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Notas de Aulas de Ca´lculo III Prof. Sandro Rodrigues Mazorche 1o semestre de 2015 Turmas: A e C Cap´ıtulo 4: Campos Escalares e Vetoriais Campo Escalar: Seja D uma regia˜o no espac¸o tridimensional e seja f uma func¸a˜o escalar definida em D. Enta˜o, a cada ponto P ∈ D, f associa uma u´nica grandeza escalar f(P ). A regia˜o D, juntamente com os valores de f em cada um de seus pontos, e´ chamada campo escalar. Dizemos tambe´m que f define um campo escalar sobre D. Exemplo 78: Se D e´ um so´lido no espac¸o e ρ a densidade em cada um de seus pontos, ρ define um campo escalar sobre D. Campo Vetorial: Seja D uma regia˜o no espac¸o tridimensional e seja ~f uma func¸a˜o vetorial definida em D. Enta˜o, a cada ponto P ∈ D, ~f associa um u´nico vetor ~f(P ). A regia˜o D, juntamente com os correspondentes vetores ~f(P ), constitui um campo vetorial. Dizemos tambe´m que ~f define um campo vetorial sobre D. Exemplo 79: ~f(x, y) = −y~i+ x~j define um campo vetorial sovre IR2. Exemplo 80: ~f(x, y) = (x, y,−z) define um campo vetorial sovre IR3. Representac¸a˜o geome´trica de um campo vetorial Tomando alguns pontos P ∈ D e desenhamos o vetor ~f(P ) como uma seta com a origem P (transladada paralelamente da origem para P ). Podemos visualizar o campo vetorial, imaginando a seta apropriada emanando de cada ponto da regia˜o D. Exemplo 81: ~f(x, y) = x~i. Exemplo 82: ~f(x, y) = x~i+ y~j. Exemplo 83: ~f(x, y) = −y√ x2+y2 ~i+ x√ x2+y2 ~j. Exemplo 84: ~f(x, y, z) = −k ~r‖~r‖3 , ~r = x~i+ y~j + z~k. Derivada Direcional de um Campo Escalar Definic¸a˜o: Consideremos um campo escalar f(x, y, z). Escolhemos um ponto P no espac¸o e uma direc¸a˜o em P , dada por um vetor unita´rio ~b. Seja C uma semi-reta cuja origem e´ P e possui a direc¸a˜o de ~b e seja Q um ponto sobre C cuja distaˆncia de P e´ s. Se existir o limite ∂f ∂s (P ) = lim s→0 f(Q)− f(P ) s , de e´ chamado derivada direcional de f em P , na direc¸a˜o de ~b. Exemplo 85: Calcular a derivada direcional do campo escalar f(x, y) = x2 + y2, em P (2,1), na direc¸a˜o de ~v = −~i+ 2~j. Exemplo 86: Determinar a derivada direcional do campo escalar f(x, y, z) = x2+y2−2z2, em P (1,2,2), na direc¸a˜o de ~a =~i+ 2~j + 2~k. Exemplo 87: Supor que a derivada parcial de f(x, y) em relac¸a˜o a x em um ponto P existe. Verificar que essa derivada e´ igual a` derivada direcional de f(x, y) em P , na direc¸a˜o ~b =~i. Gradiente de um Campo Escalar Seja f(x, y, z) um campo escalar definido em um certo dom´ınio. Se existe as derivadas parciais de 1a ordem de f nesse dom´ınio, elas formam as componentes do vetor gradiente de f . O gradiente da func¸a˜o escalar f(x, y, z), denotado por grad(f) ou ∇f , e´ um vetor definido como grad(f) = ∇f = ∂f ∂x ~i+ ∂f ∂y ~j + ∂f ∂z ~k, onde ∇ (leˆ-se nabla ou del) representa o operador diferencial ∇ = ∂ ∂x ~i+ ∂ ∂y ~j + ∂ ∂z ~k. Propriedades: Sejam f e g func¸o˜es escalares tais que existam ∇f e ∇g e c ∈ IR: a) ∇(cf) = c∇f b) ∇(f ± g) = ∇f ±∇g c) ∇(fg) = f∇g + g∇f d) ∇(f g ) = g∇f−f∇g g2 Interpretac¸a˜o Geome´trica do Gradiente: Consideremos uma dunc¸a˜o escalar f(x, y, z) e suponhamos que, para cada constante k, em um intervalo I, a equac¸a˜o f(x, y, z) = k representa uma superf´ıcie no espac¸o. Fasendo k tomar tosos os valores, obtemos uma fam´ılia de fuperf´ıcies, que sa˜o as su- perf´ıcies de n´ıvel da func¸a˜o f . Proposic¸a˜o: Seja f uma func¸a˜o escalar tal que, por um ponto P do espac¸o, passa uma superf´ıcie de n´ıvel S de f . Se ∇f 6= ~0 em P , enta˜o ∇f e´ normal a S em P . Exemplo 88: Encontrar o gradiente dos campos escalares: a) f(x, y, z) = 2(x2 + y2)− z2; b) g(x, y) = x+ ey; Exemplo 89: O gradiente de um campo escalar f(x, y, z) define um campo vetorial de- nominado campo gradiente. Esboc¸ar o gra´fico do campo gradiente gerado pela func¸a˜o f(x, y, z) = 1 2 (x2 + y2 + z2). Exemplo 90: Calcular o gradiente de f(x, y) = ex2 + y2, em P (2,−1). Exemplo 91: Determinar um vetor normal a` superf´ıcie z = x2 + y2 no ponto P (1,0,1). Exemplo 92: Determinar um vetor perpendicular a` circunfereˆncia x2 +y2 = 9 no ponto P (2, √ 5). Ca´lculo da derivada direcional usando o gradiente: Seja ~a o vetor do ponto P . Enta˜o, ~r(s) = x(s)~i+ y(s)~j + z(s)~k = ~a+~bs, onde s ≥ 0 e´ o paraˆmetro comprimento de arco. Supondo que f(x, y, z) possui derivadas parciais de 1a ordem cont´ınuas e aplicando a regra da cadeia, temos ∂f ∂s (P ) = ( ∂f ∂x dx ds + ∂f ∂y dy ds + ∂f ∂z dz ds )(P ) substituindo ~r′(s) = (dx ds , dy ds , dz ds ) e ∇f = (∂f ∂x , ∂f ∂y , ∂f ∂z ) temos ∂f ∂s (P ) = ~b · ∇f(P ). O gradiente como direc¸a˜o de ma´xima variac¸a˜o Seja f(x, y, z) uma func¸a˜o escalar que possui derivadas parciais de 1a ordem cont´ınuas. Enta˜o, em cada ponto P para o qual ∇f 6= ~0, o vetor ∇f aponta na direc¸a˜o em que f cresce mais rapidamente. O comprimento do vetor ∇f e´ a taxa ma´xima de crescimento de f . Dem: Exemplo 93: Determinar a derivada direcional de f(x, y, z) = 5x2 − 6xy + z, no ponto P (−1,1,0), na direc¸a˜o do vetor 2~i− 5~j + 2~k. Exemplo 94: Determinar a derivada direcional de f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, no ponto P (−1,2, 1 2 ), na direc¸a˜o do vetor que une P a Q(−2,0, 1 2 ). Exemplo 95: Seja f(x, y, z) = z − x2 − y2. a) Estando em (1,1,2), que direc¸a˜o e sentido devem ser tomados para que f cresc¸a mais rapidamente? b) Qual e´ o valor ma´ximo de ∂f ∂s (1,1,2)? Exemplo 96: Seja T (x, y, z) = 10 − x2 − y2 − z2 uma distribuic¸a˜o de temperatura em uma regia˜o do espac¸o. Uma part´ıcula P1 localizada em 1(2,3,5) necessita esquentar-se o mais ra´pido poss´ıvel. Outra part´ıcula P2 localizada em P2(0,−1,0) necessita resfriar-se o mais ra´pido poss´ıvel. Pergunta-se: a) Qual a direc¸a˜o e o sentido que P1 deve tomar? b) Qual a direc¸a˜o e o sentido que P2 deve tomar? c) Qual e´ a taxa ma´xima de crescimento da temperatura em P1 e qual e´ a taxa ma´xima de decrescimento da temperatura em P2? Exemplo 97: Um alpinista vai escalar uma montanha, cujo formato e´ aproximadamente o do gra´fico de z = 25− x2 − y2, z ≥ 0. Se ele parte do ponto P0(4,3,0), determinar a trajeto´ria a ser descrita, supondo que ele busque sempre a direc¸a˜o de maior aclive. Exemplo 98: A figura mostra as curvas de n´ıvel da temperatura T (x, y) da superf´ıcie do oceano de uma determinada regia˜o do globo terrestre. Supondo que T (x, y) e´ apro- ximadamente iqual a x− 1 12 x3 − 1 4 y2 + 1 2 , pergunta-se: a) Qual e´ a taxa de variac¸a˜o da temperatura nos pontos P0(2,3) e P1(4,1), na direc¸a˜o nordeste? b) Se na˜o conhecermos a forma da func¸a˜o T (x, y), como poderemos encontrar um valor aproximado para a taxa de variac¸a˜o do item (a)? c) Qual e´ a taxa ma´xima de variac¸a˜o da temperatura em P0? Exemplo 99: Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva x2 + y2 = 4 no ponto ( √ 3,1), usando o gradiente. Divergeˆncia de um Campo Vetorial: Seja ~f(x, y, z) = f1(x, y, z)~i + f2(x, y, z)~j + f3(x, y, z)~k um campo vetorial definido em um dom´ınio D. Se existe e sa˜o cont´ınuas as derivadas ∂f1 ∂x , ∂f2 ∂y , ∂f3 ∂z , definimos a divergeˆncia do campo vetorial ~f , denotada por div ~f = ∇ · ~f = ∂f1 ∂x + ∂f2 ∂y + ∂f3 ∂z . Propriedades: Sejam ~f = (f1, f2, f3) e ~g = (g1, g2, g3) func¸o˜es vetorias definidas em um dom´ınio D e suponhamos que div ~f e div~g existem. Enta˜o: a) div(~f ± ~g) = div ~f ± div~g; b) div(h~f) = h(div ~f) +∇h · ~f , onde h = h(x, y, z) e´ uma func¸a˜o escalar diferencia´vel em D. c) div(∇f) = ∇ · ∇f = ∇2f = ∂2f ∂x2 + ∂ 2f ∂y2 + ∂ 2f ∂z2 . O operador diferencial∇2 e´ chamado laplaciano e a equac¸a˜o ∇2f = 0 e´ chamada equac¸a˜o de Laplace. Interpretac¸a˜o f´ısica da divergeˆcia: Na Mecaˆnica dos Fluidos, encontramos a equac¸a˜o da continuidade div~u+ ∂ρ ∂t = 0, onde ~u = ρ~v, ρ = ρ(x, y, z, t) a densidade do fluido e ~v = ~v(x, y, z, t) o vetor velocidade. Reescrevendo a equac¸a˜o na forma ∂ρ ∂t = −div~u, vemos que a divergeˆncia de um campo vetorial surge como uma medida da taxa de variac¸a˜o da densidade do fluido em um ponto. Quando a divergeˆncia e´ positiva em um ponto do fluido, a sua densidade esta´ diminuindo com o tempo. Nesse caso dizemos que o fluido esta´ se expandindo(existe uma fonte de fluxo). Quando a divergeˆncia e´ negativa, vale o oposto. Se a divergeˆncia e´ zero, o fluxo de entrada = fluxo de sa´ıda. Se ρ =constante, dizemos que o fluxo e´ incompress´ıvel. Nesse caso, a equac¸a˜o da continuidade toma a forma div~v = 0, e o campo vetorial ~v e´ chamado solenoidal. Exemplo 100: Um fluido escoa em movimento uniforme com velocidade ~v = x~j. Mos- trar que todas as part´ıculas se deslocam em linha reta e que o campo de velocidade dado representa um poss´ıvel escoamento incompress´ıvel. Exemplo 101: Um campo de escoamento compress´ıvel e´ descrito por ~u = ρ~v = 2xe−t~i− xye−t~j, onde x e y sa˜o coordenadas em metros, t e´ o tempo em segundos, ρ e ~v esta˜o em kg/m3 e m/s, respectivamente. Calcular a taxa de variac¸a˜o da densidade ρ em relac¸a˜o ao tempo, no ponto P (3,2,2), para t = 0. Exemplo 102: Quando uma func¸a˜o escalar f(x, y, z) tem derivadas de 2a ordem cont´ınuas e div∇f = 0 em um dom´ınio, ela e´ chamada harmoˆnica nesse dom´ınio. Veri- ficar se as seguintes func¸o˜es sa˜o harmoˆnicas: a) f(x, y, z) = x2y + ey − z; b) f(x, y, z) = 2xy + yz; Rotacional de um Campo Vetorial: Seja ~f(x, y, z) = f1(x, y, z)~i+f2(x, y, z)~j+f3(x, y, z)~k um campo vetorial definido em um dom´ınio D. Se existe e sa˜o cont´ınuas as derivadas ∂f1 ∂x , ∂f2 ∂y , ∂f3 ∂z , definimos o rotacional de ~f , denotado por rot~f , como rot~f = ∇× ~f = ∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z f1 f2 f3 ∣∣∣∣∣∣ = (∂f3∂y − ∂f2∂z )~i+ (∂f1∂z − ∂f3∂x )~j + (∂f2∂x − ∂f1∂y )~k. Propriedades: Sejam ~f = (f1, f2, f3) e ~g = (g1, g2, g3) func¸o˜es vetorias definidas em um dom´ınio D com derivadas parciais de 1a ordem cont´ınuas em D. Enta˜o: a) rot(~f ± ~g) = rot~f ± rot~g; b) rot(h~f) = h(rot~f) +∇h× ~f , onde h e´ uma func¸a˜o escalar diferencia´vel em D. Interpretac¸a˜o f´ısica do rotacional: Pode ser interpretado como uma medida do mo- vimento angular de um fluido, e a condic¸a˜o rot~v = ~0, para um campo de velocidade ~v, caracteriza os chamados fluxos irrotacionais. A equac¸a˜o rot ~E = ~0, onde ~E e´ a forc¸a ele´letrica, caracteriza que somente forc¸as eletrosta´ticas esta˜o presente no campo ~E. Exemplo 103: Determinar rot~f , sendo ~f = xzy2~i+ xyz~j + 3xy~k. Exemplo 104: Um corpo r´ıgido gira em torno de um eixo que passa pela origem do sistema de coordenadas, com vetor velocidade angular ~w constante, Seja ~v o vetor ve- locidade em um ponto P do corpo. Calcular rot~v. Exemplo 105: Um escoamento e´ representado pelo campo de velocidade ~v = 10x~i − 10y~j + 30~k. Verificar se o escoamento e´: a) um poss´ıvel escoamento incompress´ıvel; b) irrotacional. Exemplo 106: Para um escoamento no plano x◦y, a componente em y da velocidade e´ dada por y2−2x+ 2y. Determinar uma poss´ıvel componente em x para um escoamento incompress´ıvel. Campos Conservativos: Seja ~f um campo vetorial em um dom´ınio U . se u = u(x, y, z) e´ uma func¸a˜o diferencia´vel em U tal que ~f = ∇u, dizemos que ~f e´ um campo conservativo ou um campo gradiente em U . A func¸a˜o u e´ chamada func¸a˜o potencial de ~f em U . Teorema: Seja ~f = (f1, f2, f3) um campo vetorial cont´ınuo em um dom´ınio U , com derivadas parciais de 1a ordem cont´ınuas em U . Se ~f admite uma func¸a˜o potencial u, enta˜o rot~f = ~0 para qualquer (x, y, z) ∈ U. (∗) Reciprocamente, se U for simplesmente conexo e (∗) for verificada, enta˜o ~f admite uma func¸a˜o potencial u = u(x, y, z) em U . Observamos que (∗) pode ser reescrita como ∂f1 ∂y = ∂f2 ∂x , ∂f1 ∂z = ∂f3 ∂x e ∂f2 ∂z = ∂f3 ∂y Exemplo 107: O que podemos afirmar a respeito dos seguintes campos vetoriais ~f em D; a) ~f = 2x2y~i+ 5xz~j + x2y2~k em D = IR3; b) ~f = (4xy + z)~i+ 2x2~j + x~k em D = IR3; c) ~f = −y x2+y2 ~i+ x x2+y2 ~j em D1 = (x, y)|(x− 3)2 + y2 < 1 e D2 = (x, y)|1 < x2 + y2 < 16. Ca´lculo de uma func¸a˜o potencial: Supondo que ~f = (f1, f2.f3) e´ o gradiente de uma func¸a˜o potencial U em um dom´ınio U ⊂ IR3, podemos determinar u, usando as igualdades ∂u ∂x = f1 , ∂u ∂y = f2 e ∂u ∂z = f3. Exemplo 108: Verificar se ocampo vetorial ~f = (yz + 2)~i + (xz + 1)~j + (xy + 2z)~k e´ um campo gradiente em IR3. Em caso afirmativo, encontrar uma func¸a˜o potencial u. Exemplo 109: A lei da gravitac¸a˜o de Newton estabelece que a forc¸a ~f = −GmMr−3~r onde ~r = x~i+ y~j + z~k e r = |~r|. Encontrar o potencial newtoniano u, tal que ~f = ∇u. Cap´ıtulo 5: Integrais curvil´ıneas e Teorema de Green Definic¸a˜o: Seja C uma curva suave, orientada, com ponto inicial A e o ponto terminal B. Seja f(x, y, z) um campo escalar definido em cada ponto de C. Dividimos a curva C em n pequenos arcos pelos pontos A = P0, P1, P2, ..., Pi−1, Pi, ..., Pn = B. Denotamos por ∆si o comprimento do arco ̂Pi−1Pi. Em cada arco ̂Pi−1Pi, escolhemos um ponto Qi. Calculamos o valor de f no ponto Qi, multiplicamos esse valor por ∆si e formamos a soma n∑ i=1 f(QI)∆si. A integral de linha de f ao longo de C, de A ate´ B, que denotamos ∫ C f(x, y, z)ds, e´ ∫ C f(x, y, z)ds = lim max∆si→0 n∑ i=1 f(Qi)∆si, quando o limite existe. A curva C e´ tambe´m chamada CAMINHO DE INTEGRAC¸A˜O. Ca´lculo da integral de linha: Caso 1 Representamos C por ~h(s) = x(s)~i+y(s)~j+z(s)~k, s ∈ [a, b], onde s e´ o paraˆmetro comprimento de arco de C. ∫ C f(x, y, z)ds = ∫ b a f(x(s), y(s), z(s))ds (∗) Exemplo 110: Calcular ∫ C (x + 2y)ds, onde C e´ a semicircunfereˆncia dada pela figura abaixo. Exemplo 111: Calcular ∫ C (x2 + y2 − z)ds, onde C e´ a he´lice circular dada por ~r(t) = cos(t)~i+ sin(t)~j + t~k, do ponto P (1,0,0) ate´ Q(1,0,2pi). Caso 2 Representamos C por ~r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k, t ∈ [t0, t1], onde t e´ um paraˆmetro qualquer. Para calcular a integral de linha nesse caso, fazemos uma mudanc¸a de varia´vel em (∗). Temos∫ C f(x, y, z)ds = ∫ b a f(x(s), y(s), z(s))ds = ∫ t1 t0 f(x(t), y(t), z(t)) ds dt dt. com ds dt = |~r′(t)| = √ (x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2, segue∫ c f(x, y, z)ds = ∫ t1 t0 f(x(t), y(t), z(t))|~r′(t)|dt. Exemplo 111: Calcular ∫ C xyds, onde C e´ a intgersecc¸a˜o das superf´ıcies x2 + y2 = 4 e y + z = 8. Exemplo 112: Calcular ∫ C (x+ y)ds, onde C e´ a intgersecc¸a˜o das superf´ıcies x+ y = 2 e x2 + y2 + z2 = 2(x+ y). Propriedades: Supondo que C e´ uma curva suave ou suave por partes e que f = f(x, y, z) e g = g(x, y, z) sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em cada ponto de C. Temos: a) ∫ C kfds = k ∫ C fds, onde k e´ uma constante. b) ∫ C [f ± g]ds = ∫ C fds± ∫ C gds. c) Se C e´ uma curva com ponto inicial A e ponto terminal B; P um ponto de C entre A e B; C1 a parte de C de A ate´ P e C2 e parte de C de P ate´ B, enta˜o∫ C fds = ∫ C1 fds+ ∫ C2 fds d) ∫ C fds = ∫ −C fds, onde −C representa a curva C orientado no sentido oposto. Exemplo 113: Calcular ∫ C 3xyds, sendo C o triaˆngulo de ve´rtices A(0,0), B(1,0) e C(1,2), no sentido anti-hora´rio. Exemplo 114: Calcular ∫C (|x|+ |y|)ds e ∫ −C (|x|+ |y|)ds, onde C e´ o segmento de reta AB, com A(−2,0) e B(2,2). Massa e centro de massa de um fio delgado Consideremos um fio delgado de densidade varia´vel, com a forma de uma curva C, como na figura abaixo A massa total M do fio e´ M = ∫ C f(x, y, z)ds. O centro de massa (x, y, z) e´ dado por x = 1 M ∫ C xf(x, y, z)ds y = 1 M ∫ C yf(x, y, z)ds z = 1 M ∫ C zf(x, y, z)ds O ponto e´ tambe´m chamado centro de gravidade. Exemplo 115: Calcular a massa de um fio delgado com forma de um semic´ırculo de raio a, considerando que a densidade em um ponto P e´ diretamente proporcional a` reta que passa pelos pontos extremos. Exemplo 116: Calcular as coordenadas do centro de massa de um fio delgado que tem a forma da he´lice ~r(t) = 2 cos(t)~i + 2 sin(t)~j + 5t~k, t ∈ [0,2pi], se a densidade no ponto (x, y, z) e´ x2 + y2 + z2. Integrais de Linha de Campo Vetoriais: Para compreender sua origem e utilidade, iniciamos explorando intuitivamente o conceito f´ısico de trabalho. Sejam C : ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b], uma curva suave e ~f = ~f(x, y, z) um campo de forc¸as cont´ınuo sobre C. O trabalho realizado por ~f para deslocar uma part´ıcula ao longo de C, de A ate´ B, e´ definido como w = lim max ∆ti→0 n∑ i=1 ~f(~r(ti)) · ~r′(ti)∆ti, podemos observar que o somato´rio da expressa˜o acima e´ uma soma de Riemann da func¸a˜o de uma varia´vel, ~f(~r(t)) · ~r′(t) sobre [a, b]. Portanto, w = ∫ b a ~f(~r(t)) · ~r′(t)dt Exemplo 117: Calcular o trabalho realizado pela forc¸a ~f = (1 x , 1 y ), para deslocar uma part´ıcula, em linha reta,do ponto P (1,2) ate´ Q(3,4). Exemplo 118: Uma part´ıcula move-se ao longo da circunfereˆncia x2 + y2 = 4, z = 2 sob a ac¸a˜o do campo d forc¸as ~f(x, y, z) = −~r|~r|−3 , onde ~r = x~i+ y~j + z ~k. Definic¸a˜o: Seja C uma curva suave dada por ~r(t), t ∈ [a, b]. Seja ~f = ~f(x, y, z) um campo vetorial definido e limitado sobre C. A integral curvil´ınea de ~f , ao longo de C, que denotamos ∫ C ~f · ~dr, e´ definida por∫ C ~f · ~dr = ∫ b a ~f(~r(t)) · ~r′(t)dt = ∫ b a [f1(~r(t))x ′(t) + f2(~r(t))y′(t) + f3(~r(t))z′(t)]dt, sempre que a integral a` direita existe. Tambe´m utiliza-se a seguinte notac¸a˜o ∫ C ~f · ~dr = ∫ b a (f1dx + f2dy + f3dz) que tradicio- nalmente e´ usada para representar a integral curvil´ınea de um campo vetorial. Propriedade: As propriedades do caso escalar, (a), (b) e (c) permanecem va´lidas para o caso vetorial. A propriedade (d) e´ sudstitu´ıda por∫ −C ~f · ~dr = − ∫ C ~f · ~dr. Proposic¸a˜o: Seja ~f um campo vetorial cont´ınuo, definido sobre uma curva suave C : ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b]. Se T e´ acomponente tangencial de ~f sobre C, isto e´, T e´ a componente de ~f na direc¸a˜o do vetor tangente unita´rio de C, temos∫ C ~f · ~dr = ∫ C Tds. Observac¸o˜es: 1) Se, em cada ponto P da curva C, o campo ~f e´ perpendicular a um vetor tangente a C em P , a integral de ~f ao longo de C sera´ nula. Em particular, se ~f e´ um campo de forc¸as, sera´ nulo o trabalho realizado por ~f ao longo de C. 2) Se o campo ~f e´ o campo de velocidade de um fluido em movimento, a componente tangencial de ~f determina um fluxo ao longo de C. Se a curva C e´ fechada, a integral de linha de ~f ao longo de C, que denotamos ∫ C ~f · ~dr, mede a tendeˆncia do fluido de circular em torno de C e e´ chamada circulac¸a˜o de ~f sobre C. Em particular, se C e´ uma curva plana e o campo de velocidade e´ perpendicular ao plano que conte´m C, a circulac¸a˜o sera´ nula. Exemplo 119: Calcular ∫ C (2xdx+ yzdy + 3zdz) ao longo da: a) para´bola z = x2, y = 2, do ponto A(0,2,0) ao ponto B(2,2,4); b) linha poligonal AOB, onde O e´ a origem. Exemplo 120: Calcular ∫ C ~f · ~dr, sendo ~f = (xz, xy, yz) e C o caminho poligonal que une o ponto A(1,0,0) ao ponto B(0,2,2), passando por D(1,1,0). Exemplo 121: Calcular o trabalho realizado poelo campo ~f = ( −x x2+y2 , −y x2+y2 ) para deslocar uma part´ıcula ao longo da semicircunfereˆnci x2 + y2 = 4, y ≥ 0, no sentido anti-ho´rario. Exemplo 122: O campo de velocidade de um fluido em movimento e´ dado por ~v = (−y, x). Calcular a circulac¸a˜o do fluido ao redor da curva fechada C = C1 ∪C2 ∪C3. Exemplo 123: Calcular ∫ C [sin(x)dx − 2yzdy − y2dz] ao longo de C, de A(0,2,0) ate´ B(2,2,4), onde C: a) a´ a para´bola z = x2 , y = 2. b) e´ a poligonal AMB, M(1,0,0). Integrais Curvil´ıneas Independentes do Caminho de Integrac¸a˜o Seja ~f um campo vetorial cont´ınuo em um dom´ınio D do espac¸o. a integral ∫ C ~f · ~dr e´ dira independente do caminho de integrac¸a˜o em D se, para qualquer par de pontos A e B em D, o valor da integral e´ o mesmo para todos os cminhos em D, que iniciam em A e terminam em B. Teorema: seja u = u(x, y, z) uma func¸a˜o diferencia´vel em um don´ınio conexo U ⊂ IR3 tal que ~f = ∇u e´ cont´ınuo em U . Enta˜o,∫ C ~f · ~dr = u(B)− u(A), para qualquer caminho C em U , unindo o ponto A ao ponto B. Exemplo 124: Calcular a integral ∫ C ~f · ~dr, onde ~f = (yz + 2, xz + 1, xy+ 2z), ao longo de qualquer caminho que une o ponto A(0,0,1) a B(1,2,1). Exemplo 125: Verificar que o campo vetorial ~f = sin(x)~i − 2yz~j − y2~k, e´ um campo conservativo em IR3. calcular ∫ C ~f · ~dr ao longo de qualquer caminho C de A(0,2,0) ate´ B(2,2,4). Teorema: Se ~f = (f1, f2, f3) e´ um campo vetorial cont´ınuo em um dom´ınio conexo U ⊂ IR3, sa˜o equivalentes as treˆs afirmac¸o˜es seguintes: a) ~f e´ o gradiente de uma func¸a˜o potencial u em U , ou seja, ~f e´ conservativo em U . b) A integral de linha de ~f e´ independente do caminho de integrac¸a˜o em U . c) A integral de linha de ~f ao redor de todo caminho fechado simples em U e´ igual a zero. Exemplo 126: Verificar se ~f = (ex+y + 1)~i+ ex+y~j e´ um caminho conservativo em IR2. Em caso afirmativo, calcular ∫ (1,1) (1,0) ~f · ~dr. Exemplo 127: Determinar o trabalho realizado pela forc¸a ~f = (yz + 1, xz + 1, xy + 1), no deslocamento: a) ao longo da poligonal ABCDE da figura abaixo: b) ao longo do caminho fechado da figura abaixo: Exemplo 128: Calcular ∫ C [ −y x2 + y2 dx+ x x2 + y2 dy] sendo que C e´ dado na figura abaixo. Teorema de Green Seja C uma curva fechada simples, suave por partes, orientada no sentido anti´hora´rio, e R a regia˜o fechada delimitada por C. Se ~f = (f1, f2) e´ um campo vetorial cont´ınuo com derivadas parciais 1a ordem cont´ınuas em um dom´ınio D que conte´m R, enta˜o∫ C (f1dx+ f2dy) = ∫ ∫ R ( ∂f2 ∂x − ∂f1 ∂y )dxdy. Exemplo 129: Usando o teorema de Green, calcular ∫ C [y2dx+ 2x2dy] sendo que C e´ o triaˆngulo de ve´rtices (0,0), (1,2) e (0,2), no sentido anti-hora´rio. Exemplo 130: Calcular ∫ C ~f · ~dr, ao longo da circunfereˆncia x2 +(y−1)2 = 1, no sentido hora´rio, ssendo ~f = (4x2 − 9y,9xy + √ y2 + 1). A´rea de uma regia˜o plana como uma integral curvil´ınea ao longo de seu contorno Seja R e C como no teorema de Green. Sejam ~f = x~j e ~g = −y~i. Os campos vetoriais ~f e ~g sa˜o cont´ınuos com derivadas parciais cont´ınuas em IR2. Aplicando o Teorema de Green nos campos acima, obtemos respectivamente:∫ C xdy = ∫ ∫ R dxdy, ∫ C −ydx = ∫ ∫ R dxdy. Portanto, se denotamos por A a a´rea de R, temos A = ∫ C xdy, A = ∫ C −ydx. Combinando as duas u´ltimas ralac¸o˜es, obtemos uma terceira fo´rmula para a a´rea de R, A = 1 2 ∫ C (xdy − ydx). Exemplo 131: Calcular a a´rea delimitada pela elipse x 2 4 + y 2 9 = 1. Exemplo 132: Seja D = {(x, y)|x2+y2 < 4}. dado o campo vetorial ~f = ( ~−yx2 +y2, x x2+y2 ). Mostrar que ∫ C ~f · ~dr = 2pi para toda curva fechada simples C1 ⊂ D, suave por partes, orientada no sentido anti-hora´rio e que circunda a origem. Cap´ıtulo 6: Integrais de Superf´ıcie, Teorema de Stokes e Gauss Representac¸a˜o de uma Superf´ıcie: Em geral, uma superf´ıcie S em IR3 pode ser descrita como um conjunto de pontos (x, y, z), que satisfazem uma equac¸a˜o da forma f(x, y, z) = 0, sendo que f e´ uma func¸a˜o cont´ınua. A equac¸a˜o e´ chamada representacca˜o implicita de S. Se for poss´ıvel resolver a equac¸a˜o para uma das varia´veis em func¸a˜o das outras, obtemos uma respresentac¸a˜o explicita de S ou de parte de S. Exemplo 133: A equac¸a˜o x2 + y2 + z2 = a2 Exemplo 134: A equac¸a˜o x + 1 2 y + 1 3 z = a, a > 0, e´ uma representac¸a˜o impl´ıcita do plano inclinado que corta os eixos coordenados x, y e z nos pontos (a,0,0), (0,2a,0) e (0,0,3a), respectivamente. Equac¸o˜es Parame´tricas: Seja S uma superf´ıcie no espac¸o. Se os pontos de S sa˜o dererminados pelas equac¸o˜es x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v) sendo que x, y, z sa˜o func¸o˜es cont´ınuas das varia´veis u e v, definidas em uma regia˜o conexa R do plano u ◦ v, as equac¸o˜es acima sa˜o chamadas equac¸o˜es parame´ticas de S. Se denotarmos por ~r(u, v) o vetor posic¸a˜o de um ponto qualquer (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) da superf´ıcie, temos ~r(u, v) = x(u, v)~i+ y(u, v)~j + z(u, v)~k. Exemplo 135: A equac¸a˜o vetorial ~r(u, v) = u~i+ v~j + (u2 + 1)~k, sendo que −2 ≤ u ≤ 2 e 0 ≤ v ≤ 5, representa uma superf´ıcie parametrizada em IR3. Representac¸a˜o Parame´trica de Algumas Superf´ıcies: (1) Parametrizac¸a˜o da esfera: Dada uma esfera de raio a, centrada na origem, O. Um ponto P (x, y, z) desta esfera pode ser representado por dois aˆngulos u e v. O aˆgulo u e´ o mesmo que em coordenadas polares, e o aˆngulo v e´ o formado pelo segmento OP e pelo plano x ◦ y ou eixo z, conforme figura abaixo. Segue as equac¸o˜es parame´tricas e vetoriais de cada caso: x = a cos(u) cos(v) 0 ≤ u ≤ 2pi x = a cos(u) sin(v) 0 ≤ u ≤ 2pi (1) y = a sin(u) cos(v) e (2) y = a sin(u) sin(v) e z = a sin(v) −pi 2 ≤ v ≤ pi 2 z = a cos(v) 0 ≤ v ≤ pi (1) ~r(u, v) = a cos(u) cos(v)~i+ a sin(u) cos(v)~j + a sin(v)~k , (u, v) ∈ [0,2pi]× [−pi 2 , pi 2 ]; (2) ~r(u, v) = a cos(u) sin(v)~i+ a sin(u) sin(v)~j + a cos(v)~k , (u, v) ∈ [0,2pi]× [0, pi]. Exemplo 136: Obter uma parametrizac¸a˜o da parte da esfera x2 + y2 + z2 = a2, que esta´ no 1o octante. Exemplo 137: Determinar uma parametrizac¸a˜o da parte da esfera x2 + y2 + z2 = 16, acima do plano z = 2. Exemplo 138: Obter uma parametrizac¸a˜o da esfera x2−2x+y2−4y+ 4 + z2 + 1 = 0. (2) Parametrizac¸a˜o de um Cilindro: Consideremos um cilindro vertical, dado pela equac¸a˜o x2 + y2 = a2. Seja P (x, y, z) um ponto qualquer sobre o cilindro. Devemos introduzir dois paraˆmetros u e v e obter as coordenadas de P como func¸a˜o de u e v. Geometricamente o paraˆmetro u e´ o mesmo que em coordenadas polares e o paraˆmetro v coincide com z. Segue as equac¸o˜es parame´tricas e vetorial. x = a cos(u), 0 ≤ u ≤ 2pi y = a sin(u) e z = v −∞ < v < +∞ ~r(u, v) = a cos(u)~i+ a sin(u)~j + v~k , (u, v) ∈ [0,2pi]× IR; Exemplo 139: Obter uma parametrizac¸a˜o da parte do cilindro x2 + y2 = 4, 0 ≤ z ≤ 5, delimitada pelos semiplanos y = x e y = 2x, com x ≥ 0. Exemplo 140: Obter uma parametrizac¸a˜o do cilindro x2 + z2 = a2. (3) Parametrizac¸a˜o de um Cone: A figura abaixo mostra um cone circular, no qual denotamos por α o aˆngulo formado pelo eixo positivo dos z e uma geratriz do cone. Dado um ponto P (, x, y, z) do cone, introduziremos dois paraˆmetros u e v para obter as coordenadas de P como func¸a˜o de u e v. Geometricamente o paraˆmetro u e´ o mesmo que em coordenadas polares e o paraˆmetro v e´ a distaˆncia de P ate´ a origem, O. Do triaˆngulo retaˆngulo POP2, temos z = v cos(α) e OP0 = v sin(α). Do triaˆngulo retaˆngulo P0OP1, vem x = OP0 cos(u) e y = OP0 sin(u). Assim, as equac¸o˜es parameˆtricas e vetorias sa˜o: x = v sin(α) cos(u) 0 ≤ u ≤ 2pi y = v sin(α) sin(u) e z = v cos(α) 0 ≤ v ≤ h onde h cos(α) descreve a altura do cone. ~r(u, v) = v sin(α) cos(u)~i+ v sin(α) sin(u)~j + v cos(α)~k , (u, v) ∈ [0,2pi]× [0, h]; Exemplo 141: Obter uma parametrizac¸a˜o do cone gerado pela semi-reta z = √ 3y, y ≥ 0 quando esta gira em torno do eixo positivo dos Z. Exemplo 142: Obter uma parametrizac¸a˜o do cone z = − √ x2 + y2. (4) Parametrizac¸a˜o de um Parabolo´ide: A figura abaixo mostra um parabolo´ide z = a 2(x2 + y2), onde a > 0 e´ uma constante. As equac¸o˜es parameˆtricas e vetorias sa˜o: x = u u ∈ IR y = v e z = a2(u2 + v2) v ∈ IR ~r(u, v) = u~i+ v~j + a2(u2 + v2)~k , (u, v) ∈ IR2. Uma outra parametrizac¸a˜o e´: ~r(u, v) = u cos(v)~i+ u sin(v)~j + a2u2~k , (u, v) ∈ [0,2pi]× IR+ Exemplo 143: Obter uma parametrizac¸a˜o da parte do parabolo´ide z = 2(x2 + y2) abaixo do plano z = 8. Parametrizac¸a˜o de outras superf´ıcies: De maneira geral, dada uma superf´ıcie S, sempre procuramos parametriza´-la da forma mais natural poss´ıvel. Por exemplo x e y sempre podem ser tomadas como paraˆmetros. Assim, uma parametrizac¸a˜o de S e´ dada por ~r(x, y) = (x, y, z(x, y)), com (x, y) ∈ R, onde R e´ a projec¸a˜o de S sobre o plano x ◦ y. Exemplo 144: Parametrizar o hemisfe´rio x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0. Exemplo 145: Parametrizar a superf´ıcie S dada por y = x2 + z2, y ≤ 4. Exemplo 146: Obter uma parametrizac¸a˜o da parte do cone x2 = y2 + z2 que esta´ entre os planos x = 1 e x = 4. Curvas Coordenadas: Seja S uma superf´ıcie parame´trica representada por ~r(u, v) = x(u, v)~i+ y(u, v)~j + z(u, v)~k, (u, v) ∈ R. (1) e fixarmos o paraˆmetro v, a equac¸a˜o (1) descreve uma curva que esta´ contida em S e´ chamada u-curva. Analogamente, fixando o paraˆmetro u, obtemos uma v-curva sobre S. Dado um ponto P sobre S, de vetor posic¸a˜o ~r(u0, v0), a u-curva ~r(u, v0) e a v-curva ~r(u0, v) sa˜o chamadas curvas coordenadas de S em P . Exemplo 147: Determinar as curvas coordenadas da esfera x2 +y2 +z2 = 4, no ponto P (2,0,0). Plano Tangente e Reta Normal: Seja P um ponto de uma superf´ıcie S, representada por ~r(u, v), (u, v) ∈ R. Suponhamos que P tem vetor posic¸a˜o ~r(u0, v0) e que as curvas cooedenadas de S em P sejam suaves. Segue que: O vetor ∂~r ∂v = d(~r(u0,v) dv e´ tangente a` v-curva ~r(u0, v) e o vetor ∂~r ∂u = d(~r(u,v0) du e´ tangente a` u-curva ~r(u, v0). Se os vetores ∂~r ∂u e ∂~r ∂v sa˜o limearmente independentes, eles determinam um plano. Esse plano e´ chamado plano tangente a` superf´ıcie no ponto P . O vetor ∂~r ∂u × ∂~r ∂v e´ perpendicular ao plano tangente e e´ denominado vetor normal a` superf´ıcie S. Exemplo 148: Uma superf´ıcie S e´ descrita pela equac¸a˜o ~r(u, v) = (u cos(v), u sin(v), U 2− 1), com 0 ≤ u ≤ 4, 0 ≤ v ≤ 2pi. a) Representar graficamente a superf´ıcie S. b) Dar a equac¸a˜o e desenhar a v-curva correspondente a u = 2 e a u-curva correspon- dente a v = pi 4 , sobre a cuperf´ıcie S. c) Determinar os vetores ∂~r ∂u , ∂~r ∂v , ∂~r ∂u × ∂~r ∂v para u = 2 e v = pi 4 e representa´-los no ponto correspondente sobre o gra´fico de S. Equac¸a˜o da reta normal: A equac¸a˜o da reta normal a` superf´ıcie S em um ponto P de S e´ ~r(t) = ~r(u0, y0) + t( ∂~r ∂u × ∂~r ∂v )(u0, v0), onde ~r(u0, v0) e´ o vetor posic¸a˜o do ponto P e ( ∂~r ∂u × ∂~r ∂v )(u0, v0) e´ o vetor diretor da reta normal. Exemplo 149: Determine a equac¸a˜o da reta normal a` superf´ıcie S de equacc¸a˜o veto- rial ~r(u, v) = (u cos(v), u sin(v), u2−1), com (u, v) ∈ [0,4]×[0,2pi], no ponto P (√2,√2,3).Equac¸a˜o do plano tangente: A equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie S, no ponto P (x0, y0, z0) e´ ~q · (∂~r ∂u × ∂~r ∂v )(u0, v0) = 0, com ~q = (x− x0, y − y0, z − z0). Exemplo 150: Determine a equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie S de equac¸a˜o veto- rial ~r(u, v) = (u cos(v), u sin(v), u2−1), com (u, v) ∈ [0,4]×[0,2pi], no ponto P (√2,√2,3). Exemplo 151: Determine a equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie S dada por x2 + y2 + z2 = 4, no ponto P (1,1, √ 2). Exemplo 150: Determine a equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie S do exemplo anterior, no ponto P0(0,0,2). Superf´ıcies Suaves e Orientac¸a˜o Uma superf´ıcie suave ou regular e´ caracterizada pela auseˆncia de arestas. Podemos dizar que, em cada ponto P de uma superf´ıcie suave S, existe um u´nico plano tangente a S em P . Uma maneira conveniente de descrever a noc¸a˜o de suavidade de uma superf´ıcie S e´ dizer que S pode ser dividida em partes e cada uma dessas partes admite uma parametrizac¸a˜o ~r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), onde x = x(u, v), y = y(u, v) e z = z(u, v) admitem derivadas cont´ınuas de todas as ordens, e que, para todo (u0, v0) ∈ R, as derivadas primeiras satisfazem a condic¸a˜o ∂~r ∂u (u0, v0)e ∂~r ∂v (u0, v0) sa˜o linearmente independentes. Esta condic¸a˜o e´ conhecida como condic¸a˜o de suavidade ou regularidade. Os pontos de S em que falha a condic¸a˜o de suavidade para qualquer parametrizac¸a˜o sa˜o chamados pontos singuares. Exemplo 151: O ponto P (0,0,2) da esfera x2 + y2 + z2 = 4 e´ um ponto singular da parametrizac¸a˜o ~r(u, v) = (2 cos(u) cos(v),2 sin(u) cos(v),2 cos(v)). Orientac¸a˜o de uma superf´ıcie Uma superf´ıcie S esta´ orientada quando escolhemos em cada ponto P ∈ S um vetor unita´ri ~n(P ), normal a S, que varia continuamente com P . O campo de vetores ~n e´ chamado campo normal unita´rio. Se S e´ representada por ~r(u, v), (u, v) ∈ R, nos pontos, em que a condic¸a˜o de suavidade e´ satisfeira, os vetores ~n1 = ∂~r ∂u × ∂~r ∂u |∂~r ∂u × ∂~r ∂u | e ~n2 = − ~n1 sa˜o vetores unita´rios normais a S. Exemplo 152: Determine um campo normal unita´rio da esfera x2 + y2 + z2 = a2, representando graficamente o vetor normal unita´rio encontrado em alguns pontos da esfera. Exemplo 153: Determine um campo normal unita´rio do parbolo´ide S, dado por ~r(x, y) = (x, y, x2 + y2), onde x2 + y2 ≤ 4. Exemplo 154: A fita de Mo¨bius, e´ um exemplo cla´ssico de superf´ıcie unilateral. Ela pode ser obtida a partir de um longo retaˆngulo ABCD, em que os lados AC e BD sa˜o unidos de tal forma que A coincida com D e B com C. Observamos que, dado um ponto P da dita de Mo¨bius, podemos escolher um vetor normal unita´rio ~n. No entanto quando ~n se desloca continuamente sobre a curva C e retorna a P , seu sentido se inverte. Orientac¸a˜o de uma supesf´ıcie suave por partes Se uma superf’icie suave e orientada S e´ limitada por uma curva fechada simples C, podemos associar a` orientac¸a˜o de S um sentido positivo sobre C, conforme vemos na figura abaixo. Se a superf´ıcie S e´ formada por mais de duas partes suaves, procedemos de forma ana´loga a` figura acima. Exemplo 155: Dada a figura, mostrar uma poss´ıvel orientac¸a˜o da superf´ıcie S de um cubo. Com essa orientac¸a˜o, S e´ denominada superf´ıcie exterior do cubo dado. A´rea de uma Superf´ıcie: Seja S uma superf´ıcie paramee´trica suave, representada por ~r(u, v) = x(u, v)~i+ y(u, v)~j + z(u, v)~k, (u, v) ∈ R. Os vetores |∂~r ∂u |∆u e |∂~r ∂v |∆v determinam um paralelogramo, cuja a´rea e´ dada por: ∆S = |∂~r ∂u ∆u× ∂~r ∂v ∆v| = |∂~r ∂u × ∂~r ∂v |∆u∆v. A parte de S, correspondente ao retaˆngulo de a´rea ∆u∆v em R, e´ aproximada por esse paralelogramo de a´rea ∆S. Definic¸a˜o: A a´rea de S, denotada por a(S), e´ definida pela equac¸a˜o a(S) = ∫ ∫ R |∂~r ∂u × ∂~r ∂v |dudv quando a integral a` direita existe. Se S e´ suave por partes, a a´rea de S e´ definida como a soma das a´reas sobre cada pedac¸o suave de S. Exemplo 156: Determinar a a´rea da esfera de raio a. Exemplo 157: Determinar a a´rea do parabolo´ıde z = 2(x2 +y2), abaixo do plano z = 8. Exemplo 158: Seja S uma superf´ıcie representada na forma expl´ıcita por z = z(x, y). Usando x e y como paraˆmetros, escrever a integral que define a a´rea de S. Exemplo 159: Determinar a a´rea do hemisfe´rio de raio a, usando a representac¸a˜o expl´ıcita z = √ a2 − x2 − y2. Exemplo 160: Encontrar a a´rea da superf´ıcie coˆnica x2 = y2 + z2 que esta´ entre os planos x = 1 e x = 4. Integral de Superf´ıcie de um Campo Escalar: Seja S uma superf´ıcie suave, repre- sentada por ~r(u, v), (u, v) ∈ R. Seja f um campo escalar definido e limitado sobre S. A integral de superf´ıcie de f sobre S, denotada por ∫ ∫ S fds, e´ definida pela equac¸a˜o∫ ∫ S fds = ∫ ∫ R f(~r(u, v))|∂~r ∂u × ∂~r ∂v |dudv, quando a integral dupla a´ direita existe. Se S e´ suave por partes, ∫ ∫ S fds e´ definida como a soma das integrais sobre cada pedac¸o suave de S. Exemplo 161: Calcular I = ∫ ∫ S (z − x2 + xy2 − 1)ds, onde S e´ a superf´ıcie ~r(u, v) = u~i+ v~j + (u2 + 1)~k, (u, v) ∈ [0,2]× [0,5]. Exemplo 162: Calcular I = ∫ ∫ S x2zds, onde S e´ a porc¸a˜o do cone z2 = x2 + y2 que esta´ entre os planos z = 1 e z = 4. Exemplo 163: Calcular I = ∫ ∫ S (x + y + z)ds, onde S = S1 ∪ S2 e´ a superf´ıcie repre- sentada na figura. Centro de Massa e Momento de Ine´rcia: Suponhamos que S represente a laˆmina e que o campo escalar f(x, y, z) represente a densidade (massa por unidade de a´rea) no ponto (x, y, z).Enta˜o: A Massa da lamina e´ dado por m = ∫ ∫ S f(x, y, z)ds O centro de massa (x, y, z) e´ dado por x = 1 m ∫ ∫ S xf(x, y, z)ds y = 1 m ∫ ∫ S yf(x, y, z)ds z = 1 m ∫ ∫ S zf(x, y, z)ds O momento de ine´rcia IL de S em relac¸a˜o a um eixo L e´ dado por IL = ∫ ∫ S [δ(x, y, z)]2f(x, y, z)ds onde δ(x, y, z) e´ a distaˆncia do ponto (x, y, z) de S ate´ o eixo L. Exemplo 164: Uma laˆmina tem a forma da parte do plano z = y recortada pelo cilindro x2 + (y− 1)2 = 1. Determine a massa dessa laˆminha se a densidade no ponto (x, y, z) e´ proporcional a` distaˆncia desse ponto ao plano x ◦ y. Exemplo 165: Determine o centro de massa do hemisfe´rio z = √ 1− x2 − y2 com densidade f(x, y, z) = 0,3 unidade de massa por unidade de a´rea. Exemplo 166: Uma laˆmina tem a forma de um hemisfeˆrio unita´rio. Encontrar o momento de ine´rcia dessa laˆmina em ralac¸a˜o a um eixo que passa pelo po´lo e e´ per- pendicular ao plano que delimita o hemisfe´rio. Considerar a densidade no ponto P da laˆmina proporcional a` distaˆncia desse ponto ao plano que delimita o hemisfe´rio. Integal de Superf´ıcie de um Campo Vetorial: Sejam S uma superf´ıcie suave, representada por ~r(u, v) = x(u, v)~i+y(u, v)~j+ z(u, v)~k, (u, v) ∈ R, e ~n = ~n(u, v) um vetor unita´rio, normal a S. Seja ~f um campo vetorial definido sobre S. A integral de superf´ıcie de ~f sobre S, denotada por ∫ ∫ S ~f · ~nds, e´ definida pela equac¸a˜o∫ ∫ S ~f · ~nds = ∫ ∫ R ~f(~r(u, v)) · ~n(u, v)|∂~r ∂u × ∂~r ∂u |dudv, quando a integral a` direita existe. Se S e´ suave por partes, a integral e´ definida como a soma das integrais sobre cada pedac¸o suave de S. Ca´lculo da Integal Seja ~n1 o vetor normal unita´rio de S, dado por ~n1 = ∂~r ∂u × ∂~r ∂u | ∂~r ∂u × ∂~r ∂u |. Podemos ter ~n = ~n1 ou ~n = − ~n1.∫ ∫ S ~f · ~nds = ± ∫ ∫ R ~f(~r(u, v)) · (∂~r ∂u × ∂~r ∂u )dudv. O sinal depende da escolha de ~n. Exemplo 167: Calcular ∫ ∫ S ~f · ~nds, sendo ~f = x~i+ y~j + z~k e S a superf´ıcie esterior daesfera representada por ~r(u, v) = (a cos(u) cos(v), a sin(u) cos(v), a sin(v)), olequ ≤ 2pi e −pi 2 ≤ v ≤ pi 2 . Exemplo 168: Seja S a superf´ıcie exterior do parabolo´ide ~r(x, y) = (x, y, x2 + y2), (x, y) ∈ R, onde R = {(x, y)|x2+y2 ≤ 4}. Determinar ∫ ∫ S ~f ·~nds, sendo ~f = (3x,3y,−3z). Interpretac¸a˜o f´ısica da integral ∫ ∫ S ~f · ~nds Consideremos um fluido em movimento em um dom´ınio D do espac¸o. Sejam ~v(x, y, z) o vetor velocidade do fluido no ponto (x, y, z) e ρ(x, y, z) a sua densidade. Seja ~f o campo vetorial dado por ~f(x, y, z) = ρ(x, y, z)~v(x, y, z). O vetor ~f tem a mesma direc¸a˜o da velocidade e seu comprimento tem dimenso˜es massa unid. vol. · distaˆcia unid. tempo = massa (unid. a´rea)(unid. tempo) . Assim, podemos dizer que ~f representa a quantidade de massa de fluido, por unidade de a´rea e por unidade de tempo, que escoa na direc¸a˜o de ~v, em um ponto qualquer (x, y, z) ∈ D. Sejam S : ~r(u, v), (u, v) ∈ R, uma superf´ıcie parame´trica suave, contida em D, e ~n um vetor unita´rio, normal a S. A componente de ~f , na direc¸a˜o de ~n, e´ dada por |~f | cos(α) = |~f ||~n| cos(α) = ~f · ~n. Portanto, de dS e´ o elemento de a´rea de superf´ıcie de S, o produto (~f · ~n)dS representa o volume de um prisma cuja a´rea da base e´ dS e cuja altura e´ a componente de ~f na direc¸a˜o de ~n. Podemos, enta˜o, dizer que (~f · ~n)dS nos da´ a quantidade de massa de fluido que atravessa dS, na direc¸a˜o de ~n, em uma unidade de tempo. A quantidade total de massa de fluido que atravessa a superf´ıcie S, na direc¸a˜o de ~n, em uma unidade de tempo, sera´ dada por φ = ∫ ∫ S ~f · ~ndS e e´ chamda de fluxo do campo vetorial ~f , atrave´s da superf´ıcie S. Exemplo 169: Um fluido de densidade constante, com velocidade ~v = (−2x,−2y, z), escoa atrave´s da superf´ıcie S dada por ~r(u, v) = (u cos(v), u sin(v), u2 − 1), o ≤ u ≤ 4, 0 ≤ v ≤ 2pi, na direc¸a˜o do vetor ∂~r ∂u × ∂~r ∂v . Determinar a massa de fluido que atravessa S em uma unidade de tempo. Exemplo 170: Sejam S a superf´ıcie plana limitada pelo triaˆngulo de ve´rtice (4,0,0), (0,4,0) e (0,0,4) e ~n um vetor unita´ario, normal a S, com componente z na˜o negativa. Usando a representac¸a˜o vetorial de S dada por ~r(u, v) = (u + 2v, u− 2v,4− 2u), deter- minar o fluxo do campo vetorial ~f = x~i+y~j+z~k, atrave´s da superf´ıcie S, na direc¸a˜o de ~n. Exemplo 171: Seja S uma superf´ıcie suave representada na forma expl´ıcita z = z(x, y). Usando x e y como paraˆmetros, determinar uma equac¸a˜o para calcular ∫ ∫ S ~f · ~nds. Exemplo 172: Resolver o Exemplo 2, usando a forma expl´ıcita z = 4− x− y. Exemplo 173: Seja S a parte do cone z = (x2+y2) 1 2 , delimitada pelo cilindro x2+y2 = 1, com a normal apontando para fora. Calcular ∫ ∫ S (2dydz + 5dzdx+ 3dxdy). Exemplo 174: Sejam S uma superf´ıcie parame´trica suave, representada por ~r(u, v), (u, v) ∈ R e ~n = ~n(u, v) um vetor unita´rio, normal a S. Se ~f e´ um campo vetorial cont´ınuo definido sobre S e T e´ a componente de ~f na direc¸a˜o de ~n, mostrar que∫ ∫ S ~f · ~nds = ∫ ∫ S TdS. Esse resultado nos permite fazer uma ana´lise da integral de superf´ıcie de um campo vetorial em diversas situac¸o˜es pra´ticas, como segue: a) Se, em cada ponto da superf´ıcie S, o campo vetorial ~f for perpendicular ao vetor ~n, a integral de ~f sobre S sera´ nula. Em particular, se ~f representa a densidade de fluxo de um fluido em movimento, sera´ nulo o fluxo atrave´s da superf´ıcie S. b) Se o aˆngulo entre ~f e ~n for agudo, a componente de ~f na direc¸a˜o de ~n sera´ positiva e, dessa forma, teremos um fluxo positivo atrave´s de S. c) Se o aˆngulo entre ~f e ~n for abtuso, a componente de ~f na direc¸a˜o de ~n sera´ negativa. Nesse caso, teremos um fluxo negativo atrave´s de S. Na pra´tica, isso significa que o fluido estara´ atravessando a superf´ıcie S no sentido contra´rio ao do vetor ~n. Exemplo 175: Determinar o fluxo do campo vetorial ~f = (x, y,0) atrave´s da superf´ıcie exterior do so´lido x2 + y2 ≤ 9, 0 ≤ z ≤ 4. Teorema de Stokes Seja S uma superf´ıcie orienta´vel, suave por partes, delimitada por uma curva fechada, simples, suave por partes, C. Enta˜o, se ~g e´ um campo vetorial cont´ınuo, com derivadas parciais de 1a ordem cont´ınuas em um dom´ınio que conte´m S ∪ C, temos∫ ∫ S rot~g · ~ndS = ∫ C ~g · ~dr, onde a integrac¸a˜o ao longo de C e´ efetuada no sentido positivo determinada pela orientac¸a˜o de S, como vemos na figura abaixo Se o campo ~g tem componentes g1, g2 e g3, (1) pode ser reescrita como∫ C (g1dx+ g2dy + g3dz) = ∫ ∫ S [ ( ∂g3 ∂y − ∂g2 ∂z )dydz + ( ∂g1 ∂z − ∂g3 ∂x )dzdx+ ( ∂g2 ∂x − ∂g1 ∂y )dxdy ] . Exemplo 176: Usando o teorema de Stokes, calcular I = ∫ C (y2dx+ z2dy+ x2dz), onde C e´ o contorno da parte do plano x+y+z = a, a > 0 que esta´ no 1o octante, no sentido anti-hora´rio. Exemplo 177: Seja S a parte do gra´fico de z = 9− x2− y2, z ≥ 0 com normal exterior. Determinar ∫ ∫ S rot~g · ~ndS, sendo ~g = (3z,4x,2y). Exemplo 178: Sejam S1 a superf´ıcie parabo´lica z = x2 + y2, 0 ≤ z ≤ 4, com normal exterior e S2 parte do plano z = 4 delimitada pelo cilindro x2 + y2 = 4, com normal inferior. Mostrar que ∫ ∫ S1 rot~g · ~ndS = ∫ ∫ S2 rot~g · ~ndS, sendo ~g um campo vetorial com derivadas parciais de 1o ordem cont´ınuas. Exemplo 178: Calcular I = ∫ C (sin(z)dx − cos(x)dy + sin(z)dz), onde C e´ o per´ımetro do retaˆngulo 0 ≤ x ≤ pi, 0 ≤ y ≤ 1, z = 3 no sentido hora´rio. Teorema da Divergeˆncia Seja T um so´lido no espac¸o, limitado por uma superf´ıcie orienta´vel S. Se ~n e´ a normal unita´ria exterior a S e se ~f(x, y, z) = f1(x, y, z)~i+ f2(x, y, z)~j + f3(x, y, z)~k e´ uma func¸a˜o vetorial cont´ınua que possui derivadas parciais de 1a ordem cont´ınuas em um fom´ınio que conte´m T , enta˜o ∫ ∫ S ~f · ~ndS = ∫ ∫ ∫ T div ~fdV Exemplo 179: Calcular I = ∫ C [(2x− z)dydz + x2dzdx− xz2dxdy], onde S e´ a superf´ıcie exterior do cubo limitado pelos plaos coordenados e pelos planos x = 1, y = 1 e z = 1. Exemplo 180: Calcular a integral do exemplo anterior sobre S ′ , sendo S ′ a superf´ıcie esterior do cubo, exceto a face que esta´ no plano z = 1.
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