calculo numérico
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APOSTILA 
Cálculo Numérico 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
UTFPR 
Lauro César Galvão, Dr. e Luiz Fernando Nunes, Dr. 
 ii 
Índices 
1 NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS ...................................................................................1-1 
1.1 ERROS...............................................................................................................................................1-1 
1.2 ERROS ABSOLUTOS E RELATIVOS................................................................................................1-1 
1.2.1 Erro Absoluto..................................................................................................................................1-1 
1.2.2 Erro Relativo ou Taxa de Erro ....................................................................................................1-2 
1.3 ERROS DE ARREDONDAMENTO E TRUNCAMENTO.....................................................................1-2 
1.3.1 Erro de Arredondamento..............................................................................................................1-2 
1.3.2 Erro de Truncamento ....................................................................................................................1-2 
1.4 ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE...........................................................................................1-3 
1.5 CONVERSÃO DE BASES ..................................................................................................................1-3 
1.5.1 Conversão da Base b para a Decimal (bÞ10) ........................................................................1-3 
1.5.2 Conversão da Base Decimal para a b (10Þb) ........................................................................1-4 
1.5.3 Exercícios: Conversão de Bases..................................................................................................1-5 
1.6 OPERAÇÕES DE PONTOS FLUTUANTES........................................................................................1-7 
1.6.1 Representações...............................................................................................................................1-7 
1.6.2 Exercícios........................................................................................................................................1-7 
1.6.3 Exercícios complementares..........................................................................................................1-8 
2 ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS .............................................................................. 2-11 
2.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................2-11 
2.2 FASE I: ISOLAMENTO DAS RAÍZES...............................................................................................2-11 
2.3 FASE II: REFINAMENTO - CRITÉRIOS DE PARADA....................................................................2-15 
2.3.1 Método da Bissecção (ou Método da Dicotomia) ................................................................. 2-15 
2.3.2 Método do Ponto Fixo (ou Método da Iteração Linear ou Método das Aproximações 
sucessivas).................................................................................................................................... 2-19 
2.3.3 Método de Newton, Newton-Raphson (ou Método das Tangentes).................................... 2-27 
2.3.4 Comparação entre os métodos.................................................................................................. 2-30 
3 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES .................................... 3-32 
3.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................3-32 
3.1.1 Forma Algébrica de Sn............................................................................................................... 3-32 
3.1.2 Forma Matricial de Sn............................................................................................................... 3-32 
3.1.3 Matriz Aumentada ou Matriz Completa do Sistema ............................................................. 3-32 
3.1.4 Solução do Sistema ..................................................................................................................... 3-32 
3.1.5 Classificação de um Sistema Linear........................................................................................ 3-33 
3.1.6 Classificação quanto ao Determinante de A.......................................................................... 3-33 
3.2 MÉTODOS DIRETOS.......................................................................................................................3-33 
3.2.1 Método de Eliminação de Gauss.............................................................................................. 3-33 
3.2.2 Estratégia de Pivoteamento Completo .................................................................................... 3-36 
3.2.3 Refinamento de Soluções........................................................................................................... 3-37 
3.3 MÉTODOS ITERATIVOS.................................................................................................................3-39 
3.3.1 Testes de parada.......................................................................................................................... 3-39 
3.3.2 Método de Gauss-Jacobi. .......................................................................................................... 3-39 
3.3.3 Método de Gauss-Seidel. ........................................................................................................... 3-42 
3.3.4 Comparação entre os métodos.................................................................................................. 3-43 
3.3.5 Critério de Sassenfeld................................................................................................................ 3-44 
4 INTERPOLAÇÃO.................................................................................................................... 4-47 
4.1 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL ......................................................................................................4-47 
4.1.1 Existência e Unicidade do Polinômio Interpolador Pn(x).................................................... 4-47 
4.1.2 Forma de Lagrange.................................................................................................................... 4-48 
4.1.3 Forma de Newton........................................................................................................................ 4-50 
4.2 ESTUDO DE ERRO NA INTERPOLAÇÃO ........................................................................................4-52 
4.2.1 Estimativa para o Erro............................................................................................................... 4-52 
4.3 INTERPOLAÇÃO INVERSA: CASOS EXISTENTES..........................................................................4-54 
4.3.1 Encontrar x tal que nP )(x .................................................................................................. 4-54 
4.3.2 Interpolação inversa................................................................................................................... 4-54 
4.4 FUNÇÕES SPLINE EM INTERPOLAÇÃO.........................................................................................4-56 
 iii 
4.4.1 Função Spline .............................................................................................................................. 4-56 
4.4.2 Spline linear interpolante.......................................................................................................... 4-57 
4.4.3 Spline cúbica interpolante.........................................................................................................