DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL DE PROBABILIDADES

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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
DE PROBABILIDADES 
 
 
Estatística 
Diego Bianchi Macedo 
Considerações Iniciais 
Distribuição de Probabilidades 
 ΣP(x)=1, onde x são todos os resultados 
possíveis 
 0≤P(x)≤1 
 Média: μ=Σx.P(x)=n.p=E 
 Variância: σ²= Σ(x-μ)².P(x)= [Σx².P(x)]- μ² 
 Desvio Padrão: σ=√ σ² 
x-Valores possíveis;n-número de tentativas 
E- Valor esperado (esperança) 
Experimento Binomial 
 Repetido em mesmas condições, limitado 
em n vezes; 
 As provas devem ser independentes; 
 Apresentam apenas dois resultados: 
sucesso e insucesso(falha); 
 Probabilidade de sucesso (p) e insucesso 
(q=p-1) permanecem inalteradadas em cada 
prova. 
Distribuição Binomial 
 S e F (sucesso ou falha) denotam as duas 
categorias possíveis de todos os resultados : p e q 
denotam as probabilidades de S e F, 
respectivamente: assim, 
 P(S) = p e P(F) = 1 - p = q 
 n – representa o número fixo de provas. 
 x – representa um número específico de sucessos 
em n provas, 
 podendo ser qualquer inteiro entre 0 e n. 
 p – representa a probabilidade de sucesso em uma 
das n provas. 
 q – representa a probabilidade de falha em uma 
das n provas. 
 P(x) representa a probabilidade de obter 
exatamente x sucessos em n provas. 
Probabilidade Binomial 
 
 
 
 
 n = número de provas 
 x = número de sucessos em n provas 
 p = probabilidade de sucesso em qualquer 
prova 
 q = probabilidade de falha em qualquer prova 
(q = 1-p) 
 
Exemplo 1 
Uma moeda é lançada 10 vezes seguidas 
independentes. Calcule a probabilidade de 
serem obtidas 4 caras nessas 10 provas. 
Solução: 
 n=10; Número de tentativas 
 x=4; Quantidade desejada de caras 
 Se é desejado o resultado Cara(C), então 
Sucesso é Cara e Falha é Coroa(K); 
 P(C)=P(S)=p=1/2 
 P(K)=P(F)=q=1-p=1-1/2=1/2 
 
Exemplo 1 
Exemplo 2 
Em uma seleção de futebol com 23 jogadores, 
qual a probabilidade de termos 6 jogadores 
canhotos, sendo que estatisticamente a 
probabilidade de alguém ser canhoto é de 12%? 
Solução: 
n=23; números de tentativas (amostra) 
x=6; número de canhotos desejados 
Sucesso: ser canhoto → p=0,12 
Insucesso: ser destro → q=1-0,12=0,88 
Exemplo 2 
Exemplo 3 
Um teste consiste em 15 questões do tipo 
múltipla escolha, cada uma com 5 
respostas possíveis. Para alguém que 
responda aleatoriamente todas as 
questões, determine a probabilidade de 
passar, se o percentual mínimo para 
aprovação é 75%. A probabilidade é 
suficientemente elevada para justificar o 
risco de tentar passar por palpite em lugar 
de estudar? 
 
Exemplo 3 
n=15; 
x=15*0,75=11,25=12; 
p=1/5=0,2 → q=0,8 
Exemplo 4 
Uma montadora automobilística afirma 
que 85% dos automóveis vendidos por ela 
estão com todos os ajustes feitos, não 
precisando da interferência dos 
mecânicos da concessionária. Supondo-
se a distribuição BINOMIAL, determine a 
probabilidade de que, dentre 15 carros 
despachados: 
a) exatamente 12 estejam prontos; 
b) no máximo 12 estejam prontos; 
c) no mínimo 12 estejam prontos. 
 
 a)Exatamente 12: P(x=12)=? 
n=15; x=12; p=0,85; q=0,15 
 c)no mínimo 12: P(x≥12)=? 
P(x≥12)=P(12)+P(13)+P(14)+P(15) 
 b)no máximo 12:) P(x≤12)=? 
 
P(x ≤ 12)=P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+...+P(12) 
 
P(x ≤ 12)=1-P(x>12)=1-[P(13)+P(14)+P(15)] 
Para entregar – 13/06 
Os registros de uma pequena 
companhia indicam que 40% das 
faturas por ela emitidas são pagas após 
o vencimento. De 14 faturas expedidas, 
determine a probabilidade de: 
a) Nenhuma ser paga com atraso. 
b) No máximo 2 serem pagas com 
atraso. 
c) Ao menos três serem pagas com 
atraso.