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DINÂMICA DE VEÍCULOS
2/2013
Profa. Suzana Moreira Avila, DSc
Noções de Vibrações
AULA 2
Sumário
� Vibrações livres de Sistemas de um grau de liberdade 
(S1GDL)
� Resposta de S1GDL a excitações harmônicas
� Integração numérica da resposta do SIGDL
Vibrações livres de S1GDL
• Vimos que um sistema de 1GDL é descrito pela 
seguinte equação de movimento
(1)
onde m, c e k representam, respectivamente a 
massa, o amortecimento e a rigidez do sistema.
• Dividindo-se a equação (1) por m obtemos
(2)
Vibrações livres de S1GDL 
onde e
onde (coeficiente de amortecimento crítico)
é a freqüência natural de vibração com unidade em 
radianos por segundo
é o fator de amortecimento 
Vibrações livres de S1GDL 
• A freqüência natural de vibração e a taxa de
amortecimento são parâmetros muito
importantes na determinação da resposta de
um S1GDL
• Considere que o sistema descrito pela
equação (1) seja submetido a um par de
condições iniciais de deslocamento e
velocidade
Vibrações livres de S1GDL 
• A solução da equação (1), a resposta total,
consiste na soma linear de duas partes distintas,
uma resposta forçada relacionada à excitação e
uma resposta natural associada às condições
iniciais
• Na literatura matemática a solução geral de uma
EDO é a soma da solução particular mais a
solução complementar
Vibrações livres de S1GDL 
• No caso de vibrações livres fazemos com que
p(t)=0, a equação (2) toma a forma:
• Considerando o amortecimento nulo, a
equação de movimento livre não-amortecida
é a seguinte:
Vibrações livres de S1GDL 
• A equação característica correspondente é
• e suas raízes são
• a solução geral então toma a forma
• ou
Vibrações livres de S1GDL 
• A1 e A2 podem ser obtidas a partir das condições
iniciais, então temos
• Teoricamente este movimento continuaria
indefinidamente. Na prática todo sistema possui
algum nível de amortecimento, que dissipa
energia, e reduz a amplitude ao longo do tempo.
Vibrações livres de S1GDL 
• Considere, portanto, a vibração livre de um
S1GDL com amortecimento viscoso linear
• Assumindo uma solução na forma
• obtém-se a equação característica
Vibrações livres de S1GDL 
• Cujas raízes s1,2 são dadas por
• A magnitude do fator de amortecimento
caracteriza três casos distintos:
• subamortecido:
• criticamente amortecido:
• Superamortecido:
Vibrações livres de S1GDL 
• O caso mais comum na prática, é o caso
subamortecido com taxas de amortecimento
entre 0.5% e 5%.
• Neste caso definimos a freqüência natural
amortecida
A evolução da resposta, neste caso, tem a forma
Vibrações livres de S1GDL
Resposta do SIGDL a excitações 
harmônicas
• Caso não-amortecido (ζ=0)
Resposta do SIGDL a excitações 
harmônicas
Resposta do SIGDL a excitações 
harmônicas
• Caso amortecido
• α é o ângulo de fase entre a resposta permanente e a 
excitação
Resposta do SIGDL a excitações 
harmônicas
Integração numérica da resposta do 
SIGDL
• Em muitos casos de análise a excitação dinâmica p(t) 
não possui uma expressão matemática bem definida 
como é o caso das excitações harmônicas.
• Neste casos não é possível obter uma solução exata 
para a equação de movimento.
• Lança-se mão portanto de algoritmos numéricos para 
integrar estas equações de movimento e obter a 
evolução da resposta no tempo.
• Estes algoritmos são conhecidos na literatura como 
métodos de integração numérica “passo à passo”.
Integração numérica da resposta do 
SIGDL
• Exemplos de métodos de integração 
numérica:
1. Soma simples
2. Regra Trapezoidal
3. Regra de Simpson
Referências
• CRAIG R.R., Structural Dynamics, An
Introduction to Computer Methods, Wiley, 
1981 – Capitulos 2 e 3