Integração por frações parciais caso III IV

Prévia do material em texto

Ca´lculo Diferencial e Integral I
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III e IV)
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III e IV)
Introduc¸a˜o
Na u´ltima aula no´s conhecemos os dois primeiros casos da te´cnica
de integrac¸a˜o por frac¸o˜es parciais.
Nesta aula estudaremos os outros dois restantes.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Definic¸a˜o
Considere uma func¸a˜o do tipo
f (x) =
p(x)
(a1x2 + b1x + c1)(a2x2 + b2x + c2) · · · (akx2 + bkx + ck) ,
sendo o grau do polinoˆmio p(x) menor do que 2k (que representa
o grau do polinoˆmio no denominador) e cada fator no denominador
e´ irredut´ıvel.
E´ poss´ıvel decompor f como uma soma de frac¸o˜es parciais, de
modo que obtemos
f (x) =
A1x + B1
(a1x2 + b1x + c1)
+
A2x + B2
(a2x2 + b2x + c2)
+ · · ·
+
Akx + Bk
(akx2 + bkx + ck)
,
sendo A1, B1, A2, B2, . . ., Ak e Bk constantes.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Nota
Dizemos que um fator polinomial do 2o grau dado por
ax2 + bx + c ,
e´ irredut´ıvel quando ele na˜o pode ser escrito na forma
a(x − x1)(x − x2),
sendo x1 e x2 as ra´ızes reais da equac¸a˜o
ax2 + bx + c = 0.
Sabemos que se um fator e´ irredut´ıvel, enta˜o e´ va´lido que
b2 − 4ac < 0.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
x3 + 9x + 8
(x2 + 3)(x2 + 6x + 11)
dx .
Note que o grau do polinoˆmio no numerador e´ 3, enquanto que o
grau no denominador sera´ 4. Dessa forma, poderemos decompor o
integrando em frac¸o˜es parciais. Para determinar as frac¸o˜es parciais
do integrando, precisamos calcular as constantes A, B, C e D tais
que
x3 + 9x + 8
(x2 + 3)(x2 + 6x + 11)
=
Ax + B
x2 + 3
+
Cx + D
x2 + 6x + 11
Somando as frac¸o˜es no segundo membro e em seguida descartando
os denominadores em ambos os membros, ficamos apenas com
x3+9x+8 = (A+C )x3+(6A+B+D)x2+(11A+6B+3C )x+(11B+3D)
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
x3 + 9x + 8
(x2 + 3)(x2 + 6x + 11)
dx .
Note que o grau do polinoˆmio no numerador e´ 3, enquanto que o
grau no denominador sera´ 4. Dessa forma, poderemos decompor o
integrando em frac¸o˜es parciais.
Para determinar as frac¸o˜es parciais
do integrando, precisamos calcular as constantes A, B, C e D tais
que
x3 + 9x + 8
(x2 + 3)(x2 + 6x + 11)
=
Ax + B
x2 + 3
+
Cx + D
x2 + 6x + 11
Somando as frac¸o˜es no segundo membro e em seguida descartando
os denominadores em ambos os membros, ficamos apenas com
x3+9x+8 = (A+C )x3+(6A+B+D)x2+(11A+6B+3C )x+(11B+3D)
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
x3 + 9x + 8
(x2 + 3)(x2 + 6x + 11)
dx .
Note que o grau do polinoˆmio no numerador e´ 3, enquanto que o
grau no denominador sera´ 4. Dessa forma, poderemos decompor o
integrando em frac¸o˜es parciais. Para determinar as frac¸o˜es parciais
do integrando, precisamos calcular as constantes A, B, C e D tais
que
x3 + 9x + 8
(x2 + 3)(x2 + 6x + 11)
=
Ax + B
x2 + 3
+
Cx + D
x2 + 6x + 11
Somando as frac¸o˜es no segundo membro e em seguida descartando
os denominadores em ambos os membros, ficamos apenas com
x3+9x+8 = (A+C )x3+(6A+B+D)x2+(11A+6B+3C )x+(11B+3D)
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
x3 + 9x + 8
(x2 + 3)(x2 + 6x + 11)
dx .
Note que o grau do polinoˆmio no numerador e´ 3, enquanto que o
grau no denominador sera´ 4. Dessa forma, poderemos decompor o
integrando em frac¸o˜es parciais. Para determinar as frac¸o˜es parciais
do integrando, precisamos calcular as constantes A, B, C e D tais
que
x3 + 9x + 8
(x2 + 3)(x2 + 6x + 11)
=
Ax + B
x2 + 3
+
Cx + D
x2 + 6x + 11
Somando as frac¸o˜es no segundo membro e em seguida descartando
os denominadores em ambos os membros, ficamos apenas com
x3+9x+8 = (A+C )x3+(6A+B+D)x2+(11A+6B+3C )x+(11B+3D)
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Exerc´ıcio
x3+9x+8 = (A+C )x3+(6A+B+D)x2+(11A+6B+3C )x+(11B+3D)
Comparando os coeficientes dos polinoˆmios, precisamos resolver o
sistema 
A + C = 1
6A + B + D = 0
11A + 6B + 3C = 9
11B + 3D = 8
Resolvendo esse sistema, obtemos que A = 0, B = 1, C = 1 e
D = −1.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Exerc´ıcio
x3+9x+8 = (A+C )x3+(6A+B+D)x2+(11A+6B+3C )x+(11B+3D)
Comparando os coeficientes dos polinoˆmios, precisamos resolver o
sistema 
A + C = 1
6A + B + D = 0
11A + 6B + 3C = 9
11B + 3D = 8
Resolvendo esse sistema, obtemos que A = 0, B = 1, C = 1 e
D = −1.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Exerc´ıcio
Desse modo, podemos reescrever o integrando como sendo∫
x3 + 9x + 8
(x2 + 3)(x2 + 6x + 11)
dx =
∫
1
x2 + 3
+
x − 1
x2 + 6x + 11
dx
=
∫
1
x2 + 3
dx +
∫
x − 1
x2 + 6x + 11
dx
Para resolver a integral inicial, precisamos enta˜o resolver outras
duas integrais.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Exerc´ıcio
Desse modo, podemos reescrever o integrando como sendo∫
x3 + 9x + 8
(x2 + 3)(x2 + 6x + 11)
dx =
∫
1
x2 + 3
+
x − 1
x2 + 6x + 11
dx
=
∫
1
x2 + 3
dx +
∫
x − 1
x2 + 6x + 11
dx
Para resolver a integral inicial, precisamos enta˜o resolver outras
duas integrais.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Exerc´ıcio
Desse modo, podemos reescrever o integrando como sendo∫
x3 + 9x + 8
(x2 + 3)(x2 + 6x + 11)
dx =
∫
1
x2 + 3
+
x − 1
x2 + 6x + 11
dx
=
∫
1
x2 + 3
dx +
∫
x − 1
x2 + 6x + 11
dx
Para resolver a integral inicial, precisamos enta˜o resolver outras
duas integrais.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Exerc´ıcio
Fac¸amos a soluc¸a˜o da primeira parcela. Dividindo o numerador e o
denominador por 3, podemos escrever que∫
1
x2 + 3
dx =
∫ 1
3
x2
3 + 1
dx
=
1
3
∫
1(
x√
3
)2
+ 1
dx .
Fazendo a substituic¸a˜o u = x√
3
e du = 1√
3
dx , essa integral e´
equivalente a
1
3
∫ √
3
u2 + 1
du =
√
3
3
∫
1
u2 + 1
du =
√
3
3
arctg u + c1.
Portanto, temos que∫
1
x2 + 3
dx =
√
3
3
arctg
x√
3
+ c1 =
√
3
3
arctg
√
3x
3
+ c1.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Exerc´ıcio
Fac¸amos a soluc¸a˜o da primeira parcela. Dividindo o numerador e o
denominador por 3, podemos escrever que∫
1
x2 + 3
dx =
∫ 1
3
x2
3 + 1
dx =
1
3
∫
1(
x√
3
)2
+ 1
dx .
Fazendo a substituic¸a˜o u = x√
3
e du = 1√
3
dx , essa integral e´
equivalente a
1
3
∫ √
3
u2 + 1
du =
√
3
3
∫
1
u2 + 1
du =
√
3
3
arctg u + c1.
Portanto, temos que∫
1
x2 + 3
dx =
√
3
3
arctg
x√
3
+ c1 =
√
3
3
arctg
√
3x
3
+ c1.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Exerc´ıcio
Fac¸amos a soluc¸a˜o da primeira parcela. Dividindo o numerador e o
denominador por 3, podemos escrever que∫
1
x2 + 3
dx =
∫ 1
3
x2
3 + 1
dx =
1
3
∫
1(
x√
3
)2
+ 1
dx .
Fazendo a substituic¸a˜o u = x√
3
e du = 1√
3
dx , essa integral e´
equivalente a
1
3
∫ √
3
u2 + 1
du
=
√
3
3
∫
1
u2 + 1
du =
√
3
3
arctg u + c1.
Portanto, temos que∫
1
x2 + 3
dx =
√
3
3
arctg
x√
3
+ c1 =
√
3
3
arctg
√
3x
3
+ c1.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Exerc´ıcio
Fac¸amos a soluc¸a˜o da primeira parcela. Dividindo o numerador e o
denominador por 3, podemos escrever que∫
1
x2 + 3
dx =
∫ 1
3
x2
3 + 1
dx =
1
3
∫
1(
x√
3
)2
+ 1
dx.
Fazendo a substituic¸a˜o u = x√
3
e du = 1√
3
dx , essa integral e´
equivalente a
1
3
∫ √
3
u2 + 1
du =
√
3
3
∫
1
u2 + 1
du
=
√
3
3
arctg u + c1.
Portanto, temos que∫
1
x2 + 3
dx =
√
3
3
arctg
x√
3
+ c1 =
√
3
3
arctg
√
3x
3
+ c1.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Exerc´ıcio
Fac¸amos a soluc¸a˜o da primeira parcela. Dividindo o numerador e o
denominador por 3, podemos escrever que∫
1
x2 + 3
dx =
∫ 1
3
x2
3 + 1
dx =
1
3
∫
1(
x√
3
)2
+ 1
dx .
Fazendo a substituic¸a˜o u = x√
3
e du = 1√
3
dx , essa integral e´
equivalente a
1
3
∫ √
3
u2 + 1
du =
√
3
3
∫
1
u2 + 1
du =
√
3
3
arctg u + c1.
Portanto, temos que∫
1
x2 + 3
dx =
√
3
3
arctg
x√
3
+ c1 =
√
3
3
arctg
√
3x
3
+ c1.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Exerc´ıcio
Fac¸amos a soluc¸a˜o da primeira parcela. Dividindo o numerador e o
denominador por 3, podemos escrever que∫
1
x2 + 3
dx =
∫ 1
3
x2
3 + 1
dx =
1
3
∫
1(
x√
3
)2
+ 1
dx .
Fazendo a substituic¸a˜o u = x√
3
e du = 1√
3
dx , essa integral e´
equivalente a
1
3
∫ √
3
u2 + 1
du =
√
3
3
∫
1
u2 + 1
du =
√
3
3
arctg u + c1.
Portanto, temos que∫
1
x2 + 3
dx =
√
3
3
arctg
x√
3
+ c1
=
√
3
3
arctg
√
3x
3
+ c1.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Exerc´ıcio
Fac¸amos a soluc¸a˜o da primeira parcela. Dividindo o numerador e o
denominador por 3, podemos escrever que∫
1
x2 + 3
dx =
∫ 1
3
x2
3 + 1
dx =
1
3
∫
1(
x√
3
)2
+ 1
dx .
Fazendo a substituic¸a˜o u = x√
3
e du = 1√
3
dx , essa integral e´
equivalente a
1
3
∫ √
3
u2 + 1
du =
√
3
3
∫
1
u2 + 1
du =
√
3
3
arctg u + c1.
Portanto, temos que∫
1
x2 + 3
dx =
√
3
3
arctg
x√
3
+ c1 =
√
3
3
arctg
√
3x
3
+ c1.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Exerc´ıcio
Fac¸amos agora a soluc¸a˜o da segunda parcela. Usando uma te´cnica
chamada de “completar quadrados”, perceba que podemos
reescrever o denominador no integrando como∫
x − 1
x2 + 6x + 11
dx =
∫
x − 1
(x + 3)2 − 9 + 11 dx
=
∫
x − 1
(x + 3)2 + 2
dx .
Fazendo a substituic¸a˜o u = x + 3 e du = dx , essa integral e´
equivalente a∫
u − 4
u2 + 2
du =
∫
u
u2 + 2
du − 4
∫
1
u2 + 2
du
=
1
2
ln |u2 + 2| − 2
√
2 arctg
√
2u
2
+ c2
Portanto, temos que∫
x − 1
x2 + 6x + 11
dx =
1
2
ln
∣∣x2 + 6x + 11∣∣−2√2 arctg √2(x + 3)
2
+c2.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Exerc´ıcio
Fac¸amos agora a soluc¸a˜o da segunda parcela. Usando uma te´cnica
chamada de “completar quadrados”, perceba que podemos
reescrever o denominador no integrando como∫
x − 1
x2 + 6x + 11
dx =
∫
x − 1
(x + 3)2 − 9 + 11 dx =
∫
x − 1
(x + 3)2 + 2
dx .
Fazendo a substituic¸a˜o u = x + 3 e du = dx , essa integral e´
equivalente a∫
u − 4
u2 + 2
du =
∫
u
u2 + 2
du − 4
∫
1
u2 + 2
du
=
1
2
ln |u2 + 2| − 2
√
2 arctg
√
2u
2
+ c2
Portanto, temos que∫
x − 1
x2 + 6x + 11
dx =
1
2
ln
∣∣x2 + 6x + 11∣∣−2√2 arctg √2(x + 3)
2
+c2.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Exerc´ıcio
Fac¸amos agora a soluc¸a˜o da segunda parcela. Usando uma te´cnica
chamada de “completar quadrados”, perceba que podemos
reescrever o denominador no integrando como∫
x − 1
x2 + 6x + 11
dx =
∫
x − 1
(x + 3)2 − 9 + 11 dx =
∫
x − 1
(x + 3)2 + 2
dx .
Fazendo a substituic¸a˜o u = x + 3 e du = dx , essa integral e´
equivalente a∫
u − 4
u2 + 2
du
=
∫
u
u2 + 2
du − 4
∫
1
u2 + 2
du
=
1
2
ln |u2 + 2| − 2
√
2 arctg
√
2u
2
+ c2
Portanto, temos que∫
x − 1
x2 + 6x + 11
dx =
1
2
ln
∣∣x2 + 6x + 11∣∣−2√2 arctg √2(x + 3)
2
+c2.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Exerc´ıcio
Fac¸amos agora a soluc¸a˜o da segunda parcela. Usando uma te´cnica
chamada de “completar quadrados”, perceba que podemos
reescrever o denominador no integrando como∫
x − 1
x2 + 6x + 11
dx =
∫
x − 1
(x + 3)2 − 9 + 11 dx =
∫
x − 1
(x + 3)2 + 2
dx .
Fazendo a substituic¸a˜o u = x + 3 e du = dx , essa integral e´
equivalente a∫
u − 4
u2 + 2
du =
∫
u
u2 + 2
du − 4
∫
1
u2 + 2
du
=
1
2
ln |u2 + 2| − 2
√
2 arctg
√
2u
2
+ c2
Portanto, temos que∫
x − 1
x2 + 6x + 11
dx =
1
2
ln
∣∣x2 + 6x + 11∣∣−2√2 arctg √2(x + 3)
2
+c2.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Exerc´ıcio
Fac¸amos agora a soluc¸a˜o da segunda parcela. Usando uma te´cnica
chamada de “completar quadrados”, perceba que podemos
reescrever o denominador no integrando como∫
x − 1
x2 + 6x + 11
dx =
∫
x − 1
(x + 3)2 − 9 + 11 dx =
∫
x − 1
(x + 3)2 + 2
dx .
Fazendo a substituic¸a˜o u = x + 3 e du = dx , essa integral e´
equivalente a∫
u − 4
u2 + 2
du =
∫
u
u2 + 2
du − 4
∫
1
u2 + 2
du
=
1
2
ln |u2 + 2| − 2
√
2 arctg
√
2u
2
+ c2
Portanto, temos que∫
x − 1
x2 + 6x + 11
dx =
1
2
ln
∣∣x2 + 6x + 11∣∣−2√2 arctg √2(x + 3)
2
+c2.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Exerc´ıcio
Fac¸amos agora a soluc¸a˜o da segunda parcela. Usando uma te´cnica
chamada de “completar quadrados”, perceba que podemos
reescrever o denominador no integrando como∫
x − 1
x2 + 6x + 11
dx =
∫
x − 1
(x + 3)2 − 9 + 11 dx =
∫
x − 1
(x + 3)2 + 2
dx .
Fazendo a substituic¸a˜o u = x + 3 e du = dx , essa integral e´
equivalente a∫
u − 4
u2 + 2
du =
∫
u
u2 + 2
du − 4
∫
1
u2 + 2
du
=
1
2
ln |u2 + 2| − 2
√
2 arctg
√
2u
2
+ c2
Portanto, temos que∫
x − 1
x2 + 6x + 11
dx =
1
2
ln
∣∣x2 + 6x + 11∣∣−2√2 arctg √2(x + 3)
2
+c2.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso III)
Exerc´ıcio
Uma vez que ja´ resolvemos cada uma das parcelas, temos que a
soluc¸a˜o da integral inicial sera´ dada por∫
x3 + 9x + 8
(x2 + 3)(x2 + 6x + 11)
dx =
√
3
3
arctg
√
3x
3
+
1
2
ln
∣∣x2 + 6x + 11∣∣
−2
√
2 arctg
√
2(x + 3)
2
+ c
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso IV)
Definic¸a˜o
Considere uma func¸a˜o do tipo
f (x) =
p(x)
(ax2 + bx + c)k
,
sendo o grau do polinoˆmio p(x) menor do que 2k (que representa
o grau do polinoˆmio no denominador) e o fator no denominador e´
irredut´ıvel.
E´ poss´ıvel decompor f como uma soma de frac¸o˜es parciais, de
modo que obtemos
f (x) =
A1x + B1
(ax2 + bx + c)
+
A2x + B2
(ax2 + bx + c)2
+ · · ·
+
Akx + Bk
(ax2 + bx + c)k
,
sendo A1, B1, A2, B2, . . ., Ak e Bk constantes.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso IV)
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
x2 − 5x + 1
(x2 + 1)2
dx .
Note que o grau do polinoˆmio no numerador e´ 2, enquanto que o
grau no denominador sera´ 4. Dessa forma, poderemos decompor o
integrando em frac¸o˜es parciais. Para determinar as frac¸o˜es parciais
do integrando, precisamos calcular as constantes A, B, C e D tais
que
x2 − 5x + 1
(x2 + 1)2
=
Ax + B
x2 + 1
+
Cx + D
(x2 + 1)2
Somando as frac¸o˜es no segundo membro e em seguida descartando
os denominadores em ambos os membros, ficamos apenas com
x2 − 5x + 1 = Ax3 + Bx2 + (A + C )x + B + D.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso IV)
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
x2 − 5x + 1
(x2 + 1)2
dx .
Note que o grau do polinoˆmio no numerador e´ 2, enquanto que o
grau no denominador sera´ 4. Dessa forma, poderemos decompor o
integrando em frac¸o˜es parciais.
Para determinar as frac¸o˜es parciais
do integrando,precisamos calcular as constantes A, B, C e D tais
que
x2 − 5x + 1
(x2 + 1)2
=
Ax + B
x2 + 1
+
Cx + D
(x2 + 1)2
Somando as frac¸o˜es no segundo membro e em seguida descartando
os denominadores em ambos os membros, ficamos apenas com
x2 − 5x + 1 = Ax3 + Bx2 + (A + C )x + B + D.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso IV)
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
x2 − 5x + 1
(x2 + 1)2
dx .
Note que o grau do polinoˆmio no numerador e´ 2, enquanto que o
grau no denominador sera´ 4. Dessa forma, poderemos decompor o
integrando em frac¸o˜es parciais. Para determinar as frac¸o˜es parciais
do integrando, precisamos calcular as constantes A, B, C e D tais
que
x2 − 5x + 1
(x2 + 1)2
=
Ax + B
x2 + 1
+
Cx + D
(x2 + 1)2
Somando as frac¸o˜es no segundo membro e em seguida descartando
os denominadores em ambos os membros, ficamos apenas com
x2 − 5x + 1 = Ax3 + Bx2 + (A + C )x + B + D.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso IV)
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
x2 − 5x + 1
(x2 + 1)2
dx .
Note que o grau do polinoˆmio no numerador e´ 2, enquanto que o
grau no denominador sera´ 4. Dessa forma, poderemos decompor o
integrando em frac¸o˜es parciais. Para determinar as frac¸o˜es parciais
do integrando, precisamos calcular as constantes A, B, C e D tais
que
x2 − 5x + 1
(x2 + 1)2
=
Ax + B
x2 + 1
+
Cx + D
(x2 + 1)2
Somando as frac¸o˜es no segundo membro e em seguida descartando
os denominadores em ambos os membros, ficamos apenas com
x2 − 5x + 1 = Ax3 + Bx2 + (A + C )x + B + D.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso IV)
Exerc´ıcio
x2 − 5x + 1 = Ax3 + Bx2 + (A + C )x + B + D
Comparando os coeficientes dos polinoˆmios, precisamos resolver o
sistema 
A = 0
B = 1
A + C = −5
B + D = 1
Resolvendo esse sistema, obtemos que A = 0, B = 1, C = −5,
D = 0.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso IV)
Exerc´ıcio
x2 − 5x + 1 = Ax3 + Bx2 + (A + C )x + B + D
Comparando os coeficientes dos polinoˆmios, precisamos resolver o
sistema 
A = 0
B = 1
A + C = −5
B + D = 1
Resolvendo esse sistema, obtemos que A = 0, B = 1, C = −5,
D = 0.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso IV)
Exerc´ıcio
Desse modo, podemos reescrever o integrando como sendo∫
x2 − 5x + 1
(x2 + 1)2
dx =
∫
1
x2 + 1
− 5x
(x2 + 1)2
dx
=
∫
1
x2 + 1
dx − 5
∫
x
(x2 + 1)2
dx
= arctg x +
5
2(x2 + 1)
+ c
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso IV)
Exerc´ıcio
Desse modo, podemos reescrever o integrando como sendo∫
x2 − 5x + 1
(x2 + 1)2
dx =
∫
1
x2 + 1
− 5x
(x2 + 1)2
dx
=
∫
1
x2 + 1
dx − 5
∫
x
(x2 + 1)2
dx
= arctg x +
5
2(x2 + 1)
+ c
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais (Caso IV)
Exerc´ıcio
Desse modo, podemos reescrever o integrando como sendo∫
x2 − 5x + 1
(x2 + 1)2
dx =
∫
1
x2 + 1
− 5x
(x2 + 1)2
dx
=
∫
1
x2 + 1
dx − 5
∫
x
(x2 + 1)2
dx
= arctg x +
5
2(x2 + 1)
+ c
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais
Nota
No´s estudamos separadamente cada um dos quatro casos de
integrac¸a˜o por frac¸o˜es parciais. Entretanto, esses casos podem
aparecer juntos em uma mesma integral.
Por exemplo, considere um integrando do tipo
f (x) =
2x + 1
(x − 1)(x + 3)2(x2 + 1)(x2 + 2)2 .
Nesse caso, seria necessa´rio determinar as constantes A, B, C, D,
E, F, G, H e I tais que a func¸a˜o seria reescrita como
f (x) =
A
x − 1 +
B
x + 3
+
C
(x + 3)2
+
Dx + E
x2 + 1
+
Fx + G
x2 + 2
+
Hx + I
(x2 + 2)2
.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais
Nota
No´s estudamos separadamente cada um dos quatro casos de
integrac¸a˜o por frac¸o˜es parciais. Entretanto, esses casos podem
aparecer juntos em uma mesma integral.
Por exemplo, considere um integrando do tipo
f (x) =
2x + 1
(x − 1)(x + 3)2(x2 + 1)(x2 + 2)2 .
Nesse caso, seria necessa´rio determinar as constantes A, B, C, D,
E, F, G, H e I tais que a func¸a˜o seria reescrita como
f (x) =
A
x − 1 +
B
x + 3
+
C
(x + 3)2
+
Dx + E
x2 + 1
+
Fx + G
x2 + 2
+
Hx + I
(x2 + 2)2
.
Integrac¸a˜o por Frac¸o˜es Parciais
Nota
No´s estudamos separadamente cada um dos quatro casos de
integrac¸a˜o por frac¸o˜es parciais. Entretanto, esses casos podem
aparecer juntos em uma mesma integral.
Por exemplo, considere um integrando do tipo
f (x) =
2x + 1
(x − 1)(x + 3)2(x2 + 1)(x2 + 2)2 .
Nesse caso, seria necessa´rio determinar as constantes A, B, C, D,
E, F, G, H e I tais que a func¸a˜o seria reescrita como
f (x) =
A
x − 1 +
B
x + 3
+
C
(x + 3)2
+
Dx + E
x2 + 1
+
Fx + G
x2 + 2
+
Hx + I
(x2 + 2)2
.