ELETROMAG - CAP 2

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CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
CCaappííttuulloo IIII:: LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 9 
 
Capítulo II 
 
LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 
 
 
2.1 – LEI DE COULOMB 
 
Força de uma carga Q1 sobre uma carga Q2: 
 
122
12o
21
2 a
R4
QQF
piε
=
 [N] 
 
onde: 
R 12 = vetor orientado de Q1 a Q2 
a 12 = versor orientado de Q1 a Q2 
 
Notas: O módulo de 2F depende dos valores das cargas pontuais, da distância entre elas e do meio. 
Adota-se vácuo como o meio neste caso, e em todas as análises posteriores até o capítulo 5. 
A orientação de 2F (ou sentido de 2F ) depende apenas dos sinais das 2 cargas pontuais. 
 
 
2.2 – INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 
 
Força de uma carga pontual Q1 sobre uma carga de prova positiva QP situada num ponto P: 
P12
P1o
P1
P a
R4
QQF
piε
= 
 
Campo elétrico gerado pela carga pontual Q1 no ponto P (definição): 
 
P12
P1o
1
P
P a
R4
Q
Q
F
E
piε
==
 (Unidade: N/C ou V/m) 
 
Nota: A orientação do campo elétrico E depende apenas do sinal da carga que o produz (Q1). 
Assim, as linhas de força do campo elétrico saem (ou divergem) das cargas positivas e 
entram (ou convergem) para as cargas negativas. 
 
Campo elétrico gerado por n cargas pontuais: 
 
( ) mn
1m 2mo
m a
rr4
Q
rE ∑
−piε
=
=
 [V/m] 
 
onde: Qm = m-ésima carga pontual 
mr = posição da m-ésima carga pontual 
r = posição do ponto onde se quer o campo 
m
m
m
rr
rr
a
−
−
= = versor da m-ésima carga pontual 
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2.3 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO VOLUMÉTRICA CONTÍNUA DE 
CARGAS 
 
Definindo 
dv
dQ
v =ρ = densidade volumétrica de carga (em C/m3), temos que dQ = ρvdv. 
Assim a fórmula para calcular o campo elétrico num ponto P, no vácuo, de um volume de cargas é: 
 
∫
piε
= R2
o
a
R4
dQE
 [V/m] (FÓRMULA GERAL) 
 
sendo: 
 Ra = versor orientado de dQ ao ponto P (saindo) 
R = distância de dQ ao ponto P 
εo = permissividade elétrica do vácuo [F/m] 
 
Nota: Genericamente: ρv dv = ρS ds = ρL dL = dQ, para volume → superfície → linha → ponto. 
 
 
2.4 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO LINEAR CONTÍNUA DE CARGAS 
 
Definindo 
dL
dQ
L =ρ = densidade linear de carga (em C/m), temos que dQ = ρLdL. 
 
Demonstrar que a fórmula que fornece o campo elétrico num ponto P, no vácuo, devido a uma 
filamento retilíneo ∞∞∞∞ com carga uniformemente distribuída (ver figura), é expressa por: 
 
ρρpiε
ρ
= a
2
E
o
L
 
 
sendo: 
ρL = densidade linear de carga [C/m] (valor constante) 
ρ = menor distância (direção normal) da linha ao ponto P [m] 
ρa = versor normal à linha orientado para o ponto P 
 
Solução: Posicionando o eixo z sobre o filamento e o plano xy sobre 
o ponto P para facilitar a solução (ver figura), temos: 
dzdQ Lρ= 
ρρ+−= aazR z e 22zR ρ+= ⇒ 
22
z
R
z
aaz
R
R
a
ρ+
ρ+−
==
ρ
 
Substituindo na fórmula geral acima obtemos: 
( )
( )
( ) ρ
ρρ
+=
ρ+piε
ρ+−ρ∞+
−∞=
=
ρ+
ρ+−
ρ+piε
ρ∞+
−∞=
= ∫∫ EE
z4
aazdz
z
z
aaz
z4
dz
z
E z2/322
o
zL
22
z
22
o
L
 
Por simetria 0Ez = . 
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Fazendo a substituição trigonométrica (ver triângulo ao lado): 
αρ= tgz 
ααρ= ddz 2sec 
 
e levando na expressão acima e desenvolvendo, 
 
( ) ρ
ρ
ρ ααρpiε
ρ
=
ρ+αρ
ααρ
piε
ρρ
== ∫∫
pi
pi−=α
pi+
pi−=α ados4
ad
4
EE 2/ 2/
2/
2/
o
L
2/322o
L c
tg
sec
2
2
 
[ ] [ ] ρpi pi−=αρpi pi−=αρ +piε
ρ
=α
piε
ρ
== a11
4
a
4
EE 2/ 2/
o
L2/
2/
o
L sen 
 
Daí chegamos finalmente a: ρρ ρpiε
ρ
== a
2
EE
o
L
 
 
Logo, para uma linha ∞ com carga uniformemente distribuída, a magnitude de E é 
inversamente proporcional à distância (ρ), e a direção de E é radial (normal) à linha. 
 
 
2.5 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO SUPERFICIAL CONTÍNUA DE 
CARGAS 
 
Definindo 
dS
dQ
S=ρ = densidade superficial de carga (em C/m2 ), temos que dQ = ρS dS. 
 
Demonstrar que a fórmula que fornece o campo elétrico num ponto P, no vácuo, devido a uma 
superfície plana ∞∞∞∞ com carga uniformemente distribuída (ver figura), é expressa por: 
 
n
o
s a
2
E
ε
ρ
=
 
 
sendo: 
ρS = densidade superficial de 
carga [C/m2] (constante) 
na = versor normal ao plano 
orientado para o ponto P 
 
Solução: 
Observando a figura temos: 
φρρρ=ρ= dddSdQ ss 
zazaR +ρ−= ρ e 22 zR +ρ= ⇒ 22
z
R
z
aza
R
R
a
+ρ
+ρ−
==
ρ
 
Substituindo na fórmula geral acima obtemos: 
( ) 22 z22os z
aza
z4
dd
0
2
0E
+ρ
+ρ−
+ρpiε
φρρρ∞+
=ρ
pi
=φ=
ρ
∫∫ 
( )
( ) z2/322o
zs
2
s EE
z4
ddaza
0
2
0E +=
+ρpiε
φρρρ+ρρ−∞+
=ρ
pi
=φ= ρ
ρ
∫∫ 
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Por simetria 0E =ρ . 
( ) ( ) 2/322o zs2/322ozsz z
d
02
az
z
d
0d
2
04
az
EE
+ρ
ρρ∞+
=ρε
ρ
=
+ρ
ρρ∞+
=ρφ
pi
=φpiε
ρ
== ∫∫∫ 
Fazendo a substituição trigonométrica (ver triângulo ao lado): 
α=ρ tgz 
αα=ρ dzd 2sec , 
 
e levando na expressão acima e desenvolvendo, 
 
( ) αα
pi
=αε
ρ
=
α
ααpi
=αε
ρ
=
+α
αααpi
=αε
ρ
== ∫∫∫ d
2/
02
ad2/
02
a
zz
dzz2/
02
azEE
o
zs
o
zs
2/322
2
o
zs
z sen
sec
tg
tg
sectg
2
 
[ ] [ ] z
o
s2/
0
o
zs
z a1022
a
EE +
ε
ρ
=α−
ε
ρ
==
pi
=αcos ⇒ z
o
s
z a2
EE
ε
ρ
== 
 
De uma forma mais geral, fazendo nz aa = ⇒ n
o
s
n a2
EE
ε
ρ
==
 
Logo, para o plano ∞ com carga uniformemente distribuída, a magnitude de E é 
independente da distância (z) do plano a P, e a direção de E é normal ao plano. 
 
 
2.6 – LINHA DE FORÇA E ESBOÇO DE CAMPO 
 
Obtenção da equação da linha de força de E no plano xy: 
 
Para um ponto na linha de força no plano xy, temos: 
yyxx aEaEE += 
yx ayaxL ∆+∆=∆ 
 
onde L//E ∆ (2 vetores em paralelo) 
 
Fazendo LdL →∆ , obtemos: 
yx adyadxLd += 
 
Como, LdE ∝ , obtemos: 
 
dy
E
dx
E yx
=
 
Logo, basta resolver esta equação diferencial para obter a equação da linha de força no plano xy. 
 
Nota: Para uma linha de força de E no espaço tridimensional, obtém-se a expressão: 
 
dz
E
dy
E
dx
E zyx
==
 (Atenção: Resolve-se duas a duas, segundo as projeções em xy, yz e zx) 
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2.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
2.1) Uma linha infinita possui uma distribuição de carga com densidade ρL = -100 [ηC/m] e está 
situada no vácuo sobre a reta y = –5 [m] e z=0. Uma superfície plana infinita possui uma 
distribuição de carga com densidade ρS = α/pi [ηC/m2] e está situada no vácuo sobre o plano 
z = 5 [m]. Determinar o valor da constante α para que o campo elétrico resultante no ponto 
P(5,5,-5) não possuacomponente no eixo z. 
 
Resposta: α = 4. 
 
2.2) Dado um campo ( ) ( ) ( ) φφρρ φρ+φρ=φρ aaE ��� ,E,E, em coordenadas cilíndricas, as equações 
das linhas de força em um plano z = constante são obtidas resolvendo a equação diferencial: 
 
φρρ=φρ d dEE 
a) Determinar a equação da linha de força que passa pelo ponto P(ρ = 2, φ = 30o, z = 0) para o 
campo φρ φρ−φρ= aaE
��
�
22 cossen . 
b) Determinar um vetor unitário passando pelo ponto P(ρ = 2, φ = 30o, z = 0), que seja 
paralelo ao plano z = 0 e normal a linha de força obtida no item anterior. 
Respostas: a) φ=ρ 2cos82 ; b) 






+±= φρ aaa
���
2
3
2
1
. 
 
2.3) Duas linhas infinitas de carga com mesmas densidades lineares uniformes ρL = k [ηC/m] 
estão colocadas sobre o plano z = 0. As duas linhas se cruzam no ponto (-2, 1, 0), sendo que 
uma é paralela ao eixo x e a outra paralela ao eixo y. Determinar exatamente em que posição 
no plano z = 0 deverá ser colocada uma carga pontual Q = k [ηC] para que o campo elétrico 
resultante na origem se anule. 
 
Resposta: 








− 0
5
52
5
5P
44
;; . 
 
2.4) Determinar a força que atua sobre uma carga pontual Q1 em P(0,0,a) devido à presença de 
uma outra carga Q2, a qual está uniformemente distribuída sobre um disco circular de raio a 
situado sobre o plano z=0. 
 
Resposta: ( ) z2
o
21
 22
4
QQ
aF −⋅=
apiε
 
 
2.5) Seja um campo elétrico dado por ( ) [ ]mV y2cos y2sene5 yxx2 aaE −= − . Determinar: 
a) A equação da linha de força que passa pelo ponto P(x=0,5; y=pi/10; z=0); 
b) Um vetor unitário tangente a linha de força no ponto P. 
 
Respostas: a) 212,1x2ey2cos −= ou ( )606,0y2cosln5,0x += ; b) yxT 8090,05878,0 aaa −= . 
 
2.6) O segmento reto semi-infinito, z ≥ 0, x = y = 0, está carregado com ρL = 15 nC/m, no vácuo. 
Determine E nos pontos: 
a) PA (0, 0, –1); b) PB (1, 2, 3) 
Respostas: a) zA a8,134E −= [V/m]; b) zyxB a0,36a2,97a6,48E −+= [V/m]. 
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2.7) Duas bolas dielétricas iguais de diâmetro bem pequeno, pesando 10 g cada uma, podem 
deslizar livremente numa linha plástica vertical. Cada bola é carregada com uma carga 
negativa de 1 µC. Qual é a distância entre elas, se a bola inferior for impedida de se mover? 
 
Resposta: d = 300 [mm] 
 
2.8) Duas cargas pontuais de +2 C cada uma estão situadas em (1, 0, 0) m e (-1, 0, 0) m. Onde 
deveria ser colocada uma carga de –1 C de modo que o campo elétrico se anule no ponto (0, 
1, 0)? 
 
Resposta: Em (x = 0, y = 0,16 m, z = 0) 
 
2.9) a) Uma carga com densidade uniforme ρL = K C/m 
está distribuída sobre um pedaço de condutor 
circular de raio r = 2 m, posicionado sobre o 
plano y = 1 m, conforme mostra a figura abaixo. 
Determinar o campo elétrico E resultante na 
origem. 
b) Repetir o item (a), supondo, porém, que toda a 
carga seja concentrada no ponto (0,2,0). 
Respostas: a) y
o
a
8
3KE
piε
−
= [V/m]; b) y
o
a
12
KE
ε
−
= [V/m] 
 
2.10) Uma carga é distribuída uniformemente, com densidade ( )pi=ρ − 1810 9s C/m2, sobre uma 
lâmina retangular finita de 1 mm × 1 m, estando centrada na origem, sobre o plano z = 0, e 
com os lados paralelos aos eixos x e y. Usando aproximações de senso comum, estimar o 
valor do campo elétrico E
�
 nos seguintes pontos do eixo z: 
(a) z = 0,001 mm; (b) z = 1 cm; (c) z = 100 m 
Respostas: a) za1E = [V/m]; b) za
1,0E
pi
= [V/m]; c) z
7
a
2
10E
pi
=
−
 [V/m] 
 
2.11) Quatro cargas pontuais, iguais a 3 µC localizam-se, no vácuo, nos quatro vértices de um 
quadrado de 5 cm de lado. Determine o módulo da força que age em cada carga. 
 
Resposta: 61,9 N 
 
2.12) Uma carga pontual de 1 nC localiza-se na origem, no vácuo. Determine a equação da curva no 
plano z = 0, para o qual Ex = 1 V/m. 
 
Resposta: ( )3222 yxx8,80 += ou φ=ρ cos998,2 
 
2.13) Três cargas pontuais Q, 2Q e 3Q ocupam respectivamente os vértices A, B e C de um 
triângulo equilátero de lado l. Uma das cargas tem a máxima força exercida sobre ela e uma 
outra tem a mínima força. Determinar a razão entre as magnitudes destas 2 forças. 
 
Resposta: Razão = 1,82, sendo as magnitudes das forças máxima e mínima iguais, 
respectivamente, a 7,94k e 4,36k, onde k = Q2/(4pi εo l2)