5aListaMtmBasFisGer 2015 1

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FSC 5911 - To´picos de Matema´tica Ba´sica para F´ısica Geral - 5a Lista de Exerc´ıcios -
Junho/2015 - Prof. Marcelo H. R. Tragtenberg
Func¸a˜o (func¸o˜es quadra´ticas, inequac¸o˜es/simultaˆneas/do 2o grau)
Func¸o˜es modulares, compostas e inversas
Func¸o˜es exponenciais, logaritmos, func¸o˜es logar´ıtmicas, equac¸o˜es e inequac¸o˜es exponenciais
e logar´ıtmicas, nu´meros complexos
1) Resolva as inequac¸o˜es:
a)
2x− 3
2
− 5− 3x
3
< 3x− 1
6
b) 4(x− 2)− (3x+ 2) > 5x− 6− 4(x− 1)
c)
4x− 5
3x− 1 ≥ 2
d)
−4− 3x
3x+ 2
< −1
e) −4 < 4− 2x ≤ 3
f) 3x+ 4 < 5 < 6− 2x
2) Determine os zeros reais das func¸o˜es:
a) f(x) = x2 −
√
2x+
1
2
b) f(x) = −3x2 + 6
c) f(x) = 4x2 + 3
3) Determine o valor de m para que a func¸a˜o f(x) = (m − 1)x2 + (2m + 4)x + m tenha um zero
real duplo.
4) Obtenha uma equac¸a˜o do segundo grau que tenha como ra´ızes:
a) 2 e -3
b) 1/2 e -3/2
5) Determine os ve´rtices das para´bolas:
a) y = x2 − 4
b) y = −x2 + x− 2/9
c) y = x2 − 3x+ 4
d) y = x2 + 4
6) Dentre todos os nu´meros reais, x e z, tais que 2x+z=8, determine aqueles cujo produto e´
ma´ximo.
7) Dentre todos os retaˆngulos de per´ımetro 20cm, determine o de a´rea ma´xima.
8) Ache o valor de x para que f(x) = 2x2 + 7x− 15 assuma valor mı´nimo.
9) Construa os gra´ficos das func¸o˜es:
a) y = −x2 + x/2 + 1/2
b) y = x2 − 3x+ 9/4
c) y = x2 − 2x− 3
d) y = −x2/2− x− 3/2
10) Resolva as inequac¸o˜es em R:
a) −x2 + x+ 6 > 0
b) 8x2 − 14x+ 3 ≤ 0
c) −x2/3 + x/2− 1/4 > 0
d) x2 + 3x+ 7 > 0
e) (1− 4x2)(2x2 + 3x) > 0
f) (x2 − x− 6)(−x2 + 2x− 1) > 0
g) x3 − 2x2 − x+ 2 > 0 (sugesta˜o: fatore)
11) Construa os gra´ficos das seguintes func¸o˜es reais:
a) f(x) = |x− 1|
b) f(x) = |2− 3x|
c) f(x) = |x2 − 3x+ 2|
d) f(x) = |2x− 1| − 2
e) f(x) = |x| − x
f) f(x) = |x2 − 2x|+ x+ 2
g) f(x) = |2x− 2|+ |x+ 3|
h) f(x) = |x2 − 4| − |x− 2|
i) f(x) = ||x| − 2|
j) f(x) = ||2x+ 3| − 2|
k) f(x) = |x2 − 4|x|+ 3|
12) Resolva as seguintes equac¸o˜es:
a) |3x− 1| = 2
b) |3x+ 2| = |x− 1|
c) |x2 + x− 5| = |4x− 1|
d) |x− 2| = 2x+ 1
e) |x2|+ |x| − 6 = 0
f) |x+ 1| − |x| = 2x+ 1
Page 2
13) Resolva, em R, as inequac¸o˜es:
a) |2x− 3| ≤ 1
b) 1 < |x− 1| ≤ 3
c) |x2 − 5x| ≥ 6
d) |3x− 4|+ 2x+ 1 < 0
e) |x− 2| − |x+ 3| > x2 − 4x+ 3
14) Esboce o gra´fico das func¸o˜es:
a) f(x) =
1
|x+ 2|
b) f(x) =
1
4x− x2 − 4
15) Sejam as func¸o˜es reais definidas por f(x) = x2 − 4x+ 1 e g(x) = x2 − 1. Obtenha as leis que
definem f ◦ g e g ◦ f .
16) Sejam as func¸o˜es f(x) = x2 + 2x+ 3 e g(x) = x2 + ax+ b. Mostre que, se f ◦ g = g ◦ f , enta˜o
f=g .
17) Sejam f(x) =
√
x− 1 e g(x) = 2x2 − 5x+ 3. Determine os domı´nios das func¸o˜es f ◦ g e g ◦ f .
18) Dadas f(x)=3 e g(x) = x2, determine f(g(x)) e g(f(x)).
19) Se f(x) =
1
1− x , determine (f ◦ [f ◦ f ])(x).
20) Sejam as func¸o˜es reais f(x) = 2x+ 7 e (f ◦ g)(x) = x2 − 2x+ 3. Determine a lei da func¸a˜o g.
21) A func¸a˜o f : A→ B e´ dada por f(x) = √1− x2.
a) Determine o domı´nio de f, isto e´, A = {x ∈ R|∃f(x)}.
b) Determine a imagem de f, isto e´, B=f(A).
c) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f.
22) Nas func¸o˜es bijetoras abaixo, de R em R, obtenha a lei de correspondeˆncia que define a func¸a˜o
inversa.
a) g(x) =
x+ 1
x− 4
b) h(x) = x3 + 2
c) p(x) = (x− 1)3 + 2
23) Considere a func¸a˜o f : [pi/2, 3pi/2] → [−1, 1] tal que f(x) = 2 − 2x/pi. Esboce o gra´fico
correspondente e decida quais das afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas.
a) f e´ crescente.
b) f possui inversa e f−1(0) = pi
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c) f possui inversa e f−1(0) = 2
d) f na˜o possui inversa.
24) Seja a func¸a˜o bijetora de R em R definida por f(x) = x2 − 1 (se x ≥ 0) ou f(x) = x − 1 se
x < 0. Determine f−1.
25) Dadas as func¸o˜es f e g abaixo, determine a func¸a˜o inversa de g ◦ f .
f:R → R, sendo f(x)=4x+1 e
g:R → R, sendo g(x)=3x-5.
26) Construa num mesmo plano cartesiano os gra´ficos de f e f−1:
a) f:R → R+
f(x) = 2x
b) f:A→ A = {x ∈ R|x ≥ −1}
f(x) = x2 + 2x
27) Construa os gra´ficos cartesianos das func¸o˜es em R, definidas por:
a) f(x) = 2− 3x
b) f(s) = (1/3)x
28) Resolva as equac¸o˜es exponenciais:
a) (
√
3)x = 3
√
81
b) (1/125)x = 25
c) 23x−1 = 32
d) 100× 10x = x
√
10005
3) 23x+2 ÷ 82x−7 = 4x−1
29) Resolva as seguintes inequac¸o˜es exponenciais:
a) (1/3)x > 1/81
b) 75x−6 < 1
c) 25 < 1252x−1 < 125
d) 2x−1 + 2x + 2x+1 − 2x+2 + 2x+3 > 240
30) Calcule pela definic¸a˜o os seguintes logaritmos:
a) log8 4
b) log81 3
c) log0,25 32
d) log1/4 32
e) log0,01 0, 001
31) Calcule o valor de
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a) S = log4(log3 9) + log2(log81 3) + log0,8(log16 32)
b) 32−log3 6
c) log2
√
3 144
32) Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos (a, b e c sa˜o positivos):
a) log3
(
ab3
c
3
√
a2
)
b) log
(
3
√
a
b2
√
c
)
33) O pH de uma soluc¸a˜o e´ definido comopH = − log1 0[H+], em que [H+] e´ a concentrac¸a˜o de
hidrogeˆnio em ı´ons-grama por litro de soluc¸a˜o. Determine o pH de uma soluc¸a˜o tal que
[H+] = 10−8.
34) Se log a+ log b = p, calcule o valor de log 1/a+ log 1/b.
35) Sabendo que log20 2 = a e log20 3 = b, calcule log6 5 em func¸a˜o de a e b.
36) Calcule o valor de log3 5× log2 527.
37) Se a e b sa˜o reais positivos, mostre que alog b = blog a.
38) Simplifique aloga b×logb c×logc a.
39) O logaritmo de um nu´mero na base 16 e´ 2/3. Calcule o logaritmo desse nu´mero na base 1/4.
40) Determine a base do sistema de logaritmos na qual o logaritmo de
√
2 vale -1.
41) Construa os gra´ficos das func¸o˜es:
a) f(x) = log2(x− 1)
b) f(x) = log3(2x− 1)
c) f(x) = log2 x
2
d) f(x) = log2
√
x
42) Determine o domı´nio das func¸o˜es:
a) f(x) = log2(1− 2x)
b) f(x) = log3 (4x− 3)2
c) f(x) = log5
(
x+ 1
1− x
)
d) f(x) = log(x2 + x− 12)
43) Resolva as equac¸o˜es:
a) 3x = 2x + 2x+1
b) 5x + 5x+1 = 3x + 3x+1 + 3x+2
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44) Resolva as equac¸o˜es:
a) log5(4x− 3) = 1
b) log0,5(3 + 5x) = 0
c) log√2(3x
2 + 7x+ 3) = 0
d) log3(x
2 − 1) = 2
45) Resolva as equac¸o˜es:
a) log3(log2 x) = 1
b) log0,25[log3(log2(3x− 1)] = 0
c) log3[1 + 2 log2(3− log4 x2)] = 1
46) Resolva as inequac¸o˜es:
a) 5x > 3x + 3x+1
b) 3x + 3x+1 ≤ 2x − 2x−1
c) −5x−1 + 5x+2 > 2x + 2x+1 − 2x+3
47) Resolva as inequac¸o˜es:
a) log2(3x+ 5) > 3
b) log1/3(4x− 3) ≥ 2
c) log2(2x
2 − 6x+ 3) ≤ 2
48) Efetue:
a) (3+2i) + (2-5i)
b) (5-21)-(2+8i)
c) (2-3i)(1+5i)
d) (3 + 2i)2
e) (5− i)2
49) Simplifique:
(2 + i)101(2− i)50
(−2− i)100(i− 2)49 (1)
50) Coloque na forma (a+bi) os seguintes nu´meros complexos:
a) 1/i
b) (1+i)/(1-i)
c) (1-3i)/(3-i)
51) Calcule o conjugado de :
a) (1+i)/i
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b) (1+i)/(1-i)
52) Variando n entre os nu´meros naturais, quais os poss´ıveis valores que o nu´mero complexo(
1 + i
1− i
)n
53) Determine x real de forma que o nu´mero complexo z =
(2− xi)
(1 + 2xi)
seja imagina´rio puro.
54) O argumento principal de um nu´mero complexo e´ o aˆngulo entre o segmento de reta com
extremidades (0,0) e (x,y) no plano de Argand e o eixo x positivo. Calcule o mo´dulo (ρ) e
o argumento principal e coloque na forma trigonome´trica z = ρ(cosθ + isenθ), os nu´meros
complexos :
a) 4
b) 1 + i
√
3
c) 3i
d) −√2 + i√2
e) -5
f) -5-5i
g) 2-2i
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