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ELETROMAG - ANEXO 1

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CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
AAnneexxoo II:: SSOOLLUUÇÇÃÃOO DDEE EEQQUUAAÇÇÃÃOO DDIIFFEERREENNCCIIAALL PPOORR SSÉÉRRIIEE IINNFFIINNIITTAA DDEE PPOOTTÊÊNNCCIIAASS 101 
 
Anexo I 
 
SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL POR 
SÉRIE INFINITA DE POTÊNCIAS 
 
 
Este anexo pretende mostrar que a solução da equação diferencial (01) abaixo, ou da equação (07) 
da seção 6.5 (resolvida naquele lugar pelo Método da Dedução Lógica), pode ser feita por um 
método mais longo, porém mais potente e abrangente: a Substituição por Série Infinita de Potências. 
 
X
dx
Xd 2
2
2
α=
 (01) 
 
Supondo que a solução procurada X seja representada por uma série infinita de potências de x: 
∑
∞
=
=
0n
n
nxaX (02) 
 
Substituindo (02) em (01), efetuando as derivações, obtém-se: 
 
 ( ) ∑∑
∞
=
∞
=
− α=−
0n
n
n
2
0n
2n
n xaxa1nn (03) 
 
Se as duas séries infinitas de potências são iguais, estão os coeficientes correspondentes de mesma 
potência de x das duas séries devem ser iguais, termo a termo. Assim, 
 
 0
2
2 aa12 α=×× ; 1
2
3 aa23 α=×× ; ..., ( )( ) n22n aa)1n2n α=++ + (04) 
 
Os coeficientes pares podem ser expressos em função do coeficiente 0a , enquanto que os 
coeficientes ímpares podem ser escritos em função de 1a , conforme mostra o quadro: 
 
Coeficientes pares Coeficientes ímpares 
0
2
0
2
2 a!2
a
12
a
α
=
×
α
= 
α
α
=
×
α
=
1
3
1
2
3
a
!3
a
23
a 
0
4
2
2
4 a!4
a
34
a
α
=
×
α
= 
α
α
=
×
α
=
1
5
3
2
5
a
!5
a
45
a 
0
6
4
2
6 a!6
a
56
a
α
=
×
α
= 
α
α
=
×
α
=
1
7
5
2
7
a
!7
a
67
a 
... 
... 
0
n
n a!n
a
α
= (n par) 
α
α
=
1
n
n
a
!n
a (n ímpar) 
 
Substituindo estes coeficientes de volta na série de potências original (02), obtém-se: 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
AAnneexxoo II:: SSOOLLUUÇÇÃÃOO DDEE EEQQUUAAÇÇÃÃOO DDIIFFEERREENNCCIIAALL PPOORR SSÉÉRRIIEE IINNFFIINNIITTAA DDEE PPOOTTÊÊNNCCIIAASS 102 
 ∑∑
∞
=
∞
=
α
α
+
α
=
ímparn
1n
n
n
1
parn
0n
n
n
0 x!n
a
x
!n
aX 
ou, 
 
( ) ( )
∑∑
∞
=
∞
=
α
α
+
α
=
ímparn
1n
n
1
parn
0n
n
0 !n
xa
!n
x
aX (05) 
 
Reconhecendo que a primeira e a segunda série do segundo membro de (05) são, respectivamente, o 
co-seno hiperbólico e o seno hiperbólico, expressos por (06) e (07), 
 
( ) ( ) ( )
⋅⋅⋅+
α
+
α
+=
α
=α ∑
∞
=
!4
x
!2
x1
!n
x
xcosh
42
parn
0n
n
 (06) 
( ) ( ) ( )
⋅⋅⋅+
α
+
α
+α=
α
=α ∑
∞
=
!5
x
!3
x
x
!n
x
xsenh
53
ímparn
1n
n
 (07) 
 
chega-se a equação (08): 
 
xsenhaxcoshaX 10 α
α
+α= (08) 
 
Fazendo 0aA = e α= /aB 1 , chega-se a solução final (09) mostrada abaixo. 
 
xsenhBxcoshAX α+α=
 (09) 
 
Deve-se observar que as constantes A e B são calculadas em termos das condições de contorno 
estabelecidas para o problema. 
 
As funções hiperbólicas de (09) podem ser escritas em termos de exponenciais, ou seja, 
 
2
ee
xcosh
xx α−α +
=α (10) 
2
ee
xsenh
xx α−α
−
=α (11) 
 
Assim, substituindo (10) e (11) em (09), obtém-se a expressão final (12) em termos de 
exponenciais, onde foram selecionadas novas constantes arbitrárias 'A e 'B . 
 
x'x' eBeAX α−α += (12) 
 
Atenção: O aluno deve exercitar a utilização do método aqui apresentado (Substituição por Série 
Infinita de Potências), resolvendo agora a equação diferencial (08) da seção 6.5, 
mostrada novamente em (13). 
Y
dy
Yd 2
2
2
α−= (13)