Calculo 1 - Professor André Hallack

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Ca´lculo I
Notas de aulas
Andre´ Arbex Hallack
Marc¸o/2014
I´ndice
1 Nu´meros reais 1
1.1 Nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Relac¸a˜o de ordem em IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Func¸o˜es 13
2.1 Definic¸a˜o e elementos ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Construc¸a˜o de func¸o˜es a partir de outras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Inversa˜o de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Func¸o˜es exponenciais e logar´ıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6 Func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 39
3.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Teoremas para (ajudar no) ca´lculo de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Exerc´ıcios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
i
4 Derivada 59
4.1 A definic¸a˜o da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Derivadas e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4 Regras de derivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5 Derivac¸a˜o impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Aplicac¸o˜es da Derivada 79
5.1 Acre´scimos e diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 A Derivada como raza˜o de variac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3 Taxas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.4 Alguns resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.5 Concavidade e pontos de inflexa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.6 Aplicac¸o˜es em problemas de ma´ximos e/ou mı´nimos . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.7 Aplicac¸o˜es em esboc¸os de gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.8 Apeˆndice A : Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.9 Apeˆndice B : Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.10 Apeˆndice C : Formas indeterminadas
e a Regra de L’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.11 Apeˆndice D: Aproximac¸o˜es via
Polinoˆmios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6 Respostas dos exerc´ıcios 129
Refereˆncias 147
Cap´ıtulo 1
Nu´meros reais
1.1 Nu´meros reais
Ao longo deste curso iremos trabalhar sobretudo com o conjunto IR dos nu´meros reais, os
quais identificamos geometricamente com os pontos de uma reta (orientada), a “reta real”:
Vejamos agora alguns conjuntos de nu´meros reais nessa identificac¸a˜o:
IN = { 1, 2, 3, . . . } (nu´meros naturais) ⊂ IR
∩
Z = { . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . } (nu´meros inteiros) ⊂ IR
∩
Q = { p/q ; p, q ∈ Z , q 6= 0 } (nu´meros racionais) ⊂ IR
Temos ainda nu´meros reais que na˜o sa˜o racionais. Sa˜o os chamados nu´meros irracionais.
Alguns exemplos:
(A) Consideremos um triaˆngulo retaˆngulo cujos catetos medem 1:
Do Teorema de Pita´goras, temos a2 = b2 + c2 = 2 .
Portanto a =
√
2 (e
√
2 na˜o e´ racional).
1
2 CAPI´TULO 1
(B) Outro nu´mero irracional famoso:
FATO: A raza˜o entre o comprimento e o diaˆmetro de qualquer circunfereˆncia e´ constante.
Essa raza˜o e´ um nu´mero chamado pi .
Assim, se C e´ qualquer circunfereˆncia, l o seu comprimento e r seu raio, temos:
l
2r
= pi
pi e´ um nu´mero irracional (pi ≈ 3, 141592 )
Obs.: Existem muito mais nu´meros irracionais do que racionais !
Operac¸o˜es ba´sicas em IR
Existem em IR duas operac¸o˜es ba´sicas:
ADIC¸A˜O: a ∈ IR, b ∈ IR 7−→ a+ b ∈ IR (soma)
MULTIPLICAC¸A˜O: a ∈ IR, b ∈ IR 7−→ a · b ∈ IR (produto)
Essas operac¸o˜es possuem as seguintes propriedades:
COMUTATIVIDADE: a+ b = b+ a
a · b = b · a
quaisquer que sejam a, b ∈ IR.
ASSOCIATIVIDADE: a+ (b+ c) = (a+ b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
quaisquer que sejam a, b e c ∈ IR.
EXISTEˆNCIA DE ELEMENTOS NEUTROS: a+ 0 = a
a · 1 = a
para todo a ∈ IR.
EXISTEˆNCIA DE INVERSOS:
Todo a ∈ IR possui um INVERSO ADITIVO (−a) ∈ IR tal que a+ (−a) = 0 .
Todo a 6= 0 em IR possui um INVERSO MULTIPLICATIVO a−1 ∈ IR tal que a · a−1 = 1 .
DISTRIBUTIVIDADE: a · (b+ c) = (a · b) + (a · c) para todos a, b e c ∈ IR .
Nu´meros reais 3
Obs.: O nu´mero 0 e´ o u´nico elemento neutro para a adic¸a˜o e o nu´mero 1 e´ o u´nico elemento
neutro para a multiplicac¸a˜o.
Consequeˆncias: (das propriedades)
1) Duas novas operac¸o˜es:
Subtrac¸a˜o: Dados a, b ∈ IR, definimos: a− b = a+ (−b) ;
Divisa˜o: Dados a, b ∈ IR, com b 6= 0, definimos: a
b
= a · b−1 .
2) a · 0 = 0 para todo a ∈ IR .
3) Se a · b = 0 , enta˜o a = 0 ou b = 0 .
4) Cada a ∈ IR possui um u´nico inverso aditivo −a ∈ IR.
Cada a 6= 0 em IR possui um u´nico inverso multiplicativo a−1 ∈ IR .
5) −a = (−1) · a para todo a ∈ IR.
6) a−1 =
1
a
para todo a 6= 0 em IR.
7) Para todos a, b ∈ IR , temos: a · (−b) = (−a) · b = −(a · b) e (−a) · (−b) = a · b .
8) Se a2 = b2 enta˜o a = ±b .
Exerc´ıcio: Tente provar as consequeˆncias de 2) a 8) acima.
1.2 Relac¸a˜o de ordem em IR
Podemos decompor a reta IR como uma unia˜o disjunta IR = IR+ ∪ IR− ∪ { 0} :
IR+ e´ o conjunto dos nu´meros reais POSITIVOS;
IR− e´ o conjunto dos nu´meros reais NEGATIVOS.
De modo que:
• Dado a ∈ IR, ocorre uma, e apenas uma, das seguintes alternativas:
ou a ∈ IR+ ou a = 0 ou a ∈ IR−
4 CAPI´TULO 1
• a ∈ IR+ ⇔ −a ∈ IR− ;
• A soma de dois nu´meros positivos e´ um nu´mero positivo.
O produto de dois nu´meros positivos e´ um nu´mero positivo.
Exerc´ıcio: Prove que:
a) A soma de dois nu´meros negativos e´ um nu´mero negativo;
b) O produto de dois nu´meros negativos e´ um nu´mero positivo;
c) O produto de um nu´mero positivo por um nu´mero negativo e´ um nu´mero negativo.
Dados nu´meros reais a e b, escrevemos a < b (ou b > a ) e dizemos que a e´ menor do que
b (ou b e´ maior do que a ) quando b− a ∈ IR+ , ou seja, b− a e´ um nu´mero positivo:
Obs.: Escrevemos a ≤ b e dizemos que a e´ menor ou igual a b quando a < b ou a = b .
Propriedades da relac¸a˜o de ordem: ( Exerc´ıcio: Tente prova´-las ! )
1) Para todo a 6= 0 em IR, tem-se a2 > 0 .
2) Se a < b e b < c enta˜o a < c .
3) Se a, b ∈ IR enta˜o a = b ou a < b ou a > b .
4) Se a < b enta˜o a+ c < b+ c para todo c ∈ IR.
5) Se a < b , temos: c > 0 ⇒ a · c < b · c
c < 0 ⇒ a · c > b · c
6) Se a < b e a′ < b′ enta˜o a+ a′ < b+ b′ .
7) Se 0 < a < b e 0 < a′ < b′ enta˜o 0 < a · a′ < b · b′ .
8) Se a > 0 enta˜o
1
a
> 0 .
9) Se 0 < a < b enta˜o 0 <
1
b
<
1
a
.
Nu´meros reais 5
Intervalos:Dados nu´meros reais a < b , definimos:
(a, b) = { x ∈ IR ; a < x < b }
[a, b] = { x ∈ IR ; a ≤ x ≤ b }
(a, b] = { x ∈ IR ; a < x ≤ b }
[a, b) = { x ∈ IR ; a ≤ x < b }
(a,+∞) = { x ∈ IR ; x > a }
[a,+∞) = { x ∈ IR ; x ≥ a }
(−∞, b) = { x ∈ IR ; x < b }
(−∞, b] = { x ∈ IR ; x ≤ b }
(−∞,+∞) = IR
• Atenc¸a˜o: +∞ e −∞ na˜o sa˜o nu´meros reais ! Sa˜o apenas s´ımbolos !
Exemplo: Encontre os nu´meros reais que satisfac¸am as desigualdades abaixo e fac¸a a
representac¸a˜o gra´fica na reta real:
(a) 2 + 3x < 5x+ 8
(b) 4 < 3x− 2 ≤ 10
6 CAPI´TULO 1
(c)
7
x
> 2 , x 6= 0
(d)
x
x− 3 < 4 , x 6= 3
(e) (x+ 1)(x+ 5) > 0
Conjuntos limitados:
Um subconjunto X ⊂ IR e´ dito LIMITADO quando existem nu´meros reais a e b tais
que, para todo x ∈ X tem-se a ≤ x ≤ b . Isto significa que X ⊂ [a, b] , com a, b ∈ IR .
Um conjunto e´ dito ILIMITADO quando ele na˜o e´ limitado. (Exemplos)
Observac¸o˜es:
(A) Todo conjunto finito e´ limitado.
(B) CUIDADO ! NA˜O CONFUNDA ILIMITADO COM INFINITO !
Podemos ter conjuntos infinitos que sejam limitados.
Nu´meros reais 7
(C) FATO: O conjunto IN = { 1, 2, 3, 4, . . .} dos nu´meros naturais NA˜O E´ limitado.
Consequeˆncias importantes deste fato:
(C.1) Propriedade arquimediana: Dados nu´meros reais a e b , com a > 0 , e´ poss´ıvel obter
um nu´mero natural n ∈ IN tal que n · a > b .
⇓
(C.2) Densidade dos racionais: Dados dois nu´meros reais a e b quaisquer, com a < b , e´
poss´ıvel obter um nu´mero RACIONAL r = p/q ∈ Q (p, q ∈ Z, q 6= 0) tal que a < r < b
(por menor que seja a distaˆncia entre a e b ).
A “densidade dos racionais” nos permite concluir que, dado qualquer nu´mero real x
(mesmo irracional), e´ poss´ıvel obter uma sequeˆncia de nu´meros RACIONAIS que se aproximam
de x tanto quanto quisermos !!!
Exemplos:
1) pi = 3, 141592 . . .
3 3, 1 =
31
10
3, 14 =
314
100
3, 141 =
3141
1000
3, 1415 =
31415
10000
. . . −→ pi
2) Tome um nu´mero racional r1 > 0 e considere:
r2 =
1
2
(
r1 +
3
r1
)
∈ Q (r2 > 0 , r22 > 3 )
↓
r3 =
1
2
(
r2 +
3
r2
)
∈ Q (r2 ≥ r3 > 0 , r23 > 3 )
↓
r4 =
1
2
(
r3 +
3
r3
)
∈ Q (r2 ≥ r3 ≥ r4 > 0 , r24 > 3 )
↓
...
↓
rn+1 =
1
2
(
rn +
3
rn
)
∈ Q (rn ≥ rn+1 > 0 , r2n+1 > 3 )
↓
...
Esta sequeˆncia de racionais (r1, r2, r3, . . . ) se aproxima (cada vez mais) de um certo
nu´mero real. Qual ?
Tente generalizar esse processo !
8 CAPI´TULO 1
1.3 Valor absoluto
Dado qualquer nu´mero real x , definimos o VALOR ABSOLUTO DE x (ou MO´DULO
DE x ) da seguinte forma:
|x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0
Geometricamente (na Reta), o valor absoluto de um nu´mero real x e´ a distaˆncia de x ate´
o 0 (zero). (Exemplos)
Obs.: Sa˜o imediatos da definic¸a˜o:
|x| ≥ 0 para todo x ∈ IR ;
|x| = 0 se, e somente se (⇔), x = 0 .
Propriedades:
1) Para todo x ∈ IR temos |x| = max {x,−x} (o maior dos dois valores).
2) Para todo x ∈ IR temos |x|2 = x2 .
3) |a · b| = |a| · |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR .
Exerc´ıcio: Se b 6= 0 em IR, mostre que
∣∣∣∣ 1b
∣∣∣∣ = 1| b | .
Conclua que se a, b ∈ IR com b 6= 0 enta˜o
∣∣∣ a
b
∣∣∣ = | a || b | .
Nu´meros reais 9
4) |a+ b| ≤ |a|+ |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR .
Exerc´ıcio: Mostre que |a− b| ≥ | |a| − |b| | ≥ |a| − |b| , para todos a, b ∈ IR .
5) Seja c > 0 :
|x| ≤ c ⇔ −c ≤ x ≤ c
|x| ≥ c ⇔ x ≤ −c ou x ≥ c
Exemplos:
1) Resolva as seguintes equac¸o˜es:
(a) |3x+ 2| = 5
(b) |2x− 1| = |4x+ 3|
(c) |5x+ 4| = −3
10 CAPI´TULO 1
(d) |x|+ 2 |x− 2| = 1 + 4x
2) Encontre os nu´meros reais que satisfac¸am as seguintes desigualdades:
(a) |x− 5| < 4
Nu´meros reais 11
(b)
∣∣∣∣3− 2x2 + x
∣∣∣∣ ≤ 4 , x 6= −2
(c) |3x+ 2| > 5
12 CAPI´TULO 1
1.4 Exerc´ıcios
1) Determine os nu´meros reais que satisfazem as desigualdades abaixo (fac¸a a representac¸a˜o
gra´fica):
(a) 3− x < 5 + 3x (b) 2x− 5 < 1
3
+
3x
4
+
1− x
3
(c) 2 > −3− 3x ≥ 7
(d)
5
x
<
3
4
(e) x2 ≤ 9 (f) x2 − 3x+ 2 > 0 (g) 1− x− 2x2 ≥ 0
(h)
x+ 1
2− x <
x
3 + x
(i) x3 + 1 > x2 + x (j) (x2 − 1)(x+ 4) ≤ 0;
(k)
2
x− 2 ≤
x+ 2
x− 2 ≤ 1 (l) x
4 ≥ x2 (m) x
x− 3 < 4 (n)
(1/2x)− 3
4 + x
> 1
(o)
3
x− 5 ≤ 2 (p) x
3 − x2 − x− 2 > 0 (q) x3 − 3x+ 2 ≤ 0
(r)
1
x+ 1
≥ 3
x− 2 (s) 8x
3 − 4x2 − 2x+ 1 < 0 (t) 12x3 − 20x2 ≥ −11x+ 2
2) Determine os nu´meros reais que satisfazem as seguintes equac¸o˜es:
(a) |5x− 3| = 12 (b) |12x− 4| = 7 (c) |2x− 3| = |7x− 5| (d)
∣∣∣∣x+ 2x− 2
∣∣∣∣ = 5
(e)
∣∣∣∣3x+ 82x− 3
∣∣∣∣ = 4 (f) |3x+ 2| = 5− x (g) |9x| − 11 = x (h) 2x− 7 = |x|+ 1
3) Determine os nu´meros reais que satisfazem as seguintes desigualdades:
(a) |x+ 12| < 7 (b) |3x− 4| ≤ 2 (c) |5− 6x| ≥ 9 (d) |2x− 5| > 3
(e) |6 + 2x| < |4− x| (f) |x+ 4| ≤ |2x− 6| (g) |3x| > |5− 2x|
(h)
∣∣∣∣7− 2x5 + 3x
∣∣∣∣ ≤ 12 (i) |x− 1|+ |x+ 2| ≥ 4 (j) 1 < |x+ 2| < 4 (k)
∣∣∣∣2 + x3− x
∣∣∣∣ > 4
(l)
∣∣∣∣ 52x− 1
∣∣∣∣ ≥ ∣∣∣∣ 1x− 2
∣∣∣∣ (m) |x|+ 1 < x (n) 3 |x− 1|+ |x| < 1
(o) |2x2 + 3x+ 3| ≤ 3 (p) |x− 1|+ |x− 3| < |4x| (q) 1|x+ 1| · |x− 3| ≥
1
5
(r)
∣∣∣∣x− 1/2x+ 1/2
∣∣∣∣ < 1 (s) ∣∣∣∣3− 2x1 + x
∣∣∣∣ ≤ 4
Cap´ıtulo 2
Func¸o˜es
2.1 Definic¸a˜o e elementos ba´sicos
Definic¸a˜o 2.1. Uma func¸a˜o f : X → Y e´ constitu´ıda de:
(a) Um conjunto X, na˜o-vazio, chamado o DOMI´NIO da func¸a˜o (onde a func¸a˜o esta´ definida)
(b) Um conjunto Y , na˜o-vazio, chamado o CONTRA-DOMI´NIO da func¸a˜o (onde f “toma os
valores”)
(c) Uma correspondeˆncia que associa, de modo bem determinado, a CADA elemento x ∈ X
um U´NICO elemento f(x) = y ∈ Y .
Obs.: Estaremos interessados em estudar func¸o˜es tais que X e Y sa˜o conjuntos de nu´meros
reais. Por isso vamos sempre considerar este caso de agora em diante.
• Imagem: Dada uma func¸a˜o f : X → Y , sua IMAGEM e´ o conjunto
Im (f) = f(X) = { y = f(x) ; x ∈ X } ⊂ Y
• Os elementos do domı´nio sa˜o representados por uma VARIA´VEL INDEPENDENTE.
Os elementos da imagem sa˜o representados por uma VARIA´VEL DEPENDENTE.
• Gra´fico: O GRA´FICO de uma func¸a˜o f : X → Y e´ o conjunto dos pontos (x, y) do
Plano Cartesiano tais que y = f(x) , com x ∈ X .
• Func¸o˜es limitadas: Uma func¸a˜o f : X → Y e´ dita LIMITADA quando sua imagem
f(X) e´ um conjunto limitado. Em geral, e´ dita LIMITADA EM A ⊂ X quando f(A) e´ um
conjunto limitado.
13
14 CAPI´TULO 2
• Func¸o˜es crescentes ou decrescentes: Uma func¸a˜o f : X → Y e´ dita ...
... CRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f(x1) < f(x2) .
... DECRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f(x1) > f(x2) .
(Obs.: o mesmo tipo de definic¸a˜o se aplica tambe´m a subconjuntos do domı´nio - por exemplo,
podemos dizer que uma certa func¸a˜o e´ crescente ou decrescente em um determinado intervalo
dentro do domı´nio).
Exemplos:
(A) f1 : IR→ IR dada por f1(x) = −x2 + 4 .
(B) f2 : [1, 3]→ IR dada por f2(x) = −x2 + 4 .
Obs.: Note que as func¸o˜es f1 e f2 acima SA˜O FUNC¸O˜ES DISTINTAS. Apesar de possu´ırem
o mesmo contra-domı´nio e a mesma maneira de associar x 7→ y = f(x) , elas teˆm domı´nios
diferentes (veja a definic¸a˜o de func¸a˜o). Como consequeˆncia, possuem caracter´ısticas diferentes
(f2 e´ limitada, decrescente, enquanto que f1 na˜o e´ limitada, na˜o e´ decrescente e nem crescente).
Func¸o˜es 15
(C) f3 : IR→ IR dada por f3(x) = |x| .
(D) f4 : IR→ IR dada por f4(x) = |−x2 + 4| .
(E) f5 : [−1, 1]→ [0,+∞) dada por f5(x) =
√
1− x2 .
(F) f6 : [−1, 1]→ IR que associa x 7→ y tais que x2 + y2 = 1 .
16 CAPI´TULO 2
(G) f7 : IR→ IR dada por f7(x) =

1
x
se x >
1
4
−3 se x ≤ 1
4
(H) f8 : (−∞, 0) ∪ (1, 2]→ IR dada por f8(x) = x .
(I) f9 : IR→ IR dada por f9(x) = −2x+ 1 .
(J) f10 : [0,+∞)→ IR dada por f10(x) = −
√
x .
Func¸o˜es 17
• Ma´ximos e mı´nimos:Dizemos que uma func¸a˜o f : X → Y assume VALOR
MA´XIMO ABSOLUTO (ou GLOBAL) em um ponto c ∈ X quando f(c) ≥ f(x) para todo
x ∈ X . Neste caso f(c) e´ chamado VALOR MA´XIMO ABSOLUTO DE f .
Quando existir um intervalo (a, b) contendo c ∈ X tal que f(c) ≥ f(x) para todo
x ∈ (a, b) ∩X , enta˜o c e´ dito um PONTO DE MA´XIMO RELATIVO (ou LOCAL) e f(c)
e´ um VALOR MA´XIMO RELATIVO DE f .
De modo ana´logo, definimos tambe´m MI´NIMOS ABSOLUTOS (GLOBAIS) E MI´NIMOS
RELATIVOS (LOCAIS).
(Ilustrac¸a˜o)
Exemplo: f4 : IR→ IR dada por f4(x) = |−x2 + 4| .
Observac¸o˜es:
(i) Todo ma´ximo (mı´nimo) absoluto e´ ma´ximo (mı´nimo) local.
(ii) Uma func¸a˜o PODE NA˜O ASSUMIR valores ma´ximos ou mı´nimos.
Exerc´ıcio: Para cada uma das func¸o˜es dos exemplos anteriores (Exemplos (A)-(J)), de-
termine seus pontos e valores ma´ximos e mı´nimos, se existirem.
18 CAPI´TULO 2
2.2 Construc¸a˜o de func¸o˜es a partir de outras
Via operac¸o˜es aritme´ticas:
Sejam f : X → IR e g : Y → IR func¸o˜es tais que X ∩ Y 6= φ .
A partir de f e g vamos construir novas func¸o˜es (f + g), (f − g), (f · g) :
(f + g) : X ∩ Y → IR dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f − g) : X ∩ Y → IR dada por (f − g)(x) = f(x)− g(x)
(f · g) : X ∩ Y → IR dada por (f · g)(x) = f(x) · g(x)
Exemplos:
(A) Sejam f : (−∞, 4] → IR dada por f(x) = √4− x e g : (−∞,−1] ∪ [1,+∞) dada
por g(x) =
√
x2 − 1 :
(B) Consideremos agora a func¸a˜o indentidade f : IR→ IR dada por f(x) = x e func¸o˜es
constantes do tipo gc : IR → IR dadas por gc(x) = c (cada c e´ um nu´mero real qualquer,
fixado).
Utilizando a func¸a˜o identidade e func¸o˜es constantes, podemos construir (atrave´s das operac¸o˜es
de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o) um importante tipo de func¸a˜o p : IR → IR chamada FUNC¸A˜O
POLINOMIAL e dada por:
p(x) = anx
n + an−xn−1 + . . .+ a2x2 + a1x+ a0 para todo x ∈ IR
an, an−1, . . . , a2, a1, a0 ∈ IR , an 6= 0
(essa e´ dita uma func¸a˜o polinomial de grau n)
(Exemplos)
Func¸o˜es 19
Obs.: Alguns tipos especiais de func¸o˜es polinomiais:
1) Func¸o˜es constantes: f : IR→ IR com f(x) = c ∀ x ∈ IR , sendo c ∈ IR fixo.
Sa˜o as func¸o˜es polinomiais de grau 0 (zero).
(Exemplos)
2) Func¸o˜es polinomiais de grau 1: f : IR→ IR com f(x) = ax+ b , a, b ∈ IR e a 6= 0 .
Seus gra´ficos sa˜o retas, na˜o paralelas aos eixos coordenados.
Se a > 0, f e´ crescente. Se a < 0, f e´ decrescente.
(Exemplos)
3) Func¸o˜es quadra´ticas: f : IR→ IR com f(x) = ax2 + bx+ c , a, b, c ∈ IR e a 6= 0 .
Sa˜o as func¸o˜es polinomiais de grau 2.
Seus gra´ficos sa˜o para´bolas com eixos de simetria paralelos ao eixo Oy e com concavidade
voltada para cima se a > 0 ou voltada para baixo se a < 0.
A intersec¸a˜o da para´bola (gra´fico) com o eixo de simetria e´ o VE´RTICE da para´bola, tem
coordenadas
(−b
2a
,
−∆
4a
)
, sendo ∆ = b2 − 4ac , e representa o ma´ximo ou mı´nimo absoluto
da func¸a˜o, de acordo com a concavidade do gra´fico (sinal de a).
(Exemplos)
20 CAPI´TULO 2
Se quisermos agora utilizar a operac¸a˜o de divisa˜o para construir o quociente de duas func¸o˜es
dadas, temos que tomar o cuidado para evitar “diviso˜es por 0 (zero)”.
Assim, dadas f : X → IR e g : Y → IR , sendo Z = { x ∈ Y ; g(x) = 0 } , podemos
definir:
(f/g) : (X ∩ Y )− Z → IR pondo (f/g)(x) = f(x)
g(x)
Exemplos:
(A) Sejam f : (−∞, 4] → IR dada por f(x) = √4− x e g : (−∞,−1] ∪ [1,+∞) dada
por g(x) =
√
x2 − 1 :
(B) Chamamos de FUNC¸O˜ES RACIONAIS as func¸o˜es dadas pelo quociente de func¸o˜es
polinomiais:
p, q : IR→ IR (polinomiais) , Z = { x ∈ IR ; q(x) = 0 }
⇓
(p/q) : IR− Z → IR dada por (p/q)(x) = p(x)
q(x)
(Exemplos)
Func¸o˜es 21
Via composic¸a˜o de func¸o˜es:
Sejam f : X → IR e g : Y → Z func¸o˜es tais que f(X) ⊂ Y (a imagem de f esta´
contida no domı´nio de g).
A cada elemento de X associamos um u´nico elemento de Z, aplicando inicialmente a func¸a˜o
f e depois a func¸a˜o g.
Podemos pensar enta˜o em uma func¸a˜o de X em Z que associa a cada elemento x ∈ X
um u´nico elemento g(f(x)) ∈ Z :
(g ◦ f) : X −→ Z
x 7−→ g(f(x))
Essa nova func¸a˜o g ◦ f : X → Z e´ chamada a func¸a˜o COMPOSTA de g com f .
Exemplos:
(a) Se f : IR→ IR e´ dada por f(x) = x2+5 e g : [0,+∞)→ IR e´ dada por g(x) = √x ,
obtenha g ◦ f e f ◦ g , se poss´ıvel.
(b) Seja h : IR→ IR dada por h(x) = (5x2− 2x+1)5 . Obtenha func¸o˜es f e g tais que
h = g ◦ f .
22 CAPI´TULO 2
2.3 Exerc´ıcios
1) Sejam f : IR → IR dada por f(x) = 3x − 1 , g : IR → IR dada por g(x) = x − 7 e
h = f/g . Obtenha:
(a) O Domı´nio de h ; (b)
5h(−1)− 2h(0) + 3h(5)
7
; (c) f ◦ h ;
(d) h2(5) = [h(5)]2 = h(5).h(5) ; (e) h[h(5)] = (h ◦ h)(5) .
2) Para cada uma das func¸o˜es dadas abaixo, fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o e obtenha:
o conjunto imagem da func¸a˜o, se a func¸a˜o e´ ou na˜o limitada, ma´ximos e mı´nimos (absolutos
ou locais), intervalos do domı´nio onde a func¸a˜o e´ crescente ou decrescente e identifique ainda
quais sa˜o polinomiais ou racionais:
(a) f1 : IR→ IR dada por f1(x) = x2 + 8x+ 14
(b) f2 : IR→ IR dada por f2(x) = −x2 + 4x− 1
(c) f3 : IR→ IR dada por f3(x) = (x− 2)2
(d) f4 : IR→ IR dada por f4(x) = −(x+ 2)2
(e) f5 : IR→ IR dada por f5(x) = x3
(f) f6 : IR→ IR dada por f6(x) = 4− x3
(g) f7 : (−5, 3]→ IR dada por f7(x) = |x|
(h) f8 : IR− {2} → IR dada por f8(x) = 1
x− 2
(i) f9 : [−4, 7]→ IR dada por f9(x) = −2
x+ 5
(j) f10 : [0,+∞)→ IR dada por f10(x) =
√
2x
3) Exprimir como func¸a˜o de x (na˜o se esquec¸a do domı´nio e do contra-domı´nio):
(a) A a´rea de um cubo de aresta x.
(b) A a´rea total de uma caixa de volume V , sabendo que a base e´ um quadrado de lado x.
(c) O comprimento l de uma corda de um c´ırculo de raio 4 cm, sendo x a distaˆncia da
corda ao centro do c´ırculo.
4) Exprimir a func¸a˜o l obtida na Letra (c) do Exerc´ıcio 3) acima como a composta de duas
func¸o˜es.
Func¸o˜es 23
5) Sejam f, g : IR→ IR dadas por f(x) = x + 3 e g(x) = 5− 2x . Fac¸a um esboc¸o dos
gra´ficos de f e g no mesmo Plano Cartesiano e tente deduzir, a partir dos gra´ficos, os valores
de x para os quais f(x) < g(x) . Resolva algebricamente a inequac¸a˜o.
6) X ⊂ IR e´ dito sime´trico em relac¸a˜o a` origem 0 quando x ∈ X ⇔ −x ∈ X .
Exemplos: (−6, 6), [−13, 13], {−12} ∪ (−7, 7) ∪ {12} , IR , etc.
Y = (−5, 3] na˜o e´ sime´trico em relac¸a˜o a` origem, pois −4 ∈ Y mas 4 6∈ Y .
Seja f : X → IR uma func¸a˜o tal que X e´ sime´trico em relac¸a˜o a` origem.
A func¸a˜o f e´ dita...
... PAR quando f(−x) = f(x) para todo x ∈ X .
Exemplos: −√x4 − 16 (−2 ≤ x ≤ 2) , −3x6 + x2 − 5 (x ∈ IR) , 1
1 + x2
(x ∈ IR) , etc.
... I´MPAR quando f(−x) = −f(x) para todo x ∈ X .
Exemplos: x3 + 2x (x ∈ IR) , x
1 + x2
(x ∈ IR) , etc.
Alguma observac¸o˜es e propriedades interessantes:
(1) O produto/quociente de duas func¸o˜es pares (ou duas ı´mpares) e´ uma func¸a˜o PAR (prove);
(2) O produto/quociente de uma func¸a˜o par por uma func¸a˜o ı´mpar (ou vice-versa) e´ uma
func¸a˜o I´MPAR (prove);
(3) O gra´fico de uma func¸a˜o par e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo Oy das ordenadas (ilustre);
(4) O gra´fico de uma func¸a˜o ı´mpar e´ sime´trico em relac¸a˜o a` origem O(0, 0) (ilustre);
(5) E´ o´bvio que existem func¸o˜es que na˜o sa˜o pares nem sa˜o ı´mpares (deˆ exemplos);
(6) Toda func¸a˜o f : X → IR (X sime´trico em relac¸a˜o ao 0) pode ser escrita como a soma de
uma func¸a˜o par com uma func¸a˜o ı´mpar (desafio = tente provar).
7) Sejam f, g : IR→ IR dadas por f(x) = 3x− 5
2
e g(y) =
2y + 5
3
.
(a) Obtenha (g ◦ f)(x) e (f ◦ g)(y) .
(b) Fac¸a esboc¸os dos gra´ficos de f e g. O que se pode concluir sobre os gra´ficos de f e g ?
(c) Seja f : [1, 3]→ [−5, 3] dada por f(x) = 4− x2 .
Obtenha uma func¸a˜o g : [−5, 3]→ [1, 3] que cumpre as condic¸o˜es da Letra (a) e fac¸a esboc¸os
dos gra´ficos de f e g.
24 CAPI´TULO 2
8) Sejaf : IR→ IR dada por f(x) = −x2 + 4x− 3 .
(a) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
(b) Dado h 6= 0, calcule m0(h) = f(0 + h)− f(0)
h
e deˆ uma interpretac¸a˜o geome´trica
para m0(h) .
(c) Qual o significado de m0(h) quando h se aproxima de 0 ?
(d) Sabemos que o gra´fico de f e´ uma para´bola. Se V = (a, b) e´ o ve´rtice dessa para´bola,
obtenha suas coordenadas a e b.
(e) Fixando a obtido na Letra (d) acima (abscissa do ve´rtice) e, dado h 6= 0, tente adivi-
nhar, SEM FAZER NENHUMA CONTA, o que ocorre com ma(h) =
f(a+ h)− f(a)
h
quando
h se aproxima de 0. Finalmente, confira sua resposta (fazendo as contas).
9) Se f : IR → IR e´ dada por f(x) = ax2 + bx + c , com a 6= 0 , USE O EXERCI´CIO
ANTERIOR para deduzir as coordenadas do ve´rtice da para´bola que e´ o gra´fico da func¸a˜o f .
10) Um grupo de amigos trabalha no per´ıodo de fe´rias vendendo salgadinhos nas praias.
O aluguel do trailler e todos os equipamentos necessa´rios para a produc¸a˜o custam R$ 2000,00
por meˆs. O custo do material de cada salgadinho e´ de R$ 0,10. Expressar o custo total mensal
como func¸a˜o do nu´mero de salgadinhos elaborados.
11) Um fabricante produz pec¸as para computadores pelo prec¸o de R$ 2,00 cada uma.
Calcula-se que, se cada pec¸a for vendida por x reais, os consumidores comprara˜o por meˆs
(600 − x) unidades. Expressar o lucro mensal do do fabricante como func¸a˜o do prec¸o. Obter
o prec¸o o´timo de venda.
12) O prec¸o de uma corrida de ta´xi e´ constitu´ıdo de uma parte fixa, chamada bandeirada,
e de uma parte varia´vel, que depende do nu´mero de quiloˆmetros rodados. Em uma cidade X
a bandeirada e´ R$ 10,00 e o prec¸o do quiloˆmetro rodado e´ R$ 0,50.
(a) Determine a func¸a˜o que representa o prec¸o da corrida.
(b) Se algue´m pegar um ta´xi no centro da cidade e se deslocar para sua casa a 8 km de
distaˆncia, quanto pagara´ pela corrida ?
13) Um avia˜o com 120 lugares e´ fretado para uma excursa˜o. A companhia exige de cada
passageiro R$ 900,00 mais uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar vago. Qual o nu´mero de
passageiros que torna ma´xima a receita da companhia ?
Func¸o˜es 25
14) Uma indu´stria comercializa um certo produto e tem func¸a˜o custo total em mil reais,
dada por CT (q) = q2 + 20q + 475 , sendo q ≥ 0 a quantidade do produto. A func¸a˜o receita
total em mil reais e´ dada por R(q) = 120q .
(a) Determinar o lucro para a venda de 80 unidades.
(b) Em que valor de q acontecera´ lucro ma´ximo ?
2.4 Inversa˜o de func¸o˜es
Seja f : X → Y uma func¸a˜o. A cada x ∈ X esta´ associado um u´nico f(x) ∈ Y .
Nos interessa a situac¸a˜o em que a associac¸a˜o inversa f(x) 7→ x e´ uma func¸a˜o de Y em X.
Para isso, f devera´ possuir duas caracter´ısticas:
• f(X) = Y (a imagem de f e´ todo o conjunto Y );
• x1 6= x2 em X ⇒ f(x1) 6= f(x2) em Y .
Uma func¸a˜o f : X → Y e´ chamada SOBREJETORA quando f(X) = Y , ou seja, a
imagem de f e´ todo o contradomı´nio Y .
Uma func¸a˜o f : X → Y e´ chamada INJETORA quando elementos distintos do domı´nio
teˆm sempre imagens distintas, ou seja, x1 6= x2 em X ⇒ f(x1) 6= f(x2) em Y .
Exemplos:
(a)
26 CAPI´TULO 2
(b)
(c)
Uma func¸a˜o f : X → Y e´ INVERTI´VEL quando ela e´ sobrejetora e injetora ao mesmo
tempo (BIJETORA). Neste caso existe uma FUNC¸A˜O g : Y → X que associa y 7→ g(y) e
tal que g(f(x)) = x ∀ x ∈ X e f(g(y)) = y ∀ y ∈ Y .
g e´ dita A INVERSA DA FUNC¸A˜O f e escrevemos g = f−1 .
Exemplo:
Func¸o˜es 27
Exerc´ıcio: Para cada uma das func¸o˜es dadas posteriormente, fac¸a o que se pede:
a) Fac¸a um esboc¸o do GRA´FICO da func¸a˜o.
b) Obtenha o conjunto IMAGEM e responda se a func¸a˜o dada e´ LIMITADA ou na˜o.
c) Em que partes de seu domı´nio a func¸a˜o e´ CRESCENTE ou DECRESCENTE ?
d) Determine pontos e valores MA´XIMOS ou MI´NIMOS (quando existirem).
e) A func¸a˜o e´ INJETORA ? Justifique.
f) A func¸a˜o e´ SOBREJETORA ? Justifique.
g) Se a func¸a˜o dada for INVERTI´VEL, determine sua INVERSA e fac¸a um esboc¸o do
GRA´FICO DA FUNC¸A˜O INVERSA.
1) f1 : IR→ IR dada por f1(x) = 3x− 1 .
2) g1 : IR→ [0,+∞) dada por g1(x) = |3x− 1| .
3) h1 : IR→ IR dada por h1(x) = −x2 + 9 .
4) p1 : (0, 3]→ (0, 6] dada por p1(x) = 2x .
5) q1 : (−∞, 5]→ IR dada por q1(x) =
{
x2 se x < 1
−x+ 2 se x ≥ 1 .
6) r1 : [0,+∞)→ [0,+∞) dada por r1(x) = |x2 − 3x| .
7) s1 : IR→ IR dada por s1(x) = x2 + 2 .
8) u1 : [−2, 3]→ IR dada por u1(x) = x2 + 2 .
9) v1 : IR
+ → IR+ dada por v1(x) = x2 .
10) f2 : IR→ IR dada por f2(x) = − |x| .
11) g2 : IR→ IR dada por g2(x) = − x
3
+ 1 .
28 CAPI´TULO 2
12) h2 : (−3,+∞)→ IR dada por h2(x) = − x
3
+ 1 .
13) p2 : [0,+∞)→ (−∞, 0] dada por p2(x) = −
√
2x .
14) q2 : IR→ IR dada por q2(x) =
{
1 se 1 ≤ x ≤ 3
0 se x < 1 ou x > 3
.
15) r2 : IR→ IR dada por r2 = q2.s1 .
16) s2 : IR→ IR dada por s2(x) =
{
1/x se x 6= 0
0 se x = 0
.
17) v2 : (−∞,−1) ∪ [0,+∞)→ IR dada por v2(x) =
{
−pi se x < −1
x2 se x ≥ 0 .
18) f3 : (−1, 1]→ IR dada por f3(x) = 1−
√
1− x2 .
2.5 Func¸o˜es exponenciais e logar´ıtmicas
Revisa˜o:
a ∈ IR , n = 1, 2, 3, . . . ⇒ an = a · a · a · . . . · a (n vezes).
a 6= 0 ⇒ a0 = 1 e a−n = 1
an
(n = 1, 2, 3, . . .) .
n PAR e a ≥ 0 : b = n√a ⇔ bn = a , b ≥ 0 .
n I´MPAR e a ∈ IR : b = n√a ⇔ bn = a .
Definimos poteˆncias RACIONAIS de nu´meros reais positivos do seguinte modo:
a > 0 , p, q inteiros , q 6= 0 ⇒ ap/q = q√ap
Temos, neste caso: ar1 · ar2 = ar1+r2 e ar > 0 .
Nos interessa agora definir ax , com x ∈ IR (qualquer, mesmo irracional).
Para isso consideremos a > 0 .
Se x e´ racional, ja´ temos ap/q = q
√
ap .
Func¸o˜es 29
Se x e´ IRRACIONAL, sabemos que e´ poss´ıvel obter uma sequeˆncia de racionais r1, r2, r3, . . .
que se aproxima de x tanto quanto quisermos:
r1, r2, r3, r4, r5, . . . −→ x
FATO: A sequeˆncia ar1 , ar2 , ar3 , . . . se aproxima de um nu´mero real, o qual DEFINI-
MOS como ax .
Temos enta˜o a nossa func¸a˜o exponencial de base a:
• Fixado a > 0 em IR, a func¸a˜o fa : IR→ IR+ dada por fa(x) = ax para todo x ∈ IR
e´ chamada FUNC¸A˜O EXPONENCIAL DE BASE a.
Propriedades:
ax · ay = ax+y , (ax)y = ax·y , (a · b)x = ax · bx , a0 = 1
Gra´fico:
Crescimento ou decrescimento: fa(x) = a
x e´
{
CRECENTE se a > 1
DECRESCENTE se a < 1
Inversa: Se a 6= 1 enta˜o fa : IR → IR+
x 7→ ax
e´ SOBREJETORA e INJETORA, ad-
mitindo portanto uma func¸a˜o inversa f−1a : IR
+ → IR
y 7→ f−1a (y)
.
f−1a e´ chamada FUNC¸A˜O LOGARI´TMICA DE BASE a e escrevemos f
−1
a (y) = loga y .
Temos enta˜o: y = ax ⇔ x = loga y .
x
fa7−→ ax = y f
−1
a7−→ x = loga y = loga ax
y
f−1a7−→ x = loga y fa7−→ y = ax = aloga y
30 CAPI´TULO 2
• Fixado a > 0 , a 6= 1 em IR, temos a func¸a˜o f−1a : IR+ → IR dada por f−1a (y) = loga y .
Propriedades:
loga(x · y) = loga x+ loga y , loga(xy) = y · loga x , loga 1 = 0
Gra´fico:
Um nu´mero especial:
Consideremos a soma 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+ . . . . Mostra-se que esta soma converge
(“se aproxima cada vez mais e tanto quanto desejarmos”) para um nu´mero real conhecido por
CONSTANTE DE EULER e denotado por e .
Assim, podemos escrever e = 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+ . . . .
E´ fa´cil ver que 2 < e < 3 :
2 < 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+ . . . < 1 + 1 +
1
2
+
1
22
+
1
23
+
1
24
+ . . . = 3
O nu´mero real e acima definido ira´ desempenhar um importante papel ao longo do nosso
curso de Ca´lculo I, no que se refere a`s func¸o˜es exponencial e logar´ıtmica, na base e :
fe : IR → IR+ dada por fe(x) = ex (func¸a˜o exponencial de base e) e sua inversa
f−1e : IR
+ → IR dada por f−1e (x) = loge x (func¸a˜o logar´ıtmica de base e).
Escrevemos tambe´m loge x = log x = lnx .
Obs.: Outro modo de obtero nu´mero e :(
1 +
1
1
)1
,
(
1 +
1
2
)2
,
(
1 +
1
3
)3
,
(
1 +
1
4
)4
,
(
1 +
1
5
)5
, . . . −→ e
Func¸o˜es 31
2.6 Func¸o˜es trigonome´tricas
• Medidas de aˆngulos em radianos:
Um aˆngulo mede 1 RADIANO quando corresponde a um arco de circunfereˆncia (centrada
no ve´rtice do aˆngulo) de comprimento igual ao raio da circunfereˆncia considerada:
Assim, um aˆngulo que mede θ rad corresponde a um arco de comprimento θ · r , sendo
r o raio da circunfereˆncia considerada:
θ
1
=
l
r
⇒ l = θ · r
Desta forma, e´ fa´cil ver que a medida de “uma volta” em radianos e´ 2pi rad :
2pir = θ · r ⇒ θ = 2pi rad
• Relac¸o˜es trigonome´tricas nos triaˆngulos retaˆngulos:
Consideremos 0 < θ <
pi
2
e um aˆngulo de θ rad em um triaˆngulo retaˆngulo:
sen θ =
b
a
cos θ =
c
a
tg θ =
sen θ
cos θ
=
b
c
cos2 θ + sen 2θ = 1
32 CAPI´TULO 2
• O c´ırculo trigonome´trico:
Relac¸o˜es:
cos2 θ + sen 2θ = 1 , sec2 θ = 1 + tg 2θ , csc2 θ = 1 + ctg 2θ
ctg θ =
1
tg θ
( sen θ 6= 0) , sec θ = 1
cos θ
(cos θ 6= 0) , csc θ = 1
sen θ
( sen θ 6= 0)
• Aˆngulos nota´veis:
θ (rad) 0 pi/6 pi/4 pi/3 pi/2 pi 3pi/2 2pi
sen θ 0 1
2
√
2
2
√
3
2
1 0 −1 0
cos θ 1
√
3
2
√
2
2
1
2
0 −1 0 1
tg θ 0
√
3
3
1
√
3 @ 0 @ 0
• Fo´rmulas de transformac¸a˜o:
A partir das fo´rmulas abaixo, para cosseno e seno da soma e da diferenc¸a de dois aˆngulos,
podemos deduzir (veja exerc´ıcios mais a` frente) outras importantes fo´rmulas de transformac¸a˜o,
as quais teˆm utilidade no ca´lculo de certas integrais trigonome´tricas. cos(a+ b) = cos a · cos b− sen a · sen b cos(a− b) = cos a · cos b+ sen a · sen bsen (a+ b) = sen a · cos b+ sen b · cos a sen (a− b) = sen a · cos b− sen b · cos a
Func¸o˜es 33
• Func¸o˜es trigonome´tricas:
Func¸a˜o SENO:
sen : IR −→ IR
x 7−→ sen x
Gra´fico:
Im ( sen ) = [−1, 1]
sen (−x) = − sen x (e´ uma func¸a˜o I´MPAR)
sen (x+ 2pi) = senx (e´ uma func¸a˜o PERIO´DICA de per´ıodo T = 2pi)
A func¸a˜o SENO e´ ...
... CRESCENTE em [kpi − pi/2 , kpi + pi/2] , k PAR, k ∈ Z
... DECRESCENTE em [kpi − pi/2 , kpi + pi/2] , k I´MPAR, k ∈ Z
Assume o VALOR MA´XIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kpi + pi/2 (k ∈ Z)
Assume o VALOR MI´NIMO ABSOLUTO −1 em x = 2kpi + 3pi/2 (k ∈ Z)
Se sen x 6= 0 , enta˜o temos cscx = 1
sen x
. Assim, na˜o e´ dif´ıcil ver que a func¸a˜o
csc : IR− {kpi , k ∈ Z} → IR , que associa x 7→ csc x = 1/ sen x tem gra´fico:
34 CAPI´TULO 2
A func¸a˜o SENO NA˜O E´ injetora e NA˜O E´ sobrejetora, mas a quando restringimos seu
domı´nio e seu contra-domı´nio, temos uma nova func¸a˜o f : [−pi/2, pi/2] −→ [−1, 1]
x 7−→ sen x
, a qual
e´ BIJETORA
e tem portanto inversa f
−1 : [−1, 1] −→ [−pi/2, pi/2]
y 7−→ f−1(y) = arc sen y
Exerc´ıcio: Fac¸a um estudo semelhante ao que fizemos com a func¸a˜o SENO, para as func¸o˜es
COSSENO e TANGENTE.
2.7 Exerc´ıcios
1) Sabendo que f : IR → IR e´ uma func¸a˜o polinomial do 1o grau, que f(−1) = 2
e f(2) = 3 , determine f(x) para cada x ∈ IR (uma func¸a˜o polinomial do 1o grau esta´
totalmente determinada quando conhecemos seus valores em 2 pontos distintos = uma reta
esta´ totalmente determinada quando conhecemos 2 de seus pontos).
2) Sabendo que g : IR → IR e´ uma func¸a˜o polinomial do 2o grau, que g(1) = 3 ,
g(−1) = −1 e g(2) = 6 , determine g(x) para cada x ∈ IR (uma func¸a˜o polinomial do
2o grau esta´ totalmente determinada quando conhecemos seus valores em 3 pontos distintos =
uma para´bola esta´ totalmente determinada quando conhecemos 3 de seus pontos).
Func¸o˜es 35
3) (Polinoˆmios de Lagrange) Sejam x1, x2, x3 nu´meros reais distintos e y1, y2, y3
nu´meros reais na˜o necessariamente distintos. O u´nico polinoˆmio p(x) do 2o grau tal que
p(x1) = y1 , p(x2) = y2 e p(x3) = y3 e´ dado por
p(x) = y1 · (x− x2)(x− x3)
(x1 − x2)(x1 − x3) + y2 ·
(x− x1)(x− x3)
(x2 − x1)(x2 − x3) + y3 ·
(x− x1)(x− x2)
(x3 − x1)(x3 − x2)
(a) Usando o resultado acima, refac¸a o exerc´ıcio anterior.
(b) Generalize o resultado acima e obtenha a func¸a˜o polinomial do 3o grau que assume em
−1, 0, 1, 4 os valores 1, 0, 0,−2 , respectivamente.
4) Sejam X ⊂ IR um conjunto sime´trico em relac¸a˜o a` origem 0 e f : X → IR uma func¸a˜o.
(a) Mostre que g : X → IR dada por g(x) = 1
2
[f(x) + f(−x)] e´ uma func¸a˜o par e que
h : X → IR dada por h(x) = 1
2
[f(x)− f(−x)] e´ ı´mpar (veja Exerc´ıcio 6 da pa´g. 23).
(b) Obtenha a soma g+h e tente fazer agora (se voceˆ ainda na˜o fez) o item 6) do Exerc´ıcio
6 da pa´g. 23.
(c) Seja f : IR−{−1, 1} → IR a func¸a˜o dada por f(x) = x− 1
x+ 1
. Mostre que f na˜o e´ par
e na˜o e´ ı´mpar. Escreva f como a soma de uma func¸a˜o par com uma func¸a˜o ı´mpar.
5) Prove que cada uma das func¸o˜es abaixo e´ invert´ıvel (bijetora) e obtenha a inversa:
(a) f : IR→ IR dada por f(x) = 3x+ 4 ;
(b) g : IR− {a} → IR− {0} dada por g(x) = 1
x− a (a ∈ IR) ;
(c) h : IR− {a} → IR− {1} dada por g(x) = x+ a
x− a (a ∈ IR) ;
(d) r : [1,+∞)→ [0,+∞) dada por r(x) = √x− 1 .
6) (Desafio) Seja g : (−1, 1) → IR dada por g(x) = x
1− |x| . Prove que g e´ invert´ıvel
(ou seja, bijetora) e obtenha g−1 .
7) Se f : IR→ IR e´ dada por f(x) = 2x , mostre que f(x+ 3)− f(x− 1) = 15
2f(x)
.
8) Dada φ : (−1, 1)→ IR dada por φ(x) = ln 1− x
1 + x
, verifique a igualdade:
φ(a) + φ(b) = φ
(
a+ b
1 + ab
)
36 CAPI´TULO 2
9) (Decaimento exponencial) A massa de materiais radioativos, tais como o ra´dio, o uraˆnio
ou o carbono-14, se desintegra com o passar do tempo. Uma maneira usual de expressar a
taxa de decaimento da massa desses materiais e´ utilizando o conceito de meia-vida.
A meia-vida de um material radioativo e´ definida como o tempo necessa´rio para que sua
massa seja reduzida a` metade.
Denotando por M0 a massa inicial (correspondente ao instante t = 0) e por M a massa
presente num instante qualquer t, podemos estimar M pela func¸a˜o exponencial dada por
M = M0e
−Kt sendo t > 0 e K > 0 uma constante que depende do material.
A equac¸a˜o acima e´ conhecida como modelo de decaimento exponencial.
Sabendo que a meia-vida do carbono-14 e´ de aproximadamente 5730 anos, determinar:
(a) A constante K, do modelo de decaimento exponencial para esse material;
(b) A quantidade de massa presente apo´s dois per´ıodos de meia-vida, se no instante t = 0
a massa era M0;
(c) A idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presenc¸a do carbono-14 neste
e´ 80% da quantidade original.
10) Uma certa substaˆncia radioativa decai exponencialmente e, apo´s 100 anos, ainda restam
60% da quantidade inicial.
(a) Obtenha o modelo de decaimento exponencial para esta substaˆncia.
(b) Determinar a sua meia-vida.
(c) Determinar o tempo necessa´rio para que reste somente 15% de uma dada massa inicial.
11) Fac¸a esboc¸os dos gra´ficos das seguintes func¸o˜es:
(a) f : IR→ IR dada por f(x) = 2x ;
(b) g : IR→ IR dada por g(x) = e−x ;
(c) h : IR→ IR dada por h(x) = −ex ;
(d) s : IR− {0} → IR dada por s(x) = ln |x| ;
(e) l : (−∞, 0)→ IR dada por l(x) = ln(−x) ;
(f) m : IR+ → IR dada por m(x) = |lnx| ;
(g) n : (−1,+∞)→ IR dada por n(x) = − ln(1 + x) .
Func¸o˜es 37
12) Uma func¸a˜o f : X → IR e´ dita PERIO´DICA quando existe um nu´mero T > 0
(chamado o per´ıodo de f) tal que f(x+T ) = f(x) para todo x ∈ X . Neste caso, seu gra´fico
se repete a cada intervalo de comprimento T .
As func¸o˜es trigonome´tricas constituem exemplos cla´ssicos de func¸o˜es perio´dicas:
(a) Mostre que as func¸o˜es fn : IR→ IR dadas por fn(x) = sennx (n = 1, 2, 3, 4, . . .) sa˜o
todas ı´mpares e perio´dicas de per´ıodo T = 2pi .
(b) Mostre que as func¸o˜es gn : IR → IR dadas por gn(x) = cosnx (n = 0, 1, 2, 3, 4, . . .)
sa˜o todas pares e perio´dicas de per´ıodo T = 2pi.
13) (Fo´rmulas de Transformac¸a˜o) Prove as seguintes identidades trigonome´tricas:
sen 2a =
1− cos 2a
2
cos2 a =
1 + cos 2a
2
cos a · cos b = 1
2
· cos(a+ b) + 1
2
· cos(a− b)
sen a · sen b = 1
2
· cos(a− b)− 1
2
· cos(a+ b)
sen a · cos b = 1
2
· sen (a+ b) + 1
2
· sen (a− b)
14) Seja f : IR− {x ∈ IR ; cos x = 0 } → IR dada por f(θ) = tg θ . Verifique:
f(2θ) =
2f(θ)
1− [f(θ)]2
15) Fac¸a esboc¸os dos gra´ficos das seguintes func¸o˜es:
(a) f : IR→ IR dada por f(x) = sen 3x ;
(b) g : IR→ IR dada por g(x) = 2 cos 2x ;
(c) h : IR→ IR dada por h(x) = 1 + senx ;
(d) s : IR→ IR dada por s(x) = | sen x| ;
(e) l : IR→ IR dada por l(x) = sen (x− (pi/2)) .
16) Seja f : [1, 100]→ IR dada por f(x) = arc sen [log10(x/10)] . Obtenha f(1), f(100)
e f(
√
10 ) .
38 CAPI´TULO 2
17) (Func¸o˜es Hiperbo´licas) Definimos as func¸o˜es hiperbo´licas ba´sicas:
• Func¸a˜o Seno Hiperbo´lico: senh : IR→ IR dada por senhx = e
x − e−x
2
• Func¸a˜o Cosseno Hiperbo´lico: cosh : IR→ IR dada por coshx = e
x + e−x
2
(a) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico das func¸o˜es senh e cosh.
(b) Prove que cosh2 x− senh 2x = 1 para todo x ∈ IR .
(c) Prove que coshx ≥ 1 para todo x ∈ IR .
Definimos ainda:
tgh : IR→ IR dada por tghx = senh x
coshx
ctgh : IR− {0} → IR dada por ctghx = coshx
senh x
sech : IR→ IR dada por sechx = 1
coshx
csch : IR− {0} → IR dada por cschx = 1
senh x
(d) Obtenha (prove) relac¸o˜es entre as func¸o˜es tgh e sech e entre ctgh e csch .
18) Seja f : IR→ IR dada por f(x) = 2 senhx−3 tghx . Obtenha f(2) , f(−1) e f(0) .
Cap´ıtulo 3
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade
3.1 Motivac¸a˜o
Seja dada uma func¸a˜o f : X → Y (X, Y ⊂ IR) .
Para cada x ∈ X , a melhor maneira de se aproximar f numa vizinhanc¸a de x por uma
func¸a˜o cujo gra´fico e´ uma reta e´ atrave´s da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (x, f(x)) ,
se houver esta tangente.
Consequeˆncia: Podemos relacionar uma se´rie de informac¸o˜es sobre o comportamento de
f com o coeficiente angular mt da reta tangente ao gra´fico de f em cada ponto (onde existir).
Por exemplo:
(A) f crescente em um intervalo ⇔ mt > 0 neste intervalo.
39
40 CAPI´TULO 3
(B) f decrescente em um intervalo ⇔ mt < 0 neste intervalo.
(C)
f assumindo ma´ximo ou mı´nimo local
no interior de um intervalo
}
⇒ mt = 0 no ponto de ma´ximo ou mı´nimo.
(D)
Concavidade do gra´fico de f
voltada para cima, em um intervalo
}
⇒ mt crescente neste intervalo.
(E)
Concavidade do gra´fico de f
voltada para baixo, em um intervalo
}
⇒ mt decrescente neste intervalo.
Obtendo “mt” (coeficiente angular da reta tangente)
Dada f : X → Y (X, Y ⊂ IR) , seja a ∈ I(intervalo aberto) ⊂ X. Queremos obter o
coeficiente angular mta da reta ta , tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)) :
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 41
Para fazermos isso, vamos utilizar “APROXIMAC¸O˜ES POR RETAS SECANTES”:
Para cada x 6= a (em I), temos uma reta secante sa (que depende do ponto x),
secante ao gra´fico de f , passando pelos pontos (a, f(a)) e (x, f(x)) :
Temos enta˜o uma func¸a˜o msa : I − {a} → IR
x 7→ msa(x) =
f(x)− f(a)
x− a
Nos interessa investigar o comportamento de msa(x) (coeficiente angular das secantes)
quando x se aproxima de a , sem assumir o valor a ( x→ a ).
O esperado e´ que, quando x→ a , msa(x) se aproxime tanto quanto quisermos de algum
nu´mero real e teremos
msa(x)→ mta ∈ IR , quando x→ a
Neste caso, dizemos que a func¸a˜o f e´ deriva´vel no ponto a, existe a reta tangente ao gra´fico
de f no ponto (a, f(a)) e seu coeficiente angular mta e´ chamado a derivada de f no ponto
a (escrevemos f ′(a) ).
Obs.: E´ fundamental, para fazermos x→ a , que possamos aproximar o ponto a por uma
sequeˆncia de pontos do domı´nio X de f , diferentes de a.
Exemplo:
42 CAPI´TULO 3
Precisamos portanto sistematizar o todo este processo, ou seja,
Dada uma func¸a˜o g : X → Y e um ponto a que pode ser aproximado por
pontos x ∈ X , x 6= a queremos estudar o comportamento de g(x) quando x→ a
(x se aproxima de a por valores diferentes de a) e saber se g(x)→ L ∈ IR quando
x→ a .
3.2 Limites
Dada uma func¸a˜o f : X → IR , nos interessa conhecer o comportamento de f(x) quando
x se aproxima de a , x 6= a .
Para isso, a na˜o precisa pertencer ao domı´nio de f , mas deve ser aproximado por pontos
do domı´nio:
Definic¸a˜o 3.1. (Ponto de acumulac¸a˜o): Um ponto a e´ chamado um PONTO DE ACUMULAC¸A˜O
do conjunto X quando podemos encontrar pontos de X, diferentes de a, ta˜o pro´ximos de a
quanto quisermos, ou seja, a pode ser aproximado por pontos de X diferentes de a.
Denotamos por X ′ o conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o de X.
Exemplos:
(A) A = [−1, 3)
(B) B = (0, 2) ∪ (2, 3)
(C) C = [1, 2] ∪ (3, 5) ∪ {7}
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 43
Consideremos agora, por exemplo, a func¸a˜o f : IR− {1} → IR dada por
f(x) =
3x2 − 2x− 1
x− 1
1 na˜o pertence ao domı´nio de f , mas e´ ponto de acumulac¸a˜o de IR − {1} . Podemos
enta˜o observar o comportamento de f(x) quando x→ 1 (x se aproxima de 1, x 6= 1)
Temos:
x 0 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999
f(x) 1 3, 7 3, 97 3, 997 3, 9997
x 2 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001
f(x) 7 4, 3 4, 03 4, 003 4, 0003
Observemos que f(x) se aproxima cada vez mais de 4 a` medida que x→ 1 .
Dizemos enta˜o que 4 e´ o limite de f(x) quando x tende a 1 (x→ 1) e escrevemos:
lim
x→1
3x2 − 2x− 1
x− 1 = 4 .
A definic¸a˜o de limite
Definic¸a˜o 3.2. Sejam f : X → IR uma func¸a˜o e a ∈ X ′ (a e´ ponto de acumulac¸a˜o do
domı´nio - na˜o precisa pertencer a X).
Dizemos que um nu´mero real L e´ o LIMITE de f(x) quando x tende a a , e escrevemos
lim
x→a
f(x) = L
quando ...
... podemos obter f(x) ta˜o pro´ximo de L quanto
desejarmos, sempre que x se aproxima de a, por va-
lores (no domı´nio de f) diferentes de a .
m TRADUZINDO
... para cada � > 0 dado, e´ poss´ıvel obter um
δ > 0 (em geral dependendo do �) tal que :
se x ∈ X e 0 < |x− a| < δ enta˜o |f(x)− L| < � .
44 CAPI´TULO 3
Alguns limites fundamentais
• Fixemos c ∈ IR e seja f1 : IR→ IR dada por f1(x) = c ∀ x ∈ IR (func¸a˜o constante).
Para cada a ∈ IR temos:
lim
x→a
f1(x) = lim
x→a
c = c
• Seja f2 : IR→ IR dada por f2(x) = x ∀ x ∈ IR (func¸a˜o identidade).
Para cada a ∈ IR temos:
lim
x→a
f2(x) = lim
x→a
x = a
• Seja f3 : IR→ IR dada por f3(x) = senx ∀ x ∈ IR .
Temos:
lim
x→0
sen x = 0
• Seja f4 : IR→ IR dada por f4(x) = cosx ∀ x ∈ IR .
Temos:
lim
x→0
cosx = 1
• Seja f5 : IR− { 0} → IR dada por f5(x) = sen x
x
∀ x 6= 0 .
Temos:
lim
x→0
sen x
x
= 1
• Seja f6 : IR− { 0} → IR dada por f6(x) = cosx− 1
x
∀ x 6= 0 .
Temos:
lim
x→0
cosx− 1
x
= 0
• Seja f7 : IR− { 0} → IR dada por f7(x) = e
x − 1
x
∀ x 6= 0 .
Temos:
lim
x→0
ex − 1
x
= 1
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 45
3.3 Teoremas para (ajudar no) ca´lculo de limites
Teorema 3.1. Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ . Temos:
lim
x→a
f(x) = L ⇔ lim
x→a
(f(x)− L) = 0 ⇔ lim
x→a
|f(x)− L| = 0
Em particular, considerando L = 0 , temos: lim
x→a
f(x) = 0 ⇔ lim
x→a
|f(x)| = 0 .
Exemplo: Sabemos que lim
x→0
x = 0 . Enta˜o segue que lim
x→0
|x| = 0 .
Teorema 3.2. (Sandu´ıche) Sejam f , g , h func¸o˜es tais que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo
x 6= a em um intervalo aberto contendo a .
Se lim
x→a
f(x) = L = lim
x→a
h(x) , enta˜o lim
x→a
g(x) = L .
Exemplo: Vamos mostrar que lim
x→0
sen x = 0 .
46 CAPI´TULO 3
Teorema 3.3. Sejam f , g : X → IR , a ∈ X ′ e lim
x→a
f(x) = L , lim
x→a
g(x) = M . Enta˜o:
lim
x→a
[f(x)± g(x)] = L±M ;
lim
x→a
f(x) · g(x) = L ·M ;
lim
x→a
f(x)
g(x)
=
L
M
se M 6= 0 ;
lim
x→an
√
f(x) =
n
√
L
{
se n e´ I´MPAR e L e´ qualquer real
se n e´ PAR e L > 0
Exemplos:
(A) Seja p : IR→ IR dada por p(x) = cnxn + cn−1xn−1 + . . .+ c1x+ c0 ,
com cn, cn−1, . . . , c1, c0 ∈ IR (constantes) e cn 6= 0 ( p e´ uma func¸a˜o polinomial de grau n).
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 47
(B) Func¸o˜es racionais (quocientes de func¸o˜es polinomiais)
(C) lim
x→0
cosx = 1
48 CAPI´TULO 3
(D) lim
x→0
sen x
x
= 1
(E) lim
x→0
cosx− 1
x
= 0
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 49
Teorema 3.4. Se lim
x→a
f(x) = 0 e g e´ limitada num intervalo aberto contendo o ponto a
(sem precisar estar definida em a), enta˜o lim
x→a
f(x) · g(x) = 0 .
(Exemplo)
Teorema 3.5. (Troca de varia´veis) Se lim
u→b
f(u) = L , lim
x→a
u(x) = b (x → a ⇒ u → b) e
x 6= a⇒ u 6= b , enta˜o
lim
x→a
f(u(x)) = lim
u→b
f(u) = L
Exemplos:
(A) lim
x→0
sen 4x
4x
(B) lim
x→0
sen 3x
x
(C) lim
x→0
5x − 1
x
50 CAPI´TULO 3
Exerc´ıcios
(A) Prove que se lim
x→a
f(x) = L 6= 0 e lim
x→a
g(x) = 0 enta˜o @ (na˜o existe) lim
x→a
f(x)
g(x)
.
Sugesta˜o: Suponha que exista lim
x→a
f(x)
g(x)
= M e considere lim
x→a
f(x) = lim
x→a
[
f(x)
g(x)
· g(x)
]
.
(B) Calcule os limites abaixo, justificando:
1) lim
x→3
x2 − 9
x− 3 2) limx→1/2
3 + 2x
5− x 3) limx→0
√
x+ 2−√2
x
Sugesta˜o: racionalize o numerador
4) lim
x→2
x− 2
x4 − 16 Sugesta˜o: use que (a
n − bn) = (a− b).(an−1 + an−2b+ . . .+ abn−2 + bn−1)
5) lim
x→−3
x+ 3
(1/x) + (1/3)
6) lim
x→0
|x|√
x4 + 7
7) lim
x→−3
x2 + 5x+ 6
x2 − x− 12 8) limu→1
1√
5− u
9) lim
x→0
x3 sen
(
1
3
√
x
)
10) lim
h→0
4−√16 + h
h
11) lim
x→3
3
√
2 + 5x− 3x3
x2 − 1 12) limy→−2
y3 + 8
y + 2
13) lim
t→0
1− cos t
sen t
14) lim
x→2
x2 − x− 2
(x− 2)2 15) limx→4
3x2 − 17x+ 20
4x2 − 25x+ 36 16) limw→0
sen 3w
sen 5w
17) lim
h→0
3
√
h+ 1− 1
h
18) lim
x→0
1 + tg x
sen x
19) lim
t→0
sen 22t
t2
20) lim
x→pi
sen x
x− pi
21) lim
x→0
x
cosx
22) lim
x→0
1− cosx
x2
23) lim
x→0
3x − 1
x
24) lim
x→0
3x2
1− cos2(x/2)
25) lim
x→1/√2
x5 − (1/√2)5
x− (1/√2) 26) limx→−2
(x− 1)(x+ 2)
x2 + 4x+ 4
27) lim
x→3
√
x2 − 9
x− 3
28) lim
y→0
e7y − 1
sen y
29) lim
x→0
(1− sec x). ctg x. cosx
x
30) lim
x→3
x2 − 6x+ 9
(x+ 1)(x− 3) 31) limx→√3
pi
√
3− pix
x3 − 3√3 32) limx→pi/2
x− pi/2
cosx
33) lim
x→0
sen 3x
5x(1− cosx) 34) limy→0
3
√
1− e2y
y
35) lim
x→√2
3x− 3√2
x6 − 8 36) limy→0
√
sen piy
y
37) lim
x→1
x2 − 1
(1− x)3
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 51
38) lim
x→−pi
1 + cos x
x+ pi
39) lim
x→0
ex + sen 2x− 1
x
40) lim
x→3
3
√
x− 3
27− x3 41) limx→−1
x3 + 2x2 + x
x+ 1
42) lim
x→0
e senx − 1
2x
43) lim
y→0
sen 7y + cospiy − 1
y
44) lim
x→0
1− cosx√
5 · x · sen x
45) lim
x→√3
x3 − 3√3
4x− 4√3 46) limy→0
e2y − 1
sen (3y)
47) lim
x→−1
x3 + x2 − x− 1
x3 − x 48) limx→pi/2
1− sen x
x− (pi/2)
Teoremas adicionais sobre limites
Teorema 3.6. (Unicidade do limite) Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ .
O lim
x→a
f(x) , quando existe, e´ u´nico.
Teorema 3.7. Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ . Se existe L = lim
x→a
f(x) enta˜o a func¸a˜o f e´
LIMITADA num intervalo aberto contendo o ponto a.
Exemplo: Seja f : IR− {0} → IR dada por f(x) = 1
x
∀ x 6= 0 .
0 e´ ponto de acumulac¸a˜o do domı´nio IR− {0} .
Podemos afirmar que NA˜O EXISTE o lim
x→0
1
x
, pois f na˜o e´ limitada em nenhum
intervalo aberto contendo 0 .
Teorema 3.8. Sejam f : X → IR , a ∈ X ′ e L = lim
x→a
f(x) .
Se L > M enta˜o f(x) > M para todo x 6= a do domı´nio em um intervalo aberto
contendo o ponto a .
Em particular, se lim
x→a
f(x) > 0 enta˜o f(x) > 0 para todo x 6= a do domı´nio em um
intervalo aberto contendo a .
Obs.: Analogamente, vale resultado semelhante caso lim
x→a
f(x) = L < M .
52 CAPI´TULO 3
Teorema 3.9. (Limites laterais) Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ .
Se a pode ser aproximado tanto por pontos de X maiores que a quanto por pontos de X
menores do que a, podemos investigar ambos os limites laterais de f :
lim
x→a+
f(x)
(limite de f(x) quando x tende a a PELA DIREITA, isto e´, por valores x ∈ X, com x > a)
lim
x→a−
f(x)
(limite de f(x) quando x tende a a PELA ESQUERDA, isto e´, por valores x < a em X)
Temos, neste caso, que existe L = lim
x→a
f(x) se, e somente se, existem e sa˜o iguais a L
ambos os limites laterais, ou seja: lim
x→a+
f(x) = lim
x→a−
f(x) .
Exemplos: (a) Seja f : IR− {0} → IR dada por f(x) = |x|
x
.
(b)
Obs.: OS TEOREMAS ANTERIORES VALEM TAMBE´M PARA LIMITES LATERAIS,
COM AS DEVIDAS ADAPTAC¸O˜ES !
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 53
3.4 Exerc´ıcios:
1) Sejam f, g : IR→ IR dadas por:
f(x) =
{
x3 + 3 se x ≤ 1
x+ 1 se x > 1
g(x) =
{
x2 se x ≤ 1
2 se x > 1
Fac¸a um estudo sobre os limites: lim
x→1
f(x) lim
x→1
g(x) lim
x→1
(f.g)(x)
2) Mostre que lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = limh→0
f(a+ h)− f(a)
h
(se existirem)
3) Para cada func¸a˜o f : X → IR dada a seguir e cada a ∈ X ∩X ′ (a e´ ponto do domı´nio e
ponto de acumulac¸a˜o do domı´nio), tambe´m fornecido, obtenha
mta = coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)).
(a) f1 : IR→ IR dada por f1(x) = 3x− 1 e a = −5 .
(b) f2 : IR→ IR dada por f2(x) = −x2 e a = 3 .
(c) f3 : IR→ IR dada por f3(x) = senx e a = pi/6 .
(d) f4 : IR→ IR dada por f4(x) = cosx e a = pi/6 .
(e) f5 : IR→ IR dada por f5(x) = ex e a = 2 .
(f) f6 : (0,+∞)→ IR dada por f6(x) = 1/x e a =
√
2 .
Fac¸a ainda um esboc¸o e confira se a resposta encontrada faz sentido com o esboc¸o.
Sugesto˜es:
Aproxime mta pelos coeficientes angulares msa(x) das secantes por (a, f(a)) e (x, f(x)),
fazendo x→ a.
Para as letras (c),(d) e (e), use tambe´m o exerc´ıcio anterior.
Pode tentar tambe´m fazer antes o Exerc´ıcio 4) (veja o enunciado abaixo) e assim este e-
xerc´ıcio se torna um caso particular.
4) Para cada func¸a˜o f : X → IR do exerc´ıcio anterior, tente generalizar o resultado, obtendo
mta para um a ∈ X qualquer !
54 CAPI´TULO 3
3.5 Continuidade
Definic¸a˜o 3.3. Consideremos uma func¸a˜o f : X → IR tal que X ⊂ X ′ (todo ponto do
domı´nio e´ ponto de acumulac¸a˜o).
Dado um ponto a , dizemos que f E´ CONTI´NUA NO PONTO a quando as seguintes
condic¸o˜es sa˜o satisfeitas:
1) Existe f(a) (ou seja, a ∈ X);
2) Existe lim
x→a
f(x) ;
3) lim
x→a
f(x) = f(a) .
Se f na˜o e´ cont´ınua em um ponto a pertencente a seu domı´nio, dizemos que f E´
DESCONTI´NUA EM a, ou que f TEM UMA DESCONTINUIDADE EM a.
Dizemos que f : X → IR e´ uma FUNC¸A˜O CONTI´NUA EM X quando ela e´ cont´ınua em
todos os pontos de seu domı´nio.
Exemplos: (e contra-exemplos)
(A) Toda func¸a˜o polinomial e´ cont´ınua !
(B) Seno e cosseno, no ponto 0 :
(C) Contra-exemplo: uma descontinuidade REMOVI´VEL:
(D) Contra-exemplo: uma descontinuidade ESSENCIAL:
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 55
Continuidade e operac¸o˜es entre func¸o˜es
Teorema 3.10. Sejam f, g : X → IR , X ⊂ X ′ e a ∈ X .
Se f e g sa˜o cont´ınuas no ponto a ∈ X , enta˜o:
(f ± g) sa˜o cont´ınuas em a ;
(f · g) e´ uma func¸a˜o cont´ınua em a ;
(f/g) e´ cont´ınua em a se g(a) 6= 0 .
Teorema 3.11. (Composic¸a˜o) Sejam f : X → IR (X ⊂ X ′) e g : Y → IR (Y ⊂ Y ′) de
forma que a composta g ◦ f : X → IR esta´ bem definida
Se f e´ cont´ınua em a ∈ X e g e´ cont´ınua em b = f(a) ∈ Y enta˜o a composta
g ◦ f : X → IR e´ cont´ınua no ponto a ∈ X .
Func¸o˜es cont´ınuas em intervalos
• Quando estudamos problemas sobre ma´ximos e mı´nimos, podemos ter func¸o˜es quena˜o
assumem valores ma´ximos e/ou mı´nimos.
Por exemplo:
f : IR→ IR dada por f(x) = x NA˜O ASSUME MA´XIMO NEM MI´NIMO !
g : (−1, 2)→ IR dada por g(x) = x NA˜O ASSUME MA´XIMO NEM MI´NIMO !
56 CAPI´TULO 3
Existe uma situac¸a˜o (envolvendo continuidade) na qual estes problemas na˜o ocorrem:
Teorema 3.12. (MAX-MIN) Se f : [a, b]→ IR e´ uma func¸a˜o cont´ınua (em todos os pontos
do intervalo limitado e fechado [a, b]), enta˜o f assume valores ma´ximo e mı´nimo absolutos
neste intervalo [a, b] , ou seja, existem pontos cM e cm em [a, b] tais que
f(cM) ≥ f(x) para todo x ∈ [a, b]
f(cm) ≤ f(x) para todo x ∈ [a, b]
• Outra boa propriedade das func¸o˜es cont´ınuas e´ a “PROPRIEDADE DO VALOR IN-
TERMEDIA´RIO”:
Teorema 3.13. (Teorema do valor intermedia´rio) Se f : X → IR e´ cont´ınua no intervalo
[a, b] ⊂ X e f(a) 6= f(b) , enta˜o f assume todos os valores entre f(a) e f(b) , ou mellhor,
dado qualquer d entre f(a) e f(b) , existe x entre a e b tal que f(x) = d .
(Ilustrac¸a˜o)
(Exemplo)
Limite de uma func¸a˜o e Continuidade 57
3.6 Exerc´ıcios
1) Seja f : [0,+∞)→ IR dada por f(x) = √x .
(i) Mostre que lim
x→0
√
x = 0 (Sugesta˜o: Considere apenas o limite lateral lim
x→0+
√
x - pois 0
so´ pode ser aproximado “pela direita” - e para isto, compare
√
x com 3
√
x para 0 < x < 1 )
(ii) Conclua que f e´ cont´ınua (em todos os pontos de seu domı´nio).
(iii) Mostre que @ lim
x→0
√
x
x
(racionalize).
(iv) Generalize para g : [0,∞)→ IR dada por g(x) = n√x , n = 2, 4, 6, 8, . . .
2) Dadas f : X → IR abaixo, discuta a sua CONTINUIDADE (onde f e´ cont´ınua ou na˜o),
justificando:
(a) f : (−∞, 16]→ IR dada por f(x) = √16− x .
(b) f : [0,+∞)→ IR dada por f(0) = 0 e f(x) = 1
x2
se x 6= 0 .
(c) f : IR→ IR dada por f(x) =

x+ 1
x3 + 1
se x 6= −1
3 se x = −1
.
3) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
x5 + x3 + 2x2 + 3 se x < 0
−x+ 2 se x ≥ 0
(a) Discuta a CONTINUIDADE de f .
(b) A equac¸a˜o f(x) = 0 tem uma raiz entre −2 e −1. JUSTIFIQUE.
4) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
x3 − x− 3 se x < 2
5− x se x ≥ 2
(a) Onde f e´ cont´ınua ? (JUSTIFIQUE). (Considere os casos: a < 2, a = 2 e a > 2)
(b) Em quais dos intervalos [−2, 0], [0, 1], [1, 3], [3, 6] podemos GARANTIR que existe
x tal que f(x) = 0 ? JUSTIFIQUE.
58 CAPI´TULO 3
5) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
2x+ 1 se x ≤ 3
−x2 + 8x− 8 se x > 3
(a) Responda se f e´ cont´ınua em a = 3 . (JUSTIFIQUE).
(b) Sabendo que f e´ crescente em (−∞, 7/2] e descrescente em [10,+∞) , podemos
afirmar que existe xM ∈ [7/2, 10] tal que f(xM) ≥ f(x) para todo x ∈ IR ? (JUSTIFIQUE)
6) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
x+ 1 se x < −1
1 + sen (x+ 1) se x ≥ −1
(a) Responda se f e´ cont´ınua em a = −1 . (JUSTIFIQUE).
(b) Responda: Se [a, b] ⊂ IR , e´ poss´ıvel afirmar que dado d entre f(a) e f(b), existe c entre
a e b com f(c) = d ? JUSTIFIQUE a resposta.
7) (a) Seja f : IR → IR uma func¸a˜o tal que f(x) = sen [pi(x− 1)]
x− 1 ∀ x 6= 1 . f pode ser
cont´ınua em x = 1 ? Se puder, qual o valor de f(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se
na˜o, JUSTIFIQUE.
(b) Seja g : IR → IR uma func¸a˜o tal que g(x) = |x− 1|
x− 1 ∀ x 6= 1 . g pode ser cont´ınua
em x = 1 ? Se puder, qual o valor de g(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se na˜o,
JUSTIFIQUE.
Cap´ıtulo 4
Derivada
4.1 A definic¸a˜o da Derivada
Definic¸a˜o 4.1. Consideremos uma func¸a˜o f : X → IR , com X ⊂ X ′ (todo ponto do
domı´nio e´ ponto de acumulac¸a˜o do domı´nio).
Dizemos que f e´ DERIVA´VEL em a ∈ X quando existe o limite
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = limh→0
f(a+ h)− f(a)
h
O nu´mero f ′(a) ∈ IR e´ chamado A DERIVADA DE f NO PONTO a.
Observac¸o˜es:
• Em nossas aplicac¸o˜es, o domı´nio X sera´ quase sempre um intervalo (e ja´ teremos X ⊂ X ′ );
• Outras notac¸o˜es para f ′(a) :
f ′(a) = Dxf(a) =
df
dx
(a) =
df
dx
∣∣∣∣
x=a
ou ainda f ′(a) = y′(a) =
dy
dx
(a) , se y = f(x)
• Podemos considerar a func¸a˜o f ′ : x 7→ f ′(x) definida em todos os pontos x ∈ X onde
existir f ′(x) . f ′ e´ chamada a FUNC¸A˜O DERIVADA DE f .
59
60 CAPI´TULO 4
Interpretac¸a˜o geome´trica
Ja´ vimos, como motivac¸a˜o para o estudo de limites, que se f : X → IR e´ deriva´vel em
a ∈ X , enta˜o f ′(a) representa o coeficiente angular mta da reta tangente ao gra´fico
de f no ponto (a, f(a)) :
Vimos tambe´m que o conhecimento de f ′(a) = mta para os pontos a ∈ X pode nos
trazer uma se´rie de informac¸o˜es sobre o comportamento da func¸a˜o f .
Primeiros exemplos:
(A) Fixemos c ∈ IR (constante) e seja f : IR→ IR dada por f(x) = c ∀ x ∈ IR .
Derivada 61
(B) Seja g : IR→ IR dada por g(x) = x3 ∀ x ∈ IR . Vamos calcular g′(2) , por exemplo:
Exerc´ıcio:
(i) Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x3 enta˜o g′(x) = 3x2 ∀ x ∈ IR .
(ii) Generalize (i) e mostre que se f(x) = xn (n = 1, 2, 3, . . .) enta˜o f ′(x) = nxn−1 .
(C) Seja f : IR→ IR dada por f(x) = senx .
Exerc´ıcio: Obtenha a derivada de g : IR→ IR dada por g(x) = cosx .
(D) Seja u : IR→ IR dada por u(t) = et (func¸a˜o exponencial na base e).
62 CAPI´TULO 4
(E) Seja f : IR→ IR dada por f(x) = |x| .
(F) Seja g : IR− {0} → IR dada por g(x) = 1
x4
= x−4 .
Exerc´ıcio: Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x−n (n = 1, 2, 3, . . .)
enta˜o g′(x) = −nx−n−1 ∀x 6= 0 .
(G) Fixemos a > 0 . Seja u : IR→ IR dada por u(t) = at (func¸a˜o exponencial na base a).
Derivada 63
4.2 Derivadas e continuidade
Teorema 4.1. Se f : X → IR e´ DERIVA´VEL em a ∈ X , enta˜o f e´ CONTI´NUA em a.
De fato:
Se f e´ deriva´vel em a ∈ X , enta˜o existe o limite lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = f
′(a) .
Existe f(a) (pois a ∈ X).
Se x 6= a , temos: f(x)− f(a) =
[
f(x)− f(a)
x− a
]
· (x− a) .
Como lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = f
′(a) e lim
x→a
(x− a) = 0 , segue que
lim
x→a
f(x)− f(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a · limx→a (x− a) = f
′(a) · 0 = 0
Logo lim
x→a
f(x) = f(a) e portanto f e´ cont´ınua no ponto a .
Algumas consequeˆncias:
• Sa˜o cont´ınuas em todos os pontos de seus domı´nios as func¸o˜es:
f : IR− {0} → IR dada por f(x) = 1
xn
(n = 1, 2, 3. . . .) ,
g1 : IR→ IR dada por g1(x) = senx , g2 : IR→ IR dada por g2(x) = cosx ,
u : IR→ IR dada por u(t) = at (a > 0) , pois sa˜o todas deriva´veis em todos os pontos de
seus domı´nios.
• Se uma determinada func¸a˜o e´ descont´ınua
em algum ponto de seu domı´nio, enta˜o ela na˜o e´
deriva´vel neste ponto de descontinuidade.
• CUIDADO! Na˜o podemos garantir a rec´ıproca do teorema anterior, ou seja, podemos
ter uma func¸a˜o que e´ cont´ınua mas na˜o e´ deriva´vel em determinados pontos.
Exemplo: f(x) = |x| e´ cont´ınua no ponto 0 ( lim
x→0
|x| = 0 = f(0) ), mas ja´ vimos que @ f ′(0) .
64 CAPI´TULO 4
4.3 Exerc´ıcios
1) (a) Seja f(x) =
1
x3
∀x 6= 0 . Obtenha, via definic¸a˜o, f ′(1) .
(b) Seja f(x) = senx ∀x ∈ IR . Obtenha (via definic¸a˜o) f ′(2pi/3) .
(c) Se g(x) = 5x ∀x ∈ IR , mostre (via definic¸a˜o) que g′(x) = 5x. ln 5 ∀x ∈ IR .
(d) Seja f : IR→ IR dada por f(x) = 3 · 3√x ∀ x ∈ IR
Mostre, via definic¸a˜o, que @ (na˜o existe) f ′(0) e que f ′(a) =
1
3
√
a2
∀ a 6= 0 .
2) (Derivadas Laterais) Quando f : X → IR , a e´ ponto de acumulac¸a˜o BILATERAL
de X e f e´ definida de modos diferentes a` direita e a` esquerda de a, a existeˆncia do limite
que define a derivada no ponto a e´ verificada observando-se a existeˆncia e a igualdade dos
limites laterais correspondentes (veja Teorema 3.9), chamados DERIVADAS LATERAIS DE
f (A` DIREITA OU A` ESQUERDA) NO PONTO a:
f ′+(a) = lim
x→a+
f(x)− f(a)
x− a e f
′
−(a) = lim
x→a−
f(x)− f(a)
x− a
(a) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
x5 + x3 + 2x2 + 3 se x < 0
−x+ 2 se x ≥ 0
f e´ deriva´vel em x = 0 ? Se for, PROVE eobtenha a derivada f ′(0). Se na˜o for, justifique.
(b) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
6x− 2 se x ≤ 1
5− x se x > 1
f e´ deriva´vel em a = 1 ? Se for, PROVE e obtenha f ′(1). Se na˜o, justifique.
(c) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
2x+ 1 se x ≤ 3
−x2 + 8x− 8 se x > 3
f e´ deriva´vel em a = 3 ? Se for, PROVE e obtenha f ′(3). Se na˜o for, justifique.
(d) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
x3 − x− 3 se x < 2
7− x2 se x ≥ 2
f e´ deriva´vel em a = 2 ? Se for, PROVE e obtenha a derivada f ′(2). Se na˜o for, justifique.
(e) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
x+ 1 se x < −1
1 + sen (x+ 1) se x ≥ −1
f e´ deriva´vel em a = −1 ? Se for, PROVE e obtenha f ′(−1). Se na˜o, justifique.
Derivada 65
4.4 Regras de derivac¸a˜o
Teorema 4.2. Se f , g : X → IR sa˜o deriva´veis em a ∈ X , enta˜o:
(a) Para cada constante c ∈ IR , (cf) : X → IR e´ deriva´vel em a e (cf)′(a) = c · f ′(a) ;
(b) f ± g sa˜o deriva´veis em a e (f ± g)′(a) = f ′(a)± g′(a) ;
(c) (f · g) e´ deriva´vel em a e (f · g)′(a) = f ′(a).g(a) + f(a).g′(a) ;
(d) (f/g) e´ deriva´vel em a se g(a) 6= 0 e (f/g)′(a) = f
′(a).g(a)− f(a).g′(a)
[g(a)]2
.
Exemplos:
(A) Para cada func¸a˜o f dada abaixo, obtenha f ′ (onde existir a derivada)
1) f : IR→ IR dada por f(x) = 6x3 − 3x2 − x+ 7 .
2) f : IR→ IR dada por f(t) = 6t− 10
t2 + 5
.
3) f : IR− Z → IR , Z = {x ∈ IR ; cos x = 0} , dada por f(x) = tg x .
Exerc´ıcio: Obtenha
d
dx
ctg x ,
d
dx
sec x ,
d
dx
csc x
4) f : IR→ IR dada por f(u) = eu(u3 + 3 cosu) .
66 CAPI´TULO 4
5) f : IR→ IR dada por f(t) = sen 2t .
6) f : IR− {0} → IR dada por f(x) = 1
xn
= x−n (n = 1, 2, 3, . . .) .
(B) Seja g : IR→ IR dada por g(x) = 4− x2 .
1) Obtenha as equac¸o˜es das retas tangentes ao gra´fico de g e que passam pelos pontos:
A(1, 3) , B(1, 7) , e C(1, 2) .
2) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de g e que e´ paralela a` reta y = 2x .
Derivada 67
3) Obtenha a equac¸a˜o da reta normal ao gra´fico de g no ponto A(1, 3) .
4) Em que ponto a tangente ao gra´fico e´ “horizontal”? (tem coeficiente angular 0)
5) Onde o coeficiente angular da tangente e´ positivo ?
6) Onde o coeficiente angular da tangente e´ negativo ?
A Regra da Cadeia - Derivadas de func¸o˜es compostas
Teorema 4.3. (Regra da Cadeia) Sejam u : X → IR e g : Y → IR tais que u(X) ⊂ Y e a
composta (g ◦ u) : X → IR esta´ bem definida:
Dado a ∈ X , se u e´ deriva´vel em a (existe u′(a)) e g e´ deriva´vel em b = u(a) (existe
g′(b) = g′(u(a)) ), enta˜o a composta (g ◦u) : X → IR e´ deriva´vel em a ∈ X em temos ainda:
(g ◦ u)′(a) = g′(b) · u′(a) = g′(u(a)) · u′(a)
Quanto a` func¸a˜o derivada (g◦u)′ : x 7→ (g◦u)′(x) , escrevemos (g◦u)′(x) = g′(u(x))·u′(x)
para todo x onde existirem as derivadas.
68 CAPI´TULO 4
Exemplos:
Para cada func¸a˜o f : IR→ IR dada abaixo, obtenha f ′ (onde existir a derivada):
(A) f dada por f(x) = cos(x3 + 1) .
(B) f dada por f(t) = (4t3 − t2 + 3t− 2)2 .
(C) f dada por f(x) = (5x2 − 2x+ 1)−3 .
(D) f dada por f(w) = (2w2 − 3w + 1)(3w + 2)4 .
(E) f dada por f(t) = ekt , k 6= 0 (constante).
Derivada 69
(F) f dada por f(t) = sen 2t .
(G) f dada por f(t) = cos5 t .
(H) f dada por f(x) = e(x
2) .
(I) f dada por f(w) = (ew − senw)2 .
(J) f dada por f(t) = epi cos(2t
3) .
70 CAPI´TULO 4
Derivadas de func¸o˜es inversas
Teorema 4.4. Seja f : I (intervalo)→ J (intervalo) uma func¸a˜o INVERTI´VEL (bijetora =
injetora e sobrejetora) e CONTI´NUA (em todos os pontos de seu domı´nio I).
Sua inversa g : J → I e´ cont´ınua em todos os pontos de J .
Mais ainda:
Se f e´ deriva´vel em a ∈ I e f ′(a) 6= 0 , enta˜o g e´ deriva´vel em b = f(a) e podemos
obter g′(b) atrave´s da Regra da Cadeia.
Exemplos:
(A) Derivada da func¸a˜o logar´ıtmica na base e:
Exerc´ıcio: Fixado a > 0 , a 6= 1 , obtenha g′(x) se g : (0,+∞)→ IR e´ dada por
g(x) = loga x
Resposta: g(x) = loga x , x ∈ (0,+∞) ⇒ g′(x) =
1
x ln a
∀ x > 0 .
Derivada 71
(B) Ra´ızes:
(C) Func¸o˜es trigonome´tricas e suas inversas:
Exerc´ıcio:
(a) Se g : [−1, 1]→ [0, pi] e´ dada por g(x) = arc cos x , mostre que
g′(x) = − 1√
1− x2 ∀ x ∈ (−1, 1)
72 CAPI´TULO 4
(b) Se h : IR→ (−pi/2, pi/2) e´ dada por h(x) = arc tg x , mostre que
h′(x) =
1
1 + x2
∀ x ∈ IR
4.5 Derivac¸a˜o impl´ıcita
Seja f : [−1, 1]→ IR a func¸a˜o dada por f(x) = √1− x2 para todo x ∈ [−1, 1] .
Pondo y = f(x) , temos:
y =
√
1− x2
⇓
y2 = 1− x2 , y ≥ 0
⇓
(∗) x2 + y2 = 1 (y ≥ 0)
A equac¸a˜o (*) acima estabelece uma relac¸a˜o entre x e y = f(x) . Juntamente com a
restric¸a˜o y ≥ 0 ela define bem a func¸a˜o f . Por isso dizemos que f ESTA´ IMPLICITAMENTE
DEFINIDA POR (*).
Tendo em mente que y = f(x) , ou seja, y e´ func¸a˜o de x , e´ fa´cil ver que a equac¸a˜o (*)
estabelece a igualdade entre x2 + f(x)2 e a func¸a˜o constante e igual a 1. Podemos pensar
portanto em DERIVAR EM RELAC¸A˜O A` VARIA´VEL x.
Vamos fazer isso, admitindo que y = f(x) e´ deriva´vel e tomando o cuidado de lembrar
que y = f(x) , ou seja, y2 e´ uma composic¸a˜o de func¸o˜es e DEVEMOS USAR A REGRA
DA CADEIA:
x2 + y2 = 1
⇓
2x+ 2yy′ = 0
⇓
(∗∗) y′ = − x
y
(y 6= 0)
Lembrando que y = f(x) =
√
1− x2 , temos:
f ′(x) = y′ = − x√
1− x2 , x ∈ (−1, 1)
Derivada 73
Poss´ıveis vantagens da derivac¸a˜o impl´ıcita:
• Derivar a equac¸a˜o (*) que define f implicitamente pode ser mais simples do que tentar
obter a derivada atrave´s da expressa˜o expl´ıcita de f .
• Uma equac¸a˜o em x e y pode definir implicitamente va´rias func¸o˜es e, caso isto ocorra,
a derivac¸a˜o impl´ıcita serviria para todas elas.
Exemplos:
(A) Admitindo que f : (0,+∞)→ IR dada por f(x) = lnx e´ deriva´vel, obtenha f ′(x) por
derivac¸a˜o impl´ıcita.
(B) Fixado qualquer α ∈ IR e admitindo que f : (0,+∞) → IR dada por f(x) = xα seja
deriva´vel, use logar´ıtmos para obter f ′(x) por derivac¸a˜o impl´ıcita.
(C) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente a` curva
x2
4
+ y2 = 1 no ponto (1, −√3 /2) .
74 CAPI´TULO 4
(D) Seja g : (0,+∞) → IR dada por g(x) = loga x (a > 0, a 6= 1) . Admitindo que g e´
deriva´vel, obtenha g′(x) via derivac¸a˜o impl´ıcita.
(E) Se y = 3
√
x
x3 + 1
, obtenha y′(x) por derivac¸a˜o impl´ıcita.
4.6 Exerc´ıcios
(A) O objetivo deste exerc´ıcio e´ observar a naturalidade da medida de aˆngulos em radianos,
no seguinte sentido: alguns ca´lculos podem ser mais simples quando utilizamos radianos ao
inve´s de graus como unidades de medida.
Quando lidamos com as func¸o˜es trigonome´tricas, por exemplo, quase todos os resultados
decorrem do seguinte limite:
lim
x→0
sen x
x
= 1 (Limite Trigonome´trico Fundamental)
Ajuste a demonstrac¸a˜o que fizemos em aula para o limite acima, considerando desta vez a
medida dos aˆngulos em GRAUS.
Calcule tambe´m
d sen x
dx
quando x e´ medido em graus.
Derivada 75
(B) Para cada func¸a˜o dada abaixo (por questo˜es de economia, cometemos um abuso ao
omitir os domı´nios e contra-domı´nios), calcule sua derivada, indicando onde existe:
1) f(x) = 10x2 + 9x− 4 2) h(x) = (2x2 − 4x+ 1)(6x− 5) 3) f(w) = 2w
w3 − 7
4) f(x) =
1
1 + x+ x2 + x3
5) g(x) = (8x−7)−5 6) s(t) =
(
3t+ 4
6t− 7
)3
7) h(z) =
9z3 + 2z
6z + 1
8) H(x) =
2x+ 3√
4x2 + 9
9) f(x) = 5
√
1/x 10) f(x) = 6x2 − 5
x
+
2
3
√
x2
11) f(w) =
3
√
3w2
12) f(t) = (t6 − t−6)6 13) f(x) = xm/n m,n 6= 0 ∈ Z 14) h(s) = ln(5s2 + 1)3
15) f(x) = x lnx 16) g(x) =
x2
lnx
17) f(u) = ue−u 18) h(s) = s2e−2s 19) f(x) = ex lnx
20) g(w) = ln
(
ew + 1
ew − 1
)
21) f(x) = ecos 2x 22) g(x) = x senx 23) h(x) = ln tg x
24) f(w) = ln cos2 3w 25) f(x) =
arc tg x
x2 + 1
26) f(x) =
e2x
arc sen 5x
(C) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = 2x3 + 4x2 − 5x − 3 no ponto
P (−1, 4).
(D) Obtenhaa equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = 3x2 + 4x− 6 e tal que:
(i) Essa tangente seja paralela a` reta 5x− 2y − 1 = 0 ;
(ii) Seja tangente ao gra´fico no ponto P (1, 1) .
(E) Obtenha a equac¸a˜o da reta que passa por P (3, 1) e e´ tangente ao gra´fico de y =
4
x
.
(F) Obtenha a equac¸a˜o da reta normal ao gra´fico de f(x) = (x− 1)4 no ponto P (2, 1) .
(G) Determine as equac¸o˜es da tangente e da normal ao gra´fico de y = 8 sen 3x no ponto
P (pi/6, 1) .
(H) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f : IR → (−2pi, 2pi) dada por
f(x) = 4. arc tg x no ponto A(1, pi) .
(I) Considere f : IR→ IR dada por f(x) = e−2x .
(i) Qual a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f e que passa pelo ponto A(0, 1) ?
(ii) Qual a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f e que tem coeficiente angular −1/2 ?
76 CAPI´TULO 4
(J) Considere f : IR→ IR dada por f(x) = arc tg x
pi
.
(i) Qual a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f e que passa pelo ponto A(0, 0) ?
(ii) Qual a equac¸a˜o da reta normal ao gra´fico de f no ponto B(
√
3 , 1/3) ?
(K) Seja f : IR → IR dada por f(x) = e(2x−1) ∀ x ∈ IR . Obtenha, se existir, a equac¸a˜o
da reta tangente ao gra´fico de f e que passa pelo ponto A(1, 0)
(L) (i) A reta 3y + 8x + 1 = 0 e´ NORMAL ao gra´fico de uma certa func¸a˜o f : IR→ IR
no ponto A(1,−3) (pertencente ao gra´fico de f). Obtenha (JUSTIFICANDO) f ′(1) .
(ii) Qual o valor de b para que a reta y = 2bx + e seja TANGENTE ao gra´fico de
g(x) = e(x
2+6x+1) no ponto B(0, e) (pertencente ao gra´fico de g) ? (JUSTIFIQUE)
(M) Para cada func¸a˜o dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao omitir os domı´nios
e contra-domı´nios), calcule sua derivada, indique onde existe e fornec¸a ainda o que se
pede:
1) f(x) = (3x− 1).(2x+ 1)5 .
2) g(w) = 3
√
3w − 1 = (3w − 1)1/3 . Obtenha ainda, em particular, g′(3).
3) h(s) = pi. sec s =
pi
cos s
. Obtenha ainda, em particular, h′(0).
4) f(t) = e(3t
2−t) . Obtenha ainda, em particular, f ′(1/3).
5) f(x) = ln( sen 42x) .
6) f(x) =
2x2
(x− 4)2 . Obtenha ainda, em particular, f
′(2).
7) h(s) =
ctg s√
2
=
cos s√
2 · sen s . Obtenha ainda, em particular, h
′(pi/4).
8) g(t) = (2t− 1)3 · e(t2+2t) . Obtenha ainda, em particular, g′(0).
9) f(w) = ln (5w2 + 2 + cosw) . Obtenha ainda, em particular, f ′(0).
10) g(y) = arc tg (
√
y − 1 ) .
11) f(x) =
x3
e2x
. Responda: Para quais valores de x temos f ′(x) = 0 ?
12) h(s) = sen (3s2 − s) + 2(s2+3s) . Obtenha ainda, em particular, h′(0).
Derivada 77
13) g(w) = tgw · ln(3− w2) . Obtenha ainda, em particular, g′(0).
14) v(t) =
s(t)2
3t
(existe s′(t) ∀ t ∈ IR). Se s(1) = 1 e s′(1) = 2, obtenha v′(1) .
15) u(y) = 4
√
2y2 + 5 + 4 cos y = (2y2 + 5 + 4 cos y)1/4 .
16) h(s) =
3
√
s2
1 + s2
. Obtenha ainda, em particular, h′(1).
17) v(t) = ln 2 · log 1
2
(3t2 + 1) . v′(1) e´ positivo, negativo ou zero ? Obtenha v′(1) para
justificar.
18) f(x) = x2 · lnx− x
2
2
. Responda: Para quais valores de x temos f ′(x) = x ?
19) g(w) = csc2w =
1
sen 2w
. Obtenha ainda, em particular, g′(pi/4).
20) u(y) = tg
[
arc tg
(
1
y
)]
. Obtenha ainda, em particular, u′(
√
3 ) .
21) f(x) = x · (ln 5− 1 + lnx) . Obtenha ainda, em particular, f ′(2) .
22) h(θ) = ( tg θ + 1)2 . Obtenha ainda, em particular, h′(pi/3).
23) g(w) = ln(w2 − w) + 3
(3w2−w3)
ln 3
. Obtenha ainda, em particular, g′(2).
24) v(t) =
sen [s(t)]
t
(existe s′(t) ∀ t ∈ IR). Se s(2) = pi/2 e s′(2) = e, obtenha v′(2) .
25) u(y) = 3 · 3√ arc tg y . Obtenha ainda u′(1) e responda se u′(1) e´ maior ou menor
que 1 (mostre as contas).
78 CAPI´TULO 4
Cap´ıtulo 5
Aplicac¸o˜es da Derivada
5.1 Acre´scimos e diferenciais
Consideremos uma func¸a˜o f : X → IR deriva´vel em pontos x ∈ X . Podemos escrever:
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
(para cada x onde f for deriva´vel)
∆x e´ chamado ACRE´SCIMO DE x e representa a variac¸a˜o na varia´vel independente x.
Pondo y = f(x) como varia´vel dependente, temos que ∆y = f(x+∆x)−f(x) representa
a VARIAC¸A˜O DA FUNC¸A˜O f (devida ao acre´scimo ∆x ) e
f ′(x) = lim
∆x→0
∆y
∆x
Os limites acima significam que, quando ∆x se aproxima cada vez mais de 0 (por valores
diferentes de 0), ∆y/∆x se aproxima cada vez mais de f ′(x) .
Enta˜o podemos dizer que ∆y/∆x e´ uma boa aproximac¸a˜o para f ′(x) quando ∆x e´
pequeno (e diferente de 0) e podemos escrever
∆y
∆x
≈ f ′(x) quando ∆x e´ pequeno
ou enta˜o, de modo equivalente,
(∗) f(x+∆x)− f(x) = ∆y ≈ f ′(x) ·∆x quando ∆x e´ pequeno
A relac¸a˜o (*) acima nos diz que podemos obter boas aproximac¸o˜es para a variac¸a˜o da
func¸a˜o, ∆y = f(x+∆x)− f(x) , atrave´s de f ′(x) ·∆x , com ∆x pequeno !!!
79
80 CAPI´TULO 5
Por exemplo, vamos obter uma aproximac¸a˜o para (0, 98)4
Portanto, f ′(x) ·∆x (que depende dos valores de x e ∆x considerados) desempenha esse
importante papel de ser uma boa aproximac¸a˜o para a variac¸a˜o da func¸a˜o f quando ∆x e´
pequeno.
f ′(x) · ∆x sera´ denotado por dy e chamado A DIFERENCIAL DE y (varia de acordo
com x e ∆x).
Escrevemos tambe´m dx = ∆x para a chamada diferencial de x.
dy = f ′(x) ·∆x
dx = ∆x
Geometricamente, temos:
Aplicac¸o˜es da Derivada 81
Exemplos:
(A) Use diferenciais para obter aproximac¸o˜es para:
(a) 3 · (2, 001)2 − 5 · (2, 001) + 3 (b) 4√82
(B) A medida de um lado de um cubo e´ encontrada como sendo 15 cm, com uma possibilidade
de erro de 0,001 cm. Usando diferenciais, encontre o erro ma´ximo no ca´lculo do volume do
cubo.
82 CAPI´TULO 5
(C) A Lei da Gravitac¸a˜o de Newton afirma que a forc¸a F de atrac¸a˜o entre duas part´ıculas de
massas m1 e m2 e´ dada por F =
g ·m1 ·m2
s2
onde g e´ uma constante e s e´ a distaˆncia entre
as part´ıculas. Se s = 20 cm , use diferenciais para obter (aproximadamente) uma variac¸a˜o de
s que aumente F em 10% .
(D) A` medida em que a areia escoa de um recipiente, vai se formando uma pilha coˆnica cuja
altura e´ sempre igual ao raio. Se, em dado instante, o raio e´ de 10 cm, use diferenciais para
aproximar a variac¸a˜o do raio que ocasiona um aumento de 2 cm3 no volume da pilha.
Aplicac¸o˜es da Derivada 83
Exerc´ıcios:
1) Use diferenciais para obter valores aproximados para: (2, 01)4−3(2, 01)3+4(2, 01)2−5 ,
3
√
65 ,
√
37 , 3
√
0, 00098 ,
√
0, 042 , 5(0, 99)3/5 − 3(0, 99)1/5 + 7 , 1
4
√
15
.
2) Considerando ln 2 ≈ 0, 6931, use diferenciais para aproximar ln(2, 01) .
3) Use diferenciais para obter uma aproximac¸a˜o para ctg 46◦ .
4) Use diferenciais para obter o aumento aproximado da a´rea de uma esfera, quando o raio
varia de 2 a 2, 02 pe´s.
5) Os lados oposto e adjacente a um aˆngulo θ de um triaˆngulo retaˆngulo acusam medidas
de 10 pe´s e 8 pe´s, respectivamente, com erro poss´ıvel de 1,5 polegada na medida de 10 pe´s.
Use a diferencial de uma func¸a˜o trigonome´trica inversa para obter uma aproximac¸a˜o do erro
no valor calculado de θ . (Obs.: 1 pe´ = 12 polegadas)
6) A altura de um cone circular reto e´ duas vezes o raio da base. A medida encontrada da
altura e´ de 12 cm, com uma possibilidade de erro de 0,005 cm. Encontre o erro aproximado
no ca´lculo do volume do cone.
7) Se l (em metros) e´ o comprimento de um fio de ferro quando esta´ a t graus de temper-
atura, enta˜o l = 60e0,00001. t . Use diferenciais para encontrar o aumento aproximado em l
quando t cresce, de 0 a 10 graus.
8) Em um ponto situado a 20’ (pe´s) da base de um mastro, o aˆngulo de elevac¸a˜o do topo
do mastro e´ de 60◦, com erro poss´ıvel de 0, 25◦ . Obtenha, com aux´ılio de diferenciais, uma
aproximac¸a˜o do erro no ca´lculo da altura do mastro.
9) Uma caixa de metal na forma de um cubo vai ter um volume interno de 64 cm3. Os seis
lados da caixa va˜o ser feitos de metal com 1/4 cm de