Questão resolvida - resolva a integral definida (3x 6x 2)_(x 3x 2)dx (com o limite de integração indo de 1 a 2) - Calculo Integral e Séries - UNIFATECIE

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• resolva a integral definida
 
dx
2
1
∫ 3x + 6x + 2
x + 3x + 2
2
2
 
Resolução:
 
Vamos resolver a integral, primeiro, em sua forma indefinida;
 
dx∫3x + 6x + 2
x + 3x + 2
2
2
 
Veja que o grau do numerador não é menor que o grau do denominador, dessa forma, 
devemos dividir o numerador pelo denominador, como na sequência;
 Com este resultado, vamos reescrever a integral da seguinte forma;
 
3 + dx = 3dx + dx = 3x + dx∫ -3x - 4
x + 3x + 22
∫ ∫ -3x - 4
x + 3x + 22
∫ -3x - 4
x + 3x + 22
 
dx = 3x - dx∫3x + 6x + 2
x + 3x + 2
2
2
∫ 3x + 4
x + 3x + 22
 
Agora, devemos resolver a integral que restou, usando a técnica de frações parciais;
 
dx∫ 3x + 4
x + 3x + 22
 
 
3x + 6x + 22 x + 3x + 22
3-3x - 9x - 63
0 - 3x - 4
(1)
(2)
 
Inicialmente, é preciso decompor o denominador, isso é feito achando os zeros da equação 
do segundo grau;
 
x + 3x + 2 = 02
 
x = x' = = = = = - 1
- 3 ±
2 ⋅ 1
( ) 3 - 4 ⋅ 1 ⋅ 2( )2
→
-3 +
2
9 - 8 -3 +
2
1 -3 + 1
2
-2
2
 
 x'' = = = = = - 2
-3 +
2
9 - 8 -3 -
2
1 -3 - 1
2
-4
2
 
Assim, a decomposição do denominador é;
 
x + 3x + 2 = x + 1 x + 22 ( )( )
 
Agora, podemos usar a técnica de decomposição em frações parciais para simplificar a 
integral. Na decomposição em frações parciais devemos encontrar constantes e tais A B
que:
 
= +
3x + 4
(x + 2)(x + 1)
A
x + 2
B
x + 1
 
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:x + 2 x + 1( )( )
 
3x + 4 = A(x + 1) + B(x + 2)
 
Agora, vamos atribuir valores a para achar os termos e ;x A B
 
-3 + 4 = B 1 = B B = 1→ →
 
 
x + 2 x + 1 = x + 2 x + 1 + x + 2 x + 1( )( )
3x + 4
(x + 2)(x + 1)
( )( )
A
x + 2
( )( )
B
x + 1
se x = -1 3 -1 + 4 = A( - 1 + 1) + B( - 1 + 2) 3 ⋅ -1 + 4 = A ⋅ 0 + B ⋅ 1→ ( ) → ( )
0
se x = -2 3 -2 + 4 = A( - 2 + 1) + B( - 2 + 2) -6 + 4 = A ⋅ -1 + B ⋅ 0→ ( ) → ( )
0
 
Encontrados os valores de e , temos que a integral restante (2), fica;A B
 
dx = + dx = dx + dx∫ 3x + 4
(x + 2)(x + 1)
∫ 2
x + 2
1
x + 1
∫ 2
x + 2
∫ 1
x + 1
 
Resolvendo as integrais separadamente, temos;
 
dx = 2 dx; u = x + 2 du = dx∫ 2
x + 2
∫ 1
x + 2
→
 
du = 2ln u + c = 2ln x + 2 + c∫2
u
( ) 1 ( ) 1
 
dx; u = x + 1 du = dx∫ 1
x + 1
→
 
du = ln u + c = ln x + 1 + c∫1
u
( ) 1 ( ) 2
 
Voltando para a integral de 2, temos;
 
dx = 2ln x + 2 + c + ln x + 1 + c∫ 3x + 4
x + 3x + 22
( ) 1 ( ) 2
 
Fazendo : c + c = C1 2
 
 
dx = 2ln x + 2 + ln x + 1 + C∫ 3x + 4
x + 3x + 22
( ) ( )
 
Encontrada a integral que restava, temos que o resultado da integral indefinida é;
 
dx = 3x - 2ln x + 2 + ln x + 1 + C∫3x + 6x + 2
x + 3x + 2
2
2
( ( ) ( ) )
 
 
 
-2 = -A -A = -2 ⋅ -1 A = 2→ ( ) ( ) →
dx = 3x - 2ln x + 2 - ln x + 1 - C∫3x + 6x + 2
x + 3x + 2
2
2
( ) ( )
 
Fazendo : - C = K
 
dx = 3x - 2ln x + 2 - ln x + 1 + K∫3x + 6x + 2
x + 3x + 2
2
2
( ) ( )
 
Voltando para a integral definida;
 
dx = 3x - 2ln x + 2 - ln x + 1
2
1
∫ 3x + 6x + 2
x + 3x + 2
2
2
[ ( ) ( )]
2
1
 
dx = 3 ⋅ 2 - 2ln 2 + 2 - ln 2 + 1 - 3 ⋅ 1 - 2ln 1 + 2 - ln 1 + 1
2
1
∫ 3x + 6x + 2
x + 3x + 2
2
2
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
 
dx = 6 - 2ln 4 - ln 3 - 3 + 2ln 3 + ln 2 = 3 - 2ln 2 + ln 2 + ln 3
2
1
∫ 3x + 6x + 2
x + 3x + 2
2
2
( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )
 
dx = 3 - 2 ⋅ 2ln 2 + ln 2 + ln 3 = 3 - 4ln 2 + ln 2 + ln 3
2
1
∫ 3x + 6x + 2
x + 3x + 2
2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 
dx = - 3ln 2 + ln 3 + 3
2
1
∫ 3x + 6x + 2
x + 3x + 2
2
2
( ) ( )
 
 
(Resposta)