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LISTA DE EXERCÍCIOS – EEL 7031 Aluna: Camila Gasparin Matrícula: 14206067 Set. 2.2 - Página 45 7) A função 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)(𝑥 + 1)𝑥(𝑥 − 1)³(𝑥 − 2) tem as raízes 𝑥 = 0, −1, +1, −2, +2. Pelo método da Bissecção nos seguintes intervalos teremos convergência para: a) [-3; 2,5] Como [𝑓(−3) = −1920] ∗ [𝑓(2,5) = 66] < 0 podemos proceder com o método. n 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑝𝑛 𝑓(𝑝𝑛) 1 -3 2,5 -0,25 -1,441955566 2 -0,25 2,5 1,125 -0,012767314 3 1,125 2,5 1,8125 -1,95457248 4 1,8125 2,5 2,15625 6,831993332 5 1,8125 2,15625 1,984375 -0,351673059 6 1,984375 2,15625 2,0703125 2,230542851 7 1,984375 2,0703125 2,02875 0,774871472 8 1,984375 2,02875 2,0065625 0,161765686 9 1,984375 2,0065625 1,99546875 -0,106752579 10 1,99546875 2,0065625 2,001015625 0,024476253 Ou seja, converge para a raíz 2. b) [-2,5; 3] Como [𝑓(−2,5) = −361,75] ∗ [𝑓(3) = 480] < 0 podemos proceder com o método. n 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑝𝑛 𝑓(𝑝𝑛) 1 -2,5 3 0,25 0,519104003 2 -2,5 0,25 -1,125 3,689754009 3 -2,5 -1,125 -1,18125 23,42017321 4 -2,5 -1,18125 -1,840625 21,70858094 5 -2,5 -1,840625 -2,1703125 -57,4837985 6 -2,1703125 -1,840625 -2,00546875 -1,19919718 Ou seja, converge para a raíz -2. c) [-1,75; 1,5] Como [𝑓(−1,75) = 25,59] ∗ [𝑓(1,5) = −0,82] < 0 podemos proceder com o método. n 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑝𝑛 𝑓(𝑝𝑛) 1 -1,75 1,5 -0,125 -0,620491504 2 -1,75 -0,125 -0,9375 -1,330096778 3 -1,75 -0,9375 -1,34375 13,04962871 4 -1,34375 -0,9375 -1,140625 4,246449856 5 -1,140625 -0,9375 -1,0390625 1,004912139 6 -1,0390625 -0,9375 -0,98828125 -0,275217829 7 -1,0390625 -0,98828125 -1,013671875 0,336363583 8 -1,013671875 -0,98828125 - 1,0009476563 0,023479467 9 - 1,0009476563 -0,98828125 -0,994614453 -0,127977913 Ou seja, converge para a raíz -1. d) [-1,5; 1,75] Como [𝑓(−1,5) = 20,51] ∗ [𝑓(1,75) = −1,90] < 0 podemos proceder com o método. n 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑝𝑛 𝑓(𝑝𝑛) 1 -1,5 1,75 0,125 0,375359058 2 0,125 1,75 0,93675 0,001384075731 3 0,93675 1,75 1,343375 -0,279799913 4 0,93675 1,343375 1,1400625 -0,018101973 Ou seja, converge para a raíz 1. 12) Devemos encontrar o número de interações necessárias para atingir a aproximação com exatidão de 10−4 para a solução de 𝑥3 − 𝑥 − 1 = 0 no intervalo [1, 2]. O número de interações deve ser de 𝑛 > 𝑙𝑜𝑔2 ( 𝑏−𝑎 𝑇𝑂𝐿 ) 𝑛 > 𝑙𝑜𝑔2 ( 2 − 1 10−4 ) = 13,287712 Ou seja, devemos ter, pelo menos, 14 interações. Para termos a aproximação da raíz, faremos 14 interações e partiremos de 𝑓(1) = −1 e 𝑓(2) = 5. n 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑝𝑛 𝑓(𝑝𝑛) 1 1 2 1,5 0,875 2 1 1,5 1,25 -0,296875 3 1,25 1,5 1,375 0,224609375 4 1,25 1,375 1,3125 -0,051513671 5 1,3125 1,375 1,34375 0,082611083 6 1,3125 1,34375 1,328125 0,014575958 7 1,3125 1,328125 1,3203125 -0,018710613 8 1,3203125 1,328125 1,32421875 -0,0021279454 9 1,32421875 1,328125 1,325671875 0,00407172633 10 1,32421875 1,325671875 1,324945313 0,00096979217 11 1,32421875 1,324945313 1,324582032 -0,0005796 12 1,324582032 1,324945313 1,324763673 0,0001949671 13 1,324582032 1,324763673 1,324672853 -0,0001923471 14 1,324672853 1,324763673 1,324718263 0,00000130394 Set. 2.3 - Página 52 2) Encontrar 𝑝3 de 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 6 com 𝑝0 = 3 e 𝑝1 = 2 pelos métodos: a) Método da Secante 𝑝2 = 𝑝1 − 𝑓(𝑝1)(𝑝1 − 𝑝0) 𝑓(𝑝1) − 𝑓(𝑝0) = 2 − (−2)(−1) (−2) − 3 = 2,4 𝑝3 = 𝑝2 − 𝑓(𝑝2)(𝑝2 − 𝑝1) 𝑓(𝑝2) − 𝑓(𝑝1) = 2,4 − (−0,24)(0,4) (−0,24) − (−2) = 2,45 b) Método da Falsa Posição 𝑝2 = 𝑎1 − 𝑓(𝑎1)(𝑏1 − 𝑎1) 𝑓(𝑏1) − 𝑓(𝑎1) = 3 − 3(2 − 3) −2 − 3 = 1,8 𝑓(1,8) = −2,76; 𝑓(3) = 3; 𝑓(2) = −2 𝑝3 = 𝑎1 − 𝑓(𝑎1)(𝑝2 − 𝑎1) 𝑓(𝑝2) − 𝑓(𝑎1) = 𝑝3 = 𝑝0 − 𝑓(𝑝0)(𝑝2 − 𝑝0) 𝑓(𝑝2) − 𝑓(𝑝0) = 3 − 3(1,8 − 3) −2,76 − 3 = 2,7916 … Set 2.4 - Página 60 9) Pelo método de Newton encontre a aproximação de √3 com exatidão de 10−4 e compare com os resultados obtidos nos Exercícios 9 das seções 2.2 e 2.3. Como estes exercícios não estão em minha lista, irei comprar o valor obtido com o nominal fornecido por uma calculadora científica, ou seja, √3 = 1,732050808. Considerando 𝑝0 = 1,5 teremos 𝑝3 = 1,73205081, ou seja, resolução em 3 aproximações. 15) Precisamos determinar p para a probabilidade de P = 0,5 com erro de 10−3. Considerando 𝑝0 = 0,75, o método de Newton resulta em 𝑝4 = 0,84230. Set 2.6 - Página 74 5) Encontre, com exatidão de 10−3 os zeros e pontos críticos das seguintes funções e use estas informações para fazer os gráficos a) 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 9𝑥2 + 12 Raízes (-1,091; 1,244; 8,847) Pontos críticos (0; 6) b) 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥³ − 5𝑥2 + 12𝑥 − 5 Raízes (-2,432; 0,5798; 1,521; 2,332) Pontos críticos (-1,5; 1; 2,001) 9) Use os seguintes métodos para encontrar a solução da equação com exatidão de 10−4: 600𝑥4 − 550𝑥3 + 200𝑥2 − 20𝑥 − 1 = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0,1 ≤ 𝑥 ≤ 1 a) Bissecção 𝑛 > 𝑙𝑜𝑔2 ( 1 − 0,1 10−4 ) = 13,135709 Como [𝑓(0,1) = −1,49] ∗ [𝑓(1) = 229] < 0 podemos proceder com o método. n 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑝𝑛 𝑓(𝑝𝑛) 1 0,1 1 0,55 20,21625 2 0,1 0,55 0,325 1,438515625 3 0,1 0,325 0,2125 -0,27293457 4 0,2125 0,325 0,26875 0,524329528 5 0,2125 0,26875 0,240625 0,812910518 6 0,2125 0,240625 0,2265625 -0,080510288 7 0,2265625 0,240625 0,23359375 0,017347389 8 0,2265625 0,23359375 0,230078125 -0,031716761 9 0,230078125 0,23359375 0,231835937 -0,0072185667 10 0,231835937 0,23359375 0,232714843 0,00505592363 11 0,231835937 0,23359375 0,232714843 0,00505592363 12 0,231835937 0,232714843 0,23227539 -0,0010834475 13 0,23227539 0,232714843 0,232495116 0,00198570468 14 0,23227539 0,232495116 0,232385253 0,0004599267 b) Newton 𝑝0 = 0,1 𝑝1 = 1,0 𝑓′(𝑥) = 2400𝑥³ − 1650𝑥2 + 400𝑥 − 20 𝑝𝑛+1 = 𝑝𝑛 − 𝑓(𝑝𝑛) 𝑓′(𝑝𝑛) 𝑝𝑛 𝑝𝑛+1 0 0,55 0,348190666 1 0,348190666 0,256448754 2 0,256448754 0,23284752 3 0,23284752 0,187195295 4 0,187195295 0,234575678 5 0,234575678 0,232356848 6 0,232356848 0,232352964 c) Secante 𝑝0 = 0,1 𝑝1 = 1,0 𝑝𝑛+1 = 𝑝𝑛 − 𝑓(𝑝𝑛)(𝑝𝑛 − 𝑝𝑛−1) 𝑓(𝑝𝑛) − 𝑓(𝑝𝑛−1) |𝑝𝑛 − 𝑝𝑛−1| < 𝑇𝑂𝐿 = 10 −4 𝑝𝑛 𝑝𝑛+1 1 0,55 0,838521387 ... ... ... 8 ... ≃0,23235 d) Falsa posição 𝑝𝑛+1 = 𝑎𝑛 − 𝑓(𝑎𝑛)(𝑏𝑛 − 𝑎𝑛) 𝑓(𝑏𝑛) − 𝑓(𝑎𝑛) Pelo método, na aproximação 88 chegamos a, aproximadamente, 𝑝88 = 0,23035 para 𝑝0 = 0,1 e 𝑝1 = 1,0. e) Müller Pelo método de Müller e as considerações iniciais que estamos usando em comum para todos os métodos, teremos a convergência em 𝑝6 ≅ 0,23235.
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