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CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO AAnneexxoo II:: SSOOLLUUÇÇÃÃOO DDEE EEQQUUAAÇÇÃÃOO DDIIFFEERREENNCCIIAALL PPOORR SSÉÉRRIIEE IINNFFIINNIITTAA DDEE PPOOTTÊÊNNCCIIAASS 101 Anexo I SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL POR SÉRIE INFINITA DE POTÊNCIAS Este anexo pretende mostrar que a solução da equação diferencial (01) abaixo, ou da equação (07) da seção 6.5 (resolvida naquele lugar pelo Método da Dedução Lógica), pode ser feita por um método mais longo, porém mais potente e abrangente: a Substituição por Série Infinita de Potências. X dx Xd 2 2 2 α= (01) Supondo que a solução procurada X seja representada por uma série infinita de potências de x: ∑ ∞ = = 0n n nxaX (02) Substituindo (02) em (01), efetuando as derivações, obtém-se: ( ) ∑∑ ∞ = ∞ = − α=− 0n n n 2 0n 2n n xaxa1nn (03) Se as duas séries infinitas de potências são iguais, estão os coeficientes correspondentes de mesma potência de x das duas séries devem ser iguais, termo a termo. Assim, 0 2 2 aa12 α=×× ; 1 2 3 aa23 α=×× ; ..., ( )( ) n22n aa)1n2n α=++ + (04) Os coeficientes pares podem ser expressos em função do coeficiente 0a , enquanto que os coeficientes ímpares podem ser escritos em função de 1a , conforme mostra o quadro: Coeficientes pares Coeficientes ímpares 0 2 0 2 2 a!2 a 12 a α = × α = α α = × α = 1 3 1 2 3 a !3 a 23 a 0 4 2 2 4 a!4 a 34 a α = × α = α α = × α = 1 5 3 2 5 a !5 a 45 a 0 6 4 2 6 a!6 a 56 a α = × α = α α = × α = 1 7 5 2 7 a !7 a 67 a ... ... 0 n n a!n a α = (n par) α α = 1 n n a !n a (n ímpar) Substituindo estes coeficientes de volta na série de potências original (02), obtém-se: CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO AAnneexxoo II:: SSOOLLUUÇÇÃÃOO DDEE EEQQUUAAÇÇÃÃOO DDIIFFEERREENNCCIIAALL PPOORR SSÉÉRRIIEE IINNFFIINNIITTAA DDEE PPOOTTÊÊNNCCIIAASS 102 ∑∑ ∞ = ∞ = α α + α = ímparn 1n n n 1 parn 0n n n 0 x!n a x !n aX ou, ( ) ( ) ∑∑ ∞ = ∞ = α α + α = ímparn 1n n 1 parn 0n n 0 !n xa !n x aX (05) Reconhecendo que a primeira e a segunda série do segundo membro de (05) são, respectivamente, o co-seno hiperbólico e o seno hiperbólico, expressos por (06) e (07), ( ) ( ) ( ) ⋅⋅⋅+ α + α += α =α ∑ ∞ = !4 x !2 x1 !n x xcosh 42 parn 0n n (06) ( ) ( ) ( ) ⋅⋅⋅+ α + α +α= α =α ∑ ∞ = !5 x !3 x x !n x xsenh 53 ímparn 1n n (07) chega-se a equação (08): xsenhaxcoshaX 10 α α +α= (08) Fazendo 0aA = e α= /aB 1 , chega-se a solução final (09) mostrada abaixo. xsenhBxcoshAX α+α= (09) Deve-se observar que as constantes A e B são calculadas em termos das condições de contorno estabelecidas para o problema. As funções hiperbólicas de (09) podem ser escritas em termos de exponenciais, ou seja, 2 ee xcosh xx α−α + =α (10) 2 ee xsenh xx α−α − =α (11) Assim, substituindo (10) e (11) em (09), obtém-se a expressão final (12) em termos de exponenciais, onde foram selecionadas novas constantes arbitrárias 'A e 'B . x'x' eBeAX α−α += (12) Atenção: O aluno deve exercitar a utilização do método aqui apresentado (Substituição por Série Infinita de Potências), resolvendo agora a equação diferencial (08) da seção 6.5, mostrada novamente em (13). Y dy Yd 2 2 2 α−= (13)
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