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DINÂMICA DE VEÍCULOS
2/2013
Profa. Suzana Moreira Avila, DSc
Noções de Vibrações
AULA 2
Sumário
\ufffd Vibrações livres de Sistemas de um grau de liberdade 
(S1GDL)
\ufffd Resposta de S1GDL a excitações harmônicas
\ufffd Integração numérica da resposta do SIGDL
Vibrações livres de S1GDL
\u2022 Vimos que um sistema de 1GDL é descrito pela 
seguinte equação de movimento
(1)
onde m, c e k representam, respectivamente a 
massa, o amortecimento e a rigidez do sistema.
\u2022 Dividindo-se a equação (1) por m obtemos
(2)
Vibrações livres de S1GDL 
onde e
onde (coeficiente de amortecimento crítico)
é a freqüência natural de vibração com unidade em 
radianos por segundo
é o fator de amortecimento 
Vibrações livres de S1GDL 
\u2022 A freqüência natural de vibração e a taxa de
amortecimento são parâmetros muito
importantes na determinação da resposta de
um S1GDL
\u2022 Considere que o sistema descrito pela
equação (1) seja submetido a um par de
condições iniciais de deslocamento e
velocidade
Vibrações livres de S1GDL 
\u2022 A solução da equação (1), a resposta total,
consiste na soma linear de duas partes distintas,
uma resposta forçada relacionada à excitação e
uma resposta natural associada às condições
iniciais
\u2022 Na literatura matemática a solução geral de uma
EDO é a soma da solução particular mais a
solução complementar
Vibrações livres de S1GDL 
\u2022 No caso de vibrações livres fazemos com que
p(t)=0, a equação (2) toma a forma:
\u2022 Considerando o amortecimento nulo, a
equação de movimento livre não-amortecida
é a seguinte:
Vibrações livres de S1GDL 
\u2022 A equação característica correspondente é
\u2022 e suas raízes são
\u2022 a solução geral então toma a forma
\u2022 ou
Vibrações livres de S1GDL 
\u2022 A1 e A2 podem ser obtidas a partir das condições
iniciais, então temos
\u2022 Teoricamente este movimento continuaria
indefinidamente. Na prática todo sistema possui
algum nível de amortecimento, que dissipa
energia, e reduz a amplitude ao longo do tempo.
Vibrações livres de S1GDL 
\u2022 Considere, portanto, a vibração livre de um
S1GDL com amortecimento viscoso linear
\u2022 Assumindo uma solução na forma
\u2022 obtém-se a equação característica
Vibrações livres de S1GDL 
\u2022 Cujas raízes s1,2 são dadas por
\u2022 A magnitude do fator de amortecimento
caracteriza três casos distintos:
\u2022 subamortecido:
\u2022 criticamente amortecido:
\u2022 Superamortecido:
Vibrações livres de S1GDL 
\u2022 O caso mais comum na prática, é o caso
subamortecido com taxas de amortecimento
entre 0.5% e 5%.
\u2022 Neste caso definimos a freqüência natural
amortecida
A evolução da resposta, neste caso, tem a forma
Vibrações livres de S1GDL
Resposta do SIGDL a excitações 
harmônicas
\u2022 Caso não-amortecido (\u3b6=0)
Resposta do SIGDL a excitações 
harmônicas
Resposta do SIGDL a excitações 
harmônicas
\u2022 Caso amortecido
\u2022 \u3b1 é o ângulo de fase entre a resposta permanente e a 
excitação
Resposta do SIGDL a excitações 
harmônicas
Integração numérica da resposta do 
SIGDL
\u2022 Em muitos casos de análise a excitação dinâmica p(t) 
não possui uma expressão matemática bem definida 
como é o caso das excitações harmônicas.
\u2022 Neste casos não é possível obter uma solução exata 
para a equação de movimento.
\u2022 Lança-se mão portanto de algoritmos numéricos para 
integrar estas equações de movimento e obter a 
evolução da resposta no tempo.
\u2022 Estes algoritmos são conhecidos na literatura como 
métodos de integração numérica \u201cpasso à passo\u201d.
Integração numérica da resposta do 
SIGDL
\u2022 Exemplos de métodos de integração 
numérica:
1. Soma simples
2. Regra Trapezoidal
3. Regra de Simpson
Referências
\u2022 CRAIG R.R., Structural Dynamics, An
Introduction to Computer Methods, Wiley, 
1981 \u2013 Capitulos 2 e 3