2.2)
Assim, tem-se que¯¯¯¯
bn
an
− l2
l1
¯¯¯¯
=
¯¯¯¯
bnl1 − l2an
anl1
¯¯¯¯
≤ |l1| |bn − l2|+ |l2| |an − l1||an| |l1|
Logo, tomando N = max{n0, n1, n2} e utilizando (3.2.1)-(3.2.2), obtemos¯¯¯¯
bn
an
− l2
l1
¯¯¯¯
<
|l1| |bn − l2|+ |l2| |an − l1|
M |l1| < ε, ∀n ≥ N.
¤
Exemplo 4.39 A sequência (
n+ 1
n
) converge para 1, pois
n+ 1
n
= 1 +
1
n
e a seqüência
constante igual a (1) converge para 1 e
1
n
→ 0.
Exemplo 4.40
1
n2
→ 0 pois 1
n2
=
1
n
1
n
e
1
n
→ 0.
4.1. SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 39
Exemplo 4.41
n− 1
n+ 1
→ 1 pois n− 1
n+ 1
=
n− 1
n
n+ 1
n
. Como
n+ 1
n
= 1 +
1
n
→ 1 6= 0 e
n− 1
n
= 1− 1
n
→ 1, segue o resultado da propriedade (d).
Nota 4.42 Observe que a recíproca da propriedade (c) não é verdadeira. Por exemplo
a sequência ((−1)n) diverge pois à medida que n cresce ela se aproxima de dois valores
distintos, a saber 1 e −1. No entanto a sequência obtida tomando-se seu módulo é a
sequência constante igual a 1 que converge para 1. As recíprocas das demais propriedades
também não são válidas. Por exemplo, a seqüência
µ
n
n+ 1
¶
converge para 1, enquanto
que a sequência (n) não converge e a sequência
µ
1
n+ 1
¶
converge para 0. Pense na
recíproca das demais operações.
Vejamos agora alguns exemplos, onde aplicamos as propriedades já estudadas e as
operações de limite.
Exemplo 4.43 Considere a sequência
µ
3n
n+ sen(2n)
¶
. Sabemos que −1 ≤ sen θ ≤ 1,
∀θ ∈ R⇒ 0 < n−1 ≤ n+sen(2n) ≤ n+1, ∀n ≥ 2. Logo, 3n
n+ 1
≤ 3n
n+ sen(2n)
≤ 3n
n− 1 ,
∀n ≥ 2. Como 3n
n+ 1
=
3n
n(1 + 1/n)
=
3
1 + 1/n
→ 3 e, de modo análogo, conclui-se que
3n
n− 1 → 3 então, segue do teorema do confronto, que
3n
n+ sen(2n)
→ 3.
Exemplo 4.44 Seja a ∈ R, a > 0 e considere a sequência ( n√a). Provemos que tal
seqüência converge para 1.
Se a = 1 então n
√
a = 1, ∀n ∈ N o que implica que a sequência converge para 1.
Se a > 1 então n
√
a > 1, ∀n ∈ N. Logo para cada n existe hn > 0 tal que n
√
a =
1 + hn ⇒ a = (1 + hn)n > 1 + nhn ⇒ 0 < hn <
a− 1
n
. Portanto do teorema do confronto
segue que hn → 0⇒ n
√
a→ 1.
Finalmente, se 0 < a < 1 então
1
a
> 1 ⇒ n
r
1
a
=
1
n
√
a
→ 1 6= 0. Assim pela pela
propriedade de quociente dos limites, segue que n
√
a→ 1.
Exemplo 4.45 Consideremos a sequência ( n
√
n) e determinemos seu limite. Sabe-se que
n
√
n > 1, ∀n ≥ 2. Assim, para cada n ≥ 2, temos que ∃hn ∈ R, hn > 0 tal que n
√
n = 1+hn.
Portanto, n = (1 + hn)
n =
nP
j=0
n!
j!(n− j)!h
j
n >
n(n− 1)
2
h2n ⇒ h2n <
2
n− 1 . Obtém-se então
que 0 < h2n <
2
n− 1 e portanto do teorema do confronto obtemos que h
2
n → 0 ⇒ hn → 0
(Prove!). Assim, como n
√
n = 1 + hn, segue que n
√
n→ 1.
40 CAPÍTULO 4. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS
Exemplo 4.46 A sequência ( n
p
n
√
n) também converge para 1, pois 1 ≤ n
p
n
√
n ≤ n√n,
∀n ≥ 1 e como do exemplo acima n√n→ 1 segue do teorema do confronto que n
p
n
√
n→ 1.
4.1.4 Limites infinitos
Vejamos a seguir o que significa rigorosamente uma sequência divergir para ±∞.
Definição 4.47 Dizemos que uma sequência (an) diverge para +∞, denotado por,
lim
n→+∞
an = +∞ quando dado M > 0, existe n0 ∈ N tal que an > M, para todo n ≥ n0.
Definição 4.48 Dizemos que uma sequência (an) diverge para −∞, denotado por,
lim
n→+∞
an = −∞ quando dado N < 0, existe n0 ∈ N tal que an < N, para todo n ≥ n0.
Existem também "operações"e propriedades quando as sequências divergem para±∞,
como veremos na proposição abaixo, cujademonstração será deixada a cargo do aluno.
Exemplo 4.49 Seja α ∈ R, α > 0 então a sequência (αn) diverge para +∞, pois dado
M > 0, como N não é limitado superiormente em R, existe n0 ∈ N tal que n0 >
M
α
⇒
αn > M,∀n ≥ n0.
Proposição 4.50 Sejam (an) e (bn) tais que
an ≤ bn,∀n ≥ n0,
para algum n0 ∈ N.Então,
a) Se lim
n→+∞
an = +∞ então lim
n→+∞
bn = +∞.
b) Se lim
n→+∞
bn = −∞ então lim
n→+∞
an = −∞.
Exemplo 4.51 Seja a > 1 um número real então a sequência (an) diverge para +∞,
pois, como a > 1 então existe h > 0 tal que a = 1 + h⇒ an = (1 + h)n ≥ 1 + nh > nh e
como (nh) diverge para +∞ segue da proposição acima que (an) diverge para +∞.
Exemplo 4.52 Seja a > 0 então a seqüência
µ
n!
an
¶
diverge para +∞. De fato, como N
não é limitado superiormente então existe n0 ∈ N tal que n0 > 2a ⇒
n0
a
> 2. Assim,
para todo n > n0 segue que
n!
an
=
(n0)!
an0
(n0 + 1) . . . n
an−n0
>
n0!
an0
2n−n0
0
=
n0!
(2a)n0
2n = c2n, onde
c =
n0!
(2a)n0
> 0 e portanto como 2n → +∞, (do exemplo anterior), segue da propriedade
acima que
n!
an
→ +∞.
4.1. SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 41
Exemplo 4.53 A sequência
³
n
√
n!
´
diverge para +∞. De fato, dado M > 0 segue do
exemplo acima que
n!
Mn
→ +∞, logo existe n0 ∈ N tal que
n!
Mn
> 1, para todo n ≥ n0 ⇒
n! > Mn, ∀n ≥ n0 ⇒ n
√
n! > M, ∀n ≥ n0 ⇒ n
√
n!→ +∞.
Proposição 4.54 Sejam (an) e (bn) sequências numéricas. Então:
a) Se an → +∞ e bn → +∞⇒ an + bn → +∞. ( Analogamente, se ambas divergem
para −∞ então a soma também diverge para −∞ )
b) Se an → +∞ e bn → ±∞ ⇒ anbn → ±∞.
c) Se an → +∞, bn → 0 e bn > 0, ∀n ≥ n0 para algum n0 ∈ N então
an
bn
→ +∞.
d) Se an → ±∞ e bn → l⇒ an ± bn → ±∞.
e) Se an → ±∞ e bn → l > 0 ⇒ anbn → ±∞. (Enuncie e demonstre um resultado
análogo para l < 0).
f) Se an → ±∞⇒ 1an → 0.
4.1.5 Sequências monótonas
As sequências monótonas têm propriedades bastante interessantes. Por exemplo, vimos
que toda sequência convergente é limitada, mas a recíproca não é verdadeira. No entanto,
para sequências monótonas a recíproca é válida, como veremos mais adiante.
Definição 4.55 Dizemos que uma sequência (an) é monótona crescente quando an ≤
an+1, para todo n ∈ N.
Nota 4.56 De modo análogo, define-se sequência monótona decrescente, estritamente
crescente e estritamente decrescente.
Exemplo 4.57 A sequência
µ
1
n
¶
é monótona estritamente decrescente pois n+ 1 > n,
∀n ∈ N ⇒ 1
n+ 1
<
1
n
, ∀n ∈ N.
Exemplo 4.58 A sequência definida por a1 =
√
2 e an =
√
2 + an−1 é monótona estri-
tamente crescente. Mostraremos por indução esta afirmação. Sabe-se que
√
2 > 0 ⇒
2 +
√
2 > 2 ⇒
p
2 +
√
2 >
√
2, ou seja a2 > a1. Suponhamos que an > an−1 então
2 + an > 2 + an−1 ⇒
√
2 + an >
√
2 + an−1 ⇒ an+1 > an, o que conclui a prova por
indução.
Exemplo 4.59 A sequência definida por a1 =
√
3 e an =
p
3
√an−1 é monótona estrita-
mente crescente.(Prove!)
Exemplo 4.60 As sequências constantes são monótonas, podendo ser consideradas monó-
tonas decrescentes ou crescentes.
42 CAPÍTULO 4. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS
Vejamos a seguir o resultado mais importante de sequências monótonas.
Proposição 4.61 Se (an) é uma sequência crescente e limitada superiormente então (an)
converge para l = sup{an, n ∈ N}.
Prova. Como {an, n ∈ N} é um conjunto limitado superiormente então admite
supremo e seja l seu supremo. Então da definição de supremo segue que an ≤ l, ∀n ∈ N
e dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que an0 > l − ε. Como a sequência é monótona crescente
segue que ∀n ≥ n0, an ≥ an0 > l − ε. Portanto, l − ε < an ≤ l, ∀n ≥ n0, ou seja
−ε < an− l ≤ 0⇒ |an − l| = l− an < ε, ∀n ≥ n0. Logo, da definição de limite temos que
lim
n→+∞
an = l. ¤
Nota 4.62 Analogamente prova-se que uma sequência monótona decrescente limitada
inferiormente converge para o ínfimo do conjunto dos termos da seqüência. Os mesmos
resultados valem se as sequências são estritamente crescentes e decrescentes, respectiva-
mente. Segue então o resultado geral.
Teorema 4.63 Toda sequência monótona limitada converge.
Exemplo 4.64 Vimos que a sequência a1 =
√
2 e an =
√
2 + an−1 é monótona estri-
tamente crescente. Tal sequência é limitada superiormente por 2, pois a1 =
√
2 < 2 e
supondo que an−1 < 2, segue que an =
√
2 + an−1 <
√
2 + 2 = 2. E como a sequência
é estritamente crescente, segue que an ≥ a1 =
√
2, para todo n ∈ N. Assim do teorema
anterior tem-se que tal sequência converge para l. Mas então das propriedades de limite,
obtém-se que l =
√
2 + l⇒ l2 = 2+ l. Resolvendo a equação obtemos que l = 2 ou l = −1.
Como a sequência é crescente e l = sup{an; n ∈ N} segue que l >
√
2 > −1 e portanto
l = 2.
Exemplo 4.65 Verifica-se de modo análogo que a sequência a1 =
√
3 e an =
√
3an−1 é
monótona estritamente crescente e limitada. Portanto, do mesmo modo que no exemplo
anterior prova-se que seu limite é 3.
Como já havíamos dito anteriormente o limite está relacionado com o comportamento
da seqüência quando n é suficientemente grande. Assim segue um resultado que é conse-
qüência imediata do teorema anterior.
Corolário 4.66 Seja (an) uma sequência tal que an ≤ an+1, ∀n ≥ n0, para algum n0 ∈ N.
Se (an) é limitada superiormente então (an) converge para l = sup{an; n ≥ n0}.
A demonstração é análoga à do teorema e será deixada a cargo do aluno. Com as
devidas modificações vale o resultado de uma forma mais geral.
Corolário 4.67 Seja (an) uma sequência e n0 ∈ N tal que (an) é monótona a partir de
n0. Se (an) é limitada então (an) converge.
4.1. SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 43
Exemplo 4.68 Seja a ∈ R tal que a > 0 então an =
an
n!
→
n→+∞
0. De fato existe n0 ∈ N
tal que n0 > a ⇒ n > a, ∀n ≥ n0. Assim, an+1 =
an+1
(n+ 1)!
=
an+1
n!(n+ 1)
=
an
n!
a
n+ 1
<
an
n!
= an, ∀n ≥ n0 e ainda an > 0, ∀n ∈ N. Então do corolário segue que (an) converge
para l ≥ 0. Mas an = an−1
a
n
e como an−1 → l e
a
n
→ 0 ⇒ an =
an
n!
→ l = 0.
Analisaremos a seguir uma sequência que é muito importante pois o seu limite é o
conhecido número e .
Exemplo 4.69 Consideremos a sequência (an) =
µµ
1 +
1
n
¶n¶
. Provaremos que esta
é estritamente crescente e limitada superiormente, garantindo assim a sua convergência.
Mostraremos ainda que seu limite está no intervalo (2, 3). Assim definiremos e = lim
n→+∞µ
1 +
1
n
¶n
. Iniciemos então verificando que a sequência é crescente. Temos que
an =
nX
k=0
n!
k!(n− k)!
1
nk
= 1 + n
1
n
+
n(n− 1)
2
1
n2
+
n(n− 1)(n− 2)
3!
1
n3
+ · · ·+ n!
n!
1
nn
=
2 +
1
2
µ
1− 1
n
¶
+
1
3!
µ
1− 1
n
¶µ
1− 2
n
¶
+ · · ·+ 1
n!
µ
1− 1
n
¶
. . .
µ
1− n− 1
n
¶
,∀n ∈ N.
Assim,
an = 2 +
1
2
µ
1− 1
n
¶
+
1
3!
µ
1− 1
n
¶µ
1− 2
n
¶
+ · · ·+ 1
n!
µ
1− 1
n
¶
. . .
µ
1− n− 1
n
¶
<
2 +
1
2
µ
1− 1
n+ 1
¶
+
1
3!
µ
1− 1
n+ 1
¶µ
1− 2
n+ 1
¶
+ · · ·+
+
1
n!
µ
1− 1
n+ 1
¶
. . .
µ
1− n− 1
n+ 1
¶
< an+1.
Concluindo portanto que a sequência é crescente. Mostremos que esta é limitada superi-
ormente. De fato:
an =
nX
k=0
n!
k!(n− k)!
1
nk
=
nX
k=0
(n− k)!
k!(n− k)!
(n− (k − 1)) . . . n
nk
≤
≤
nX
k=0
1
k!
= 1 + 1 +
1
2
+
1
6
+
1
24
+ · · ·+ 1
n!
≤
≤ 1 + 1 + 1
2
+
1
4
+
1
8
+ · · ·+ 1
2n
= 1 +
nX
k=0
1
2k
=
= 1 +
1− 1
2n+1
1− 1
2
= 1 + 2
µ
1− 1
2n+1
¶
< 3.
44 CAPÍTULO 4. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS
Portanto (an) é crescente e limitada superiormente o que garante sua convergência. Ainda
como a1 = 2 e lim
n→+∞
an = sup{an;n∈ N}, segue que lim
n→+∞
an > 2 e como 3 é uma cota
superior de {an; n ∈ N}, então lim
n→+∞
an ≤ 3.
Mostraremos a seguir que an <
11
4
, ∀n ≥ 3 e como a seqüência é crescente segue que
an <
11
4
, ∀n ∈ N ⇒ lim
n→+∞
an = sup{an; n ∈ N} ≤ 11
4
< 3. Portanto 2 < lim
n→+∞
an =
sup{an; n ∈ N} < 3. Assim, define-se lim
n→+∞
an = sup{an; n ∈ N} = e . Vejamos então,
∀n ≥ 3, temos que:
an = 2 +
1
2
µ
1− 1
n
¶
+
1
3!
µ
1− 1
n
¶µ
1− 2
n
¶
+ · · ·+ 1
n!
µ
1− 1
n
¶
. . .
µ
1− n− 1
n
¶
=
2 +
1
2
µ
1− 1
n
¶∙
1 +
1
3
µ
1− 2
n
¶
+
1
12
µ
1− 2
n
¶µ
1− 3
n
¶
+ · · ·+
+
2
n!
µ
1− 2
n
¶
. . .
µ
1− n− 1
n
¶¸
<
2 +
1
2
µ
1− 1
n
¶"
1 +
1
3
µ
1− 2
n
¶
+
1
9
µ
1− 2
n
¶2
+ · · ·+ 1
3n−2
µ
1− 2
n
¶n−2#
=
2 +
n− 1
2n
1−
∙
1
3
(1− 2
n
)
¸n−1
1− 1
3
µ
1− 2
n
¶ < 2 + n− 1
2n
3n
3n− n+ 2 =
2 +
3
2
n− 1
2n+ 2
= 2 +
3
4
n− 1
n+ 1
< 2 +
3
4
=
11
4
.
O que conclui nossa demonstração de que 2 < lim
n→+∞
µ
1 +
1
n
¶n
≤ 11
4
< 3. Esta estimativa
pode ser ainda mais apurada e portanto define-se o número e como sendo este limite, ou
seja
e = lim
n→+∞
µ
1 +
1
n
¶n
.
4.1.6 Subsequência
Considere a sequência
an =
(
1, se n é ímpar
1
k + 1
se n = 2k, k ∈ N .
Já vimos que tal sequência não converge pois seus termos se aproximam de dois valores
distintos, à medida que n cresce. Observe ainda que se tomarmos bn = a2n−1, ∀n ∈ N,
teremos uma nova seqüência (bn), construída tomando-se apenas os termos de índices
ímpares da seqüência (an). Observe que (bn) é uma seqüência constante e converge para
4.1. SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 45
1. Analogamente pode-se definir cn = a2n, ∀n ∈ N e obtemos ainda uma outra seqüência
constituída dos termos de índices pares de (an), que é a seqüência
µ
1
n+ 1
¶
que converge
para 0. Pode-se ainda obter outras seqüências a partir da seqüência original. A estas
novas sequências denominamos subsequências de (an), cuja definição damos abaixo.
Definição 4.70 Seja s : N→R uma sequência de números reais cujo termo geral é an.
Considere A = {n1, n2, · · · } um subconjunto infinito de N tal que n1 < n2 < . . . < nj <
nj+1 < . . . . A restrição de s à A, isto é, s|A : A → R tal que s(nj) = anj é denominada
uma subsequência de (an) e denotada por (anj).
Nota 4.71 Observe que como o conjunto A da definição acima é um subconjunto in-
finito de N, segue que A não pode ser limitado superiormente, caso contrário seria um
subconjunto finito de N. Assim para cada n ∈ N existe j ∈ N tal que nj > n.
Nota 4.72 Observe ainda que uma subsequência
¡
anj
¢
de uma seqüência (an) é uma
nova seqüência obtida a partir da sequência original, pois pode-se definir t : N → R por
t(j) = bj = s(nj) = anj , ∀j ∈ N.
Exemplo 4.73 Considere a sequência ((−1)n). Duas subseqüências são (1), que é obtida
tomando-se A = {2n, n ∈ N} e ((−1)), obtida tomando-se A = {2n− 1, n ∈ N}.
Exemplo 4.74 Dada a sequência
µ
1
n
¶
, uma subsequência é
µ
1
2n
¶
, tomando-se A =
{2n; n ∈ N}.
Exemplo 4.75 Considere ( n
√
n) . Uma subsequência é
¡
3n
√
3n
¢
=
¡
3
√
3, 9
√
9, 27
√
27, . . .
¢
,
tomando-se A = {3n; n ∈ N}.
Exemplo 4.76 Dada a sequência (an) e um n0 ∈ N, uma subsequência é (an)n≥n0 =
(an0, an0+1, . . .) isto é, A = {n ∈ N; n ≥ n0}.
Veremos a seguir algumas importantes propriedades de subsequências e sua relação
com a existência ou não de limite. Como podemos considerar uma subsequência como
uma nova sequência, em função do índice j,podemos definir o conceito de limite de uma
subsequência como seu comportamento à medida que j cresce, isto é, o conceito de limite
de uma subsequência
¡
anj
¢
é aplicado à nova seqüência (bj) , onde bj = anj ,∀j ∈ N.
Vejamos a definição.
Definição 4.77 Seja (an) uma sequência e (anj) uma subsequência de (an). Dizemos que
l ∈ R é o limite de (anj), denotado por limj→+∞anj = l, quando dado ε > 0, existe j0 ∈ N tal
que ¯¯
anj − l
¯¯
< ε, ∀j ≥ j0.
46 CAPÍTULO 4. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS
Nota 4.78 A definição de limites infinitos de subsequência é análoga e deixamos a cargo
do aluno.
Proposição 4.79 (an) é uma sequência convergente para l ∈ R ⇒ toda subsequência de
(an) converge para l.
Prova. Considere (anj) uma subsequência qualquer de (an). Como (an) converge para
l, segue que dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que
|an − l| < ε, ∀n ≥ n0.
Ainda, existe j0 ∈ N tal que nj0 ≥ n0 ⇒ nj ≥ n0, ∀j ≥ j0, logo¯¯
anj − l
¯¯
< ε, ∀j ≥ j0.
O que implica a convergência de (anj) para o mesmo limite l. ¤
Nota 4.80 É claro que a recíproca desta proposição também é verdadeira, pois pode-se
considerar a própria sequência como uma subsequência dela mesma. No entanto é válido
um resultado melhor do que este como recíproca desta proposição, que enunciaremos a
seguir e cuja demonstração será deixada como exercício para o aluno.
Proposição 4.81 Seja s : N→R uma sequência de números reais cujo termo geral é
an. Considere A1, A2, . . . , Ak, k subconjuntos infinitos de N tais que
k
∪
i=1
Ai = N. Se as k
subseqüências obtidas de (an) pela restrição de s a cada Ai, respectivamente, convergirem
para o mesmo limite l ∈ R então (an) converge para l.
Exemplo 4.82 Considere an =
⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎩
3k
2k − 1 , se n = 2
k,
3k2 + 5k
2k2 + 3
, se n = 2k − 1,
k
√
3 + 2
2 k
√
k
, se n = 2k e n 6= 2j,∀j ∈ N,
, k ∈ N. Ob-
serve que as subseqüências (a2k) , (a2k−1) e (a2k) convergem para
3
2
e ainda {2k; k ∈
N} ∪ {2k − 1; k ∈ N} ∪ {2k; 2k 6= 2j,∀j ∈ N, k ∈ N} = N, logo da proposição acima segue
que an →
3
2
.
Para sequências monótonas o resultado é ainda mais forte, vejamos.
Proposição 4.83 Seja (an) uma sequência monótona. Se (an) admite uma subsequência
limitada então (an) converge.
4.1. SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 47
Prova. Provaremos para sequência monótona crescente pois os demais casos são anál-
ogos. Seja
¡
anj
¢
uma subsequência limitada de (an), então
¡
anj
¢
é limitada superiormente,
logo existe M ∈ R tal que anj ≤ M, ∀j ∈ N. Mas para cada n ∈ N, existe j ∈ N tal que
nj > n ⇒ an < anj ≤ M ⇒ (an) é limitada superiormente e como ela é crescente então
(an) converge. ¤
Exemplo 4.84 Considere an =
nP
j=1
1
j3/2
. É claro que (an) é crescente pois an+1 − an =
1
(n+ 1)3/2
> 0. Considere a subsequência (a2n−1) então
a2n−1 =
2n−1X
j=1
1
j3/2
= 1 +
1
23/2
+
1
33/2
+ · · ·+ 1
(2n−1)3/2
+ · · ·+ 1
(2n − 1)3/2
≤
≤ 1 + 2
23/2
+ · · ·+ 2
n−1
(2n−1)3/2
= 1 +
1√
2
+ · · ·+ 1¡√
2
¢n−1 =
=
1−
µ
1√
2
¶n
1− 1√
2
≤
√
2√
2− 1
,∀n ∈ N.
Assim a subseqüência (a2n−1) é limitada superiormente e como é crescente ela é limi-
tada inferiormente por a1 e portanto como (an) é também crescente segue da proposição
anterior que (an) converge.
Vimos anteriormente que toda seqüência convergente é limitada, mas a recíproca não
é verdadeira. No entanto segue um resultado importante que pode-se pensar como uma
recíproca parcial do resultado citado.
Teorema 4.85 (Bolzano-Weierstrass): Toda sequência limitada admite uma subsequên-
cia convergente.
Prova. Seja (an) uma sequência limitada, isto é, existem M,m ∈ R tais que m ≤
an ≤M, ∀n ∈ N. Seja B = {x ∈ R; an ≤ x, ∀n ≥ n0, para algum n0 ∈ N}. Assim, M ∈ B
e neste caso n0 = 1 e ∀x ∈ R tal que x < m⇒ x /∈ B, isto é, x ≥ m, ∀x ∈ B, ou seja, B é
um conjunto limitado inferiormente e portanto admite ínfimo. Seja l = inf B e provemos
que l é o limite de uma subsequência de (an) . Como l+1 > l, segue que existe x1 ∈ B tal
que l ≤ x1 < l+1.Mas como x1 ∈ B existe n0 ∈ N talque an ≤ x1 < l+1, ∀n ≥ n0. Ainda
como l − 1 < l = inf B ⇒ l − 1 /∈ B então existe uma infinidade de índices n0s tais que
an > l − 1. Considere n1 ≥ n0 um tal índice. Assim, an1 ∈ (l − 1, l + 1) . Analogamente
construímos n2 > n1 tal que an2 ∈
µ
l − 1
2
, l +
1
2
¶
e assim sucesssivamente construímos
48 CAPÍTULO 4. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS
nj > nj−1 tal que anj ∈
µ
l − 1
j
, l +
1
j
¶
. Portanto, construímos uma subsequência
¡
anj
¢
de (an) tal que
¯¯
anj − l
¯¯
<
1
j
, ∀j ∈ N. O que implica que anj →j→+∞ l. ¤
Existem sequências que não convergem, mas admitem subsequências convergentes,
como já vimos em exemplos anteriores e em particular sequências limitadas possuem pelo
menos uma subsequência convergente. Assim, segue a seguinte definição:
Definição 4.86 Dizemos que x ∈ R é um valor de aderência de uma sequência (an)
quando existe uma subsequência de (an) que converge para x.
Exemplo 4.87 Seja an =
⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩
2k + 1
k
, se n = 2k,
(−1)k , se n = 2k, e n 6= 2j, ∀j ∈ N,
3k
5k + 1
, se n = 2k − 1,
k ∈ N. Ou seja
(an) =
µ
1
2
, 3,
6
11
,
5
2
,
9
16
,−1, . . .
¶
. Assim os valores de aderência desta sequência são: 2,
−1, 1, 3
5
, pois (a2k−1) converge para
3
5
, (a2k) converge para 2,
¡
a2(2j−1)
¢
converge para −1,
e (a4j) , j 6= 2m, ∀m ∈ N, converge para −1.
Nota 4.88 Segue do teorema de Bolzanno Weierstrass que toda seqüência limitada em
R, admite pelo menos um valor de aderência.
Definição 4.89 Seja (an) uma sequência limitada. Dizemos que S ∈ R é o limite su-
perior de (an) , denotado por, S = lim sup
n→+∞
an, quando S = lim
n→+∞
(sup{an, an+1, . . .}) .
Dizemos ainda que s ∈ R é o limite inferior de (an), denotado por s = lim inf
n→+∞
an,
quando s = lim
n→+∞
(inf{an, an+1, . . .}) .
Nota 4.90 Pode-se provar que o limite superior de uma sequência limitada é o seumaior
valor de aderência e o limite inferior é o seu menor valor de aderência.
Exemplo 4.91 Assim a sequência do exemplo anterior é tal que lim sup
n→+∞
an = 2 e lim inf
n→+∞
an =
−1.
Nota 4.92 Observe que o limite superior de uma sequência limitada não é necessaria-
mente o supremo de seus termos. Note que no exemplo acima lim sup
n→+∞
an = 2, no entanto
a2 = 3 > 2 = lim sup
n→+∞
an.
Exemplo 4.93 Considere a sequência an =
⎧
⎨
⎩
1, se n = 2k − 1,
(−1)k
k + 1
, se n = 2k,
k ≥ 1. Então
1 = lim sup
n→+∞
an e 0 = lim inf
n→+∞
an, pois a sequência é limitada e os valores de aderência desta
sequência são 0 e 1.
4.1. SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 49
Nota 4.94 Observe também que o limite inferior de uma sequência limitada não é nec-
essariamente o ínfimo de seus termos. Note que no exemplo acima lim inf
n→+∞
an = 0, no
entanto a2 =
−1
2
< 0 = lim inf
n→+∞
an.
Exemplo 4.95 Considere an = (−1)n , então lim inf
n→+∞
((−1)n) = −1 e lim sup
n→+∞
((−1)n) = 1.
Nota 4.96 Quando a sequência (an) não é limitada superiormente, dizemos, por abuso
de linguagem, que lim sup
n→+∞
an = +∞, pois neste caso existirá uma subseqüência de (an)
que divergirá para +∞. Analogamente, quando a seqüência não é limitada inferiormente
dizemos que lim inf
n→+∞
an = −∞.
Exemplo 4.97 Considere an =
(
k, se n = 2k − 1
1
k + 1
, se n = 2k
, k ≥ 1. Observe que esta se-
quência não é limitada superiormente e portanto não admite limite superior e neste caso
dizemos que lim sup
n→+∞
an = +∞, pois a subseqüência (a2n−1) de (an) diverge para +∞.
Proposição 4.98 Seja (an) uma seqüência convergente então (an) admite um único valor
de aderência. Portanto, lim sup
n→+∞
an = lim inf
n→+∞
an = lim
n→+∞
an.
Prova. Já provamos que se (an) converge então toda subseqüência de (an) converge
para o mesmo limite, o que prova nossa afirmação. ¤
Observe que se (an) é uma seqüência convergente, à medida que n cresce os termos da
seqüência se aproximam de um número real l e portanto seus termos se tornam arbitrari-
amente próximos uns dos outros. A recíproca é verdadeira apenas quando consideramos
sequências reais e isto é uma consequência do fato de R ser completo, ou seja, satisfazer
o postulado de Dedekind. Vejamos então alguns resultados, exemplos e definições.
Definição 4.99 Seja (an) um sequência de números reais. Dizemos que (an) é uma
sequência de Cauchy quando dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que para todo m,n ≥ n0
tem-se que |an − am| < ε.
Lema 4.100 Seja (an) uma sequência de números reais tal que (an) é de Cauchy e admite
uma subsequência convergente para l. Então (an) também converge para l.
Prova. Considere
¡
anj
¢
uma subseqüência de (an) convergente para l. Então dado
ε > 0, existe j0 ∈ N tal que
¯¯
anj − l
¯¯
<
ε
2
, ∀j ≥ j0. Ainda como (an) é de Cauchy segue
que existe n0 ∈ N tal que |an − am| < ε
2
, ∀n,m ≥ n0. Logo existe J ≥ j0 tal que nJ ≥ n0
e portanto, ∀n ≥ n0 tem-se que:
|an − l| ≤ |an − anJ |+ |anJ − l| <
ε
2
+
ε
2
= ε,
50 CAPÍTULO 4. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS
o que implica que an → l. ¤
Teorema 4.101 (Critério de Cauchy): Seja (an) uma sequência de números reais. En-
tão: (an) converge ⇔ (an) é de Cauchy.
Prova. (⇒) Deixaremos a cargo do aluno esta demonstração. É importante notar
que ela é válida mesmo se estivermos considerando o corpo dos racionais.
(⇐) É fácil provar que (an) é limitada(prove!), portanto do teorema de Bolzano-
Weierstrass admite uma subsequência convergente e portanto segue do lema que (an)
converge. ¤
Nota 4.102 Observe que para provar o teorema de Bolzano-Weiestrass usamos o fato de
R ser completo, ou seja, que um subconjunto limitado inferiormente admite ínfimo, o que
é equivalente ao postulado de Dedekind.
Exemplo 4.103 Considere a sequência de números racionais (1, 1, 4, 1, 41, 1, 414, . . .)
que converge para
√
2. Observe que tal sequência é de Cauchy uma vez que seus termos
se aproximam entre si à medida que n cresce, no entanto em Q ela não converge. Esta
falha vem do fato de Q não ser completo.
4.2. SÉRIES NUMÉRICAS 53
4.2 Séries numéricas
Vocês já se depararam com situações onde precisam saber o valor de uma "soma infinita",
por exemplo a "soma"de uma PG infinita de razão menor que 1. Alguns valores destas
"somas"não são finitos, mesmo que aparentemente possa se acreditar que sejam. Vejamos
então a definição rigorosa de série.
Definição 4.117 Considere uma sequência de números reais (an) . À sequência (sn) ,
onde sn =
nP
j=1
aj, denominada sequência das somas parciais denominamos série de termo
geral an.
Definição 4.118 Dada a série de termo geral (an) dizemos que esta converge quando
a sequência das somas parciais (sn) converge. Neste caso denotamos o limite de (sn) e
portanto da série por
+∞P
n=1
an.
Nota 4.119 Por abuso de linguagem, denotaremos a série de termo geral (an) por
+∞P
n=1
an.
Isto não significa que a série converge, na realidade usa-se a mesma notação tanto para
a série quanto para o seu limite, caso ele exista.
Exemplo 4.120 A série
+∞P
n=0
2−n converge pois a sequência de somas parciais corresponde
a soma de uma PG com n termos, de razão
1
2
< 1. Assim, sn
n
=
P
j=0
2−j =
1− (1/2)n+1
1− (1/2) →
2.
Exemplo 4.121 A série
+∞P
n=1
n diverge pois sn → +∞.
Exemplo 4.122 A série
+∞P
n=1
(−1)n diverge pois sn =
½
−1, se n é ímpar
0, se n é par . Portanto
como (sn) admite dois valores de aderência distintos, esta não converge, apesar de ser
limitada.
Exemplo 4.123 A série
+∞P
n=1
1
n(n+ 1)
converge pois sn =
nP
j=1
1
j(j + 1)
=
nP
j=1
µ
1
j
− 1
j + 1
¶
=
1− 1
2
+
1
2
− 1
3
+ · · ·+ 1
n
− 1
n+ 1
= 1− 1
n+ 1
→
n→+∞
1.
Exemplo 4.124 A série
+∞P
n=1
1
np
, com p ∈ R, p > 1 converge. De fato, como os termos
da