Colisões Elasticas

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Física Geral I - F -128 
 
Aula 10 
Colisões 
Prof.	
  Thiago	
  Alegre	
  
2o	
  semestre,	
  2012	
  
	
  
Antes 
•
•
•
•
av1

av2

dv1

 
v2d
1m
 m2
1m
 m2
Durante 
Depois 
 Em Física, dá-se o nome de colisão a uma interação entre duas partículas (dois 
corpos) cuja duração é extremamente curta na escala de tempo humana e onde há 
troca de momento linear e energia. Queremos estudar as possíveis situações finais 
depois que as partículas se afastam da região de interação. 
O que é uma colisão? 
F128 – 2o Semestre de 2012 2 
Exemplo: Atmosfera 
F128 – 2o Semestre de 2012 3 
Partículas carregadas do vento solar são 
aceleradas pelas linhas de campo magnético 
terrestre. Elas colidem com as moléculas da 
atmosfera, que ganham energia interna (seus 
elétrons são “excitados”). Posteriormente, ao 
perder essa energia excedente, as moléculas 
emitem luz, criando a Aurora (Boreal ou 
Austral). 
Exemplo histórico: estrutura do átomo 
F128 – 2o Semestre de 2012 4 
 Ernest Rutherford (1911): analisando o resultado do bombardeio de átomos de 
ouro com partículas alfa, criou o primeiro modelo para o átomo: um núcleo maciço 
duro, pequeno e positivo, cercado por uma nuvem eletrônica negativa. Primeiro 
experimento de colisão de partículas sub-atômicas. 
Modelo de Thompson: previa 
deflexão pequena das partículas 
alfa 
Rutherford observou grandes deflexões, 
sugerindo um núcleo duro e pequeno 
Exemplo: Partículas elementares 
F128 – 2o Semestre de 2012 5 
Criação de pares elétron-pósitron 
•  Colisões entre partículas elementares 
(elétron-elétron, elétron-próton, etc.) são 
responsáveis por quase toda a informação 
que temos sobre as forças fundamentais da 
natureza (exceto a gravitacional). 
•  Essas colisões são geradas a partir da 
aceleração das partículas elementares em 
grandes aceleradores de partículas 
(FermiLab, SLAC e LHC, “Large Hadron 
Collider”). 
Exemplo: Colisões entre átomos/moléculas; 
F128 – 2o Semestre de 2012 6 
Algumas orientações 
relativas não favorecem 
a reação química 
 Na verdade, a técnica de bombardear um alvo por um feixe de partículas, 
estudando a seguir os resultados das colisões das partículas do feixe com o alvo, 
continua sendo, hoje em dia, um dos instrumentos mais poderosos em Física para 
um conhecimento melhor das chamadas “partículas elementares” e suas 
interações. 
Reações químicas 
Exemplos: Colisões entre núcleos em estrelas, reatores 
F128 – 2o Semestre de 2012 7 
4 1H + 2 e- à 4He + 2 neutrinos + 6 fótons 
Reação nuclear principal no Sol: 
Energia liberada = 26 MeV 
Coração do reator nuclear 
1H: núcleo de hidrogênio 
4He: núcleo de He ou partícula α
Uma das reações de fissão do 235U: 
235U + n 236U* 140Xe + 94Sr + 2n 
Energia liberada 200 MeV 
(reação em cadeia) 
≈
→ →
Características gerais de uma colisão 
F128 – 2o Semestre de 2012 8 
 As forças de interação entre duas partículas que colidem são forças muito 
intensas e agem durante um intervalo de tempo extremamente curto. 
 

F21 

F12
2m1
m
a) Forças de interação 
 Não é necessário conhecer-se exatamente a forma do gráfico F x t, pois não 
nos interessa saber o que acontece durante a colisão. O que interessa saber é 
como se encontra o sistema imediatamente depois da colisão, conhecendo-se 
como se encontrava imediatamente antes dela. Na realidade, é o resultado da 
colisão que poderá nos dar informações a respeito da força de interação no 
sistema que colide, e não o inverso. 
 Essencialmente, é isso que se faz num acelerador de partículas como o 
Fermilab ou o LHC. 
 A integral temporal da força é chamada impulso da força: 
Impulso = área 
sob a curva 
(1D) 
 Ou seja, a variação do momento linear da partícula 
durante um intervalo de tempo é igual ao impulso da força 
que age sobre ela neste intervalo. 
pdtFJ
f
i
t
t
 Δ==∫
ppppddt
dt
pddtF i
t
t
p
p
f
t
t
f
i
f
i
f
i




Δ=−=== ∫ ∫∫
 O resultado líquido da força de interação é fazer variar o 
momento linear das partículas. Pela 2a lei de Newton: 
 Como em geral não conhecemos F(t), recorremos à 
definição da força média durante o intervalo de tempo da 
colisão: 
Então: tFdtF
f
i
t
t
Δ〉〈=∫

tFp Δ〉〈=Δ
 ou 
t
pF
Δ
Δ=〉〈

t
pF
Δ
Δ=〉〈
Forças de Interação 
F128 – 2o Semestre de 2012 9 
Impulso numa colisão de bolas de bilhar. 
F128 – 2o Semestre de 2012 10 
⎩
⎨
⎧
=Δ
≅
m/s 0,1
kg 3,0
v
m
 Suponhamos que, ao ser atingida pela bola branca, uma 
bola de bilhar adquira a velocidade de 1,0 m/s. 
A variação de seu momento linear da bola atingida é, em 
módulo: Δp = mΔv ≈ 0,3 kg m/s = J
que é o impulso transmitido pela bola branca na colisão. 
 Se o contacto dura 10-3 s, a força média exercida na bola 
é 
 
〈F〉 = Δp
Δt
=
J
Δt
= 300 N
 (Comparando com a força peso das bolas, P = 3,0 N, 
vê-se que a força de interação é muito maior que as forças 
externas.) 
=Δt
, 
〉〈F
 Vimos que durante uma colisão as forças internas do sistema são >> que as 
forças externas que podem agir sobre ele. Durante a colisão podemos, pois, 
desprezar as forças externas (já que o sistema é agora isolado) e dizer que: 
 “ imediatamente após uma colisão, o momento total do sistema que colide é 
igual ao momento total do sistema imediatamente antes da colisão.” 
 (Em realidade, o momento total se conserva também durante a colisão, mas o 
que acontece durante a colisão não é geralmente acessível às medidas). Se 
houver forças externas agindo sobre o sistema, é bom lembrar que o momento 
total não se conserva durante um intervalo de tempo finito qualquer, seja antes ou 
depois da colisão. 
21122112 JJFF

−=⇒−= ⇒ Δ
p1 =−Δ
p2
 
p1d −
p1a = −
p2d −
p2a( ) =
p2a−
p2d
 
p1a +
p2a =
p1d +
p2d ⇒

Pa =

Pd
 Obviamente, recuperamos a lei de conservação de momento linear (impulso 
total nulo). 
Da 3a lei de Newton: 
O momento linear é apenas transferido de uma partícula à outra. 
(1) 
De (1) : 
b) Impulso e Momento linear total do sistema 
F128 – 2o Semestre de 2012 11 
Força média de um jato de areia: colisões em série 
F128 – 2o Semestre de 2012 12 
Cada colisão transfere -Dp para o alvo, onde Dp é 
a variação de momento linear de um projétil em 
uma colisão. Se há n colisões num intervalo Dt, o 
impulso total transferido ao alvo é: 
pnJ Δ−=Δ
A força média correspondente é: 
 
〈F〉 = ΔJ
Δt
= −
n
Δt
Δp
Se a colisão é tal que as 
partículas são absorvidas: 
Se a colisão é tal que as 
partículas ricocheteiam: 
 
Δp = mvd − mva = 0− mvinc
⇒ 〈F〉 = n
Δt
m vinc 
Δp = mvd − mva = − mvinc− mvinc = −2 mvinc
⇒ 〈F〉= 2 n
Δt
mvinc
 Uma série de projéteis, todos com o mesmo momento linear, colide com um 
 alvo fixo. Discutir a força média exercida sobre o alvo. 
alvo 
projéteis 
Q1: Impulso e momento linear 
F128 – 2o Semestre de 2012 13 
A.  a maior velocidade; 
B.  a maior aceleração; 
C.  o maior momento linear; 
D.  o menor momento linear; 
E.  o mesmo momento linear que o outro. 
[MC Types] 
 Dois corpos de massas diferentes, em repouso sobre uma 
superfície sem atrito, são submetidos a forças horizontais iguais 
agindo durante o mesmo intervalo de tempo. Assim que essas forças 
forem removidas, o corpo de massa maior terá: 
c) Energia cinética total: Colisões elásticas e inelásticas 
F128 – 2o Semestre de 2012 14 
 Já vimos que colisões, por envolverem basicamente apenas forçasinternas, 
conservam o momento linear. E conservam a energia? 
 Embora a energia total seja sempre conservada, pode haver transformação da 
energia cinética (inicialmente só há energia cinética) em outras formas de energia 
(potencial, interna na forma de vibrações, calor, perdas por geração de ondas 
sonoras, etc.). 
 Se a energia cinética inicial do sistema é totalmente recuperada após a colisão, 
 a colisão é chamada de colisão elástica. 
da KK =⇒elástica colisãouma Em
 Se não, a colisão é chamada de colisão inelástica. Note que se houver 
aumento da energia cinética (quando há conversão de energia interna em cinética: 
explosão, por exemplo), a colisão também é inelástica. 
Colisões elásticas unidimensionais 
F128 – 2o Semestre de 2012 15 
Lembramos que: ( )
m
pmv
m
mvK
22
1
2
1 222 ===
Antes: 
Depois: 
Assim, as equações básicas para uma colisão elástica são: 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+=+
+=+
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2121
2222 m
p
m
p
m
p
m
p
pppp
ddaa
ddaa (Conservação de momento linear) 
( Conservação de energia cinética) 
av2

2m
av1

1m
dv1

1m
dv2

2m
Colisões elásticas unidimensionais 
F128 – 2o Semestre de 2012 16 
No caso unidimensional, estas equações são 
suficientes para determinar o estado final do 
sistema, conhecido o estado inicial. Não o 
são para o caso bidimensional. 
Sendo dada a razão entre as massas (ou as massas ), escrevemos: 
 
k =
m1
m2
 m1v1d +m2v2d = m1v1a +m2v2a
2
2
2
11
2
22
2
11 aadd vmvmvmvm +=+
 k(v1d− v1a ) = − (v2d− v2a )
 k(v1d
2 − v1a
2 ) = − (v2d
2 − v2a
2 )
 Eliminando-se as soluções triviais v1d = v1a e v2d = v2a podemos dividir (2) por 
(1), obtendo: 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+=+
+=+
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2121
2222 m
p
m
p
m
p
m
p
pppp
ddaa
ddaa
 k(v1d− v1a ) = − (v2d− v2a )
 v1d + v1a = v2d + v2a
(1) 
(2) 
21 e mm
ou finalmente: 
aadd vvkvvk 2121 +=+
 v1d−v2d =− (v1a−v2a )
(3) 
(4) 
A equação (4) mostra que a velocidade 
relativa troca de sinal em toda colisão 
elástica unidimensional, isto é, ela é 
simplesmente invertida pela colisão. 
De (3) e (4) tira-se que: 
1
2)1( 21
1 +
+−=
k
vvkv aad
 
v2d =
2kv1a− (k−1) v2a
k +1
Explicitamente em termos das massas das partículas, podemos escrever: 
aad
aad
v
mm
mmv
mm
mv
v
mm
mv
mm
mmv
2
21
21
1
21
1
2
2
21
2
1
21
21
1
2
2
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
−−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
−=
Colisões elásticas unidimensionais 
F128 – 2o Semestre de 2012 17 
( o estado final do sistema é idêntico ao estado inicial: As partículas trocam suas 
velocidades! 
Colisões elásticas unidimensionais: casos 
particulares 
F128 – 2o Semestre de 2012 18 
 Em particular, se a partícula alvo 
está inicialmente em repouso, a 
partícula incidente para após a 
colisão, como no bilhar. Isto é: 
se 
1) massas iguais: (k =1) 
ad vv 12 =
ad vv 21 =
)( afastaprox vv =
 v2a = 0 ⇒ v1d = 0.
av1

1m
1m
Antes: 
Depois: 
av1

2m
2m
 v2a = 0
 v1d = 0
Isto pode acontecer! Pode isto acontecer? 
Exemplo: Um aliviador de stress para executivos 
F128 – 2o Semestre de 2012 19 
Colisões elásticas unidimensionais: casos 
particulares 
F128 – 2o Semestre de 2012 20 
aad
ad
vv
m
mv
vv
11
2
1
2
11
2 <<⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
≈
−≈
 A partícula incidente reverte sua velocidade e a partícula alvo passa a se 
mover lentamente, praticamente permanecendo em repouso. 
2) Alvo em repouso e 
ad vmm
mmv 1
21
21
1 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
−
=
ad vmm
mv 1
21
1
2
2
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
=
21 mm <<
)( afastaprox vv =
av1

1m
dv2

dv1

2m
2m
1m
Destas expressões resultam: 
Colisões elásticas unidimensionais: casos 
particulares 
F128 – 2o Semestre de 2012 21 
ad
ad
vv
vv
12
11
2≈
≈
 A partícula incidente não “sente” a colisão. A partícula alvo passa a se 
mover com o dobro da velocidade inicial da partícula incidente. 
3) Alvo em repouso e 
 
21 mm >>
ad vmm
mmv 1
21
21
1 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
−
=
ad vmm
mv 1
21
1
2
2
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
=
Antes 
Depois 
av1

dv1

dv2

1m
1m
2m
2m
Destas expressões resultam: 
 Voltando ao experimento com 
MTerra>> Mbilhar>> Mpingue-pongue: 
i) bola de basquete atingindo a Terra: 
iii) como altura é proporcional a v2: 
 
No referencial do 
laboratório 
Bola de pingue-pongue sobe a uma altura até 9 vezes mais altura inicial 
(sistema de “propulsão” usado por naves espaciais usando planetas e satélites naturais). 
ii) bola de pingue-pongue atingindo a bola de basquete: 
No referencial onde a bola 
de basquete está em repouso 
 vbd =−vba = v
 v'pd =−v'pa = 2v
 vpd =−3vpa = 3v
Exemplo 
F128 – 2o Semestre de 2012 22 
Q2: Colisão 
F128 – 2o Semestre de 2012 23 
A.  a partícula incidente está se movendo inicialmente muito depressa; 
B.  a partícula incidente está se movendo inicialmente muito devagar; 
C.  a partícula incidente tem massa muito maior que a partícula alvo; 
D.  a partícula incidente tem massa muito menor que a partícula alvo; 
E.  a partícula incidente e a partícula alvo têm mesma massa. 
[MC Types] 
 Quando uma partícula sofre uma colisão elástica frontal com outra 
partícula, inicialmente em repouso, a maior fração da energia cinética é 
transferida se: 
Moderação de nêutrons em reatores nucleares 
F128 – 2o Semestre de 2012 24 
Ø  Reatores nucleares a base de Urânio: p. ex. 235U + n 140Xe + 94Sr + 2n 
 Os nêutrons produzidos devem levar a novos processos de fissão, numa 
reação em cadeia. Entretanto, eles são muito energéticos e, por isso, pouco 
eficientes para gerar novas reações. É preciso desacelerá-los (“moderá-los”). 
Nêutrons ® partículas incidentes (m1) 
??????? ® partículas alvo (m2) 
•  Se m2<<m1, os nêutrons não “sentem” as colisões. 
•  Se m2>>m1, os nêutrons só são refletidos. 
•  Situação ideal: m1»m2 ad vmm
mmv 1
21
21
1 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
−=
•  Hidrogênio seria perfeito (mpróton » mnêutron), mas o próton captura o nêutron 
para formar o dêuteron. 
•  Deutério funciona D2O (água pesada). 
•  Também se usa carbono (grafite ou parafina) ou berílio. 
⇒
⇒
Colisões unidimensionais totalmente inelásticas 
F128 – 2o Semestre de 2012 25 
 Neste tipo de colisão, a partícula incidente “gruda” na partícula alvo. Pode-se 
provar que essa situação representa a perda máxima de energia cinética numa 
colisão inelástica em uma dimensão. 
( ) ⇒+=+ daa vmmvmvm 212211 CMaad vmm
vmvmv =
+
+=
21
2211
 Como o centro de massa coincide com as duas partículas“grudadas”, elas têm 
que se mover com a velocidade do centro de massa, que se mantém constante. A 
energia cinética final é a energia cinética associada ao movimento do CM. 
av2

2m
av1

1m
1m 2m+ 
dv

antes depois 
av1

Exemplo: Pêndulo balístico 
F128 – 2o Semestre de 2012 26 
ad vmm
mv 1
21
1
+
=
Conservação de energia mecânica após a colisão: 
gh
m
mmv a 2
1
21
1
+=
cm 5
km/h 400.1m/s 400m/s 05,08,92
01,0
01,4kg 4
g 10
12
1
=
==×××=⇒=
=
h
vm
m
a
 Colisão totalmente inelástica: 
∴+= da vmmvm )( 2111
 Uma bala se aloja num bloco de madeira e o conjunto se eleva de uma altura h. 
Qual é a velocidade da bala imediatamente antes da colisão?( ) ghvghmmvmm dd 2)(2
1
21
2
21 =∴+=+
Então: 
Numericamente, se: 
av1

Colisões elásticas bidimensionais 
F128 – 2o Semestre de 2012 27 
 Vamos considerar a partícula-alvo em repouso (v2a=0) 
( Conservação de momento linear) 
Esses 3 vetores definem um plano, 
chamado de plano de colisão. Isto é, a 
colisão sempre ocorre em um plano (colisão 
bi-dimensional). 
av1

2m
1m
Antes Depois 
dv1

2θ
1θ
11 cosθdv
11 sen θdv
22 cosθdv
22 sen θdv−
dv2

dda ppp 211
 +=
dp1

dp2

ap1

Colisões elásticas bidimensionais 
F128 – 2o Semestre de 2012 28 
Conservação do momento linear: 
Conservação da energia 
cinética: 
⎩
⎨
⎧
−=
+=
2211
22111
sensen0
coscos
θθ
θθ
dd
dda
pp
ppp
2
2
2
1
2
1
1
2
1
222 m
p
m
p
m
p dda +=
av1

2m
1m
Antes Depois 
dv1

2θ
1θ
11 cosθdv
11 senθdv
22 cosθdv
22 sen θdv−
dv2

Colisões elásticas bidimensionais 
F128 – 2o Semestre de 2012 29 
 Se tivermos m1, m2 e p1a , teremos 3 
equações e 4 incógnitas (p1d, p2d, q1, q2). 
O sistema é indeterminado. Precisamos 
de mais informação que pode ser, por 
exemplo, o parâmetro de impacto b da 
colisão de bolas de bilhar. 
b: parâmetro 
de impacto 
 Obs: supondo que a força entre as bolas é exatamente normal à superfície no 
ponto de contato, q2 fica definido a partir de b (a obtenção de q2 a partir de b 
requer sempre um modelo para a força de interação). 
2
2
2
1
2
1
1
2
1
222 m
p
m
p
m
p dda +=
2211
22111
sensen0
coscos
θθ
θθ
dd
dda
pp
ppp
−=
+=
Colisões elásticas bidimensionais : massas iguais 
F128 – 2o Semestre de 2012 30 
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
1
2
1
222 dda
dda ppp
m
p
m
p
m
p +=⇒+=
•  Nesse caso, podemos obter um resultado simples 
(Conservação de energia cinética) 
(Conservação de momento linear) 
Igualando as duas equações: 
o9021 =+θθ
)()( 2121
2
1211 ddddadda pppppppp
 +⋅+=⇒+=
dddda ppppp 21
2
2
2
1
2
1 2
 ⋅++=
⇒=⋅ 01 dd pp

É assim mesmo na mesa de sinuca? 
F128 – 2o Semestre de 2012 31 
1 2 90 ?
oθ θ+ =
 Na verdade, o movimento de rotação 
da bola branca, complica a análise. Embora 
as bolas saiam da colisão com direções 
perpendiculares entre si, após um curto 
tempo a bola branca toma um rumo 
diferente!! 
 Numa colisão elástica, uma partícula de massa m1=1,0 kg incide com velocidade 
v1a=10 m/s numa partícula de massa m2=2,0 kg, inicialmente em repouso. Se a 
colisão deflete a partícula 1 de um ângulo de q1 = 30o, qual é a velocidade da 
partícula 2 após a colisão? 
Da conservação de energia cinética: 
Reescrevendo com  = m2/m1: 
( )212122 dad ppp −= λ
2
2
2
1
2
1
1
2
1
222 m
p
m
p
m
p dda +=
Da figura temos: 
)()( 1111
2
2
112
dadad
dad
ppppp
ppp


−⋅−=
⇒−=
111
2
1
2
1
2
2 cos2 θdadad ppppp −+=
0)1(cos2)1( 21111
2
1 =−+−+ λθλ adad pppp Comparando : 
Substituindo os valores, temos: 
0
3
100
3
10
1
2
1 =−− dd vv
smv
smv
d
d
/6,2
/3,9
2
1
=
=
0
2 63=θ
2
2dp
dp1

dp2

ap1

1θ
Exemplo: Transferência de momento linear 
F128 – 2o Semestre de 2012 32 
 a) No RCM : o momento linear total do sistema é nulo, antes e depois da 
colisão: 
∴=+=+ 022112211 aadd VmVmVmVm
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−=−==
km
m
V
V
V
V
a
a
d
d 1
1
2
2
1
2
1 ou 
a
d
a
d
V
V
V
V
2
2
1
1 =
Mas, por conservação de energia adad VVVV 2211 ==⇒
Numa colisão elástica 1D repulsiva: 
ad VV 11 −=
isto é, a colisão inverte as 
velocidades das partículas no RCM, 
mantendo seus módulos. 
2
2
1
22
11
==
+=
+=
m
mk
vVv
vVv
CM
CM
ad VV 22 −=e 
e 
vCM 
Colisões elásticas unidimensionais 
F128 – 2o Semestre de 2012 33 
 b) No referencial do laboratório: 
aCMaCMCMd
aCMCMaCMd
vvvvvv
vvvvvv
222
111
2)(BCNEEDNE
2)(BANEEFNE
−=−+=+=+=
−=−−=−=−=
solução: 
aCMd
aCMd
vvv
vvv
22
11
2
2
−=
−=
Obs: Este formalismo também se aplica a 
colisões inelásticas, com exceção de que agora 
as velocidades “invertidas” são multiplicadas 
pelo coeficiente de restituição “e” dado por: 
vCM 
 Para passar do gráfico (V × t) no RCM para (v × t) no laboratório, faz-se uma 
translação de –vCM sobre o eixo dos tempos. Então: 
aa
dd
vv
vve
21
21
−
−−=
Colisões elásticas unidimensionais 
F128 – 2o Semestre de 2012 34