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Lista de Exercícios de Cálculo Numérico

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LISTA DE EXERCÍCIOS – EEL 7031 
Aluna: Camila Gasparin 
Matrícula: 14206067 
 
 
Set. 2.2 - Página 45 
 
7) A função 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)(𝑥 + 1)𝑥(𝑥 − 1)³(𝑥 − 2) tem as raízes 
𝑥 = 0, −1, +1, −2, +2. 
Pelo método da Bissecção nos seguintes intervalos teremos convergência para: 
a) [-3; 2,5] 
Como [𝑓(−3) = −1920] ∗ [𝑓(2,5) = 66] < 0 podemos proceder com o 
método. 
n 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑝𝑛 𝑓(𝑝𝑛) 
1 -3 2,5 -0,25 -1,441955566 
2 -0,25 2,5 1,125 -0,012767314 
3 1,125 2,5 1,8125 -1,95457248 
4 1,8125 2,5 2,15625 6,831993332 
5 1,8125 2,15625 1,984375 -0,351673059 
6 1,984375 2,15625 2,0703125 2,230542851 
7 1,984375 2,0703125 2,02875 0,774871472 
8 1,984375 2,02875 2,0065625 0,161765686 
9 1,984375 2,0065625 1,99546875 -0,106752579 
10 1,99546875 2,0065625 2,001015625 0,024476253 
Ou seja, converge para a raíz 2. 
 
b) [-2,5; 3] 
Como [𝑓(−2,5) = −361,75] ∗ [𝑓(3) = 480] < 0 podemos proceder com o 
método. 
n 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑝𝑛 𝑓(𝑝𝑛) 
1 -2,5 3 0,25 0,519104003 
2 -2,5 0,25 -1,125 3,689754009 
3 -2,5 -1,125 -1,18125 23,42017321 
4 -2,5 -1,18125 -1,840625 21,70858094 
5 -2,5 -1,840625 -2,1703125 -57,4837985 
6 -2,1703125 -1,840625 -2,00546875 -1,19919718 
Ou seja, converge para a raíz -2. 
 
c) [-1,75; 1,5] 
Como [𝑓(−1,75) = 25,59] ∗ [𝑓(1,5) = −0,82] < 0 podemos proceder com o 
método. 
n 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑝𝑛 𝑓(𝑝𝑛) 
1 -1,75 1,5 -0,125 -0,620491504 
2 -1,75 -0,125 -0,9375 -1,330096778 
3 -1,75 -0,9375 -1,34375 13,04962871 
4 -1,34375 -0,9375 -1,140625 4,246449856 
5 -1,140625 -0,9375 -1,0390625 1,004912139 
6 -1,0390625 -0,9375 -0,98828125 -0,275217829 
7 -1,0390625 -0,98828125 -1,013671875 0,336363583 
8 -1,013671875 -0,98828125 -
1,0009476563 
0,023479467 
9 -
1,0009476563 
-0,98828125 -0,994614453 -0,127977913 
Ou seja, converge para a raíz -1. 
 
d) [-1,5; 1,75] 
Como [𝑓(−1,5) = 20,51] ∗ [𝑓(1,75) = −1,90] < 0 podemos proceder com o 
método. 
n 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑝𝑛 𝑓(𝑝𝑛) 
1 -1,5 1,75 0,125 0,375359058 
2 0,125 1,75 0,93675 0,001384075731 
3 0,93675 1,75 1,343375 -0,279799913 
4 0,93675 1,343375 1,1400625 -0,018101973 
Ou seja, converge para a raíz 1. 
 
12) Devemos encontrar o número de interações necessárias para atingir a aproximação 
com exatidão de 10−4 para a solução de 𝑥3 − 𝑥 − 1 = 0 no intervalo [1, 2]. 
 O número de interações deve ser de 𝑛 > 𝑙𝑜𝑔2 (
𝑏−𝑎
𝑇𝑂𝐿
) 
𝑛 > 𝑙𝑜𝑔2 (
2 − 1
10−4
) = 13,287712 
Ou seja, devemos ter, pelo menos, 14 interações. Para termos a aproximação da raíz, 
faremos 14 interações e partiremos de 𝑓(1) = −1 e 𝑓(2) = 5. 
n 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑝𝑛 𝑓(𝑝𝑛) 
1 1 2 1,5 0,875 
2 1 1,5 1,25 -0,296875 
3 1,25 1,5 1,375 0,224609375 
4 1,25 1,375 1,3125 -0,051513671 
5 1,3125 1,375 1,34375 0,082611083 
6 1,3125 1,34375 1,328125 0,014575958 
7 1,3125 1,328125 1,3203125 -0,018710613 
8 1,3203125 1,328125 1,32421875 -0,0021279454 
9 1,32421875 1,328125 1,325671875 0,00407172633 
10 1,32421875 1,325671875 1,324945313 0,00096979217 
11 1,32421875 1,324945313 1,324582032 -0,0005796 
12 1,324582032 1,324945313 1,324763673 0,0001949671 
13 1,324582032 1,324763673 1,324672853 -0,0001923471 
14 1,324672853 1,324763673 1,324718263 0,00000130394 
 
 
Set. 2.3 - Página 52 
 
2) Encontrar 𝑝3 de 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 6 com 𝑝0 = 3 e 𝑝1 = 2 pelos métodos: 
a) Método da Secante 
𝑝2 = 𝑝1 −
𝑓(𝑝1)(𝑝1 − 𝑝0)
𝑓(𝑝1) − 𝑓(𝑝0)
= 2 −
(−2)(−1)
(−2) − 3
= 2,4 
 
𝑝3 = 𝑝2 −
𝑓(𝑝2)(𝑝2 − 𝑝1)
𝑓(𝑝2) − 𝑓(𝑝1)
= 2,4 −
(−0,24)(0,4)
(−0,24) − (−2)
= 2,45 
b) Método da Falsa Posição 
𝑝2 = 𝑎1 −
𝑓(𝑎1)(𝑏1 − 𝑎1)
𝑓(𝑏1) − 𝑓(𝑎1)
= 3 −
3(2 − 3)
−2 − 3
= 1,8 
𝑓(1,8) = −2,76; 𝑓(3) = 3; 𝑓(2) = −2 
𝑝3 = 𝑎1 −
𝑓(𝑎1)(𝑝2 − 𝑎1)
𝑓(𝑝2) − 𝑓(𝑎1)
= 𝑝3 = 𝑝0 −
𝑓(𝑝0)(𝑝2 − 𝑝0)
𝑓(𝑝2) − 𝑓(𝑝0)
= 3 −
3(1,8 − 3)
−2,76 − 3
= 2,7916 … 
 
 
Set 2.4 - Página 60 
 
9) Pelo método de Newton encontre a aproximação de √3 com exatidão de 10−4 e 
compare com os resultados obtidos nos Exercícios 9 das seções 2.2 e 2.3. 
 Como estes exercícios não estão em minha lista, irei comprar o valor obtido com 
o nominal fornecido por uma calculadora científica, ou seja, √3 = 1,732050808. 
Considerando 𝑝0 = 1,5 teremos 𝑝3 = 1,73205081, ou seja, resolução em 3 
aproximações. 
 
15) Precisamos determinar p para a probabilidade de P = 0,5 com erro de 10−3. 
Considerando 𝑝0 = 0,75, o método de Newton resulta em 𝑝4 = 0,84230. 
 
 
Set 2.6 - Página 74 
 
5) Encontre, com exatidão de 10−3 os zeros e pontos críticos das seguintes funções e 
use estas informações para fazer os gráficos 
a) 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 9𝑥2 + 12 
Raízes (-1,091; 1,244; 8,847) 
Pontos críticos (0; 6) 
 
 
b) 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥³ − 5𝑥2 + 12𝑥 − 5 
Raízes (-2,432; 0,5798; 1,521; 2,332) 
Pontos críticos (-1,5; 1; 2,001) 
 
 
 
9) Use os seguintes métodos para encontrar a solução da equação com exatidão de 
10−4: 
600𝑥4 − 550𝑥3 + 200𝑥2 − 20𝑥 − 1 = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0,1 ≤ 𝑥 ≤ 1 
a) Bissecção 
𝑛 > 𝑙𝑜𝑔2 (
1 − 0,1
10−4
) = 13,135709 
 
Como [𝑓(0,1) = −1,49] ∗ [𝑓(1) = 229] < 0 podemos proceder com o 
método. 
n 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑝𝑛 𝑓(𝑝𝑛) 
1 0,1 1 0,55 20,21625 
2 0,1 0,55 0,325 1,438515625 
3 0,1 0,325 0,2125 -0,27293457 
4 0,2125 0,325 0,26875 0,524329528 
5 0,2125 0,26875 0,240625 0,812910518 
6 0,2125 0,240625 0,2265625 -0,080510288 
7 0,2265625 0,240625 0,23359375 0,017347389 
8 0,2265625 0,23359375 0,230078125 -0,031716761 
9 0,230078125 0,23359375 0,231835937 -0,0072185667 
10 0,231835937 0,23359375 0,232714843 0,00505592363 
11 0,231835937 0,23359375 0,232714843 0,00505592363 
12 0,231835937 0,232714843 0,23227539 -0,0010834475 
13 0,23227539 0,232714843 0,232495116 0,00198570468 
14 0,23227539 0,232495116 0,232385253 0,0004599267 
 
b) Newton 
𝑝0 = 0,1 
𝑝1 = 1,0 
𝑓′(𝑥) = 2400𝑥³ − 1650𝑥2 + 400𝑥 − 20 
𝑝𝑛+1 = 𝑝𝑛 −
𝑓(𝑝𝑛)
𝑓′(𝑝𝑛)
 
 𝑝𝑛 𝑝𝑛+1 
0 0,55 0,348190666 
1 0,348190666 0,256448754 
2 0,256448754 0,23284752 
3 0,23284752 0,187195295 
4 0,187195295 0,234575678 
5 0,234575678 0,232356848 
6 0,232356848 0,232352964 
 
c) Secante 
𝑝0 = 0,1 
𝑝1 = 1,0 
𝑝𝑛+1 = 𝑝𝑛 −
𝑓(𝑝𝑛)(𝑝𝑛 − 𝑝𝑛−1)
𝑓(𝑝𝑛) − 𝑓(𝑝𝑛−1)
 
|𝑝𝑛 − 𝑝𝑛−1| < 𝑇𝑂𝐿 = 10
−4 
 𝑝𝑛 𝑝𝑛+1 
1 0,55 0,838521387 
... ... ... 
8 ... ≃0,23235 
 
d) Falsa posição 
𝑝𝑛+1 = 𝑎𝑛 −
𝑓(𝑎𝑛)(𝑏𝑛 − 𝑎𝑛)
𝑓(𝑏𝑛) − 𝑓(𝑎𝑛)
 
Pelo método, na aproximação 88 chegamos a, aproximadamente, 𝑝88 =
0,23035 para 𝑝0 = 0,1 e 𝑝1 = 1,0. 
e) Müller 
Pelo método de Müller e as considerações iniciais que estamos usando em 
comum para todos os métodos, teremos a convergência em 𝑝6 ≅ 0,23235.

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