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observações, com o fenômeno in-
vestigado. Na prática, dizemos que um modelo é tanto mais adequado à descrição
do fenômeno quanto menor for o desvio da solução do problema físico com relação
ao mundo observável. A Figura 1.1 ilustra a cadeia da pesquisa cientí�ca.
Matemática aplicada e computacional é uma área que atua muito fortemente
nos vários segmentos da investigação cientí�ca. Particularmente, tem um pa-
pel importante na modelagem e resolução dos problemas físicos. A computação
tornou-se uma grande aliada nessas etapas, permitindo que a resolução de equa-
ções não triviais, e que requerem grande número de cálculos, possam ser realizadas
com mais rapidez e e�ciência.
A construção de um modelo para um problema físico não é uma tarefa trivial,
especialmente quando se deseja levar em consideração muitos detalhes. Portanto,
diversas vezes modelos simpli�cados são utilizados, proporcionando uma visão
geral do sistema físico em análise, sem contudo ser completo. Os modelos mais
simples, por não levarem em consideração algumas variáveis importantes, produ-
zem erros inerentes, exclusivamente, devido ao modelo adotado.
Um exemplo ilustrativo de erros gerados pela escolha do modelo pode ser visto
no caso do movimento de um corpo sujeito a uma aceleração constante. Nesse
12 cálculo numérico
Figura 1.1: Cadeia da pesquisa cientí�ca.
sistema físico, o modelo pode ser de tal forma que a equação do movimento é
dada por:
S = s0 + v0t+
1
2
at2,
onde S é o espaço percorrido pelo corpo, partindo de uma posição inicial s0 com
velocidade v0 e aceleração a, e t indica o tempo de movimento do objeto.
Suponha que desejamos determinar a altura de um penhasco, utilizando esse
modelo. Se largarmos uma esfera de aço do alto do penhasco, sua velocidade
inicial é nula, v0 = 0. Observando que a esfera levou um tempo t = 5 segundos
para atingir o solo, e que a aceleração que atua sobre a esfera é a da gravidade,
que podemos considerar como g = 9, 8m/s2, usando a equação anterior, tem-se:
S = 0 + 0× 5 + 1
2
× 9.8× 52 = 122, 5m.
À primeira vista, podemos achar que esse resultado é con�ável. De certa
forma, é razoável, dependendo da exatidão exigida. No entanto, o modelo ado-
erros computacionais 13
tado pode ser muito mais re�nado, se considerarmos alguns aspectos importantes
que interferem sobre o sistema, como: (i) resistência do ar sobre a esfera, (ii)
velocidade e direção do vento, e (iii) constante gravitacional. Assim, um novo
modelo, mais so�sticado, pode ser construído, resultando em um modelo mais
próximo da realidade do problema físico.
Muitas vezes, os modelos conduzem a um conjunto de equações (algébricas,
diferenciais ordinárias ou parciais não lineares, tensoriais, etc.) cuja solução é
obtida quando tais equações são resolvidas. Na fase de resolução, as equações
que descrevem o modelo do sistema físico nem sempre podem ser resolvidas de
forma exata, e, portanto, há a necessidade da utilização de métodos numéricos e
aproximações de funções, o que conduz a erros.
Por �m, a própria medida realizada com aparelhos mecânicos ou eletrônicos
apresenta erros em suas medições. Dessa forma, vemos que há muitas etapas no
processo de investigação de um problema físico que são passíveis de gerar erros.
Neste capítulo, estaremos interessados particularmente nos erros que surgem
na fase de resolução do problema. Vamos considerar inicialmente os erros que
surgem devido ao sistema de numeração adotado. Para isso, apresentaremos
algumas noções sobre os principais sistemas de numeração.
1.1 Sistemas de numeração
1.1.1 Sistema métrico versus sistema de numeração
Quando perguntamos a altura de uma pessoa é comum simplesmente ouvirmos
um número, por exemplo, 1, 72, que imediatamente assumimos como sendo 1
metro de 72 centimetros. O mesmo ocorre para o peso, 65, que já admitimos
como sendo em quilogramas. Aqui temos duas noções postas juntas, um valor
numérico 1, 72 e uma indicação do sistema de unidades. Como aprendemos desde
a infância o Sistema Métrico Internacional (SI), adotado pelo Brasil e por muitos
países, temos uma sensação bastante clara do que signi�ca 1, 72m ou mesmo 65kg.
Se perguntassemos a uma pessoa na Inglaterra qual a sua altura poderíamos ouvir
algo como 5, 6 pés. Neste caso, notamos imedatamente que temos a noção do que
5, 6 signi�ca, no entanto não temos a sensibilidade do que signi�ca esta medida
em pés. Para isso, temos que procurar uma conversor de sistema de unidades para
converter pés em metros. O mesmo acontece com peso, dado em libras, ou outras
medidas como a temperatura que fomos acostumados com graus centigrados e
não em Farenheit. Porém, em qualquer um dos casos, temos a noção clara do
valor numérico atribuido à quantidade.
Deixando o sistema de unidades à parte, o valor numérico é conhecido já
que estamos igualmente empregando o sistema de numeração decimal, ou seja
a base escolhida é 10, com os algarísmos sendo representados pelos simbolos
14 cálculo numérico
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Observe que a escolha dos simbolos para representar os
elementos que compõem a base do sistema decimal são arbitrários, podendo ser
completamente diferentes. Assumindo que os elementos da base são estes, os
números em decimal são construídos a partir dos elementos da base.
Os sistemas de numeração estão divididos em sistemas posicionais e não
posicionais . Nos sistemas posicionais, a posição ocupada pelos algarismos que
formam o número é importante e tem um signi�cado especí�co. Por exemplo, no
sistema decimal, o número 127, 5 informa-nos que o algarismo 7 corresponde à
quantidade de unidades; o algarismo 2 informa o número de dezenas; o algarismo
1, a quantidade de centenas; e o algarismo 5, a parte fracionária referente aos
décimos. Assim, a posição de cada algarismo na constituição do número possui
um signi�cado próprio.
Nos sistemas não posicionais, a posição ocupada pelos algarismos não tem um
signi�cado próprio. Um exemplo de sistema não posicional é o sistema romano de
numeração. Nesse sistema, temos a unidade representada pela letra I, que ocupa
uma posição; o número dois é representado por II, que ocupa duas posições; o
número três, por III, ocupando três posições; mas o número quatro é represen-
tado por apenas dois algarismos, da forma IV , com duas posições, e o cinco, por
V , que possui apenas um algarismo que ocupa uma única posição. Dessa forma,
vemos que a posição não é um indicador do valor do número, já que todos estes
se refere a unidades.
Neste livro, trataremos apenas dos sistemas de numeração que são posicionais.
1.1.2 Base de numeração
Seja β um número natural, com β ≥ 2. Um número real r pode ser represen-
tado em qualquer base de numeração β, escrito da forma:
rβ = (±dndn−1 . . . d2d1d0, d−1d−2 . . . d−m)β, (1.1)
onde os di são dígitos inteiros que pertencem à base β, ou seja, são valores entre
0 e β − 1.
O valor númerico em decimal do número real escrito em (1.1) é dado por
dnβ
n + dn−1βn−1 + · · ·+ d1β1 + d0β0
+d−1β−1 + d−2β−2 + · · ·+ d−mβ−m. (1.2)
1.1.3 Sistema decimal
O sistema de numeração decimal é um sistema posicional adotado internacio-
nalmente para expressar medidas do cotidiano. Não devemos confundir o sistema
erros computacionais 15
de numeração com o sistema métrico. O sistema de numeração informa-nos sobre
o valor da quantidade, sua magnitude, enquanto o sistema métrico informa-nos
sobre a unidade de referência da medida.
O sistema decimal é formado pelos números inteiros da base β = {0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9}. A partir dessa base, que denotaremos β10, todos os números podem ser
expressos neste sistema.
De�nição 1.1 Um número no sistema decimal é formado a partir da expressão
an10
n + · · ·+ a2102 + a1101 + a0100 + a−110−1 + a−210−2 + · · ·+ a−m10−m,
onde