ESCOAMENTO DO SANGUE EM MICROVASOS

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HIDRODINÂMICA DO 
ESCOAMENTO DO SANGUE 
EM MICROVASOS
MATHEUS DA SILVEIRA
THAYSA FERREIRA
ORIGEM DO TEMA
Dissertação de Mestrado submetida ao 
Departamento de Engenharia Mecânica 
da Faculdade de Tecnologia da 
Universidade de Brasília , como parte 
dos requisitos necessários para a 
obtenção do grau de mestre.
INTRODUÇÃO
• Nesta tese é apresentado um estudo sobre 
escoamento e reologia de fluidos não-
newtonianos com propriedades mecânicas 
semelhantes as do sangue.
• Os cálculos e as análises feitas são direcionados 
ao escoamento em microvasos.
• Esse estudo é um entendimento mecânico do 
comportamento do sangue na microcirculação e 
estudos voltados a diagnosticar patologias por 
meio da análise de propriedades reológicas do 
sangue.
REOLOGIA
É a ciência que estuda a deformação e o 
escoamento de corpos sólidos ou fluidos. Ramo 
da mecânica que estuda as deformações e o 
fluxo da matéria, especialmente o 
comportamento dos materiais ante seus limites 
de resistência à deformação.
FLUIDO NÃO NEWTONIANO
Um fluido não newtoniano são 
aqueles que não obedecem à 
lei de Newton da viscosidade, 
ou seja, não existe uma relação 
linear entre o valor da tensão de 
cisalhamento e a velocidade de 
deformação resultante.
ESCOAMENTO
Mudança de forma do fluido sob a ação 
de um esforço tangencial.
VISCOSIDADE
Uma relação entre a atenção de 
cisalhamento aplicada e a velocidade 
de deformação ocorrida no fluído.
>>
PROPRIEDADES DO SANGUE
• O sangue é uma suspensão de 
células em plasma. 
• As células sanguíneas são 
denominadas eritrócitos, 
leucócitos e plaquetas.
• Os eritrócitos desempenham 
papel primordial nas propriedades 
reológicas do sangue. 
• O sangue é aproximadamente uma 
emulsão polidispersa composta por 
uma fração volumétrica de 
aproximadamente 45% de células 
vermelhas.
PROPRIEDADES DO SANGUE
• As propriedades reológicas do sangue 
dependem principalmente:
 da temperatura;
da taxa de cisalhamento;
 do formato das células;
PROPRIEDADES DO SANGUE
 da fração volumétrica de glóbulos 
vermelhos;
 da concentração de proteínas no 
plasma;
da orientação das células; 
e das propriedades mecânicas dos 
glóbulos vermelhos;
PROPRIEDADES DO SANGUE
• Eritrócitos são responsáveis 
pelo transporte de oxigênio aos 
tecidos do corpo.
• As plaquetas são responsáveis 
pela coagulação do sangue.
• Os leucócitos agem no sistema 
imunológico do organismo.
CÉLULAS SANGUÍNEAS
DEFINIÇÕES DO SISTEMA SANGUÍNEOS
O sangue enquadra-se como fluido 
real que como tal deve ser:
• compressível
• turbulento 
• rotacional 
• viscoso
CARACTERÍSTICAS
Compressibilidade
• Um fluido é compressível quando é possível
mudar sua densidade, isto é, quando sob
pressão diminui seu volume;
CARACTERÍSTICAS
Compressibilidade
• O sangue é constituído de plasma, glóbulos
vermelhos e glóbulos brancos, isto é, um
líquido com células que em certas situações
num escoamento podem se encontrar mais
comprimidas que o normal. Neste caso, o
sangue teria sua densidade aumentada.
CARACTERÍSTICAS
Rotacionalidade
• O escoamento de um fluido é rotacional
quando uma partícula no interior do fluido gira
em torno de seu centro de massa;
• Sob certas condições as células do sangue
giram em torno do seu centro de massa.
CARACTERÍSTICAS
Rotacionalidade
• O fato destas partículas, no caso do sangue,
células, terem um movimento de rotação
implica que parte da energia de movimento do
sangue estará na forma de energia cinética de
rotação, o que contribui para uma queda de
pressão ao longo do percurso do sangue.
CARACTERÍSTICAS
Turbulência
• Um fluido está em regime turbulento quando
muda de velocidade no decorrer do tempo,
tanto de direção quanto em módulo;
• Um fluído pode ser turbulento quando em um
escoamento sua velocidade crítica é superior a
2000, ou quando há protuberâncias no tubo.
EQUACIONAMENTO
Equações Governantes
• As equações governantes envolvidas nos
problemas apresentados são a equação do
movimento para um fluido newtoniano ou não
newtoniano e a equação da continuidade para
um fluido incompressível.
EQUACIONAMENTO
Equações Governantes
𝜌
𝐷𝑢
𝐷𝑡
= −𝛻𝑝 + 𝛻 ∙ (𝜇( ሶ𝛾)D)+𝛻 ∙ σ𝑑 (1)
𝛻 ∙ 𝑢 = 0 (2)
𝜌 → Massa específica do fluído
𝑢 → Campo de Velocidade
𝑝 → Pressão Termodinâmica
𝜇( ሶ𝛾) → Viscosidade Dinâmica do Fluído Generalizado
ሶ𝛾 → Taxa de Cisalhamento do Fluído
D → Tensor Taxa de Deformação do Fluído
σ𝑑 → Tensor Deviatórico Responsável Pelo Comportamento 
Não Newtoniano do Fluído
EQUACIONAMENTO APLICADO
• Microcirculação em vasos de 
diâmetro da ordem de 100 µm :
Nesta escala o sangue pode ser 
tratado como um fluido contínuo 
equivalente. Devido as formas dos 
microvasos a equação governante 
foi reescrita para coordenadas 
cilíndricas.
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟µ γ
𝜕𝑢
𝜕𝑟
+
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟෍
𝑑
= 0
Equação governante foi reescrita para coordenadas 
cilíndricas
SANGUE COMO MODELO DE FLUÍDO 
NEWTONIANO
Como primeira aproximação do
comportamento do sangue, assume-se para o
núcleo do microvaso o escoamento de um
fluido newtoniano com viscosidade efetiva 𝜇𝑒.
Nesse caso o tensor deviatórico σ𝑑 é nulo.
SANGUE COMO MODELO DE FLUÍDO 
NEWTONIANO
Como campo de velocidade para esse caso
obtêm-se:
𝑅2 𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
4𝜇𝑝𝐿
1 −
𝑟2
𝑅2
𝑅2 𝑃𝑜−𝑃𝐿
4𝜇𝑝𝐿
1 −
𝜇𝑝
𝜇𝑒
𝑟2
𝑅2
+
(𝑅−𝛿)2
𝑅2
𝜇𝑝−𝜇𝑒
𝜇𝑒
(5)
Para R - δ < r < R
SANGUE COMO MODELO DE FLUÍDO 
NEWTONIANO
A viscosidade aparente 𝜇𝑠 é obtida
igualando-se a vazão do campo de velocidade
da Eq. (5) a lei de Poiseuille, como a seguir:
𝑅4 𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
8𝜇𝑠𝐿
= 𝑄
Com esse modelo pode-se estudar a influência do 
raio do microvaso sobre a viscosidade aparente 
do sangue, e a influência de alterações da 
viscosidade do plasma
𝜇𝑠
𝜇𝑝
=
𝑅
ƍ
4
𝑅
ƍ
4
−
𝑅
ƍ − 1
4
1 −
𝜇𝑝
𝜇𝑒
CONCLUSÃO
• Conclui-se que é possível modelar o sangue a partir de
algumas hipóteses e inclusive obter expressões analíticas
que aproximam de forma qualitativa o comportamento do
escoamento do sangue em microvasos.
• Uma vez que a modelagem seja bem sucedida, permite-se
que sejam feitas correspondência com patologias, de modo
que a reologia venha a ser um novo instrumento de
diagnóstico e prevenção de doenças.
• Com isso, é possível determinar constantes matérias do
sangue e relacioná-las, por exemplo, a doenças como
diabetes e anemia.
REFERÊNCIAS
http://www.drrondo.com/viscosidade-sanguinea-
silencioso-mas-letal/
http://coral.ufsm.br/aerodesign/Biblioteca/pdf/Mec
http://biofisica.xpg.uol.com.br/Capitulo%202/lei%20de
%20poiseulle.htm
http://www.ufpa.br/ensinofts/capitulo1.html