Operações e Classificação de Sinais e Sistemas

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Sinais e Sistemas 
Engenharia de Controle e Automação 
Universidade Federal de Lavras 
 
Prof. Bruno Henrique Groenner Barbosa 
 
 
Notas de Aula 2 – Operações e Classificação de Sinais e Sistemas 
Sumário 
• Classificação de sinais 
• Operações com sinais 
• Modelos úteis de sinais 
• Classificação de sistemas 
• Exemplos de sistemas 
 
Sinais 
• Da aula anterior... 
• O que podemos dizer sobre os Sinais? 
▫ Veicula informações sobre a natureza de um 
determinado fenômeno físico 
▫ Uma função de uma ou mais variáveis 
▫ Trabalharemos aqui com sinais que são funções da 
variável independente tempo 
 
• Classificação: 
▫ Contínuos e discretos no tempo 
▫ Analógicos e digitais 
▫ Periódicos e Não-periódicos 
▫ Determinísticos e Aleatórios 
▫ Sinais Pares e Ímpares 
▫ Sinais de Energia e de Potência 
 
 
Sinais 
• Contínuos e discretos no tempo: 
▫ Sinal de tempo contínuo: definido para todo o 
tempo t (notação x(t) ). Analógico? 
▫ Sinal de tempo discreto: definido apenas em 
instantes isolados no tempo (notação x[n] ) 
 
 
 
Classificação de Sinais 
• Contínuos e discretos no tempo: 
 
 
 
Classificação de Sinais 
• Contínuos e discretos no tempo: 
 
 
 
Classificação de Sinais 
• Analógicos e Digitais: 
▫ Analógico: variação contínua da amplitude, número 
infinito de símbolos 
 
 
 
 
▫ Digital: variação discreta da amplitude, número finito de 
símbolos, maior imunidade ao ruído 
 
 
 
 
Classificação de Sinais 
• Contínuos, Discretos, Analógicos e Digitais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Classificação de Sinais 
• Periódicos e Não-Periódicos: 
▫ Periódico: Um sinal é periódico se existe uma constante 
positiva T0 ou N0, tal que: 
 
 
o menor valor de T0 e N0 que satisfaz as equações acima é 
chamado de período fundamental. 
 
Classificação de Sinais 
frequência fundamental de x(t) em hertz 
frequência fundamental de x(t) em radianos por segundo 
frequência fundamental de x[n] em radianos por segundo 
• Periódicos e Não-Periódicos: 
▫ Periódico: 
 
 
 
Classificação de Sinais 
• Periódicos e Não-Periódicos: 
▫ Não-periódico: Um sinal é não-periódico se não existe 
uma constante positiva T0 ou N0, tal que: 
 
 
 
Classificação de Sinais 
• Determinísticos e Aleatórios: 
▫ Determinístico: Pode ser representado por uma função 
analítica 
 É possível determinar precisamente o valor do sinal em um dado 
instante de tempo 
 f(t)=A cos(wot), onde A e wo são constantes 
 
▫ Aleatório: Sinal sobre o qual há incerteza antes de sua 
ocorrência. 
 Só podem ser representados por suas características estocásticas 
(média, variância, autocorrelação, etc) e não podem ser representados 
por uma função analítica (não é possível determinar precisamente o 
valor do sinal em um dado instante de tempo) 
 f(t)=A cos(wot), onde A é uma V.A. contínua Gaussiana 
 
 
 
 
Classificação de Sinais 
• Determinísticos e Aleatórios: 
 
 
 
 
 
Classificação de Sinais 
• Pares e Ímpares: 
▫ Par: um sinal é par se e somente se, 
 
 
▫ Ímpar: um sinal é impar se e somente se, 
 
 
 
 
 
 
Classificação de Sinais 
• Pares e Ímpares: 
▫ Exemplo Par: (simetria no eixo vertical) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Classificação de Sinais 
• Pares e Ímpares: 
▫ Exemplo Ímpar: (antissimétrico no eixo do tempo) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Classificação de Sinais 
• Pares e Ímpares: 
▫ Sinal par x sinal par = sinal par 
▫ Sinal ímpar x sinal ímpar = sinal par 
▫ Sinal ímpar x sinal par = sinal ímpar 
 
▫ Todo sinal pode ser decomposto em uma soma de parte par 
e de uma parte ímpar: 
 
 
 
 
 
 
Classificação de Sinais 
par ímpar 
• Pares e Ímpares: 
▫ Exemplo de decomposição em partes par e ímpar: 
 Sinal: 
 
 
 
 
 
 
Classificação de Sinais 
par ímpar 
 
 
 
 
 
Classificação de Sinais 
Classificação de Sinais 
• Tamanho do Sinal 
▫ Como medir o tamanho de um ser humano? 
Altura, peso? 
▫ Qual o tamanho de um sinal? 
 Energia do sinal 
 Potência do Sinal 
 
Classificação de Sinais 
• Energia do Sinal 
▫ A área debaixo do sinal x(t) pode ser considerada 
como uma medida de seu tamanho: 
 
 
 
 
▫ Alguns inconvenientes: 
 Cancelamento de áreas positivas e negativas. 
 Solução? 
 
 
Classificação de Sinais 
• Energia do Sinal 
▫ Generalizando para um sinal x(t) complexo: 
 
 
 
 
 
 Caso discreto: 
Classificação de Sinais 
• Energia do Sinal 
▫ Calcular a energia do seguinte sinal: 
 
 
 
 
 
 
Classificação de Sinais 
• Energia do Sinal 
▫ Calcular a energia do seguinte sinal: 
 
 
 
 
 
 
Classificação de Sinais 
• Energia do Sinal 
▫ O que acontece ao calcular a energia dos seguintes 
sinais? 
 
 
x(t) 
Classificação de Sinais 
• Energia do Sinal 
▫ O que acontece ao calcular a energia dos seguintes 
sinais? 
 
 
x(t) 
A energia do sinal deve ser finita para ser uma medida efetiva do seu tamanho. 
Quando é infinita, deve-se utilizar a 
energia média, quando existir, 
chamada de POTÊNCIA DO SINAL. 
Classificação de Sinais 
• Potência do Sinal 
▫ Definição: 
 
 
 
 
▫ Para um sinal periódico: 
 
 
 
▫ Trata-se do valor médio quadrático do sinal 
▫ A raiz quadrada da potência é chamada de valor 
RMS (raiz média quadrática) 
 
Classificação de Sinais 
• Potência do Sinal 
▫ Exemplos: 
 Sinal em rampa: 
 Sinal constante: 
 Sinal periódico: 
 
 
 
 
 
 
 
Classificação de Sinais 
• Sinais de Energia e de Potência: 
▫ Sinal de Energia: 
 Sinal de energia finita (potência nula) 
 
▫ Sinal de Potência: 
 Sinal de potência não nula e finita (energia infinita) 
 
 
 
 
 
 
 
Classificação de Sinais 
• Sinais de Energia e de Potência 
▫ Exemplos: 
 x[n] = n para 0≤n≤5 
 x[n] = 0 para outro valor de n 
 
 
 
 
 x[n] = x[n+N0] onde N0=6 
 
 
Sinais 
• Operações com Sinais 
▫ Deslocamento temporal 
▫ Mudança de escala no tempo 
▫ Reversão temporal 
 
 
 
 
 
 
 
Operações com Sinais 
• Deslocamento Temporal: 
▫ Atraso 
 
 
▫ Avanço 
 
 
 
 
 
 Análogo discreto 
Operações com Sinais 
• Mudança de escala no tempo: 
▫ Compressão (fator 2) 
 
 
 
▫ Expansão (fator 2) 
 
 
 
 
 Análogo discreto 
• Decimação: 
▫ Reduz o número de amostras pelo fator de 
compressão do sinal (perda de informação) 
 
 
 
Operações com Sinais 
• Interpolação: 
▫ Primeiro uma 
expansão é realizada 
▫ As amostras ímpares 
são então obtidas 
pelos valores das 
outras amostras (não 
há ganho de 
informação) 
 
 
Operações com Sinais 
Operações com Sinais 
• Reversão temporal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Análogo discreto 
Operações com Sinais 
• Reversão temporal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Operações com Sinais 
• Operações Combinadas: 
 
 
 
▫ Atrasar x(t) por 6 e obter x(t-6) e fazer uma 
compressão no tempo por um fator de 2 
(substituir t por 2t) 
▫ Comprimir x(t) por um fator de 2 e obter x(2t) e 
atrasar este sinal por três (t por t-3) 
 
 
 
Análogo discreto 
Operações com Sinais 
• Exemplo: 
▫ Encontrar o sinal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Exemplo: 
▫ Fazendo o deslocamento primeiro... 
▫ Considere a transformação: 
 
 
▫ Troque t por τ 
▫ Encontre o valor de t considerando 
 
 
 
▫ Esboce o eixo t transformado logo abaixo do eixo
τ 
▫ Esboce 
 
 
Operações com Sinais 
• Exemplo: 
 
 
Operações com Sinais 
• Degrau contínuo e discreto 
• Impulso contínuo e discreto 
• Rampa contínua e discreta 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Função Degrau Unitário u(t) 
▫ Contínuo: 
 
 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
Se quisermos um sinal que comece em t = 0, basta multiplicá-lo por u(t). 
• Uma aplicação da função degrau unitário 
▫ Fazer com que um sinal comece no tempo t=0 
 
 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Função Degrau Unitário u(t) 
▫ Discreto: 
 
 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• A Função Pulso Retangular 
▫ Pode ser obtida em termos da função degrau: 
 
 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Função Impulso Unitário 
▫ Contínuo: 
 
 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Função Impulso Unitário 
▫ Contínuo: 
 Aproximação 
 
 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Função Impulso Unitário Contínuo 
▫ Como o impulso é não-zero apenas em t=0, e 
em t=0 é 
 
 
▫ generalizando 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Função Impulso Unitário Contínuo 
 
 
 
▫ Assim, 
 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
propriedade da amostragem 
• Função Impulso Unitário Contínuo 
▫ Relação com o degrau contínuo: 
 
 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Função Impulso Unitário 
▫ Discreto: 
 
 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
propriedade da amostragem 
• Função Impulso Unitário 
▫ Discreto: 
 Relação entre o impulso e degrau unitário discretos 
 
 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Função Rampa Unitária 
▫ Contínua: 
 
 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Função Rampa Unitária 
▫ Discreta: 
 
 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Relações Degrau, Impulso e Rampa 
 
 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
Deriva 
Integra 
• Função Exponencial 
 
 
▫ Revisão: 
 Conjunto de números: 
Modelos Úteis de Sinais 
Números Complexos 
• Segundo Gauss, se os números 
complexos/imaginários tivessem sido chamados 
de números perpendiculares, os entraves teriam 
sido evitados para sua aceitação. 
Números Complexos 
• Relação de Euler: 
Modelos Úteis de Sinais 
• Sinais exponenciais: 
 
 
▫ Casos a serem considerados: 
Modelos Úteis de Sinais 
• Sinais exponenciais: 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Sinais exponenciais: 
 
 
O Sinal é periódico? 
Condição de periodicidade 
Período fundamental? 
Modelos Úteis de Sinais 
• Sinais exponenciais: 
 
 
Relação de Euler? 
Modelos Úteis de Sinais 
• Sinais exponenciais: 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Sinais exponenciais: 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Sinais exponenciais: 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Sinais exponenciais: 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Sinais exponenciais: 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Sinais exponenciais – o caso discreto: 
 
 
Os casos 2 e 3 são análogos aos equivalentes 
contínuos 
Modelos Úteis de Sinais 
• Sinais exponenciais – o caso discreto: 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Sinais exponenciais – o caso discreto: 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Sinais exponenciais – o caso discreto: 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Sinais exponenciais – o caso discreto: 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Sinais exponenciais – o caso discreto: 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Sinais exponenciais – o caso discreto: 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Sinais exponenciais – o caso discreto: 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Sinais exponenciais – o caso discreto: 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Sinais exponenciais – o caso discreto: 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Sinais exponenciais - caso contínuo: 
▫ Quadro resumo: 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Sinais exponenciais – caso contínuo: 
▫ Quadro resumo: 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Sinais exponenciais – caso discreto: 
▫ Quadro resumo : 
 
 
Modelos Úteis de Sinais 
• Sinais exponenciais – caso discreto: 
▫ Quadro resumo : 
 
 
como 
Plano β Plano α 
Sistemas 
• Da primeira aula... 
• O que podemos dizer sobre os Sistemas? 
▫ Manipula sinais para realizar uma função 
▫ Produz novos sinais 
Sistemas 
• Exemplo de Sistema 
Sistemas 
• Exemplo de Sistema 
• Exemplo de Sistema 
 
 
 
 
 
 
 
▫ Propriedade da decomposição: 
 y(t) = condições iniciais + resposta natural forçada 
 y(t) = resposta entrada nula+ resposta estado nulo 
Sistemas 
Sistemas 
• Classificação: 
▫ Lineares e Não-Lineares 
▫ Variantes ou Invariantes no tempo 
▫ Com Memória e Sem Memória 
▫ Causais e Não-Causais 
▫ Contínuos e Discretos 
▫ Analógicos e Digitais 
▫ Inversíveis ou Não-Inversíveis 
▫ Estáveis e Instáveis 
Sistemas 
• Lineares e Não-Lineares 
▫ Um sistema é dito linear se satisfaz a propriedade 
de aditividade e de homegeneidade: 
 Aditividade: 
 
 
 Homogeneidade 
 
 
 Combinando as duas propriedades em uma única, 
chamada de propriedade da superposição, tem-se 
Sistemas 
• Lineares e Não-Lineares 
▫ Princípio da Superposição: 
 
 
 
 
 
 
▫ Sistemas reais são normalmente não-lineares, que 
muitas vezes podem ser aproximados por sistemas 
lineares 
Sistema Sistema 
Sistema 
Sistemas 
• Lineares e Não-Lineares 
▫ Princípio da Superposição: 
 
 
 
▫ Sinais de entrada podem ser reconstruídos por sinais 
mais simples (impulso, degrau, exponenciais, 
senóides...) 
Sistemas 
• Lineares e Não-Lineares 
▫ Como a propriedade da superposição aplica-se a 
sistemas lineares e, assim, a propriedade da 
decomposição pode ser aplicada 
▫ Podemos analisar o sistema pela decomposição em 
suas componentes de entrada nula e estado nulo, ou 
qualquer componente da entrada desejada 
 
 
▫ Como a entrada pode ser reconstruída com funções 
mais simples, ao conhecer o sistema por entradas mais 
simples, conseguimos suas resposta para qualquer 
entrada arbitrária (e.g. resposta ao impulso)! 
Sistemas 
• Lineares e Não-Lineares 
▫ Exemplo: 
 A equação da reta y = 5x 
 
Este sistema estático é linear pois satisfaz o princípio da 
superposição: 
Se x1 = 2, então y1 = 10 
Se x2 = -3, então y2 = -15 
 
O princípio da superposição estabelece que 
Se x3 = 4x1 + 5x2 = -7, então 
 y3 = 4y1 + 5y2 = -35 
Por outro lado, y3 = 5x3 = -35 
 
 Um outro exemplo é y = 2 + 5x 
 
Sistemas 
• Lineares e Não-Lineares 
▫ Exemplo: 
 A equação y = 2 + 5x 
 
Pelo princípio da superposição: 
Se x1 = 2, então y1 = 12 
Se x2 = -3, então y2 = -13 
 
O princípio da superposição estabelece que 
Se x3 = 4x1 + 5x2 = -7, então 
 y3 = 4y1 + 5y2 = 48-65 = -17 
Por outro lado, y3 = 2 + 5x3 = -33 
 
 
Sistemas 
• Lineares e Não-Lineares 
▫ Exemplo: 
 O sistema a seguir é linear? 
 
 
 
 
 
 
 
esta equação é igual a equação do sistema com 
Sistemas 
• Variantes e Invariantes no Tempo 
▫ deslocamento no sinal de entrada resulta num deslocamento 
idêntico no sinal de saída 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas 
• Variantes e Invariantes no Tempo 
▫ Sistemas descritos por equações diferenciais com 
parâmetros constantes são exemplos de sistemas 
invariantes no tempo 
 
 
 
▫ O curso será desenvolvido considerando 
principalmente sistemas LIT (Linear e Invariante 
no Tempo) 
Sistemas 
• Variantes e Invariantes no Tempo 
▫ Exemplos: 
 Seja y(t) = sen(u(t)). Para a entrada u1(t) a saída será y1 = sen(u1(t)). 
 
Deslocando u1(t) no tempo, tem-se 
u2(t) = u1(t - t0) 
y2(t) = sen(u2(t)) = sen(u1(t - t0)) 
y1(t
- t0) = sen(u1(t - t0)) 
 
Como y2(t) = y1(t - t0) o sistema é invariante no tempo. 
 
 
 Seja y(t) = tu(t) e as mesmas entradas acima. Nesse caso, 
 y1(t) = tu1(t) 
 y2(t) = tu2(t) = tu1(t - t0) 
 
Como y1(t - t0) = (t - t0)u1(t - t0) ≠ y2(t), o sistema y(t) = tu(t) é variante no tempo. 
Sistemas 
• Com Memória (Dinâmico) e Sem Memória 
(Instantâneo) 
▫ Sem memória se a saída num instante de tempo 
depende apenas da entrada no mesmo instante 
 Exemplos: 
 Circuito Resistivo 
 Circuito RC (resistor, capacitor) 
 
 
Sistemas 
• Causal e Não-causal 
▫ Causal se a saída depende somente de valores 
presentes e ou dos valores passados da entrada 
▫ Exemplos (média móvel): 
 Causal 
 
 
 Não-causal 
 
 
 não é aplicado em tempo real 
Sistemas 
• Contínuos e Discretos 
▫ Contínuos: sinais x(t) e y(t) 
▫ Discretos: sinais x[n] e y[n] 
 
 
 
 
Sistemas 
• Analógicos e Digitais 
▫ Diferenciar tempo e amplitude... 
▫ Aqui estamos falando de amplitude, no slide 
anterior de tempo! 
 
 
 
 
 
Sistemas 
• Inversível e Não-Inversível 
▫ Inversível se é possível determinar um sistema 
inverso 
▫ Mapeamento um para um 
 
 
 S S-1 
Sistemas 
• Estável e Instável 
▫ Um sistema é dito estável se uma entrada limitada 
resulta em uma saída limitada. 
▫ BIBO (bounded input – bounded output) 
 
 Ponte sobre o desfiladeiro de Tacoma: 
 Em 7 de novembro de 1940, aproximadamente às 11 horas, a ponte sobre o 
desfiladeiro de Tacoma começa a entrar em colapso, em função de vibrações 
geradas por ventos, que não eram fortes. A ponte havia sido aberta para o 
tráfego há apenas alguns meses. 
 
 Tacoma 
 
Sistemas 
• Descrição Entrada-Saída 
▫ Os sistemas podem ser: elétricos, mecânicos, 
hidráulicos, acústicos, químicos, sociais, 
econômicos, etc... 
▫ Todos necessitam de um modelo, expressão 
matemática que aproxime seu comportamento 
dinâmicos 
▫ SISO, linear, dinâmico, invariante no tempo, 
causal 
▫ Equações diferenciais... 
▫ Descrição externa do sistema. 
Sistemas 
• Descrição Entrada-Saída 
▫ Exemplo: 
 
 
Sistemas 
• Descrição Entrada-Saída 
▫ Exemplo: 
 
 
Sistemas 
• Descrição Entrada-Saída (Externa) 
▫ Usar o operador diferencial (evitar o uso de 
integrais) 
▫ Substituir todos os sinais intermediários até restar 
somente os sinais de entrada e saída 
 
 
Sistemas 
• Descrição Entrada-Saída 
▫ Exemplo: 
 
 
Sistemas 
• Descrição Entrada-Saída 
▫ Exemplo (i(t) como saída): 
 
 
Sistemas 
• Descrição Entrada-Saída 
▫ Exemplo (vc(t) como saída): 
 
 
Sistemas 
• Descrição Entrada-Saída 
▫ Um exemplo no tempo discreto (E.3.5): 
 Em um semestre n, x[n] estudantes se inscreveram 
em um curso que precisa de um certo livro-texto. 
Uma editora vendeu y[n] cópias do livro no n-ésimo 
semestre. Na média, um quarto dos estudantes com 
o livro em boas condições revendem os livros no 
final do semestre, sendo a vida média do livro de três 
semestres. Escreva a equação que relaciona y[n], os 
novos livros vendidos pela editora, com x[n], o 
número de estudantes inscritos no n-ésimo 
semestre, considerando que todos os estudantes 
compram livros. 
Sistemas 
• Descrição Entrada-Saída 
▫ Um exemplo no tempo discreto (E.3.5): 
 x[n] = y[n] + livros reutilizados pelos alunos até dois 
semestres anteriores 
 No semestre anterior, (n-1), foram vendidos y[n-1] 
livros novos e um quarto deles foram revendidos no 
semestre n, logo: (1/4)y[n-1] 
 No semestre anterior a esse, (n-2), foram vendidos 
y[n-2] livros novos e um quarto desses livros foram 
vendidos no semestre (n-1), (1/4)y[n-2] e um quarto 
desses livros serão revendidos no semestre n, logo, 
no semestre n, teremos (1/16)y[n-2] dos livros que 
foram vendidos dois semestres atrás 
Sistemas 
• Descrição Entrada-Saída 
▫ Um exemplo no tempo discreto (E.3.5): 
Sistemas 
• Descrição Entrada-Saída 
▫ Um exemplo no tempo discreto (E.3.5): 
 Representação gráfica 
Sistemas 
• Descrição Entrada-Saída 
▫ Um exemplo no tempo discreto (E.3.5): 
 Representação gráfica 
Sistemas 
• Descrição Entrada-Saída 
▫ Diferenciador Digital (E.3.6) 
 Projete um sistema em tempo discreto para 
diferenciar sinais contínuos no tempo. Esse 
diferenciador é utilizado em sistemas de áudio com 
uma largura de faixa do sinal de entrada inferior a 
20kHz. 
Sistemas 
• Descrição Entrada-Saída 
▫ Diferenciador Digital 
Sistemas 
• Descrição Entrada-Saída 
▫ Diferenciador Digital 
Sistemas 
• Descrição Entrada-Saída 
▫ Diferenciador Digital 
 Forma atrasada: 
 
 
 
 
 Forma adiantada: 
Sistemas 
• Descrição Entrada-Saída 
▫ Integrador Digital 
 Forma acumulativa: 
 
 
 
 
 Forma recursiva: 
• Equação de Diferença: 
▫ Princípio da causalidade: a saída em um instante 
n, não pode depender de valores da entrada em 
instantes n+1 
▫ O número de atrasos (avanços) do sinal de entrada 
não pode ser maior que o considerado no sinal de 
saída 
▫ A ordem da equação de diferença é o número de 
atrasos (avanços) considerados do sinal de saída 
 
Sistemas 
• Equação de Diferença: 
▫ Resolva iterativamente (Ex. 3.8) 
 
 
com condição inicial 
e sinal de entrada 
 
 
 
 
 
 
Sistemas 
• Equação de Diferença: 
▫ Resolva iterativamente (Ex. 3.8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas 
Sistemas 
• Descrição em Espaço de Estados 
▫ Descrição interna 
▫ Usa um conjunto de variáveis internas chamadas 
variáveis de estado 
▫ Todos os sinais presentes no sistema podem ser 
descritos como uma combinação linear das 
variáveis de estado e dos sinais de entrada 
▫ Usa apenas equações diferenciais de primeira 
ordem 
 
Sistemas 
• Descrição em Espaço de Estados 
▫ Apresenta-se, normalmente, no formato matricial: 
 
 
Equação de Estado 
Equação de Saída 
Sistemas 
• Descrição em Espaço de Estados 
▫ Vantagens: 
 Pode descrever sistemas não-lineares, sistemas 
MIMO (multiple input, multiple output) e sistemas 
com parâmetros variantes no tempo 
 Utilização de técnicas de álgebra linear por utilizar 
notação matricial 
 Uso em sistemas mais complexos 
 
 
Sistemas 
• Descrição em Espaço de Estados 
▫ Descrição interna do Circuito Elétrico 
 Mudança do sinal de saída (altera apenas a equação 
de saída) 
 
 
Equação de Estado: 
Equação de Saída: 
ou 
Exercícios: 
• 1.1-1 a 1.1-9: energia e potência 
• 1.2-1 a 1.2-6: operações de sinais 
• 1.3-1 a 1.3-6: classificação de sinais 
• 1.4-1 a 1.4-10: montagem de sinais 
• 1.5-1 a 1.5-12: sinal par e ímpar 
• 1.7-1 a 1.7-4: classificação de sistemas 
• 1.7-6 a 1.7-13: classificação de sistemas 
• 1.8-1 a 1.8-6: modelagem e descrição entrada e 
saída 
Exercícios: 
• 3.1-1 a 3.1-5: energia e potência, sinal par e 
ímpar 
• 3.2-1 a 3.2-4: operações com sinal 
• 3.3-1 a 3.3-7: gráficos de sinal 
• 3.4-1 a 3.4-6: montagem 
• 3.4-7 a 3.4-11: classificação de sistemas 
• 3.5-1 a 3.5-5: solução recursiva 
Solução de Exercícios: 
• P 1.1.1 
Solução de Exercícios: 
• P 1.1.1 
Solução de Exercícios: 
• P 1.1.5 (b) 
 
 
 
• P 1.1.5 (e) 
Solução de Exercícios: 
• P 1.1.5 (f) 
 
 
 
Solução de Exercícios: 
• P 1.2.2 (d) 
 
 
 
Solução de Exercícios: 
• P 1.2.2 (d) 
 
 
 
Solução de Exercícios: 
• P 1.3.1 
 
 
 
Solução de Exercícios: 
• P 1.3.2 
 
 
 
Solução de Exercícios: 
• P 1.3.3 
 
 
 
Solução de Exercícios: 
• P 1.3.3 
 
 
 
Solução de Exercícios: 
• P 1.4.10 
Solução de Exercícios: 
• P 1.4.10 
 
 
 
Solução de Exercícios: 
• P
1.7.1 
 
 
 
Solução de Exercícios: 
• P 1.7.2 
 
 
 
Solução de Exercícios: 
• P 1.7.7 
 
 
 
Solução de Exercícios: 
• P 1.7.7 
 
 
 
	Sinais e Sistemas
	Sumário
	Sinais
	Número do slide 4
	Número do slide 5
	Número do slide 6
	Número do slide 7
	Número do slide 8
	Número do slide 9
	Número do slide 10
	Número do slide 11
	Número do slide 12
	Número do slide 13
	Número do slide 14
	Número do slide 15
	Número do slide 16
	Número do slide 17
	Número do slide 18
	Número do slide 19
	Número do slide 20
	Classificação de Sinais
	Classificação de Sinais
	Classificação de Sinais
	Classificação de Sinais
	Classificação de Sinais
	Classificação de Sinais
	Classificação de Sinais
	Classificação de Sinais
	Classificação de Sinais
	Classificação de Sinais
	Classificação de Sinais
	Sinais
	Operações com Sinais
	Operações com Sinais
	Número do slide 35
	Número do slide 36
	Operações com Sinais
	Operações com Sinais
	Operações com Sinais
	Operações com Sinais
	Número do slide 41
	Número do slide 42
	Número do slide 43
	Número do slide 44
	Número do slide 45
	Número do slide 46
	Número do slide 47
	Número do slide 48
	Número do slide 49
	Número do slide 50
	Número do slide 51
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	Número do slide 53
	Número do slide 54
	Número do slide 55
	Número do slide 56
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	Número do slide 58
	Números Complexos
	Números Complexos
	Modelos Úteis de Sinais
	Modelos Úteis de Sinais
	Modelos Úteis de Sinais
	Modelos Úteis de Sinais
	Modelos Úteis de Sinais
	Modelos Úteis de Sinais
	Modelos Úteis de Sinais
	Modelos Úteis de Sinais
	Modelos Úteis de Sinais
	Modelos Úteis de Sinais
	Modelos Úteis de Sinais
	Modelos Úteis de Sinais
	Modelos Úteis de Sinais
	Modelos Úteis de Sinais
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	Modelos Úteis de Sinais
	Modelos Úteis de Sinais
	Modelos Úteis de Sinais
	Modelos Úteis de Sinais
	Modelos Úteis de Sinais
	Modelos Úteis de Sinais
	Modelos Úteis de Sinais
	Modelos Úteis de Sinais
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Sistemas
	Exercícios:
	Exercícios:
	Solução de Exercícios:
	Solução de Exercícios:
	Solução de Exercícios:
	Solução de Exercícios:
	Solução de Exercícios:
	Solução de Exercícios:
	Solução de Exercícios:
	Solução de Exercícios:
	Solução de Exercícios:
	Solução de Exercícios:
	Solução de Exercícios:
	Solução de Exercícios:
	Solução de Exercícios:
	Solução de Exercícios:
	Solução de Exercícios:
	Solução de Exercícios: