4 TAXAS CRESCIMENTO POPULAÇÃO

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Taxas de Crescimento Populacional
Profa. Pamila Siviero
pamila.siviero@unifal-mg.edu.br
De volta à equação de 
balanceamento
N(t) = N(0) + B[0,T] – D[0,T] + I[0,T] – E[0,T]
 Reordenando os fatores: 
N(t) - N(0) = B[0,T] – D[0,T] + I[0,T] – E[0,T]
 Dividindo tudo pelo nº de pessoas-anos vividos:
 Trocando os nomes:
TBC[0,T] = TBN[0,T] – TBM[0,T] + TBI[0,T] – TBE[0,T]
2
],0[
],0[
],0[
],0[
],0[
],0[
],0[
],0[
],0[
)0()(
TPA
TE
TPA
TI
TPA
TD
TPA
TB
TPA
NtN


(1) Taxa Bruta de Crescimento
3
Taxa Bruta de Crescimento
 TBC[0,T] = Taxa Bruta de Crescimento
 TBN[0,T] = Taxa Bruta de Natalidade
 TBM[0,T] = Taxa Bruta de Mortalidade
 TBI[0,T] = Taxa Bruta de Imigração
 TBE[0,T] = Taxa Bruta de Emigração
4
 TBCN = Taxa Bruta de Crescimento Natural
TBCN = TBN-TBM
 TBML = Taxa Bruta de Migração
TBMig = TBI-TBE
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Exemplo: País das Maravilhas, 2009
B[1/1/2009, 1/1/2010] = 120
D[1/1/2009, 1/1/2010] =100
I[1/1/2009, 1/1/2010] = 50
E[1/1/2009, 1/1/2010] = 20
Estimativa pessoas-anos (1/1/2009, 1/1/2010): 10.000.
TBC = TBN-TBM+TBI-TBE
TBC = (N-D+I-E) / PA
TBC = (120 – 100 +50 – 20)/10.000
TBC = (20 + 30)/10.000
TBC = 50 /10.000 = 5 por mil pessoas-ano de exposição
A população no país das maravilhas cresceu 5 pessoas por mil 
pessoas-ano no ano de 2009; 2 devido ao crescimento vegetativo 
e 3 devido ao saldo migratório.
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(2) Taxa de crescimento instantânea
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Voltando no conceito de pessoa-
ano...
 A taxa mede a (ocorrência/exposição). A exposição, que 
é a nossa medida de pessoa-ano, combina duas 
características: número de pessoas na população (Ni) e 
tempo durante o qual o indivíduo esteve exposto a 
experimentar o evento (Δi)
 Lembremos do exemplo da “taxa” de desemprego e da 
taxa bruta de mortalidade
 Pessoas-ano = número de pessoas e tempo de 
exposição
 Pessoas-ano = Ni * Δi ou N(t)Δt
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Voltando no conceito de pessoa-
ano...
 Em nosso exemplo da aula anterior, contabilizamos o 
número de pessoas-anos dividindo o ano em 4 partes: 1º 
de jan a 1º de abril; 1º de abril a 1º de jul; 1º de jul a 1º 
de out; e 1º de out a 1º de jan de 2001
 Onde Ni indica o número de pessoas vivas (população 
observada) em i e Δi indica fração de tempo de exposição 
dos indivíduos ao evento de interesse



4
1i
iiN
Voltando no conceito de pessoa-
ano...
 Se fosse possível mensurar a quantidade de exposição a 
cada dia, em vez de em cada quarto de ano (3 meses 
inteiros), esta soma poderia ser escrita como:
 Se fosse possível mensurar em pequenos intervalos de 
tempo dt o número total seria:



365
1i
iiN

2001
2000
)( dttN
Taxa de crescimento instantânea
 A taxa bruta de crescimento (TBC) contabiliza o 
crescimento por um período de tempo especificado 
como, por exemplo, um ano
 E se estivermos interessados em computar o 
crescimento da população em períodos de tempos bem 
pequenininhos? É possível? Vejamos...
PA
NtN
TBC
)0()( 

Taxa de crescimento instantânea
 Numerador: a variação é N(t+∆t) – N(t) e pode ser escrita 
como ∆N(t) 
 Denominador: pessoas-anos vividos no período [t,t+∆t] é 
agora N(t)∆t
 TBC pode ser renomeada: r(t).
 Assim, a Taxa Bruta de Crescimento para o período pode 
ser reescrita como: 
ttN
tN
tr



)(
)(
)(
Taxa de Crescimento Instantânea
 Mas o limite de ∆N(t)/∆t quando ∆t se aproxima de zero é 
simplesmente a derivada da função N(t), designada por 
dN(t)/dt. Logo:
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dt
tNd
tN
dt
tdN
ttN
tN
tr
t
)](ln[
)(
)(
)(
)(
lim)(
0











 ))((*
)(
1
))((ln tN
dt
d
tN
tN
dt
d
Taxa de Crescimento Instantânea
 Podemos integrar a fórmula e desenvolver uma 
nova expressão para as variações populacionais 
em um período maior de tempo
14








T
T
dttr
dttr
T
T
TT
eNTN
N
TN
e
N
TN
NTNdttr
tNdt
dt
tNd
dttr
0
0
)(
)(
0
0
00
)0()(
)0(
)(
)0(
)(
ln)0(ln)(ln)(
)(ln
)](ln[
)(
Taxa de Crescimento Instantânea
Observe que qualquer crescimento que ocorre 
numa população deve obedecer à equação 
acima. Esta é a equação que devemos utilizar 
com base no conceito de taxa em demografia.
Se a taxa de crescimento instantânea for de fato 
constante entre os tempos 0 e os tempos T (r*), 
então:
N(t) = N(0)e(r*)(T)
15
Taxa de Crescimento Instantânea
Que segue do fato de que:
Reorganizando N(t) = N(0)e(r*)(T) , temos que:
16
TrrTrrdtr
T
T *)]0*()*[(|**
0
0 
T
N
TN
r







)0(
)(
ln
*
Taxa de Crescimento Média 
Anualizada
• Ao invés de assumirmos que r é constante entre 
0 e T, podemos voltar um pouco. Se dividimos 
ambos os lados da equação por T, o 
comprimento de tempo a que se refere a 
estimativa, temos que:
17
T
N
tN
T
dttr
T
)0(
)(
ln)(
0 

(3) Taxa de crescimento média 
anualizada
18
Taxa de Crescimento Média 
Anualizada
Se a taxa de crescimento entre 0 e T é constante, 
pode-se estimá-la através da equação abaixo.
Mas a equação abaixo é uma expressão mais 
geral, pois não requer uma pressuposição de 
constância. Calcula-se, portanto, a taxa de 
crescimento média. 
 
T
N
tN
Tr
)0(
)(
ln
,0 
19
(4) Tempo necessário para a população 
duplicar
20
Tempo necessário para uma população 
duplicar
Se o tamanho populacional duplica entre 0 e T, 
então N(T)/N(0) = 2 e:
ln[N(T)/N(0)] = ln(2) = 0,693
21
 
T
N
tN
Tr
)0(
)(
ln
,0 
Tempo necessário para uma população 
duplicar
Desta forma, com taxa constante r*
Tempo de duplicação da população = (0,693)/(r*)
Se r*= 0,03, a população dobra em 23,1 anos
Se r*= 0,01, a população dobra em 69,3 anos
Se r*= -0,01 a população reduz seu tamanho para 
a metade do tamanho inicial em 69,3 anos
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Estimativa de Pessoas Anos e Interpolação do 
Tamanho Populacional em diferentes datas
Pessoas-anos em T
 Uma boa aproximação do número de pessoas-
anos vividos é a população no meio do 
intervalo de interesse. 
 Se o intervalo for de 10 anos, o meio do 
período é após 5 anos do início do intervalo. Se 
o intervalo for de 5 anos, o meio do período é 
após 2,5 anos. Se for de 1 ano, é após 6 
meses. 
Calcule a data correspondente ao 
meio do período entre as datas: 
 01/01/2000 e 01/01/2010
 01/01/2010 e 01/01/2011
 01/01/2000 e 01/07/2000
 01/01/2010 e 01/08/2010
Para encontrar tamanhos populacionais 
em datas entre censos, assume-se que:
A taxa de crescimento populacional 
foi constante no período
A taxa de crescimento do período é 
igual à taxa média de crescimento 
populacional no período
Assuma que: 
População (01/01/2011) = 15.000
População (01/01/2000) = 10.000
Encontre o número de pessoas-anos vividos entre as 
seguintes datas:
01/01/2000 e 01/01/2010
01/01/2010 e 01/01/2011
01/01/2000 e 01/07/2000
01/01/2010 e 01/08/2010
DICA: VOCÊ DEVE ENCONTRAR O MEIO DO 
PERÍODO INDICADO E ESTIMAR A POPULAÇÃO 
COM BASE NOS VALORES QUE O EXERCÍCIO TE 
DEU!!!