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potência do
número de intervalos (n4). Na fórmula do método dos trapézios, o erro caía com
o quadrado do número de intervalos (n2).
Exercício 8.2 Determine a integral
∫ 2
1
e2xdx, para n = 4. Quando n = 4, temos
n/2 = 4/2 = 2 pares de subintervalos. Qual o erro associado a integral?
Exercício 8.3 Conhecendo os pontos tabelados de uma função f(x), determine o
valor da integral
∫ 4
2
f(x)dx.
x 2, 0 2, 5 3, 0 3, 5 4, 0
y 41 77, 25 130 202, 25 298
8.2.3 Segunda regra de Simpson
Na primeira regra de Simpson, utilizamos o polinômio de
Gregory-Newton de segundo grau. Agora consideraremos o polinômio de Gregory-
Newton de grau três, P3(z). A integral é então aproximada da forma:
I =
∫ b
a
f(x)dx ≈
∫ b
a
P3(x)dx,
172 cálculo numérico
onde
P3(z) = y0 + z4y0 + z(z − 1)
2!
42y0 + z(z − 1)(z − 2)
3!
43y0, z = x− x0
h
.
Substituindo o polinômio de Gregory-Newton na integral, após algumas ma-
nipulações, obtemos:
I ≈ 3
8
h(y0 + 3y1 + 3y2 + y3), (8.17)
que é a segunda regra de Simpson ou regra dos 3/8.
O erro de truncamento para a segunda regra de Simpson é dado por:
ET = −3h
5
80
f iv(λ), a ≤ λ ≤ b. (8.18)
De maneira análoga, podemos determinar a segunda regra de Simpson com-
posta. Nesse caso, o número n de subintervalos deve ser múltiplo de três, pois
necessitamos de 4 pontos para determinarmos o polinômio de Gregory-Newton
de grau três.
8.2.4 Segunda regra de Simpson composta
De forma análoga à dedução realizada para obtenção da primeira regra de
Simpson composta, a segunda regra de Simpson composta é dada por:
I ≈ 3h
8
(y0+3y1+3y2+2y3+3y4+3y5+2y6+ · · ·+3yn−2+3yn−1+ yn) (8.19)
onde n é o número de subintervalos em que foi dividido o intervalo [a, b].
O erro de truncamento associado à segunda regra de Simpsom composta é
dado pelas somas dos erros para cada subintegral determinada. A expressão
geral do erro de truncamento torna-se:
ET = −(b− a)
5
80n4
f iv(λ), a ≤ λ ≤ b. (8.20)
Exercício 8.4 Implemente computacionalmente a segunda regra de Simpson sim-
ples e composta.
Há, ainda, outras técnicas para integração como a extrapolação de Romberg,
que utiliza a regra dos trapézios e a idéia da extrapolação de Richardson para
diminuir o erro de truncamento; a técnica da quadratura adaptativa, que utiliza
métodos de integração numérica 173
uma adpatação do tamanho do passo dependendo do intervalo que está sendo
considerado, em conjunto com a primeira regra de Simpson composta, para obter
a integral. Não apresentamos tais técnicas aqui, porém o leitor não terá di�culda-
des em aprendê-las a partir do conhecendo das técnicas que foram apresentadas
neste capítulo.
8.3 Quadratura Gaussiana
No método da quadratura Gaussiana, os pontos não são escolhidos por quem
está usando o método, mas por um critério de�nido pelo próprio método.
A idéia central do método da quadratura Gaussiana é obter a solução da
integral de uma função f(x) em termos de uma soma da forma:
I =
∫ b
a
f(x)dx = a0f(x0) + a1f(x1) + · · ·+ anf(xn) =
n∑
i=0
aif(xi), (8.21)
onde os termos ai e xi são valores a serem determinados.
A imposição que devemos fazer para obter a solução da integral é que o re-
sultado seja exato para funções polinomiais com graus ≤ (2n + 1). Observe que
temos na equação (8.21) um total de (2n+ 2) parâmetros a serem determinados.
O primeiro passo para estudar o método da quadratura Gaussiana é transfor-
marmos o intervalo [a, b] no intervalo [−1, 1]. Isso é obtido fazendo uma transfor-
mação da variável x para uma nova variável t, da forma:
x =
1
2
(b− a)t+ 1
2
(b+ a). (8.22)
Veja que para t = −1⇒ x = a e para t = 1⇒ x = b. Assim, a integral �ca:∫ b
a
f(x)dx =
∫ 1
−1
F (t)dt,
onde f(x) = f [1
2
(b− a)t+ 1
2
(b+ a)] e dx = 1
2
(b− a)dt.
Logo: ∫ b
a
f(x)dx =
1
2
(b− a)
∫ 1
−1
f [
1
2
(b− a)t+ 1
2
(b+ a)]dt,
F (t) =
1
2
(b− a)f [1
2
(b− a)t+ 1
2
(b+ a)].
A expansão em termos da função F (t), torna-se:
174 cálculo numérico
∫ b
a
f(x)dx =
∫ 1
1
F (t)dt = A0F (t0)+A1F (t1)+A2F (t2)+ · · ·+AnF (tn). (8.23)
8.3.1 Quadratura Gaussiana com n = 1
Consideremos o caso inicial para n = 1. Isso signi�ca que teremos dois pontos
(t0, t1) e a fórmula (8.23) deverá ser exata para polinômios de grau máximo três.
Podemos mostrar que os pontos ai e xi independem da função F . Assim, se
escolhermos a função F (t) tal que:
F (t) = tk, k = 0, 1, 2, 3,
teremos: ∫ 1
−1
F (t)dt = A0F (t0) + A1F (t1).
Agora,
k = 0⇒
∫ 1
−1
t0dt = A0t
0
0 + A1t
0
1,
k = 1⇒
∫ 1
−1
t1dt = A0t
1
0 + A1t
1
1,
k = 2⇒
∫ 1
−1
t2dt = A0t
2
0 + A1t
2
1,
k = 3⇒
∫ 1
−1
t3dt = A0t
3
0 + A1t
3
1.
Resolvendo as integrais do lado esquerdo, obtemos o sistema de equações não
lineares nas variáveis A0, A1, t0, t1.
A0 + A1 = 2, (8.24)
A0t0 + A1t1 = 0, (8.25)
A0t
2
0 + A1t
2
1 =
2
3
, (8.26)
A0t
3
0 + A1t
3
1 = 0. (8.27)
Multiplicando a equação (8.25) por t20, temos
métodos de integração numérica 175
t20(A0t0 + A1t1) = 0.
Subtraindo esse resultado da equação (8.27), obtemos:
(A1t1t
2
0 + A0t
3
0)− (A0t30 + A1t31) = 0,
A1t1(t1 − t0)(t1 + t0) = 0. (8.28)
A única solução viável da equação (8.28) é: t1 = −t0. A solução t1 = 0 ⇒
A0 = A1 = 0 e a solução t0 = t1 é inconsistente. Logo, tomando a única solução
viável e substituindo nas demais equações, obtemos:
A1 = A0 = 1, t0 = −t1 =
√
1/3. (8.29)
Retornando com os valores da solução (8.29) na fórmula da integral Gaussiana
para n = 1, vemos que: ∫ 1
−1
F (t)dt = F (
1√
3
) + F (− 1√
3
). (8.30)
A fórmula (8.30) é exata para F (t), sendo qualquer polinômio de grau ≤ 3.
Exemplo 8.2 Seja a integral
I =
∫ 2
−2
e−x
2/2dx
Determine o valor da integral usando a quadratura Gaussiana para n = 1.
Solução: Devemos inicialmente obter a função F(t), que resulta em:
F(t) =
2− (−2)
2
f
[
1
2
(2− (−2)) t + 1
2
(2 + (−2))
]
= 2f(2t) = 2e−2t
2
Como I = F(1/
√
3) + F(−1/√3), temos:
I = 2e−2(1/
√
3)2 + 2e−2(−1/
√
3)2 = 4e−2/3 ≈ 2, 053668476.
176 cálculo numérico
8.3.2 Quadratura gaussiana para n = 2
Consideremos o caso n = 2. Isso signi�ca que teremos três pontos (t0, t1, t2) e
a fórmula (8.23) deverá ser exata para polinômios de grau máximo cinco.
Considerando a função F (t) tal que:
F (t) = tk, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
teremos:
∫ 1
−1
F (t)dt = A0F (t0) + A1F (t1) + A2F (t2).
Seguindo o mesmo procedimento realizado para o caso n = 1, obtemos o
conjunto de equações não lineares:
A0 + A1 + A2 = 2,
A0t0 + A1t1 + A2t2 = 0
A0t
2
0 + A1t
2
1 + A2t
2
2 = 2/3
A0t
3
0 + A1t
3
1 + A2t
3
2 = 0
A0t
4
0 + A1t
4
1 + A2t
4
2 = 2/5
A0t
5
0 + A1t
5
1 + A2t
5
2 = 0,
cuja solução é
A0 = 8/9, A1 = A2 = 5/9, t0 = 0, t1 = −t2 =
√
3/5. (8.31)
A integral é, então, aproximada por:
∫ b
a
f(x) dx =
8
9
F (0) +
5
9
F (
√
3/5) +
5
9
F (−
√
3/5). (8.32)
Exercício 8.5 Resolva a intergal do Exemplo 8.2 utilizando a quadratura Gaus-
siana para n = 2.
métodos de integração numérica 177
8.3.3 Procedimento geral
O mesmo processo para obtermos a quadratura Gaussiana para n = 1 pode
ser estendido para determinar a fórmula geral para um n qualquer. Nesse caso,
temos: ∫ 1
−1
F (t)dt = A0F (t0) + A1F (t1) + · · ·+ AnF (tn).
Tomando agora F (t) = tk, k = 0, 1, . . . , (2n + 1), e seguindo o mesmo proce-
dimento anterior, obtemos o sistema de equações não lineares:
A0 + A1 + · · ·+ An = 2, (8.33)
A0t0 + A1t1 + · · ·+ Antn = 0, (8.34)
A0t
2
0 + A1t
2
1 + · · ·+ Ant2n = 2/3, (8.35)
.
.
.
A0t
2n+1
0 + A1t
2n+1
1 + · · ·+ Ant2n+1n = 0. (8.36)
A solução do sistema anterior para as variáveis