Mineralogia I 6 projeções cristalográficas

Prévia do material em texto

Mineralogia I 
 
Projeções Cristalográficas 
 
Universidade Federal de Sergipe 
Departamento de Geologia 
Professor: Carlos Marques de Sá 
 
Sumário 
 
Introdução 
Projeção Esférica 
Projeção Estereográfica 
Projeção Gnomónica 
Cálculo Cristalográfico 
2 
Introdução 
• Uma projeção cristalográfica consiste na 
representação de um poliedro cristalino num 
plano. 
• Um dos tipos mais comuns é aquele em que o 
cristal é representado em perspetiva, que se 
designa de projeção clinográfica. 
• Nela se mantém o paralelismo entre arestas 
do cristal permitindo o fácil reconhecimento 
de zonas. 
3 
Introdução 
• Em Cristalografia são no entanto muito mais 
importantes as projeções planas, porque além 
de porem em evidência as zonas e a simetria 
do cristal, conservam os valores angulares 
nelas medidos. 
• Esta é uma condição indispensável ao estudo 
analítico dos cristais. 
• A projeção que melhor satisfaz esses 
requisitos é a projeção estereográfica. 
4 
Projeção Esférica 
• Na Projeção Esférica supõem-se uma esfera de raio 
arbitrário centrada na origem do sistema de eixos 
coordenados do cristal a projetar. 
• Imaginamos o cristal dentro de uma esfera 
transparente e marcamos os pólos das faces nessa 
esfera. 
• A partir do centro baixam-se normais aos planos das 
faces do cristal. Os pontos em que essas normais 
intersectam a superfície esférica designam-se por pólos 
das faces. 
• Assim, numa representação esférica cada face é 
representada por um ponto na superfície esférica e o 
cristal é um conjunto desses pontos. 
5 
Projeção Esférica 
• Representação 
de uma 
projecção 
esférica com 
normais através 
dos pólos das 
faces. 
• Os pólos das 
faces 
tautozonais 
definem 
círculos 
máximos. 
6 
Projeção Esférica 
• O eixo da zona é o diâmetro da esfera de Miller 
(esfera imaginária) normal ao plano do referido 
círculo máximo. 
• Os pontos extremos desse diâmetro designam-se 
por pólos da zona. 
7 
Os pólos axiais 
são os pontos em 
que qualquer eixo 
(de simetria ou 
coordenado) 
intersecta a esfera 
de Miller. 
Projeção Esférica 
• A posição de um dado 
pólo pode ser definida 
mediante coordenadas 
angulares, à semelhança 
da localização de qualquer 
ponto no globo terrestre. 
• A projeção do pólo da 
face vai ser dada por uma 
normal ao pólo da face. 
 
8 
A projeção esférica à 
semelhança do globo terrestre. 
Projeção Esférica 
• As coordenadas definidoras de 
um pólo P são: 
• Azimute ou longitudes: arco do 
equador medido no sentido 
retrógrado a partir do pólo de 
(010) até ao meridiano do pólo 
considerado. 
• Distância polar: inclinação ou co-
latitude – arco do meridiano do 
pólo considerado, medido a 
partir de um dos pólos da esfera 
até àquele pólo. 
9 
Definição de 
coordenadas de um 
pólo de face P 
Projeção Esférica 
• Neste tipo de projeção preservam-se as relações 
angulares determinadas no poliedro projetado. 
• Três polos de faces definem um triângulo esférico. Os 
lados desse triângulo esférico, cujos vértices são os 
polos das faces, são iguais aos ângulos definidos pelas 
normais àquelas faces. 
 
10 
Projeção Esférica 
• Os ângulos nos vértices de um triângulo esférico 
definido pelos pólos de três faces de um poliedro 
são os complementos dos ângulos definidos pelas 
arestas de interseção dessas faces, duas a duas. 
11 
Projeção Esférica 
• Coordenadas esféricas: 
• A posição de um ponto numa 
esfera é dada por uma 
latitude e uma longitude. 
• No exemplo ρ é a co-latitude, 
a latitude é 90° - ρ. 
• A longitude é φ. 
• Uma normal a uma face é 
indicada pelas coordenadas 
esféricas ρ e φ dessa normal. 
 
12 
Projeção Estereográfica 
• A projeção esférica 
não é prática… 
• A Projecção 
Estereográfica é 
uma representação 
derivada da 
projecção esférica 
em que é 
representada num 
plano um dos 
hemisférios da 
projecção esférica. 
13 
Projeção Estereográfica 
• Para passar de uma projeção 
esférica para uma projeção 
estereográfica é preciso 
definir dois elementos: 
• O plano de projeção; 
• Projectantes, que são retas 
cujas interseções com o plano 
da projeção são as projeções 
dos pólos esféricos. 
14 
Projeção Estereográfica 
• Na projeção estereográfica o plano de projeção é 
o plano equatorial da esfera de Miller. 
• A esta circunferência onde se situam as projeções 
chama-se círculo fundamental. 
• As projetantes são definidas a partir de um dos 
pólos N ou S da esfera de Miller e são rectas em 
direção ao pólo esférico da face, que projectam 
um pólo P da face no plano fundamental. 
• Tomando como referência o pólo sul são apenas 
projetáveis os pólos das faces situadas no 
hemisfério norte e vice-versa. 
15 
Projeção Estereográfica 
• A projeção estereográfica completa de um 
poliedro exige assim duas projeções. 
• Mas num cristal com centro de simetria 
apenas uma é suficiente porque a outra será 
simétrica da primeira. 
16 
Ilustração de projeção de 
arcos de circunferência no 
plano equatorial de uma 
esfera de Miller. 
Arcos de circunferência que 
contenham o ponto de vista 
projetam-se segundo retas. 
Projecção Estereográfica 
• O ponto de vista da projecção é o “pólo sul” da 
projecção esférica. 
17 
Projecção Estereográfica 
A cinzento temos o 
Plano Equatorial. 
Neste plano faz-se a 
representação a 
duas dimensões dos 
polos das faces 
projectados da 
projecção esférica 
original. 
Esta é a projecção 
estereográfica. 
18 
Projecção Estereográfica 
Exemplo: 
D e E são os pólos da projecção 
esférica. 
D' e E' são os pólos da projecção 
estereográfica 
 
<ODS = <OSD 
<ODS+<OSD = <NOD = r 
Logo <OSD = r/2 ; OS = r 
tan r/2 = OD’/r 
OD' = r tan r/2 
19 
Projeção Estereográfica 
1. Coloque o cristal no centro de uma 
esfera. O eixo c é vertical, o b 
aponta para Este. 
2. Desenhe uma normal a cada face. 
Desloque a normal até esta 
interceptar o centro C da esfera. 
3. Marque a intersecção D da normal 
N com a esfera. 
4. Conecte a intersecção do ponto D 
com o pólo Sul da esfera. 
5. A intersecção (P) da linha de 
conexão PS com o plano equatorial 
da esfera representa a projecção 
estereográfica da face. 
20 
Down (S) 
Up (N) 
D 
P C 
equator 
plane 
W E 
Como se faz? 
Projecção Estereográfica 
• Em vez da normal a uma 
face, a própria face pode 
ser projetada no plano 
equatorial. 
• A face é primeiro 
expandida de modo a 
intersectar a esfera de 
projeção. 
• A face expandida é 
movida até que ela passe 
no centro da esfera. 
21 
Projeção Estereográfica 
• A linha de intersecção 
da face ampliada com a 
esfera é então 
projetada no plano 
equatorial, ligando cada 
ponto das projectantes 
com o pólo sul. 
• Conectando esses 
pontos no plano 
equatorial temos a face 
projetada. 
22 
Projeção Estereográfica 
• Voltando à figura já 
mostrada verifica-
se que (111) (100) 
(11-1) (01-1) (-100) 
são coplanares, ou 
seja são polos de 
faces que 
pertencem a uma 
zona e por isso se 
encontram no 
mesmo círculo 
maior. 
23 
Projeção Estereográfica 
24 
Tipos de zonas 
segundo a sua 
projeção 
estereográfica. 
Projeção 
estereográfica num 
plano normal a Z 
(001). 
Como vimos as 
faces de uma dada 
zona têm os seus 
pólos esféricos ao 
longo de círculos 
máximos. 
Projecção Estereográfica 
• Para facilitar o 
trabalho de projeção 
utiliza-se a rede de 
Wulff (rede 
estereográfica 
equatorial). 
• Com esta rede, 
impressa em papel,e 
papel vegetal por cima 
podem projetar-se os 
pólos das faces. 
25 
Projeção Estereográfica 
• As 
circunferências 
maiores 
dispõem-se na 
rede de Wulff 
de 10° em 10°, 
conforme 
mostra a figura: 
• (nota, na figura 
faltam algumas 
circunferências) 
26 
Projeção Estereográfica 
• Circunferências menores correspondem aos ângulos 
entre dois pontos numa circunferência maior, ou seja o 
ângulo entre duas linhas coplanares. 
27 
Projeção Estereográfica 
• As circunferências maiores são as 
projeções estereográficas de um 
plano inclinado de um ângulo ρ. 
• As circunferências maiores são a 
projeção de um plano inclinado 
que corta a esfera de Miller e 
correspondem à união de todos 
os pontos projetados no plano 
equatorial pelas projetantes 
definidas de um pólo à 
interseção do plano. 
 
28 
Projeção Estereográfica 
• A rede de Wulff 
combina os 
grandes 
círculos e os 
pequenos 
círculos em 
incrementos de 
2°. 
29 
Projeção Estereográfica 
• Propriedades da projeção estereográfica: 
1. Arcos de circunferência projectam-se 
estereograficamente segundo arcos de 
circunferência, salvo quando são diâmetros do 
círculo fundamental. 
2. A projecção estereográfica é isogónica, isto é, os 
ângulos projetam-se em verdadeira grandeza. 
3. Planos contendo o ponto de vista da projeção 
estereográfica e o pólo de uma zona 
determinam no círculo fundamental e nessa 
zona arcos iguais. 
30 
Projecção Estereográfica 
• Rede de Wulff (ou estereográfica) – para se projectar 
estereograficamente um plano, a longitude e latitude 
têm que ser projectadas no plano equatorial. As 
longitudes são as grandes circunferências “verticais” e 
as latitudes as pequenas circunferências “horizontais”. 
31 
Usando a rede de Wulff  = 60° 
r = 40° 
1. 
E 
Desenho o círculo do 
equador no papel 
vegetal e marque as 
direcções principais 
(neste caso basta o E) 
2. 
E 
Coloque uma marca a 
60º do E no círculo 
primitivo marcando 
assim  
 = 60° 
Projecção Estereográfica 
Exemplo - dados os 
ângulos da face: 
32 
Usando a rede de Wulff (continuação) 
4. 
Rodando o vegetal novamente para a 
posição inicial o ponto marcado 
apresenta-se na posição que 
representa a sua projecção 
estereográfica de coordenadas 
esféricas r = 40° e  = 60° 
3. 
Rode o papel vegetal posicionando a 
marca de  dos 60º na posição em que 
estava o E. 
Marque 40º desde o centro da 
circunferência em direcção à posição E 
agora ocupado por  . 
 = 60° 
r = 40° 
E 
 = 60° 
r = 40° 
Projecção Estereográfica 
33 
Para se fazer uma projeção estereográfica de um 
poliedro cristalino pode utilizar-se um goniómetro 
de contacto para medir os ângulos das faces. 
Projecção Estereográfica 
34 
Projeção Estereográfica 
• Sistema Isométrico 
• Eixos cristalográficos – neste sistema os eixos 
têm todos o mesmo comprimento e formam 
todos ângulos rectos entre si, sendo portanto 
intermutáveis e todos designáveis pela letra a. 
• Um dos eixos a encontra-se orientado na 
horizontal num sentido perpendicular a outro 
também horizontal, ambos sendo 
perpendiculares a um outro vertical. 
• Como Projetar então um modelo do sistema 
cúbico? 
• Tome-se como exemplo o ilustrado 
anteriormente: 
35 
Projeção Estereográfica 
• Projeção esférica dos pólos das faces. 
36 
Zonas 
Projeção Estereográfica 
• Projeção Estereográfica no plano equatorial 
(circunferência primitiva) 
37 
Projeção Estereográfica 
• Projetamos (100) (001) (010) (110) (101) 
(011), marcando com ponto a cheio (.) a metade 
superior e ponto aberto (o) a metade inferior. 
• Como projetar (111)? 
a) Projete (110) e em seguida projete (111) entre 
(110) e (001); (110)<(111) = 36,5° 
b) Sem medições: (111) tem que se encontrar 
entre (110) e (001) assim como (100) e (011). A 
interseção dos dois círculos maiores definidos 
pelas zonas destes conjuntos de faces cruza no 
pólo (111). 
38 
Projeção Estereográfica 
• Projeção Estereográfica do cristal isométrico 
39 
Projecção Estereográfica 
Pólos das faces zonas principais Operadores de Simetria 
Finalmente obtém-se as projecções: 
40 
Projeção Estereográfica 
• Projeção estereográfica de um cristal 
ortorrômbico de forsterite 
41 
Face hkl ρ φ 
a (100) 90° 90° 
b (010) 90° 0° 
c (001) 0° 0° 
m (210) 90° 22,8° 
d (101) 51,5° 90° 
k (031) 63,3° 0° 
e (212) 72,8° 22,8° 
Projeção Estereográfica 
• Projeção estereográfica 
de cristal de forsterita: 
1. Marque os eixos na 
rede de Wulff de acordo 
com a configuração 
padrão para cristais 
ortorrômbicos, em que 
o eixo c é perpendicular 
ao círculo primitivo, a é 
um eixo paralelo ao 
eixo N-S e b é um eixo 
paralelo a E-W. 
2. Marque todos os pólos 
das faces usando os 
ângulos ρ e φ 
previamente medidos. 
42 
(010) b 
(100) a 
(001) c 
(210) 
(212) 
(101) 
(031) 
Projeção Estereográfica 
• Recapitulando: 
• A esfera é a projeção esférica, 
em que os pólos das faces 
são projectados. É uma 
representação a 3D. 
• O plano cinzento (plano 
equatorial) é a nossa 
representação a 2D em que 
se projectam os pólos 
esféricos das faces – é a 
projeção estereográfica. 
 
43 
Fig 6.3 
Projeção Estereográfica 
• D e E são pólos 
esféricos; 
• D’ e E’ são pólos 
estereográficos; 
• A distância GD’ = 
f(ρ) 
• Se ρ = 90° D’ = G 
• Se ρ = 0° D’ = O 
44 
Projeção Gnomonica 
• Utiliza-se na projeção de 
cristais e para resolução de 
problemas de 
radiocristalografia. 
• A projeção gnomónica pode 
ser descrita também a partir 
de uma projeção esférica. 
• É definida por um plano de 
projeção e projectantes. 
45 
Projeção Gnomónica 
• Propriedades da Projeção Gnomónica: 
• Círculos máximos da esfera de projeção 
projetam-se segundo linhas rectas. 
• Círculos menores da esfera de projeção 
projectam-se segundo secções cónicas. 
• A projecção não é isogônica. 
• Pólos situados no equador da esfera de 
projeção projectam-se no infinito. 
46 
Projeção Gnomónica 
47 
Cálculo Cristalográfico 
• Objectivos do Cálculo Cristalográfico 
• Determinação das constantes axiais de um 
cristal (α, β, γ, e a, b, c); 
• Determinação dos indíces de Miller das 
formas simples ocorrentes no cristal. 
• Como já vimos, considera-se por norma o 
parâmetro b igual à unidade e com ele se 
determinam os valores dos outros, resultando 
na relação axial: a:1:c. 
48 
Cálculo Cristalográfico 
• Alguns cálculos resolvem-se melhor através de 
expressões de cálculo trigonométrico ou 
vetorial, outros através de redes 
estereográficas ou combinando os dois 
métodos. 
 
• Expressões gerais: 
• OA = a/h, OB = b/k e OC = c/l 
49 
Cálculo Cristalográfico 
• Se tomarmos os ângulos que a normal à face faz com X, 
Y e Z, temos: 
• OP = a/h cos PX = b/k cos PY = c/l cos PZ 
 
50 
Cálculo Cristalográfico 
• Podemos assim determinar a relação axial a:1:c 
conhecido o símbolo milleriano (hkl), conhecendo os 
ângulos que a normal a uma face (hkl) faz com os eixos. 
• a:1:c = 
ℎ cos 𝑃𝑌
𝑘 cos 𝑃𝑋
 : 1 : 
𝑙 cos 𝑃𝑌
𝑘 cos 𝑃𝑍
 
• Determinar o símbolo de Miller de qualquer face ou 
plano, conhecendo os co-senos da sua normal e a 
relação axial. 
• h:k:l = 
𝑎 cos 𝑃𝑋
cos 𝑃𝑌
 : 1 : 
𝑐 cos 𝑃𝑍
cos 𝑃𝑌
 
51 
Cálculo Cristalográfico 
• A determinação 
dos ângulos que 
as normais às 
faces fazem 
com os eixos 
cristalográficos 
consegue-se 
mediante 
projeção 
estereográfica. 
52 
Cálculo Cristalográfico 
• Pode também calcular-se arelação existente 
entre os parâmetros axiais a, b e c e os ângulos 
definidos por certas zonas do cristal, bem como 
outras relações angulares. 
• Existem também fórmulas específicas para o 
cálculo em cristais dos vários sistemas. 
• Para aprofundar este tema e conhecer todo o 
formulário leia o capítulo 7 do livro “Elementos 
de Cristalografia” de F.S. Borges (1996). 
53 
Referências Bibliográficas 
• Borges, F.S. (1982). “Elementos de Cristalografia”. Pub. Fundação Calouste 
Gulbenkian. 
• Hurlbut, C.S. (1959). Dana’s Manual of Mineralogy. John Wiley & Sons Inc., New 
York, 609p. 
• Deer, W.A., Howie, R.A., Zussman, J. (1981). “Minerais Constituintes das Rochas – 
Uma Introdução”. Publicações Fundação Calouste Gulbenkian. 
• Farndon, J. (2007) “The Complete Guide to Rocks & Minerals”. Hermes House – 
Anness Publishing Ltd. 
• Gass, I.G., Smith, P.J., Wilson, R.C.L. (1984) “Vamos Compreender a Terra”. Livraria 
Almedina Coimbra. 
• Vanders, I., Kerr, P.F. (1966). Mineral Recognition. John Wiley & Sons, New York, 
316p. 
• http://www.mindat.org/ 
• http://webmineral.com/ 
 
54 
Obrigado pela vossa atenção! 
55