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Matemática Atuarial I 2 Prêmios carregados Nas aulas anteriores aprendemos como calcular o Prêmio Puro Único e o prêmio nivelado. Nos dois casos estamos calculando o prêmio de risco, ou seja, o prêmio a ser cobrado do segurado para que a seguradora consiga pagar todas as indenizações relativas a sinistros ocorridos. No entanto, nenhum dos prêmios cobrados será suficiente para pagar despesas administrativas da seguradora (ou fundo de pensão). Veremos agora como incluir no prêmio as despesas da seguradora. 3 Prêmios carregados Para incluirmos as despesas da seguradora no prêmio puro devemos inicialmente dividir as despesas no que diz respeito à incidência 4 Prêmios carregados Algumas despesas irão ocorrer apenas no momento da aquisição do contrato como: comissão de corretagem, despesas com médicos examinadores, ordenado com empregados ligados à aquisição da apólice. 5 Prêmios carregados Em contrapartida, algumas despesas incidem enquanto o segurado estiver ligação com a empresa (período de pagamento de prêmio ou recebimento de benefício). Algumas dessas despesas são: salários de funcionários, despesas com informática, correspondência, aluguel, impostos, etc. 6 Prêmios carregados Sobre o prêmio puro, pode-se adicionar carregamentos de segurabilidade para diminuir o risco de insolvência da seguradora a partir da Teoria do Risco de Ruína. Até o final do curso, estudaremos os carregamentos relativos às despesas apresentadas anteriormente. 7 Prêmios carregados Dividiremos os Prêmios carregados em: a) Prêmio de Iinventário b) Prêmio “Zillmerado” c) Prêmio Comercial ou de tarifa 8 Prêmios carregados a) Prêmio de Inventário O prêmio de inventário deve ser mensurado para atender às despesas de administração e demais despesas que incidem ao longo do contrato de seguro (além do prêmio de risco). 9 Prêmios carregados Para exemplificar este tipo de seguro, pensemos em uma pessoa de idade x que contrata um seguro de vida inteira que paga R$ 1,00 no fim do ano de morte deste segurado. Sabemos que o prêmio puro único seria dado por: Ax=∑ k=0 ∞ v k+1k px qx+k 10 Prêmios carregados Caso o segurado tenha interesse em fazer pagamentos nivelado até o momento de morte, então o prêmio seria: P= Ax a¨ x 11 Prêmios carregados Queremos calcular o prêmio (de inventário) que faça frente às despesas administrativas que incidem ao longo do período de vigência do contrato. Em outras palavras, queremos cobrar um prêmio do segurado que, em média, seja suficiente para cobrir os riscos (prêmio puro) e as despesas da seguradora. Ou seja, queremos calcular o Prêmio P' tal que E(L) = 0 12 Prêmios carregados Vejam que a teoria já vista é extremamente importante para calcularmos o prêmio com este carregamento. Lembremos que: L = Z – Y em que Z é a obrigação da seguradora e Y é a obrigação do segurado. A obrigação da seguradora, agora, é diferente do que havíamos calculado anteriormente. 13 Prêmios carregados A obrigação da segurado é, além de pagar as indenizações, pagar também as despesas com administrativas para seu funcionamento (durante o período de vigência do contrato). Neste caso, Z é uma v.a. cuja função (em relação ao tempo de vida adicional) pode ser descrita como: 14 Prêmios carregados Obrigação da seguradora com o segurado: E qual a obrigação do segurado? vk+1 +γ { a¨ k∣ ¿ sek≥0 ¿ Z= {0 ¿casocontrário ¿} 15 Prêmios carregados O segurado se compromete a pagar o prêmio enquanto estiver vivo. Mantendo a notação, P' é o prêmio que assume essas despesas da seguradora, então: P' { a¨k∣ ¿ sek≥0 ¿ Y= {0 ¿casocontrário ¿} 16 Prêmios carregados Quase nenhum esforço adicional é necessário. Veja que queremos calcular P' tal que E(L) = 0, então: 0 =E (L)=E (Z−Y )=E (Z )−E (Y ) E (Z )−E (Y )=Ax +γ { a¨ x−P' { a¨¿x=0¿ P' { a¨x =A x+γ { a¨¿x⇔P'= Ax+γ { a¨ x a¨x ¿¿ 17 Prêmios carregados P'= Ax a¨ x + γ a¨ x a¨ x P'= Ax a¨ x +γ 18 Prêmios carregados Lembremos que o prêmio puro (nivelado) seria calculado pela fórmula: ou seja, o prêmio de inventário é calculado pela soma do prêmio puro mais a parte das despesas que é gerada periodicamente pelo segurado. De outra forma: P= Ax a¨ x P'=P+γ 19 Prêmios carregados Exemplo 1: Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar um seguro de vida inteiro que paga R$ 1,00 ao final do ano de morte. Para isso, o segurado deseja pagar durante a vigência do contrato um prêmio fixo. Qual o valor do Prêmio a ser pago pelo segurado considerando-se a tabela AT-49 e uma taxa de juros i = 0,05? Considere, para o cálculo do prêmio, que o segurado deve pagar uma quantia anual de R$ 0,005 relativos a gastos administrativos. 20 Prêmios carregados Solução: Já vimos no exemplo 4 dos slides de Prêmios e Reservas que o prêmio de risco (ou prêmio puro) é de R$ 0,0129. Utilizando a fórmula: temos: P'=P+γ P'=0,0129+0,005=0,0179 21 Prêmios carregados Exemplo 2: Seja uma pessoa de 40 anos que queira comprar um seguro de vida temporário por 5 anos. Para isso, o segurado deseja pagar durante a vigência do contrato um prêmio fixo. Qual o valor do Prêmio a ser pago pelo segurado considerando-se a tabela AT-49 e uma taxa de juros i = 0,05 considerando, para o cálculo do prêmio, que o segurado deve pagar uma quantia anual de R$ 0,0005 relativos a gastos administrativos. 22 Prêmios carregados Solução: Este exemplo está inspirado no exemplo 3 de Prêmios e Benefícios. Veja que queremos calcular um prêmio que contemple os gastos administrativos tal que E(L) = 0. 23 Prêmios carregados 0 =E (L)=E (Z−Y )=E (Z )−E (Y ) E (Z )−E (Y )=Ax :5∣+γ { a¨ x :5∣−P' { a¨¿x :5∣=0¿ P' { a¨x :5∣=A x : 5∣+γ { a¨¿x :5∣⇔P'= Ax :5∣+γ { a¨x :5∣ a¨ x :5∣ ¿¿ P'= Ax :5∣ a¨ x :5∣ + γ a¨ x :5∣ a¨ x :5∣ P'=P+γ 24 Prêmios carregados O valor de P já foi calculado no exemplo 3. P = 0,002518, então: P'=0,002518+0,0005=0,003018 25 Prêmios carregados Caso o interesse seja calcular o prêmio para produtos atuariais diferentes e forma de pagamento diferentes devem ser feito de forma similar aos exemplos anteriores. 26 Prêmios carregados b) Prêmio Zillmerado (Zillmer, 1863) Este tipo de prêmio considera despesas de aquisição, quando esta é cara o suficiente para que o segurado deseja pagá-la em um período bem menor do que o período de vigência do contrato. 27 Prêmios carregados Neste caso, o segurado irá pagar um prêmio P' durante um período até o pagamento relativo às despesas de aquisição e, em seguida, pagará um prêmio P relativo ao risco. Calculando, então esses prêmios tais que E(L) = 0, teremos: 28 Prêmios carregados mas qual é nesse caso a obrigação do segurador? Quanto ele gastará, em média, com esse segurado? Podemos dizer que o gasto será relativo ao seguro e à despesa que a seguradora terá no momento de aquisição do contrato, então: 0 =E (L)=E (Z−Y )=E (Z )−E (Y ) E (Z )=Ax +α 29 Prêmios carregados Em que α é o gasto inicial da seguradora. Vamos identificar agora o compromisso do segurado. E (Y )=P' { a¨ x : s∣+P s∣a¨ x ¿ 30 Prêmios carregados Como queremos calcular o prêmio tal que E(L) = 0, o resultado fica: Relembrando que P' { a¨ E (Z )−E (Y )=(Ax +α)−(¿¿ x :s∣+P s∣a¨ x )=0 s∣a¨x=a¨ x−a¨ x :s∣ P'= Ax a¨x :s∣ + α a¨ x :s∣ − P s∣a¨x a¨x :s∣ P'= Ax a¨x :s∣ + α a¨ x :s∣ − P ( a¨ x−a¨ x :s∣) a¨ x : s∣ 31 Prêmios carregados P'= Ax a¨x :s∣ + α a¨ x :s∣ − P a¨ x a¨ x :s∣ +P P'= Ax−P a¨x a¨ x : s∣ + α a¨x : s∣ +P P'=P+ α a¨ x : s∣ 32 Prêmios carregados c) Prêmio Comercial ou de tarifa O prêmio comercial é o prêmio que contempla as duas despesas apontadas anteriormente. 33 Referências Foi utilizado como importante material de apoio as notas de aula do prof. Renato Assunção (site:http://homepages.dcc.ufmg.br/~assuncao/) além dos livros indicados no plano de ensino. Slide 1 Slide 2 Slide 3 Slide 4 Slide 5 Slide 6 Slide 7 Slide 8 Slide 9 Slide 10 Slide 11 Slide 12 Slide 13 Slide 14 Slide 15 Slide 16 Slide 17 Slide 18 Slide 19 Slide 20 Slide 21 Slide 22 Slide 23 Slide 24 Slide 25 Slide 26 Slide 27 Slide 28 Slide 29 Slide 30 Slide 31 Slide 32 Slide 33
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