Estatística: Tratamento de Dados

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1 
Sumário e 
Apresentação de Dados 
 
EMC 6421 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Prof. Armando Albertazzi G. Jr. 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Tópicos 
 Diagrama de ramos e folhas 
 Diagrama de pontos 
 Diagrama de caixa 
 Histogramas: simples e acumulado 
 Série temporal 
 Diagrama de Pareto 
 Descritores quantitativos: média, mediana, 
variância e desvio-padrão 
 Cálculos a partir de dados agrupados. 
 
 
... Dados ... Dados ... Dados ... Dados ... 
12,456 
10,312 
14,707 
13,212 
12,445 
13,652 
11,458 
14,201 
13,215 
12,455 
13,212 
11,487 
15,205 
14,312 
13,569 
13,987 
12,564 
13,354 
12,785 
11,296 
12,865 
14,520 
12,568 
13,658 
12,568 
11,598 
14,265 
13,985 
11,987 
15,104 
14,625 
13,671 
13,205 
14,562 
13,365 
13,587 
14,201 
15,625 
13,358 
12,298 
13,658 
13,585 
11,208 
13,985 
11,653 
13,654 
13,285 
12,652 
13,458 
12,248 
11,582 
12,585 
13,542 
11,542 
12,587 
10,985 
15,023 
14,852 
13,552 
11,526 
12,856 
13,254 
14,582 
15,284 
12,523 
13,254 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
 Representação gráfica de pontos 
□ de um mesmo tipo 
 
 
 
□ de dois tipos 
-0,10 0,20 0,00 0,30 0,10 0,40 0,50 0,60 
-0,10 0,20 0,00 0,30 0,10 0,40 0,50 0,60 
Diagrama de pontos 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Diagrama de caixa 
 Dados: 
45, 56, 62, 67, 48, 51, 64, 71, 66, 52, 44, 58, 55, 61, 48, 50, 62, 51, 61, 55 
 Dados ordenados 
44, 45, 48, 48, 50, 51, 51, 52, 55, 55, 56, 58, 61, 61, 62, 62, 64, 66, 67, 71 
25% 25% 25% 25% 
1o quartil 1o quartil 2o quartil 3o quartil 
40 50 60 70 80 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Diagrama de caixa - outliers 
DIQ 1,5 DIQ 1,5 DIQ 1,5 DIQ 1,5 DIQ 
outliers outliers 
outlier 
extremo 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Diagrama de ramos e folhas 
 Dados: 
45, 56, 62, 67, 48, 51, 64, 71, 66, 52, 44, 58, 55, 61, 
48, 50, 62, 51 
Ramos 
4 
5 
6 
7 
5 8 4 8 
6 1 2 8 5 0 1 
2 7 4 6 1 2 
1 
Folhas 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Diagrama de ramos e folhas 
 Dados: 
 45, 56, 62, 67, 48, 51, 64, 71, 66, 52, 44, 58, 55, 61, 48, 
50, 62, 51 
Ramos 
4L 
4U 
5L 
5U 
6L 
6U 
7L 
4 
5 8 8 
0 1 1 2 
5 6 8 
1 2 2 4 
7 6 
1 
Folhas 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Distribuição de Freqüências 
 Agrupamento de dados em classes 
□ entre 5 e 15 classes 
□ não há superposição 
□ todas classes têm a mesma largura 
□ todos dados são acomodados 
co
nt
ag
em
 
3,0 5,0 7,0 9,0 11,0 13,0 15,0 17,0 
3 
4 
6 
11 
14 
8 
10 
11  x < 13 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Histograma simples Histograma acumulado 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Histogramas 
Intervalo da classe 
Ponto médio da classe 
F
re
qü
ên
ci
a 
da
 c
la
ss
e 
(%
) 
simples 
F
re
qü
ên
ci
a 
ac
um
ul
ad
a 
(%
) 
acumulado 
100% 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Série temporal 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Série temporal 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Série temporal 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Gráfico de Correlação 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Diagrama de Pareto 
 Fenômenos geralmente são influenciados por 
poucas causas dominantes e muitas causas 
secundárias. 
A B C D E F Outras 
In
flu
ên
ci
a 
Causas 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Descritores quantitativos 
 Média da amostra 
 
 Mediana 
□ Valor “do meio” da amostra 
□ Se x1, x2, x3, ..., xn são ordenados de forma 
crescente, então a mediana corresponde 
ao valor da observação: 
• (n+1)/2 se n é ímpar 
• Média entre n/2 e (n+2)/2 se n é par 
 
4 
2 
5 
3 
7 
3 
5 
2 
3 
3 
4 
5 
5 
7 



n
i
ix
n
X
1
1
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Descritores quantitativos 
 Desvio da média 
 
 Variância 
 
 Desvio padrão 
 
 Coeficiente de variação (relativo) 
xxi 





n
i
i xx
n
S
1
22 )(
1
1





n
i
i xx
n
SS
1
22 )(
1
1
100
x
s
V
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Média, variância e desvio padrão 
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Nº Dado Média Desvio Desvio²
1 13,91 11,63 2,28 5,19
2 11,67 11,63 0,04 0,00
3 8,02 11,63 -3,61 13,05
4 12,63 11,63 1,00 1,00
5 7,92 11,63 -3,71 13,78
6 12,39 11,63 0,76 0,57
7 15,42 11,63 3,79 14,35
8 12,59 11,63 0,96 0,92
9 12,43 11,63 0,80 0,64
10 13,29 11,63 1,66 2,75
11 12,17 11,63 0,54 0,29
12 11,48 11,63 -0,15 0,02
13 11,22 11,63 -0,41 0,17
14 15,06 11,63 3,43 11,75
15 8,71 11,63 -2,92 8,54
16 13,00 11,63 1,37 1,87
17 9,36 11,63 -2,27 5,16
18 8,26 11,63 -3,37 11,37
19 11,96 11,63 0,33 0,11
20 11,15 11,63 -0,48 0,23
Σ 232,64 232,64 0,00 91,75
633,11
20
661,232
x
831,4
120
797,912 

s
198,2831,4 s
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Média, variância e desvio padrão 
Nº Dado Média Desvio Desvio²
1 11,39 11,58 -0,19 0,04
2 12,43 11,58 0,85 0,72
3 10,99 11,58 -0,59 0,35
4 11,08 11,58 -0,50 0,25
5 12,25 11,58 0,67 0,45
6 11,19 11,58 -0,39 0,15
7 12,20 11,58 0,62 0,38
8 12,90 11,58 1,32 1,74
9 11,18 11,58 -0,40 0,16
10 10,14 11,58 -1,44 2,07
11 10,54 11,58 -1,04 1,08
12 11,96 11,58 0,38 0,14
13 12,43 11,58 0,85 0,72
14 10,56 11,58 -1,02 1,04
15 11,55 11,58 -0,03 0,00
16 12,61 11,58 1,03 1,06
17 11,18 11,58 -0,40 0,16
18 11,01 11,58 -0,57 0,32
19 12,08 11,58 0,50 0,25
20 11,93 11,58 0,35 0,12
Σ 231,60 231,6 0,00 11,23
58,11
20
60,231
x
591,0
120
23,112 

s
769,0591,0 s
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
 Média e variância para dados avulsos 
 
 
 
 Média e variância para dados agrupados 
 
Descritores quantitativos 
)1(
2
11
2
2











nn
xxn
S
n
i
i
n
i
i



n
i
ix
n
X
1
1



k
i
ii fx
n
X
1
1
)1(
2
11
2
2











nn
fxfxn
S
k
i
ii
k
i
ii
n é o número de dados e k é o número de classes 
xi é o valor do meio e fi é a freqüência da classe 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
... Dados ... Dados ... Dados ... Dados ... 
12,456 
10,312 
14,707 
13,212 
12,445 
13,652 
11,458 
14,201 
13,215 
12,455 
13,212 
11,487 
15,205 
14,312 
13,569 
13,987 
12,564 
13,354 
12,785 
11,296 
12,865 
14,520 
12,568 
13,658 
12,568 
11,598 
14,265 
13,985 
11,987 
15,104 
14,625 
13,671 
13,205 
14,562 
13,365 
13,587 
14,201 
15,625 
13,358 
12,298 
13,658 
13,585 
11,208 
13,985 
11,653 
13,654 
13,285 
12,652 
13,458 
12,248 
11,582 
12,585 
13,542 
11,542 
12,587 
10,985 
15,023 
14,852 
13,552 
11,526 
12,856 
13,254 
14,582 
15,284 
12,523 
13,254 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Média e Variância 
 Média 
 
 
 Variância 
188,13414,870.
661
66
1 66
1
 
i
ixx
3809,1)188,13(
166
1 66
1
22 

 
i
ixs
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Agrupamento de dados: histograma 
0
5
10
15
20
25
10 a 11 11 a 12 12 a 13 13 a 14 14 a 15 15 a 16
Histograma 
Classe Contagem 
10 a 11 2 
11 a 12 10 
12 a 13 15 
13 a 14 24 
14 a 15 10 
15 a 16 5 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Média calculada a partir do histograma 
Classe fi 
10 a 11 2 
11 a 12 10 
12 a 13 15 
13 a 14 24 
14 a 15 10 
15 a 16 5 



k
i
ii fx
n
x
1
1
)5*5,1510*5,1424*5,13
15*5,1210*5,112*5,10(
66
1

x
182,13870
66
1
x
X 13,188 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Variância calculada a partir do 
histograma 
Classe fi 
10 a 11 2 
11 a 12 10 
12 a 13 15 
13 a 14 24 
14 a 15 10 
15 a 16 5 
2
1 1
2
2
)1( 








 
 
nn
fxfxn
s
k
i
k
i
iiii
)166(66
)870(5,11564*66 22


s
4818,12 s
X 1,3809 
Fundamentos de Metrologia e Estatística 
Atividade: tempo de reação 
 Calcule os tempos de reação em ms 
 Determine 
□ Média 
□ Mediana 
□ Desvio padrão 
□ Histograma 
□ Diagrama de caixas 
 Para duas condições 
□ Meia hora antes de um bom almoço 
□ Meia hora após um bom almoço 
 Use o MS Excel®