EXERCICIOS DE CALCULO II LISTA 1

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EXERCÍCIOS DE CÁLCULO II – LISTA 1 
 
 
A INTEGRAL DEFINIDA 
 
∫ f(x)dx;
b
a
 
{
 
 
 
 ∫sinal de integral 
a − limite inferior 
b − limite superior 
f(x)− integrando 
x − variável de integração
 
Definição. Se a > 𝑏, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 ∫ f(x)dx = −∫ f(x)dx, se ∫ f(x)dx existir.
a
b
a
b
b
a
 
Definição. Se f(a)existir ∫ f(x)dx = 0.
a
a
 
Teorema.∫ kdx = k(b − a), se k for uma constante qualquer.
b
a
 
Teorema.∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx, se k for uma constante qualquer.
b
a
b
a
 
Teorema.∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx.
b
a
b
a
b
a
 
Teorema.∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx +
c
a
∫ f(x)dx , onde a < 𝑐 < 𝑏.
b
c
b
a
 
Teorema. Se f(x) ≥ g(x) em [a, b], então ∫ f(x)dx ≥
b
a
∫ g(x)dx.
b
a
 
Teorema. Se f tem um valor máximo M e um valor mínimo m em [a, b], então 
m(b − a)∫ f(x)dx ≤ ∫ f(x)dx ≤
b
a
M(b − a)
b
a
∫ f(x)dx
b
a
. 
Teorema(T.V.M. para integrais) 
Se f for contínua em [a, b], então existe um número χ em [a, b], tal que f(χ) =
1
b − a
∫ f(x)dx
b
a
. 
Definição. O valor médio de uma função f, em [a, b]será dado por V.M.=
1
b − a
∫ f(x)dx
b
a
. 
Teorema – Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo. 
Se f for contínua em [a, b] então a função F definida por F(x) = ∫ f(t)dt
x
a
 será contínua em [a, b] 
e derivável em (a, b) e sua derivada será F′(x) =
d
dx
∫ f(t)dt =
x
a
 f(x). 
 
Teorema – Segundo Teorema Fundamental do Cálculo. 
Se f for contínua em [a, b] e se F for qualquer antiderivada de f em [a, b], então 
∫ f(t)dt = F(b) − F(a)
b
a
 
 
 
 
ÁREAS 
 
Definição. Se f for uma função não negativa e integrável em um intervalo fechado [a, b], então a área da região 
limitada pela curva y = f(x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b será dada por 
A = ∫ f(x)dx
b
a
 
Definição. Se f e g forem funções integráveis em um intervalo fechado [a, b] e tais que f(x) ≥ g(x) para todo x 
em [a, b], então a área de região limitada pelas curvas y = f(x) e y = g(x) e pelas retas x = a e x = b será dada 
por 
A = ∫ [f(x) − g(x)]dx
b
a
 
 
EXERCÍCIOS 
01. Calcular as integrais definidas. 
a)∫ (
x
2
+ 3)
4
−2
dx b)∫ x√9 − x²
3
−3
dx c)∫ |x|
1
−2
dx d)∫ (2 − |x|)
1
−1
dx 
e)∫
x² + 1
x²
2
1
dx f)∫ √5x − 1
10
1
dx g)∫ t²√t³ + 1
2
1
dt h)∫ x²√x − 4
5
4
dx 
i)∫ |x − 2|
4
−4
dx j)∫ (x + 2)
3
0
√x + 1dx 
 
RESPOSTAS 
a) 21 b) 0 c) 
5
2
 d) 3 e) 
3
2
 f) 
134
3
 g) 
2
9
(27 − 2√2) h) 
1486
105
 i) 20 j) 
256
15
 
 
02.Encontrar a área da região limitada pelas curvas abaixo: 
a) x2 = - y e y = -4 b) x2 + y +4 = 0 e y = -8 
c) y2 = 4px e 4py = x2 d) y = x2+2 , y = - x , x= 0 e x = 1. 
e) y = 
1x
 +
x
, y = 0, x = -2, x=3 
RESPOSTAS 
a) 
32
3
 u. q. b) 
32
3
 u. q. c) 
16
3
p² u.q. d) 
17
6
 u.q. e) 15 u.q. 
 
03. Determine o valor de m tal que a região acima da reta y = mx e abaixo da parábola y = 2x –x2 tenha uma 
área de 36 unidades quadradas. R: m = -4. 
04. Encontre a área da região acima da parábola 4py = x2 e dentro do triângulo formado pelos eixos e pelas as 
retas y = x + 8p e y = - x +8p. R.: 
 112
3
 p² 
05. Ache a área da região entre a parábola y2 = 4x e a reta y = 2x – 4. R.: 9 u.q.