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www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 1 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Coordenação de Ensino Instituto IPB www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 2 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO CÁLCULO NUMÉRICO www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 3 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO SUMÁRIO NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS .......................................................................................................... 4 Introdução ....................................................................................................................................................... 4 Representação de Números ......................................................................................................................... 4 Conversão de Números nos Sistemas Decimal e Binário .......................................................................... 5 Aritmética de Ponto Flutuante ....................................................................................................................... 8 Arredondamento ............................................................................................................................................ 9 Truncamento ................................................................................................................................................ 10 Tipos de Erros .............................................................................................................................................. 10 Erros nas Operações Aritméticas de Ponto Flutuante .............................................................................. 11 Classificação das Funções Reais ............................................................................................................... 12 Fase I: Isolamento das Raízes ................................................................................................................... 13 Fase II: Refinamento ................................................................................................................................... 17 Critério de Parada ........................................................................................................................................ 17 Métodos Iterativos ........................................................................................................................................ 17 Convergência ............................................................................................................................................... 22 INTERPOLAÇÃO ......................................................................................................................................... 24 Teorema Fundamental da Interpolação Polinomial................................................................................... 25 Método de Lagrange.................................................................................................................................... 26 A Tabela de Diferenças Divididas: Método de Newton ............................................................................. 29 INTEGRAÇÃO.............................................................................................................................................. 33 Regra do Trapézio ....................................................................................................................................... 33 Regra de Simpson ....................................................................................................................................... 36 Referências .................................................................................................................................................. 39 AUTOAVALIAÇÃO - CÁLCULO NUMÉRICO ............................................................................................ 40 www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 4 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS Introdução A maioria dos problemas na matemática surge da necessidade de resolver problemas da vida real, isto porque tais problemas podem ser descritos através do uso de modelos matemáticos. Assim: PROBLEMA MODELO MATEMÁTICO SOLUÇÃO Não é raro acontecer que os resultados finais estejam distantes do que se esperaria obter, ainda que todas as fases de resolução tenham sido realizadas corretamente. Os resultados obtidos dependem também: da precisão dos dados de entrada; da forma como estes dados são representados no computador; das operações numéricas efetuadas. Representação de Números Exemplo 1. a) 3,14 área = 31400m2 b) 3,1416 área = 31416m2 c) 3,141592654 área = 31415,92654m2 d) - Como justificar as diferenças entre os resultados? - Exemplo 2. Efetuar os somatórios seguintes em uma calculadora e em um computador. , para xi = 0,5 e para xi = 0,11. Resultados obtidos: i) para xi = 0,5: www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 5 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO na calculadora: S = 15000 no computador: S = 15000 i) para xi = 0,11: na calculadora: S = 3300 no computador: S = 3299,99691 (operando em base 2) Como justificar a diferença entre os resultados obtidos pela calculadora e pelo computador para xi = 0,11? Os erros ocorridos nos dois problemas dependem da representação dos números na máquina utilizada. A representação de um número depende da base escolhida ou disponível na máquina em uso e do número máximo de dígitos usados na sua representação. sentado através de um número finito de dígitos decimais. No exemplo 1, foi escrito como 3,14; 3,1416 e 3,141592654, respectivamente nos casos (a), (b) e (c). Em cada um deles foi obtido um resultado diferente, e o erro neste caso depende exclusivamente da aproximação escolhida para Conversão de Números nos Sistemas Decimal e Binário 1) Represente os números que estão na base 2 na base 10: a) (11101)2 = 1x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 29 b) (10111)2 = 1x24 + 0x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20 = 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 23 c) (10001)2 = 1x24 + 0x23 + 0x22 + 0x21 + 1x20 = 16 + 0 + 0 + 0 + 1 = 17 d) (0,1101)2 = 1x2-1 + 1x2-2 + 0x2-3+ 1x2-4 = 1/2 + 1/4 + 0 + 1/16 = 0,5 + 0,25 + 0,0625 = 0,8125 e) (10,001)2 = 1x21 + 0x20 + 0x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 = 2 + 0 + 0 + 0 + 1/8 = 2 + 0,125 = 2,125 2) Represente os números que estão na base 10 na base 2. a) 20 www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 6 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO b) 33 c) 0,8125 0,8125 x 2 = 1,625 0,625 x 2 = 1,25 (0,8125)10 = (0,1101)2 0,25 x 2 = 0,5 0,5 x 2 = 1,0 d) 5,125 Calculando a parte inteira, temos: Calculando a parte decimal, temos: 0,125 x 2 = 0,250 0,250 x 2 = 0,5 (0,125)10 = (0,001)2 0,5 x 2 = 1,0 Escrevendo as duas partes juntas, temos: (5,125)10 = (101,001)2 e) 0,11 = (0,000111000010100011110101110000101000111101...)2 www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 7 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO 0,11 x 2 = 0,22 0,22 x 2 = 0,44 0,44 x 2 = 0,88 0,88 x 2 = 1,76 0,76 x 2 = 1,52 0,52 x 2 = 1,04 0,04 x 2 = 0,08 0,08 x 2 = 0,16 0,16 x 2 = 0,32 0,32 x2 = 0,64 0,64 x 2 = 1,28 0,28 x 2 = 0,56 0,56 x 2 = 1,12 0,12 x 2 = 0,24 0,24 x 2 = 0,48 0,48 x 2 = 0,96 0,96 x 2 = 1,92 0,92 x 2 = 1,84 0,84 x 2 = 1,68 0,68 x 2 = 1,36 0,36 x 2 = 0,72 0,72 x 2 = 1,44 0,44 x 2 = 0,88 0,88 x 2 = 1,76 0,76 x 2 = 1,52 0,52 x 2 = 1,04 0,04 x 2 = 0,08 0,08 x 2 = 0,16 0,16 x 2 = 0,32 período 01110000101000111101 Podemos ver que o número (0,11)10 não tem representação binária finita. Um computador que operar no sistema binário irá armazenar uma aproximação para (0,11)10, uma vez que possui uma quantidade fixa de posições para guardar os dígitos www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 8 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO da mantissa de um número, e esta aproximação será usada para realizar os cálculos. Não se pode, portanto, esperar um resultado exato. Podemos agora entender melhor por que o resultado da operação: Não é obtido exatamente num computador quando opera em base 2. Aritmética de Ponto Flutuante Um computador ou calculadora representa um número real no sistema denominado aritmética de ponto flutuante. Neste sistema, o número x será representado na forma: O modo usual de representar um sistema F de ponto flutuante é: , onde: é a base em que a máquina opera; t é o número de dígitos da mantissa; 0 e é o expoente no intervalo [m, M]; são números inteiros. Exemplo: Sistema de ponto flutuante da: a) HP25: F(10, 9, -98,100) b) Texas SR50: F(10,10,-98,100) c) Texas SR52: F(10,12,-98,100) d) HP41C: F(10,10,-98,100) Considere, por exemplo, uma máquina que opera no sistema: F(10, 3, -5, 5). Os números serão representados da seguinte forma neste sistema: www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 9 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO EXEMPLOS: Considerando a máquina com sistema acima: 1) Qual o menor número representado nesta máquina? Menor número = 0,100 x 10-5 2) Qual o maior número representado nesta máquina? Maior número = 0,999 x 105 3) Caso tenha um número x = 0,245 x 10-7, como posso representá-lo nesta máquina? Neste caso teremos x < menor número do sistema, logo este número x não poderá se representado no sistema F(10, 3, -5, 5). Esta é uma situação em que a máquina acusa a ocorrência de underflow. 4) Caso tenha um número x = 0,875 x 109, como posso representá-lo nesta máquina? Neste caso teremos x > maior número do sistema, logo este número x não poderá se representado no sistema F(10, 3, -5, 5). Esta é uma situação em que a máquina acusa a ocorrência de overflow. Arredondamento pode ser feita de diversas maneiras. Tipos de arredondamentos Os mais conhecidos são: arredondamento para cima ou por excesso; arredondamento para baixo ou por falta; arredondamento para o número de máquina mais próximo ou simétrico. Exemplo 1: Seja a representação numa máquina com 4 dígitos na mantissa. x = 0,333 333 y = 0,348 436 z = 0,666 666 Temos então: www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 10 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Exemplo 2: Se w = 0,12345, então: Durante nossos trabalhos utilizaremos o arredondamento simétrico (ou para o número de máquina mais próximo). Assim, em linhas gerais, para arredondar um número para o número de máquina mais próximo, na base 10, devemos apenas observar o primeiro dígito a ser descartado. Se este dígito é menor que 5, deixamos os dígitos inalterados; e se é maior ou igual a 5, devemos somar 1 ao último dígito que restou. Truncamento Simplesmente é desprezada uma parte escolhida da mantissa e o cálculo é feito com o número que ficou. Exemplo: = 3,14159265... truncamento de com 4 casas decimais: = 3,1415. Tipos de Erros Erros inerentes ocorrem geralmente na fase de criação ou simplificação de um modelo matemático, ou ainda em medidas em geral. Erros de discretização, ou de aproximação, ou de truncamento são os erros cometidos quando se substitui qualquer processo infinito por um processo finito ou discreto. Erros de arredondamento surgem quando trabalhamos com máquinas digitais para representar os números reais. A diferença entre o valor aproximado e o valor exato de um número pode ser medida pelo erro absoluto ou pelo erro relativo. Sejam: EA erro absoluto ER erro relativo VE ou x - valor exato VA ou - valor aproximado www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 11 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Erro Absoluto: e Erro Relativo: EXEMPLOS: 1) Digamos que x = 0,003 e que = 0,002, então: , analisando a resposta podemos considerar um erro pequeno. , analisando o erro relativo podemos ver que este erro é grande em relação aos valores utilizados para cálculo. 2) Digamos que x = 10100 e x = 10000. Então: , neste caso teremos um erro relativamente pequeno. Erros nas Operações Aritméticas de Ponto Flutuante Exemplo 1) Dados x = 0,937 x 104 e y = 0,1272 x 102, obtenha x + y. A adição aritmética de ponto flutuante requer o alinhamento dos pontos decimais dos dois números. Para isto, a mantissa do número de menor expoente deve ser deslocada para direita. Este deslocamento deve ser um número de casas decimais igual à diferença entre os dois expoentes. Alinhando os pontos decimais dos valores acima, temos: x = 0,937 x 104 e y = 0,001272 x 104 Então: x + y = (0,937 +0,001272) x 104 = 0,938272 x 104 www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 12 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Este é o resultado exato desta operação. Suponhamos que esta operação seja efetuada num sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos na mantissa e na base 10. Teríamos: i) no arredondamento: x + y = 0,9383 x 104 ii) no truncamento: x + y = 0,9382 x 104 Exemplo 2) No mesmo sistema anterior, obtenha xy. xy = (0,937 x 104) x (0,1272 x 102) = (0,937 x 0,1272) x 106 = 0,1191864 x 106 Então, xy = 0,1192 x 106 no arredondamento e xy = 0,1191 x 106 no truncamento. ZERO REAIS DE FUNÇÕES REAIS Um problema particularmente importante na Matemática é o de se encontrar um valor para a variável livre x, dado um valor de y, tal que f(x) = y. Classificação das Funções Reais Seja f(x) = y. Aos valores reais que tornam y = 0 denominaremos de zero da função f(x) ou raízes da equação f(x) = 0. Isto é, um número real (ksi) é um zero da função f(x) ou uma raiz da equação f(x) = 0 se, e somente se, f( ) = 0. Estudaremos nesta unidade métodos numéricos para a resolução de equações não-lineares e, embora os valores de x que anulem f(x) possam ser reais ou complexos, estaremos interessados somente nos zeros reais de f(x). www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 13 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Graficamente, os zeros reais são representados pelas abscissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo O procedimento básico dos métodos numéricos para resolver equações polinomiais consiste essencialmente em obter uma aproximação inicial para a raiz e em seguida refinar essa aproximação através de um processo iterativo (ou seja repetitivo). Por isso, os métodos constam de duas fases: FASE I: LOCALIZAÇÃO ou ISOLAMENTO das raízes, que consiste em obter um intervalo que contém a raiz. FASE II: REFINAMENTO, que consiste, escolhidas aproximações iniciais no intervalo encontrado na fase I, em melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximaçãopara a raiz dentro de uma precisão prefixada. Fase I: Isolamento das Raízes Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função f(x). É importante ressaltar que o sucesso da fase II depende fortemente da precisão desta análise. A técnica de localização a ser usada baseia-se, em primeiro lugar, no seguinte fato a respeito de funções polinomiais: Se uma função polinomial real f(x) é contínua num intervalo [a, b] e assume um valor positivo quando x = a, e um valor negativo quando x = b, o produto de f(a).f(b) será um valor negativo (f(a).f(b) < 0) e isso nos leva a concluir que a curva intercepta www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 14 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO o eixo das abscissas neste intervalo. Então existirá pelo menos um número entre a e b tal que f( ) = 0. então este intervalo contém um único zero de f(x). Uma forma de se isolar as raízes de f(x) usando os resultados anteriores é tabelar f(x) para vários valores de x e analisar as mudanças de sinal de f(x) e o sinal da derivada no intervalo em que f(x) mudou de sinal. Exemplo 1. f(x) = x3 9x + 3 Construindo uma tabela de valores para f(x) e considerando apenas os sinais, temos: Podemos concluir que: Como f(x) é um polinômio de grau 3, podemos afirmar que cada intervalo contém um único zero de f(x); assim, localizamos todas as raízes de f(x) = 0. Exemplo 2. www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 15 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Analisando a tabela, vemos que f(x) admite pelo menos um zero no intervalo [1, 2]. Analisando o sinal de : Assim podemos concluir que f(x) admite um único zero em todo seu domínio de definição e este zero está no intervalo [1, 2]. A análise gráfica da função f(x) ou da equação f(x) = 0 é fundamental para se obter boas aproximações para a raiz. Apresentaremos um processo para se localizar a raiz de uma equação, chamado de APROXIMAÇÃO GRÁFICA. Aproximação Gráfica: a partir da equação f(x) = 0, obter a equação equivalente g(x) = h(x), esboçar os gráficos das funções g(x) e h(x) no mesmo plano cartesiano e localizar os pontos x onde as duas curvas se interceptam. Neste caso teremos f( ) = 0 g( ) = h( ). Exemplo 1. Seja f(x)= Da equação , podemos obter a equação equivalente . Neste caso, temos g(x)= e h(x)=9x-3. Após isso, esboçamos os gráficos das duas funções no mesmo eixo cartesiano. www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 16 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Assim, podemos localizar as três raízes da equação nos intervalos abaixo: 1 [-4, -3] 2 [0, 1] e 3 [2, 3] Exemplo 2. Seja f(x) = A partir de f(x) podemos obter g(x)= e h(x)=5 Analisando a tabela podemos observar que g(x) cresce, mas até x = 1 ainda é menor que h(x), que decresce. Para x = 2, g(x) > h(x), pois g(2) = e h(2) = 0,6767. Podemos concluir com isso que as curvas se interceptam no intervalo [1, 2]. www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 17 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Fase II: Refinamento Estudaremos métodos numéricos de refinamento de raiz. Para isso usaremos métodos iterativos. Critério de Parada Admitindo que nossa busca é por uma raiz aproximada com precisão (epsilon), adotaremos critério de parada para nossos cálculos: i) - < ou ii) < Como efetuarmos o teste (i) se não conhecemos ? Uma forma de verificarmos isso é reduzir o intervalo que contém a raiz a cada iteração. Ao se conseguir um intervalo [a, b] tal que: e b-a . Métodos Iterativos 1 MÉTODO DA BISSECÇÃO Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b] e f(a).f(b)<0. É certo que existe pelo menos uma raiz [a,b] que satisfaz a equação f(x) = 0. www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 18 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Dividindo o intervalo [a,b] ao meio, obtém-se seu ponto médio x1, de modo que se tem: [a,b] = [a,x1] U [x1,b]. Se f(x1) = 0, então = x1. Caso contrário, a raiz estará num dos subintervalos onde a função tem sinais opostos nos extremos. Isto é, [a,x1], se f(a).f(x1) < 0 ou [x1,b], se f(x1).f(b) < 0. O novo intervalo que contém é dividido ao meio e obtém-se x2. O processo iterativo se repete até que se tenha obtido um valor aproximado para , que nos satisfaça (critério de parada). EXEMPLOS: 1) Calcule a raiz real da equação x2 + ln x=0, com tolerância máxima de < 10-2 . Solução: . Adotaremos para o Intervalo (I) = [0,5;1,0], e www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 19 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Obs.: Na segunda iteração o sinal de f(x1) muda de sinal em relação a f(x2), isto nos mostra que f(x1).f(x2)<0, logo a raiz está contida no intervalo [0,625;0,75] e não no intervalo [0,5; 0,625]. Com esse tipo de análise, decidimos a partir de qual intervalo continuaremos a fazer nossos cálculos. 2) Calcule a raiz real da equação xlog(x) 1 que tem zero em [2,3], para um erro menor do que 0,001 ( ). Não há a necessidade de localizarmos a raiz da equação xlog(x) 1= 0 pelo método da aproximação gráfica, pois a própria atividade nos dá o intervalo onde se localiza a raiz. Com isso, vamos direto para o método da bissecção para refinar o valor da raiz para o erro estipulado. Para Portanto . Apresentamos abaixo a aproximação gráfica, caso precisássemos localizar a raiz. temos (I) = [2;3], e , com www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 20 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Grá fi co de www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 21 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO 2 MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR (M.I.L.) Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde existe uma raiz única, f(x) = 0, é possível transformar tal equação em uma equação equivalente x = F(x) e, a partir de uma aproximação inicial x0, gerar uma sequência {xi} de aproximações para (zero de f(x)) pela relação xi+1 = F(xi), uma vez que F(x) é tal que F( ) = se, e somente se, f( ) = 0. Iniciamos o Método de Iteração Linear reescrevendo a função f(x) como, f(x) = F(x) x. Essa forma de escrever f(x) é bastante útil, pois no ponto x que corresponde à raiz de f(x), isto é, onde f(x) = 0 teremos que: f(x) = F(x) x = 0, o que equivale a determinar x tal que F(x) = x. Portanto procuraremos o valor de x que ao ser substituído em F(x) retorna o próprio valor de x. Dizemos que este valor é o ponto fixo de F(x). Para encontrarmos esse valor de , vamos utilizar um processo iterativo, onde começamos a calcular o valor de F(x) com um valor inicial de x0, e recalculamos repetidamente o valor de F(x) sempre usando o resultado de uma dada iteração. Ou seja: xi+1 = F(xi), onde i é a ordem da iteração (i = 0, 1, 2, 3, 4, ...). A função F(x) é chamada de função de iteração. A seguir ilustramos o processo. Obs.: Dada uma equação do tipo f(x) = 0, há para tal equação mais de uma função de iteração F(x), no entanto, nem todas convergem para . Omitiremos aqui o estudo dessa convergência, mas aconselhamos que você pesquise sobre o assunto. Exemplo: Seja f(x) = x2 x 2. Então: f(x) = 0 x2 x 2 = 0 x2 2 = x www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 22 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Fazendo F(x)= x2 2, temos uma função tal que F(x) = x. Então, podemos admitir F(x) = x2 2 como uma função de iteração. Portanto: xi+1 = F(xi) = xi2 2 X0= 0 x1 = 02 2 = -2 x1 = -2 x2 = (-2)2 2 = 2 x2 = 2 x3 = (2)2 2 = 2. Encontramos x = 2 tal que F(2) = 2 Naturalmente, para essa função não é necessário lançar mão de qualquer método do cálculo numérico. Bastaria resolver a equação x2 x 2 = 0 usando Báskara. Convergência Observe o comportamento das iterações representadas a seguir quando usamos o método de Iteração Linear. Repita o que fizemos no exemplo inicial e você vai perceber que nem todas permitem construir uma sequência que convirja para a raiz. Não discutiremos aqui sobre convergência, no entanto, listamos a seguir, o teorema que trata do assunto: Sendo uma raiz de f(x) = 0, isolada em um intervalo I centrado em e f(x) uma função de iteração para f(x) = 0. Se i. ii. M < 1, x I e iii. x1 I Então a sequência {xk}gerada pelo processo iterativo xi+1 = F(xi) convergirá para . 3 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (M.N.R.) www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 23 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde existe uma raiz única, é possível determinar uma aproximação de tal raiz a partir da interseção da tangente a uma curva em um ponto x0 com o eixo das abscissas. Admitamos um xi próximo de e tracemos uma reta tangente à curva pelo ponto (xi, f(xi)). Consideremos xi+1 ângulo de inclinação dessa tangente. Então teremos o ponto xi i). Então Portanto, Fazendo , temos xi+1 = F(xi), como a função de iteração que gera uma sequência {xi} que converge para rapidamente. Obs.: O método de Newton Raphson apresenta, em relação ao Método de Iteração Linear, a vantagem de gerar uma sequência com maior possibilidade de convergência e mais rapidamente. Exemplo: www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 24 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Suponha que desejamos encontrar uma aproximação da raiz quadrada de 3. Isto é, queremos x = . Mas: x = x2 = 3 x2 3 = 0 Admitindo f(x) = x2 3, queremos calcular x tal que f(x) = 0. Mas f´(x) = 2x. Então a função de iteração por Newton Raphson é Ou seja, Encontraremos x tão próximo de quanto f(x) estiver próximo de zero. Observe que na tabela encontramos x = = 1,732142 com uma aproximação = 0,00032 < INTERPOLAÇÃO O problema da interpolação consiste basicamente em encontrar uma função que seja a expressão lógica de determinados pontos. Conhecendo-se alguns pontos (x1, y1), (x2, y2).....(xn, yn) e desconhecendo a função analítica a qual pertençam, a Interpolação possibilita que calculemos o valor numérico intermediário da função num ponto não tabelado, com certo grau de erro. www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 25 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Embora não conheçamos a função que contém esses pontos, podemos substituí-la por outra função que é uma aproximação deduzida a partir dos dados tabelados. Diante da possibilidade de termos uma função cuja forma analítica é muito complicada, os métodos de interpolação ainda permitem que procuremos uma outra função que seja uma aproximação da função dada, cujo manuseio seja bem mais simples. A função mais usual é a função polinomial por ser de mais fácil operação com derivação e integração. Observe pelo gráfico que para àqueles pontos da tabela que pertencem à função f, teremos f(x) = g(x), onde g(x) é a função substituta. Esses pontos são conhecidos como pontos de amarração. Para (n+1) pontos, existe um e somente um polinômio de grau não superior a n. 2 pontos (polinômio de 1º grau)3 pontos (polinômio de 2º grau) 4 pontos (polinômio de 3º grau) Teorema Fundamental da Interpolação Polinomial Se uma função f(x) é contínua num determinado intervalo, então esta função poderá ser substituída no interior deste intervalo por um polinômio de grau não superior a Dados n+1 pontos, se desejamos determinar a função polinomial de grau n, podemos construir um sistema de n equações, substituindo cada um dos pontos em P(x)= www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 26 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Isso significa que: dados dois pontos (x0, y0) e (x1, y1), podemos obter a função polinomial de 1º grau, definida por através de um sistema de duas equações a duas incógnitas; que dados três pontos (x0, y0), (x1, y1) e (x2, y2), o polinômio interpolador será a função quadrática (função polinomial do 2º grau) . Nesses dois casos específicos, tanto na interpolação linear, quanto na quadrática, estas funções podem ser obtidas ao resolvermos, respectivamente, os sistemas de equações: a) Na interpolação linear onde a1 e a0 são suas incógnitas. b) Na quadrática cujas incógnitas são a2, a1 e a0. Embora possamos resolver um sistema por escalonamento, sobretudo os de 1º e 2º graus, que não apresentam dificuldades, no cálculo numérico encontramos métodos, como o de Newton e o de Lagrange, que nos permitem encontrar um polinômio interpolador de grau n de maneira menos trabalhosa que resolver o sistema pelos processos que aprendemos no Ensino Médio. Método de Lagrange O método de Lagrange admite para os n+1 pontos, n polinômios pi(x) que passem, cada um deles, pelo ponto de abscissa xi -1 outros xj onde j i. www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 27 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Admitir-se-á que o polinômio interpolador Pn(x) seja a combinação linear destes polinômios. Observemos que para cada ponto Pi de coordenadas (xi,yi) tem-se yi = Pn(xi) = pi(xi) já que pj(xi) = 0 para j i. Ou seja, a imagem de xi para o polinômio Pn(x) é a imagem de xi obtida pela função pi(x) já que para todas as outras a imagem é zero. Assim, seja a função polinomial Pn(x) a função substituta de f(x): www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 28 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 29 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO O polinômio interpolador será dado por: A Tabela de Diferenças Divididas: Método de Newton Seja f(x) em sua forma tabelada, os valores x0, x1, x2, ..., xn da variável independente {f(x0), f(x1), f(x2), ..., f(xn)}, chamar-se-ão Diferença Dividida as expressões: www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 30 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Portanto, chamando o polinômio que interpola f(x) em x0, x1, ..., xn de Pn(x), este será obtido por: Resumindo teremos como a interpolação entre interva- los não equidistantes. www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 31 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Nos dois métodos apresentados, que usam para aproximação uma função polinomial, o erro associado será igual a . Exemplo: Determine o polinômio interpolador que passe nos pontos (0,2), (1,11), (3,71) e (5,227). Aplicação/Exemplo: Utilizando os valores de seno, dados pela tabela abaixo é possível determinar a função quadrática que se aproxima de , trabalhando com três casas decimais. www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br| +55 (31) 2555-5006 32 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Podemos usar qualquer um dos métodos para construir a função polinomial P2 (x) = a2x2 +a1x +a0: escalonamento, Lagrange ou Newton. Experimente fazer por cada um deles como exercício. A função quadrática obtida será A seguir o gráfico mostra quão próximos são os gráficos das funções e no intervalo [0, /4]. Podemos usar essa função polinomial para determinar o valor aproximado que qualquer x compreendido entre 0 e /4 produzirá na função . www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 33 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO INTEGRAÇÃO Se uma função f(x) é contínua em um intervalo [a,b] e sua primitiva F(x) é conhecida, a integral definida dessa função nesse intervalo é dada por: Para calcular a integral definida pelo teorema fundamental do cálculo é necessário conhecermos sua integral indefinida, mas existem funções para as quais não existe um método conhecido para determinar sua primitiva. No entanto, se f é um função contínua no intervalo [a,b], a integral definida existe e será um número único. Usaremos métodos do cálculo numérico para obter um valor aproximado desse número. Vale lembrar que isso implica em determinar uma aproximação da área compreendida entre os eixo Ox, as retas x = a e x = b e a curva definida por f(x). Dois métodos se destacam entre as possibilidades de obter uma boa aproximação dessa integral: o método do Trapézio e o de Simpson. Regra do Trapézio Para aproximar a área da região compreendida como a integral definida, usaremos a área de um trapézio. Isto é, a área da região compreendida entre os eixo www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 34 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Ox, as retas x = a e x = b e a curva definida por f(x), é substituída pela área do trapézio definido pelo eixo Ox, as retas x = a e x = b e o segmento que liga os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)). Se considerarmos, no entanto, o intervalo [a,b] dividido em n subintervalos de amplitude , isso nos dá n +1 pontos tais que: x0 = a, x1 = a + x, x2 = a + 2 x, x3 = a + 3 x, ... xn-1 = a + (n-1) x e xn = b. Então: Onde é a área da região limitada pelo eixo Ox, pelas retas x = xi e x = xi+1 e o segmento definido pelos pontos Pi e Pi+1. www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 35 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Como a área do trapézio pode ser obtida pela expressão , cada uma das aproximações pode ser expressa por: Logo: Ou ainda: Pode-se perceber intuitivamente que quanto maior é o valor de n mais exata será a aproximação. Considerando-se apenas o erro intrínseco do processo, prova- se que Exemplo: Calcule pela regra dos trapézios, dividindo o intervalo em 6 subintervalos, e depois, analiticamente, e comparar os resultados de: a) Pela Regra dos Trapézios: I= ( onde Mas I= ( , então: www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 36 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Logo: b) Pelo cálculo da integral: c) Regra de Simpson Uma melhor aproximação para a integral definida é obtida pela Regra de Simpson ou Regra da Parábola. Enquanto na Regra do Trapézio os pontos são ligados por segmentos de reta, nessa nova regra os pontos são ligados por segmentos de parábolas. Isto é, dados os pontos P0(x0,y0), P1(x1,y1) e P2(x2,y2), a área definida pela integral será aproximada para a área da região compreendida pelo eixo Ox, pelas retas x = x0 e x = x2 e pelo segmento da parábola que passa pelos pontos P0, P1 e P2. Sejam P0(x0,y0), P1(x1,y1) e P2(x2,y2) três pontos não-colineares que possuam suas abscissas tais que x1 = x0 + h e x2 = x0 + 2h. Se y = Ax2 + Bx + C é a equação da parábola que contém esses três pontos, então: www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 37 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Portanto, se f uma função contínua no intervalo fechado [a,b], podemos considerar uma partição de 2n subintervalos de amplitude , cada um deles, para obtermos n segmentos de parábolas A soma das áreas sob as parábolas nos intervalos [x0,x2] , [x2,x4], ..., e [x2n-2,x2n] será a aproximação da integral definida no intervalo [a,b] pela Regra de Simpson. Esta soma pode ser expressa por: Então, Portanto: Exemplo: Calculemos agora pela regra de Simpson, dividindo o intervalo em 6 subintervalos a mesma integral definida do exemplo que usamos anteriormente: www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 38 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Inicialmente calculamos Obtemos, portanto, os 2n + 1 pontos x0, x1, x2, x3..., x2n-1 e x2n, cujas respectivas imagens estão calculadas na tabela abaixo. Calcularemos Então: Portanto, pela Regra de Simpson encontramos I = 0,182320233333... Observemos que encontramos uma aproximação melhor do que a que encontramos com a Regra do Trapézio (I = 0,182348), já que o cálculo da integral pelo cálculo de sua primitiva dá www.institutoipb.com.br | atendimento@institutoipb.com.br | +55 (31) 2555-5006 39 IPB - Instituto Pedagógico Brasileiro CÁLCULO NUMÉRICO Referências BARROSO, L.C.; Araújo, M.M. Araújo; CAMPOS, F. Ferreira; CARVALHO, M.L. Bunte de; Maia, M.L. Cálculo Numérico. São Paulo: McGraw Hill, 1993. CLÁUDIO, D. M. & MARINS, J.M. Cálculo Numérico Computacional. 2 ed. São Paulo: Atlas, 1994. HUMES; MELO; YOSHIDA; MARTINS. Noções de Cálculo Numérico. São Paulo: McGraw Hill, 1984. LINHARES, O.D. Cálculo Numérico B. Apostila publicada pelo Departamento de Ciências de Computação e Estatística do ICMSC, 1969. RUGGIERO, M. A. Gomes & LÓPES, V.L. Rocha. Cálculo Numérico. Aspectos Teóricos e computacionais. 2 ed. São Paulo: Makron Books, 1996. ZAMBONI, L. & outros. Cálculo Numérico para Universitários. São Paulo: Páginas e Letras, 2002.
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