A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
217 pág.
NotasdeAula_CN

Pré-visualização | Página 26 de 38

k=1
ykφ1(x) =
m∑
k=1
yk,
b2 =
m∑
k=1
ykφ2(x) =
m∑
k=1
yk · xk,
b3 =
m∑
k=1
ykφ3(x) =
m∑
k=1
yk · x2k.
Logo, as equações normais são: m ∑k xk ∑k x2k∑
k xk
∑
k x
2
k
∑
k x
3
k∑
k x
2
k
∑
k x
3
k
∑
k x
4
k
 c1c2
c3
 =
 ∑k yk∑
k ykxk∑
k ykx
2
k
 . (6.16)
Calculando o determinante da matrizA, podemos veri�car que este é diferente
de zero se e somente se os pontos xk forem distintos. Assumindo que isso se
veri�ca na tabela de dispersão, o sistema possui solução única que corresponde
aos coe�cientes cj, j = 1, 2, 3, os quais estão relacionados aos coe�cientes ai, i =
0, 1, 2 da função de ajuste (6.14), e portanto o ajuste quadrático é determinado
univocamente.
148 cálculo numérico
Exercício 6.3 Escreva um operador para o ajuste polinomial quadrático; em se-
guida, determine o ajuste polinomial quadrático para o exemplo 6.2.
6.3.3 Ajuste polinomial geral
Analogamente aos casos anteriores, a função de melhor ajuste pode ser consi-
derada uma função polinomial de grau n. Ou seja,
f ∗(x) = a0 + a1x+ . . .+ anxn. (6.17)
Estabelecendo as equivalências entre os coe�cientes ai e os cj, e após algumas
operações, obtemos as equações normais:

m
∑
k xk · · ·
∑
k x
n
k∑
k xk
∑
k x
2
k · · ·
∑
k x
n+1
k
.
.
.
.
.
. · · · ...∑
k x
n
k
∑
k x
n+1
k · · ·
∑
k x
2n
k


c1
c2
.
.
.
cn
 =

∑
k yk∑
k ykxk
.
.
.∑
k ykx
n
k
 . (6.18)
O sistema (6.18) possui solução única desde que os pontos xi sejam distintos.
Como é assumido que isso se veri�ca na tabela de dispersão, a solução do sistema
existe e, portanto, a função de ajuste polinomial é obtida.
Exercício 6.4 Dada a tabela de dispersão
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 0, 5 0, 6 1, 0 1, 2 1, 6 2, 0 2, 5 3, 0
,
determine a reta e a parábola que melhor se ajustem aos pontos da tabela. Usan-
do uma calculadora compare os resultados, desenhando os grá�cos das curvas
encontradas e o grá�co dos pontos da tabela de dispersão.
6.4 Ajuste não linear
Como mencionado anteriormente, a função de melhor ajuste f ∗(x) é formada
com base nas funções φ(x), as quais podem ser funções não lineares do tipo:
φ(x) = ex, φ(x) = ln(x), φ(x) = cosx.
O tratamento, nesses casos, é idêntico ao caso do ajuste polinomial, e a função
de melhor ajuste é dada por (6.1).
ajuste de curvas 149
6.4.1 Casos redutíveis ao linear
Vejamos o caso inicial da função de ajuste dada pela função exponencial da
forma:
f ∗(x) = c1ec2x. (6.19)
Observe que a função acima não está descrita em conformidade com (6.1). O
procedimento a ser adotado para determinarmos os coe�cientes c1 e c2 é conside-
rarmos uma mudança de variável, na tentativa de reduzir o problema a um ajuste
linear.
Considerando a mudança:
z = ln f ∗(x) = ln y,
dessa relação podemos ver que:
z = ln(c1e
c2x) = ln c1 + ln e
c2x = ln c1 + c2x.
Fazendo c′1 = ln c1, reduzimos o problema ao caso linear, pois
z = c′1 + c2x ⇒ φ1(x) = 1, φ2(x) = x. (6.20)
Nas variáveis, x e z a função está descrita na forma linear. Comparando com
o ajuste realizado para a reta, temos que:
c′1 =
∑
k x
2
k ·
∑
k ln yk −
∑
k xk ·
∑
k xk ln yk
m
∑
k x
2
k − (
∑
k xk)
2
, (6.21)
c2 =
m
∑
k xk ln yk −
∑
k xk ·
∑
k ln yk
m
∑
k x
2
k − (
∑
k xk)
2
. (6.22)
Contudo, sabemos que c1 = e
c′1
. Então, uma vez obtidos os valores dos coe�-
cientes, podemos escrever a função exponencial de melhor ajuste como:
f ∗(x) = ec
′
1ec2x = ec
′
1+c2x. (6.23)
Exercício 6.5 Implemente computacionalmente um operador para determinar
a função de melhor ajuste não linear (6.23) e, em seguida, dada a tabela de
dispersão
x 0 1 2
y 1 2 6
,
determine a função y = c1e
c2x
que melhor se ajusta aos pontos dados.
150 cálculo numérico
Tabela 6.1: Tabela de funções não lineares.
Função y = f ∗(x) Mudanças de variáveis Forma linear y′ = ax′ + b
y = a
x
+ b x′ = 1
x
, y′ = y y = a 1
x
+ b
y = d
x+c
x′ = x y, y′ = y y = −1
c
(x y) + d
c
c = − 1
a
, d = − b
a
y = 1
ax+b
x′ = x, y′ = 1
y
1
y
= ax+ b
y = x
a+bx
x′ = 1
x
1
y
= a 1
x
+ b
y′ = 1
y
y = a ln(x) + b x′ = ln(x), y′ = y y = a ln(x) + b
y = ceax x′ = x, y′ = ln(y) ln(y) = ax+ ln(c)
c = eb
y = cxa x′ = ln(x), y′ = ln(y) ln(y) = a ln(x) + ln(c)
c = eb
y = 1
(ax+b)2
x′ = x 1√
y
= ax+ b
y′ = 1√
y
y = cxe−dx x′ = x, y′ = ln( y
x
) ln( y
x
) = −dx+ ln(c)
c = eb, d = −a
y = m
1+ceax
x′ = x, y′ = ln(m
y
− 1) ln(m
y
− 1) = ax+ ln(c)
c = eb,m =constant
Exercício 6.6 Determine as mudanças de coordenadas que linearizem as funções
de melhor ajuste dadas a seguir. Implemente computacionalmente tais ajustes.
f∗(x) = a1ax2, f
∗(x) > 0,
f∗(x) =
1
a1 + a2x
.
Na Tabela 6.1, apresentamos alguns casos de linearização para ajuste de fun-
ções não lineares.
Existem outras técnicas que permitem fazer o ajuste de curvas, como Séries
de Fourier e polinômios ortogonais. No entanto, tais técnicas estão fora do escopo
deste livro.
ajuste de curvas 151
6.5 Coe�ciente de determinação
A prática mostra que, em muitas situações de ajuste de polinomial, com po-
linômios de ordem moderada (> 8) a grande, a solução das equações normais
apresenta erros relativamente grandes. A origem desse problema reside no fato
do sistema ser mal-condicionado. Assim, é importante estabelecer algum meca-
nismo para inferir a qualidade de um ajuste polinomial.
No caso especí�co do ajuste linear, a qualidade desse ajuste pode ser medida
por meio de um coe�ciente, chamado de coe�ciente de determinação, o qual é
determinado por:
D2 =
[∑
k xkyk −
∑
k xk ·
∑
k yk
m
]2(∑
k x
2
k − (
∑
k xk)
2
m
)(∑
k y
2
k − (
∑
k yk)
2
m
) , (6.24)
onde 0 ≤ D ≤ 1.
Quanto melhor o ajuste, mais próximo o coe�ciente D estará da unidade.
Uma fórmula alternativa do coe�ciente de determinação é dada por:
D2 = 1−
∑
k(yk − y∗k)2∑
k y
2
k − (
∑
k yk)
2
m
, (6.25)
onde y∗k corresponde ao valor estimado de yk pela função de ajuste linear.
Exercício 6.7 Implemente computacionalmente o coe�ciente de determinação
linear e, em seguida, veri�que seu valor para o exemplo 6.2.
6.6 Exercícios propostos
1. Para determinar a função f(x) =
∑n
k=0 akPk(x), onde Pk(x) são polinômios
de Legendre, a fórmula de recursão deve ser utilizada:
bn+2 = bn+1 = b0
bk = ak +
2k + 1
k + 1
xbk+1 − k + 1
k + 2
bk+2 k = 0, . . . , n.
Implemente no Derive essa fórmula recursiva e mostre que f(x) = b0.
2. Um experimento em Física com base na Lei de Hooke F = kx gerou a
tabela de dados:
152 cálculo numérico
x 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1, 0
F (x) 5, 5 10, 3 15, 8 21, 3 26, 5
.
Determine uma aproximação para o valor da constante de elasticidade da
mola k.
3. Encontre a melhor reta e a melhor parábola que se ajustem às tabelas
a seguir, e em seguida desenhe a curva para a tabela de dispersão e dos
polinômios encontrados.
a)
x −4 −2 0 2 4
y 1, 2 2, 8 6, 2 7, 8 13, 2
;
b)
x 1 2 3 4 5 6
y 1, 39 1, 95 2, 72 3, 79 5, 29 7, 39
.
4. No exercício proposto 4 do Capítulo 5 temos duas tabelas com os valores do
Produto Interno Bruno per Capita do Brasil e dos Estados Unidos durante
um conjunto de anos. Para ambas as tabelas, ajuste a melhor reta e a
melhor parábola e veri�que qual das duas curvas possui o menor resíduo.
Com base em seu resultado, veri�que qual o valor do PIBpC de ambos os
países no ano 2005.
5. A tabela de dispersão a seguir fornece o valor da população (em milhões de
habitantes) brasileira para alguns anos.
Ano 1900 1920 1940 1960 1980