Introdução Cap 5

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Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 53 
 
5 CISALHAMENTO 
 
 Serão analisadas seções sujeitas a força cortante (V) e a momento torçor (T) que 
geram tensões de cisalhamento (τ ). 
5.1 Panorama de tensões principais numa viga de 
comportamento elástico linear. 
 Considere-se uma viga biapoiada sujeita a duas cargas concentradas de valor P, 
simetricamente dispostas no vão à distância a dos apoios, conforme mostra a Figura 
32a. As trajetórias de tensões principais estão esquematizadas na Figura 32b. 
 
 
O trecho inicial da viga compreendido entre o apoio e a carga concentrada está sujeito a 
momento fletor e a força cortante. No trecho compreendido entre as cargas 
concentradas, sujeito à flexão simples, a direção das tensões principais de tração é 
paralela ao eixo da viga. 
45°
>45°
<45°
trajetória de 1σ 
2trajetória de σ 
1σ 1σ 
1σ 2σ 
2σ 
2σ 
(a) diagrama de momento fletor e esforço cortante (b) trajetória das tensões
P
aa a
P
Mf
Q
Mf=P.a
V=P
P
Figura 32: diagrama de momento fletor e esforço cortante em uma viga simplesmente apoiada. 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 54 
 
5.2 Arranjos usuais de armadura nas vigas de concreto 
armado. 
Como se sabe, o concreto é um material de boa resistência à compressão (fcc), porém, de 
baixa resistência à tração (fct). Dessa forma, se a viga da primeira figura fosse de 
concreto armado ela tenderia a apresentar fissuras perpendiculares à tensão principal de 
tração (σ1), ou seja, fissuras paralelas à tensão principal de compressão (σ2). Pode-se 
notar que na flexão simples (trecho compreendido entre as cargas concentradas) as 
fissuras tendem a ser perpendiculares à LN; e na flexão combinada com cisalhamento 
(trecho compreendido entre a carga concentrada e o apoio), as fissuras tendem a se 
inclinar devido à força cortante. Neste caso diz-se que ocorre uma fissuração diagonal. 
 A idéia básica do concreto armado está na associação de dois materiais, concreto 
e armadura, de modo que esta última supra à deficiência à tração do primeiro. Para isso, 
a armadura deve ser posicionada de modo a “costurar” as fissuras de tração e, quando 
possível, paralelamente às tensões de tração. 
 As trajetórias de tensões de tração (Figura 32b) sugerem os seguintes arranjos 
práticos de armadura: 
 
 O estribo nunca é dispensado nas vigas devido, principalmente, a razões de 
ordem construtiva. O primeiro dos arranjos citados parece ser melhor porque a 
ferro dobrado
(cavalete)
ferro reto
 Seção
transversal
estribo
estribo
verticalP P
 
(a) Armadura longitudinal (reta + dobrada) + armadura transversal (estribo) 
 
ferro reto
 Seção
transversal
estribo
estribo
verticalP P
ferro reto
 
(b) Armadura longitudinal (reta) + armadura transversal (estribo) 
Figura 33: estribos posicionados a 45º e a 90º. 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 55 
 
armadura longitudinal acompanha, relativamente bem, as trajetórias de tensões 
principais de tração; os ensaios, contudo, têm mostrado o bom comportamento do 
segundo arranjo onde os estribos, distribuídos com pequeno espaçamento entre si, tem a 
função de resistir ao cisalhamento e a armadura longitudinal, à flexão e constitui 
esquema muito prático e de uso bastante comum. 
5.3 Método de verificação 
5.3.1 Modelo simplificado para o comportamento da viga (treliça 
clássica ou treliça de Mörsch) 
 O panorama de fissuração, que se implanta na viga por ocasião da ruptura, 
sugere um modelo em forma de treliça para o seu esquema resistente (Figura 34a). Esta 
treliça é constituída de banzos paralelos ao eixo da viga (banzo superior comprimido de 
concreto, e banzo inferior tracionado correspondente à armadura longitudinal de flexão), 
diagonais comprimidas de concreto inclinadas de 45º (bielas diagonais) e pendurais 
correspondentes à armadura transversal. Os esforços na treliça múltipla podem ser 
estimados através de uma treliça mais simples, isostática (Figura 34b), dita treliça 
clássica ou treliça de Mörsch. Cada pendural nesta treliça representa (z/s) estribos, da 
treliça original, o mesmo ocorrendo com a diagonal comprimida. 
 
 
Do equilíbrio do ponto J (Figura 34b) tem-se: dswd VR = e 2dcwd VR = 
 
(a) modelo em forma de treliça para o seu esquema resistente 
 
 
(b) modelo simplificado de treliça 
Figura 34: Modelo simplificado da treliça de Morsch. 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 56 
 
Tensão média na diagonal comprimida (biela comprimida de concreto): 
 
Conforme a figura acima (Figura 35), pode-se escrever que a tensão média na biela 
comprimida é dada através de: 
 
0
1
2
2
2
2 τσ ====
zb
V
zb
V
hb
R
w
d
w
d
w
cwd
cwd , onde, zb
V
w
d2
0 =τ (36) 
 
Como z ≅ d/1,15, tem-se, também que: 
 
wd
w
d
w
d
w
d
cwd db
V
db
V
zb
V τσ 3,23,2
15,1
22 ==≅= , onde, 
db
V
w
d
wd =τ (37) 
Tensão média no estribo: 
 
Sendo Asw a área total correspondente a um estribo, tem-se para o estribo usual de 2 
ramos: Asw = 2 As1 (As1 = área da seção da armadura do estribo). 
 
Conforme a Figura 36, tem-se: 
w
w
w
sw
d
w
wsw
d
sw
swd
sw
zb
sb
A
V
b
b
s
zA
V
A
s
z
R
ρ
τσ 0==== 
 
Figura 35: tensão média na biela compreimida (trelica simplificado da treliça). 
 
Figura 36: tensão média no estribo em uma determinada faixa de concreto. 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 57 
 
ou 
w
wd
w
sw
w
d
w
wsw
d
sw
d
sw
d
sw
swd
sw
bs
Adb
V
b
b
s
Ad
V
s
Ad
V
s
Ad
V
A
s
z
R
ρ
τσ 15,115,115,115,1
15,1
====≅= 
 
onde: 
z/s = número de estribos no comprimento z de viga e 
sb
A
w
s
w =ρ = taxa geométrica de armadura transversal 
5.3.2 Dimensionamento 
Verificação do Concreto 
Admite-se que a segurança de uma viga ao cisalhamento esteja devidamente atendida 
quando: 
 
wuwd ττ ≤ , sendo cdwu f3,0=τ (não maior do que 4,5 MPa) 
 
Com, 
db
V
w
d
wd =τ ( kfd VV γ= ) 
 
De resultados de análises experimentais, permite-se considerar na flexão simples: 
 
ckc f15,0=τ (em MPa) 
Cálculo dos Estribos 
Dessa forma, atribuindo à tensão de tração nos estribos o valor ydf , eles podem ser 
quantificados através da expressão: 
 
yd
cwd
w f
ττρ −= 15,1 (38) 
5.3.3 Armadura transversal mínima (estribo mínimo) 
 Exige-se em todos os elementos lineares submetidos a esforço cortante a taxa 
mínima de armadura dos estribos dada por: 
yk
ctm
w
sw
w f
f
sensb
A
2,0
)(min,
≥= αρ (39) 
onde: 
Asw éa área da seção transversal dos estribos; 
s é o espaçamento dos estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento 
estrutural; 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 58 
 
α é a inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural. 
Para estribos posicionados a 90º, α=1; 
bw é a largura média da alma, medida ao longo da altura útil da seção, respeitada a 
restrição indicada em (17.4.1.1.2 – NBR 6118/2003); 
fyk é a resistência ao escoamento do aço da armadura transversal; 
fct,m é a resistência à tração do concreto determinada por: 3/2ckmct, )f(3,0f = (em MPa). 
 
 O ângulo de inclinação α das armaduras transversais em relação ao eixo 
longitudinal do elemento estrutural deve estar situado no intervalo 45° ≤ α ≤ 90°. 
 
Fazem exceção à subseção anterior: 
ƒ os elementos estruturais lineares com bw > 5 d (em que d é a altura útil da 
seção), caso que deve ser tratado como laje (item 19.4 da NBR 6118/2003); 
ƒ as nervuras de lajes nervuradas, quando espaçadas de menos de 60 cm, também 
podem ser verificadas como lajes. Nesse caso deve ser tomada como base a 
soma das larguras das nervuras no trecho considerado, podendo ser dispensada a 
armadura transversal, quando atendido o disposto em 19.4.1 da NBR 6118/2003; 
ƒ os pilares e elementos lineares de fundação submetidos predominantemente à 
compressão, que atendam simultaneamente, na combinação mais desfavorável 
das ações em estado limite último, calculada a seção em estádio I, às condições 
seguintes: 
o em nenhum ponto deve ser ultrapassada a tensão fctk; 
o VSd ≤ Vc, sendo Vc definido em 17.4.2.2 da NBR 6118/2003. 
Cortante resistido pela armadura mínima 
A esta taxa de armadura ( min,wρ ) do estribo mínimo, corresponde uma força cortante 
Vd,min, determinada por: 
 ( )
61,1
min,
min,
cwydw
d
fdb
V
τρ += (40) 
5.3.4 Cobertura do diagrama de força cortante 
 Costuma-se garantir a resistência ao cisalhamento, adotando-se estribos 
uniformes por trechos de viga. Desta forma, resulta a “cobertura em degraus” do 
diagrama de força cortante; cada degrau correspondendo a um trecho de estribo 
constante. A Figura 37 ilustra este procedimento. Para vigas usuais de edifícios, pode-se 
adotar, em cada vão, 3 trechos: um central correspondente à armadura mínima (ρw,min e 
Vd,min), e mais dois trechos, adjacentes aos apoios do vão com estribos calculados para 
as respectivas forças cortantes máximas. 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 59 
 
Seções próximas aos apoios 
 Nas proximidades dos apoios, a quantidade de armadura de cisalhamento pode 
ser menor do que aquele indicado pelo cálculo usual. Este fato ocorre porque parte da 
carga (próxima aos apoios) pode se dirigir diretamente aos apoios, portanto, sem 
solicitar a armadura transversal. 
 
 A NBR-6118/2003 propõe as regras seguintes para o cálculo da armadura 
transversal, quando a carga e a reação de apoio forem aplicadas em faces opostas da 
peça, comprimindo-a: 
ƒ no trecho entre o apoio e a seção situada à distância h/2 da face deste apoio, a 
força cortante oriunda de carga distribuída poderá ser considerada constante e 
igual à desta seção (Figura 38a); 
ƒ a força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância a 
(a≤2h) do centro do apoio poderá, neste trecho de comprimento a, ser reduzida 
multiplicando-se por ha 2 (Figura 38b). 
 
 
Figura 37: cobertura do diagrama de esforço cortante. 
 
 
(a) redução da força cortante próxima ao apoio a 
uma distância d/2 
 
 
 
(b) redução da a força cortante devida a uma 
carga concentrada aplicada a uma distância a< 2h
 
Figura 38: redução da força cortante próximo ao apoio. 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 60 
 
Convém frisar que estas reduções só podem ser feitas para o cálculo da armadura 
transversal. A verificação do concreto (τwd) deve ser feita com os valores originais, sem 
redução. 
5.4 Verificação do estado limite último 
5.4.1 Cálculo da resistência 
 A resistência do elemento estrutural, numa determinada seção transversal, deve 
ser considerada satisfatória quando verificadas simultaneamente as seguintes condições: 
 
2Rdd VV ≤ 
swcRdd VVVV +=≤ 3 
 
onde: 
Vd é a força cortante solicitante de cálculo, na seção; 
VRd2 é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas 
de concreto, de acordo com o processo indicado em 17.4.2.2 ou 17.4.2.3 da NBR 
6118/2003; 
VRd3 = Vc + Vsw, é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração 
diagonal, onde Vc é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos 
complementares ao de treliça e Vsw a parcela resistida pela armadura transversal, de 
acordo com o processo indicado em 17.4.2.2 ou 17.4.2.3 da NBR 6118/2003. 
 
 Na região dos apoios, os cálculos devem considerar as forças cortantes agentes 
nas respectivas faces, levando em conta as reduções precritas em 5.3.4. 
5.4.2 Modelo de cálculo I 
 O modelo I admite diagonais de compressão inclinadas de θ = 45° em relação ao 
eixo longitudinal do elemento estrutural e admite ainda que a parcela complementar Vc 
tenha valor constante, independente de Vd. 
verificação da compressão diagonal do concreto: 
dbfV wcdvRd 22 27,0 α= 
onde: 
25012 ckv f−=α (com fck em MPa) 
cálculo da armadura transversal: 
swcRd VVV +=3 
onde: ( ) ( )αα cos9,0 += senfdsAV ydswsw 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 61 
 
Vc = 0 nos elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora da 
seção; 
Vc = Vc0 na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção; 
Vc = Vc0 (1+ Mo / Md,máx ) ≤ 2Vc0 na flexo-compressão 
Vc0 = 0,6 fctd bw d 
fctd = fctk,inf/γc 
 
onde: 
bw é a menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil d; 
d é a altura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de gravidade 
da armadura de tração; 
fyd é a tensão na armadura transversal passiva, limitada a 0,7fyd no caso de barras 
dobradas, não se tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435 MPa; 
α é o ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal do 
elemento estrutural, podendo-se tomar 45° ≤ α ≤ 90°; 
M0 é o valor do momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da 
seção (tracionada por Md,max), provocada pelas forças normais de diversas origens 
concomitantes com Vd, sendo essa tensão calculada com valores de γf e γp iguais a 1,0 e 
0,9 respectivamente; os momentos correspondentes a essas forças normais não devem 
ser considerados no cálculo dessa tensão pois são considerados em Md; devem ser 
considerados apenas os momentos isostáticos de protensão; 
 
Md,max é o momento fletor de cálculo, máximo no trecho em análise, que pode ser 
tomado como o de maior valor no semitramo considerado (para esse cálculo não se 
consideram os momentos isostáticos de protensão, apenasos hiperestáticos); 
decalagem do diagramade força no banzo tracionado: 
 Quando a armadura longitudinal de tração for determinada através do equilíbrio 
de esforços na seção normal ao eixo do elemento estrutural, os efeitos provocados pela 
fissuração oblíqua podem ser substituídos no cálculo pela decalagem do diagrama de 
força no banzo tracionado, dada pela expressão: 
 
( )( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −+−= αα cotcot12 max,
max,
cd
d
l VV
V
da 
 
onde: 
al ≥ 0,5 d, no caso geral; 
al ≥ 0,2 d, para estribos inclinados a 45°. 
 
Essa decalagem pode ser substituída, aproximadamente, pela correspondente decalagem 
do diagrama de momentos fletores. 
A decalagem do diagrama de força no banzo tracionado pode também ser obtida 
simplesmente aumentando a força de tração, em cada seção, pela expressão: 
( )
2
1cotcot, αθ −+= sddcorsd Vz
M
R 
Construções de Concreto Capítulo 5 – Cisalhamento- 62 
 
5.4.3 Modelo de cálculo II 
 O modelo II admite diagonais de compressão inclinadas de θ em relação ao eixo 
longitudinal do elemento estrutural, com θ variável livremente entre 30° e 45°. Admite 
ainda que a parcela complementar Vc sofra redução com o aumento de Vd. 
verificação da compressão diagonal do concreto: 
( )θαθα cotcot)2(54,0 22 += sendbfV wcdvRd 
Com 25012 ckv f−=α (com fck em MPa) 
cálculo da armadura transversal: 
swcRd VVV +=3 
onde: ( ) ( ) αθα senfdsAV ydswsw cotcot9,0 += 
Vc = 0, em elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora da 
seção; 
Vc = Vc1, na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção; 
Vc = Vc1 (1+ M0 / Md,máx) < 2Vc1 na flexo-compressão, com: 
Vc1 = Vc0 quando Vd ≤ Vc0 
Vc1 = 0 quando Vd = VRd2 , interpolando-se linearmente para valores intermediários. 
São mantidas a notação e as limitações definidas em 5.4.2; 
deslocamento do diagrama de momentos fletores: 
 São mantidas as condições estabelecidas em em 5.4.2, o deslocamento do 
diagrama de momentos fletores, aplicando o processo descrito nessa seção, deve ser: 
 ( )αθ cotcot5,0 −= dal 
 
onde: 
al ≥ 0,5 d, no caso geral; 
al ≥ 0,2 d, para estribos inclinados a 45°. 
Permanece válida para o modelo II a alternativa dada em decalagem do diagrama de 
força no banzo tracionado do item 5.4.2.