EXERCICIOS DE CALCULO II LISTA 5

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EXERCÍCIOS DE CÁLCULO II – LISTA 5 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA DE BASE a 
 
 
Função Exponencial de base a. 
Definição. Se a for um número positivo qualquer e x um número real qualquer, então a função f 
definida por f(x) = ax, será chamada função exponencial de base a. 
Teorema. Se x e y forem números reais quaisquer e a for positivo, então 
i) ax. ay = ax+y 
 ii) ax ÷ ay = ax−y 
 iii) (ax)y = axy 
Teorema. Se a for um número positivo qualquer e u uma função diferenciável de x, então 
Dx(a
u) = au (ln a) Dxu 
Teorema. Se a for um número positivo qualquer, diferente de 1, então 
∫ 𝑎𝑢𝑑𝑢 =
𝑎𝑢
ln 𝑎
+ 𝐶 
Função Logarítmica de base a. 
Definição. Se a for um número positivo qualquer, diferente de 1, a função logarítmica 
de base a será a inversa da função exponencial de base a. Assim sendo, é definida por 
y = loga x se, e somente se, a
y = x. 
Teorema. loga 1 = 0 
Teorema. Se x e y são números positivos quaisquer, então loga(x y) = loga x + loga y 
Teorema. Se x e y são números positivos quaisquer, então loga (
x
y
) = loga x − loga y 
Teorema.Se x e y são ambos positivos ou são ambos negativos, então 
loga(x y) = loga|x| + loga|y| e loga (
x
y
) = loga|x| − loga|y| 
NOTA. i) loga x =
ln 𝑥
ln 𝑎
 ii) loga e =
1
ln a
 
 
Teorema. Se u for uma função diferenciável de x, então 
Dx(loga u) =
loge a
u
 Dxu ⟺ Dx(loga u) =
1
(ln a)u
 Dxu 
EXERCÍCIOS 
01. Calcular a derivada. 
 a) y = 43𝑥² b) y = 𝜋sen 𝑥 c) f(x) = 𝜋𝑥 tg 𝑥 
 d) h(x) = 25𝑥34𝑥² e) 𝑦 = 2cos 4𝑥 f) f(t) = sec 3𝑡
2
 
RESPOSTAS 
 a) 43x²(ln 4)6 b) πsen x(ln π) cos x c) πx tg x(ln π)(x sec² x + tg x) 
 d) 25x34x²(5 ln 2 + 8x ln 3) e) (−4 ln 2)2cos 4x sen 4x f) 3t
2
sec 3t
2
tg 3t
2
(2t ln 3) 
 
02. Calcular as integrais. 
 a) ∫ 2−θdθ
1
0
 b) ∫ x2x
2
dx
√2
1
 c) ∫ 7cos t sen t dt
π 2⁄
0
 d) ∫ (
1
3
)
tg x
sec² x dx
π 4⁄
0
 e) ∫
2ln x
x
 
2
1
 
RESPOSTA 
a) 
1
2 ln 2
 b) 
1
ln 2
 c) 
6
ln 7
 d) 
2
3 ln 3
 e) 
2ln 2−1
ln 2
 
 
 
 
 
 
03. Determinar as derivadas das funções. 
a) y = log
2
5θ b) y = log
4
x + log
4
x² c) y = log
2
x . log
4
x d) y = log
3 [(
x+1
x−1
)
ln 3
] 
e) y = θ sen(log7 θ) f) y = log5 e
x g) y = 3log2 x 
RESPOSTAS 
a) y′ =
1
θ ln 2
 b) y′ =
3
x ln 4
 c) y′ =
2 ln x
x(ln 2)(ln 4)
 d) y′ =
−2
(x²−1)
 
e) y′ = sen(log7 θ) +
1
ln 7
cos(log7 θ) f) y
′ =
1
ln 5
 g) y′ =
1
x
(log2 3)3
log2 x