Integral Teorema Fundamental do Calculo

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Introduc¸a˜o
Nas aulas anteriores aprendemos como utilizar uma integral
definida para calcular a´reas.
No´s vimos que para calcular essas integrais foi necessa´rio
determinar o limite de uma Soma de Riemann.
O problema com essa te´cnica e´ que calcular o limite dessa soma e´
algo bastante trabalhoso.
Para contornar esse problema vamos aprender a usar o Teorema
Fundamental do Ca´lculo. Ele nos permitira´ calcular integrais
definidas de uma maneira bem conveniente.
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte I
Se f e´ cont´ınua em [a, b], enta˜o a func¸a˜o F definida por
F (x) =
∫ x
a
f (t) dt (com a ≤ x ≤ b),
e´ cont´ınua em [a, b], diferencia´vel em (a, b) e F ′(x) = f (x).
Observac¸a˜o
Note que podemos escrever
[∫ x
a
f (t) dt
]′
= f (x).
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte I
Se f e´ cont´ınua em [a, b], enta˜o a func¸a˜o F definida por
F (x) =
∫ x
a
f (t) dt (com a ≤ x ≤ b),
e´ cont´ınua em [a, b], diferencia´vel em (a, b) e F ′(x) = f (x).
Observac¸a˜o
Note que podemos escrever
[∫ x
a
f (t) dt
]′
= f (x).
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte I - Demonstrac¸a˜o
As hipo´teses sa˜o:
f e´ cont´ınua em [a, b];
a func¸a˜o F e´ definida como F (x) =
∫ x
a
f (t) dt, com
a ≤ x ≤ b.
E as teses sa˜o:
F e´ cont´ınua em [a, b];
F diferencia´vel em (a, b);
F ′(x) = f (x).
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte I - Demonstrac¸a˜o
As hipo´teses sa˜o:
f e´ cont´ınua em [a, b];
a func¸a˜o F e´ definida como F (x) =
∫ x
a
f (t) dt, com
a ≤ x ≤ b.
E as teses sa˜o:
F e´ cont´ınua em [a, b];
F diferencia´vel em (a, b);
F ′(x) = f (x).
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte I - Demonstrac¸a˜o
Por definic¸a˜o de derivada, sabemos que
F ′(x) = lim
h→0
F (x + h)− F (x)
h
= lim
h→0
∫ x+h
a
f (t) dt −
∫ x
a
f (t) dt
h
.
Considerando os limites laterais e as propriedades da integral
definida, temos dois casos:
(i) lim
h→0+
(∫ x
a
f (t) dt +
∫ x+h
x
f (t) dt
)
−
∫ x
a
f (t) dt
h
(ii) lim
h→0−
∫ x+h
a
f (t) dt −
(∫ x+h
a
f (t) dt +
∫ x
x+h
f (t) dt
)
h
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte I - Demonstrac¸a˜o
Por definic¸a˜o de derivada, sabemos que
F ′(x) = lim
h→0
F (x + h)− F (x)
h
= lim
h→0
∫ x+h
a
f (t) dt −
∫ x
a
f (t) dt
h
.
Considerando os limites laterais e as propriedades da integral
definida, temos dois casos:
(i) lim
h→0+
(∫ x
a
f (t) dt +
∫ x+h
x
f (t) dt
)
−
∫ x
a
f (t) dt
h
(ii) lim
h→0−
∫ x+h
a
f (t) dt −
(∫ x+h
a
f (t) dt +
∫ x
x+h
f (t) dt
)
h
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte I - Demonstrac¸a˜o
Por definic¸a˜o de derivada, sabemos que
F ′(x) = lim
h→0
F (x + h)− F (x)
h
= lim
h→0
∫ x+h
a
f (t) dt −
∫ x
a
f (t) dt
h
.
Considerando os limites laterais e as propriedades da integral
definida, temos dois casos:
(i) lim
h→0+
(∫ x
a
f (t) dt +
∫ x+h
x
f (t) dt
)
−
∫ x
a
f (t) dt
h
(ii) lim
h→0−
∫ x+h
a
f (t) dt −
(∫ x+h
a
f (t) dt +
∫ x
x+h
f (t) dt
)
h
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte I - Demonstrac¸a˜o
No caso (i), temos lim
h→0+
1
h
∫ x+h
x
f (t) dt.
Como f e´ cont´ınua no intervalo [x , x + h], existem p e q nesse
intervalo tais que f (p) e´ m´ınimo e f (q) e´ ma´ximo.
Podemos escrever que
hf (p) ≤
∫ x+h
x
f (t) dt ≤ hf (q).
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte I - Demonstrac¸a˜o
No caso (i), temos lim
h→0+
1
h
∫ x+h
x
f (t) dt.
Como f e´ cont´ınua no intervalo [x , x + h], existem p e q nesse
intervalo tais que f (p) e´ m´ınimo e f (q) e´ ma´ximo.
Podemos escrever que
hf (p) ≤
∫ x+h
x
f (t) dt ≤ hf (q).
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte I - Demonstrac¸a˜o
No caso (i), temos lim
h→0+
1
h
∫ x+h
x
f (t) dt.
Como f e´ cont´ınua no intervalo [x , x + h], existem p e q nesse
intervalo tais que f (p) e´ m´ınimo e f (q) e´ ma´ximo.
Podemos escrever que
hf (p) ≤
∫ x+h
x
f (t) dt ≤ hf (q).
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte I - Demonstrac¸a˜o
Rescrevendo a u´ltima inequac¸a˜o, podemos dizer que
f (p) ≤ 1
h
∫ x+h
x
f (t) dt ≤ f (q).
Por outro lado, sabemos que
lim
h→0+
f (p) = lim
p→x+
f (p) = f (x),
lim
h→0+
f (q) = lim
q→x+
f (q) = f (x).
Pelo Teorema do Confronto, segue que
lim
h→0+
1
h
∫ x+h
x
f (t) dt = f (x).
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte I - Demonstrac¸a˜o
Rescrevendo a u´ltima inequac¸a˜o, podemos dizer que
f (p) ≤ 1
h
∫ x+h
x
f (t) dt ≤ f (q).
Por outro lado, sabemos que
lim
h→0+
f (p) = lim
p→x+
f (p) = f (x),
lim
h→0+
f (q) = lim
q→x+
f (q) = f (x).
Pelo Teorema do Confronto, segue que
lim
h→0+
1
h
∫ x+h
x
f (t) dt = f (x).
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte I - Demonstrac¸a˜o
Rescrevendo a u´ltima inequac¸a˜o, podemos dizer que
f (p) ≤ 1
h
∫ x+h
x
f (t) dt ≤ f (q).
Por outro lado, sabemos que
lim
h→0+
f (p) = lim
p→x+
f (p) = f (x),
lim
h→0+
f (q) = lim
q→x+
f (q) = f (x).
Pelo Teorema do Confronto, segue que
lim
h→0+
1
h
∫ x+h
x
f (t) dt = f (x).
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte I - Demonstrac¸a˜o
Utilizando uma ideia ana´loga, podemos justificar que
lim
h→0−
1
h
∫ x+h
x
f (t) dt = f (x).
Logo, temos que
F ′(x) = f (x).
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte I - Demonstrac¸a˜o
Utilizando uma ideia ana´loga, podemos justificar que
lim
h→0−
1
h
∫ x+h
x
f (t) dt = f (x).
Logo, temos que
F ′(x) = f (x).
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte II
Se f e´ cont´ınua em [a, b], enta˜o∫ b
a
f (x) dx = F (b)− F (a),
sendo F uma antiderivada de f . Isto e´, F ′(x) = f (x).
Observac¸a˜o
E´ comum representarmos a subtrac¸a˜o F (b)− F (a) por F (x)|ba . Ou
ainda, por [F (x)]ba .
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte II
Se f e´ cont´ınua em [a, b], enta˜o∫ b
a
f (x) dx = F (b)− F (a),
sendo F uma antiderivada de f . Isto e´, F ′(x) = f (x).
Observac¸a˜o
E´ comum representarmos a subtrac¸a˜o F (b)− F (a) por F (x)|ba . Ou
ainda, por [F (x)]ba .
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte II – Nota
Vejamos um exemplo que ilustra o quanto e´ razoa´vel a Parte II do
Teorema Fundamental do Ca´lculo.
Sabemos que a velocidade e´ a taxa de variac¸a˜o do espac¸o sobre o
tempo (isto e´, v(t) = s ′(t)). No´s vimos em aulas anteriores que∫ b
a
v(t) dt fornecia o deslocamento ocorrido no intervalo de tempo
[a, b]. Ora, se calcularmos s(b)− s(a) tambe´m temos o
deslocamento ocorrido nesse intervalo. Desse modo, e´ razoa´vel
pensar que ∫ b
a
v(t) dt = s(b)− s(a).
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte II – Nota
Vejamos um exemplo que ilustra o quanto e´ razoa´vel a Parte II do
Teorema Fundamental do Ca´lculo.
Sabemos que a velocidade e´ a taxa de variac¸a˜o do espac¸o sobre o
tempo (isto e´, v(t) = s ′(t)). No´s vimos em aulas anteriores que∫ b
a
v(t) dt fornecia o deslocamento ocorrido no intervalo de tempo
[a, b]. Ora, se calcularmos s(b)− s(a) tambe´m temos o
deslocamento ocorrido nesse intervalo. Desse modo, e´ razoa´vel
pensar que ∫ b
a
v(t) dt = s(b)− s(a).
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte II - Demonstrac¸a˜o
A hipo´tese e´:
f e´ cont´ınua em [a, b];
E a tese e´:∫ b
a
f (x) dx = F (b)− F (a), com F antiderivada de f .
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte II - Demonstrac¸a˜o
A hipo´tese e´:
f e´ cont´ınuaem [a, b];
E a tese e´:∫ b
a
f (x) dx = F (b)− F (a), com F antiderivada de f .
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte II - Demonstrac¸a˜o
Seja a func¸a˜o g(u) =
∫ u
a
f (x) dx , com a ≤ u ≤ b. Pela Parte I do
Teorema Fundamental do Ca´lculo, sabemos que g ′(u) = f (u).
Sabemos que se F e´ outra antiderivada de f , enta˜o
F (u) = g(u) + c, com c uma constante real.
Desse modo, temos que
F (b)− F (a) = [g(b) + c]− [g(a) + c]
=
∫ b
a
f (x) dx −
∫ a
a
f (x) dx
=
∫ b
a
f (x) dx
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte II - Demonstrac¸a˜o
Seja a func¸a˜o g(u) =
∫ u
a
f (x) dx , com a ≤ u ≤ b. Pela Parte I do
Teorema Fundamental do Ca´lculo, sabemos que g ′(u) = f (u).
Sabemos que se F e´ outra antiderivada de f , enta˜o
F (u) = g(u) + c, com c uma constante real.
Desse modo, temos que
F (b)− F (a) = [g(b) + c]− [g(a) + c]
=
∫ b
a
f (x) dx −
∫ a
a
f (x) dx
=
∫ b
a
f (x) dx
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte II - Demonstrac¸a˜o
Seja a func¸a˜o g(u) =
∫ u
a
f (x) dx , com a ≤ u ≤ b. Pela Parte I do
Teorema Fundamental do Ca´lculo, sabemos que g ′(u) = f (u).
Sabemos que se F e´ outra antiderivada de f , enta˜o
F (u) = g(u) + c, com c uma constante real.
Desse modo, temos que
F (b)− F (a) = [g(b) + c]− [g(a) + c]
=
∫ b
a
f (x) dx −
∫ a
a
f (x) dx
=
∫ b
a
f (x) dx
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte II - Demonstrac¸a˜o
Seja a func¸a˜o g(u) =
∫ u
a
f (x) dx , com a ≤ u ≤ b. Pela Parte I do
Teorema Fundamental do Ca´lculo, sabemos que g ′(u) = f (u).
Sabemos que se F e´ outra antiderivada de f , enta˜o
F (u) = g(u) + c, com c uma constante real.
Desse modo, temos que
F (b)− F (a) = [g(b) + c]− [g(a) + c]
=
∫ b
a
f (x) dx −
∫ a
a
f (x) dx
=
∫ b
a
f (x) dx
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Parte II - Demonstrac¸a˜o
Seja a func¸a˜o g(u) =
∫ u
a
f (x) dx , com a ≤ u ≤ b. Pela Parte I do
Teorema Fundamental do Ca´lculo, sabemos que g ′(u) = f (u).
Sabemos que se F e´ outra antiderivada de f , enta˜o
F (u) = g(u) + c, com c uma constante real.
Desse modo, temos que
F (b)− F (a) = [g(b) + c]− [g(a) + c]
=
∫ b
a
f (x) dx −
∫ a
a
f (x) dx
=
∫ b
a
f (x) dx
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Seja a func¸a˜o g definida por g(x) =
∫ x
0
t cos t dt.
Calcule g ′′(pi).
Pela Parte I do Teorema Fundamental do Ca´lculo, sabemos que
g ′(x) = x cos x .
Caculando a segunda derivada de g , obtemos
g ′′(x) = cos x − x sen x .
Desse modo, facilmente calculamos que g ′′(pi) = −1.
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Seja a func¸a˜o g definida por g(x) =
∫ x
0
t cos t dt.
Calcule g ′′(pi).
Pela Parte I do Teorema Fundamental do Ca´lculo, sabemos que
g ′(x) = x cos x .
Caculando a segunda derivada de g , obtemos
g ′′(x) = cos x − x sen x .
Desse modo, facilmente calculamos que g ′′(pi) = −1.
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Seja a func¸a˜o g definida por g(x) =
∫ x
0
t cos t dt.
Calcule g ′′(pi).
Pela Parte I do Teorema Fundamental do Ca´lculo, sabemos que
g ′(x) = x cos x .
Caculando a segunda derivada de g , obtemos
g ′′(x) = cos x − x sen x .
Desse modo, facilmente calculamos que g ′′(pi) = −1.
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Seja a func¸a˜o g definida por g(x) =
∫ x
0
t cos t dt.
Calcule g ′′(pi).
Pela Parte I do Teorema Fundamental do Ca´lculo, sabemos que
g ′(x) = x cos x .
Caculando a segunda derivada de g , obtemos
g ′′(x) = cos x − x sen x .
Desse modo, facilmente calculamos que g ′′(pi) = −1.
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Use a Parte II do Teorema Fundamental do Ca´lculo
para justificar que
∫ 1
0
x2 dx =
1
3
.
Sabemos que F (x) = 13x
3 e´ uma antiderivada de f (x) = x2. Sendo
assim, pela Parte II do Teorema Fundamental do Ca´lculo segue que∫ 1
0
x2 dx =
[
1
3
x3
]1
0
=
1
3
· 13 − 1
3
· 03 = 1
3
.
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Use a Parte II do Teorema Fundamental do Ca´lculo
para justificar que
∫ 1
0
x2 dx =
1
3
.
Sabemos que F (x) = 13x
3 e´ uma antiderivada de f (x) = x2.
Sendo
assim, pela Parte II do Teorema Fundamental do Ca´lculo segue que∫ 1
0
x2 dx =
[
1
3
x3
]1
0
=
1
3
· 13 − 1
3
· 03 = 1
3
.
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Use a Parte II do Teorema Fundamental do Ca´lculo
para justificar que
∫ 1
0
x2 dx =
1
3
.
Sabemos que F (x) = 13x
3 e´ uma antiderivada de f (x) = x2. Sendo
assim, pela Parte II do Teorema Fundamental do Ca´lculo segue que∫ 1
0
x2 dx =
[
1
3
x3
]1
0
=
1
3
· 13 − 1
3
· 03 = 1
3
.
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Determine a a´rea da regia˜o delimitada pelo gra´fico das
func¸o˜es f (x) = −x2 + 9x − 8 e g(x) = −12x + 7.
Fazendo um esboc¸o do gra´fico dessas func¸o˜es, obtemos a figura
abaixo. A a´rea desejada sera´ dada por∫ b
a
f (x)− g(x) dx .
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Determine a a´rea da regia˜o delimitada pelo gra´fico das
func¸o˜es f (x) = −x2 + 9x − 8 e g(x) = −12x + 7.
Fazendo um esboc¸o do gra´fico dessas func¸o˜es, obtemos a figura
abaixo. A a´rea desejada sera´ dada por∫ b
a
f (x)− g(x) dx .
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Exerc´ıcio
Note que a e b correspondem aos valores de x tais que
f (x) = g(x). Isto e´, temos que a e b sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o
−x2 + 9x − 8 = −1
2
x + 7.
Rosolvendo essa equac¸a˜o, obtemos x1 = 2 e x2 =
15
2 . Sendo assim,
temos que a = 2 e b = 152 . Agora, basta calcular
∫ 15
2
2
(−x2 + 9x − 8)−
(
−1
2
x + 7
)
dx =
∫ 15
2
2
−x2 + 19
2
x − 15 dx
=
[
−1
3
x3 +
19
4
x2 − 15x
] 15
2
2
=
1.331
48
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Exerc´ıcio
Note que a e b correspondem aos valores de x tais que
f (x) = g(x). Isto e´, temos que a e b sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o
−x2 + 9x − 8 = −1
2
x + 7.
Rosolvendo essa equac¸a˜o, obtemos x1 = 2 e x2 =
15
2 . Sendo assim,
temos que a = 2 e b = 152 .
Agora, basta calcular
∫ 15
2
2
(−x2 + 9x − 8)−
(
−1
2
x + 7
)
dx =
∫ 15
2
2
−x2 + 19
2
x − 15 dx
=
[
−1
3
x3 +
19
4
x2 − 15x
] 15
2
2
=
1.331
48
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Exerc´ıcio
Note que a e b correspondem aos valores de x tais que
f (x) = g(x). Isto e´, temos que a e b sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o
−x2 + 9x − 8 = −1
2
x + 7.
Rosolvendo essa equac¸a˜o, obtemos x1 = 2 e x2 =
15
2 . Sendo assim,
temos que a = 2 e b = 152 . Agora, basta calcular
∫ 15
2
2
(−x2 + 9x − 8)−
(
−1
2
x + 7
)
dx =
∫ 15
2
2
−x2 + 19
2
x − 15 dx
=
[
−1
3
x3 +
19
4
x2 − 15x
] 15
2
2
=
1.331
48
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Exerc´ıcio
Note que a e b correspondem aos valores de x tais que
f (x) = g(x). Isto e´, temos que a e b sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o
−x2 + 9x − 8 = −1
2
x + 7.
Rosolvendo essa equac¸a˜o, obtemos x1 = 2 e x2 =
15
2 . Sendo assim,
temos que a = 2 e b = 152 . Agora, basta calcular
∫ 15
2
2
(−x2 + 9x − 8)−
(
−1
2
x + 7
)
dx =
∫ 15
2
2
−x2 + 19
2
x − 15 dx
=
[
−1
3
x3 +
19
4
x2 − 15x
] 15
2
2
=
1.331
48
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Exerc´ıcio
Exemplo 4: Utilizando o Teorema Fundamental do Ca´lculo, mostre
que a a´rea do triaˆngulo retaˆngulo de catetos medindo 3 cm e 4 cm
e´ igual a 6 cm2.
Dos conhecimentos de Geometria Plana, ja´ esperamos que a a´rea
desse triaˆngulo seja A = 4·32 = 6 cm
2.
TeoremaFundamental do Ca´lculo
Exerc´ıcio
Exemplo 4: Utilizando o Teorema Fundamental do Ca´lculo, mostre
que a a´rea do triaˆngulo retaˆngulo de catetos medindo 3 cm e 4 cm
e´ igual a 6 cm2.
Dos conhecimentos de Geometria Plana, ja´ esperamos que a a´rea
desse triaˆngulo seja A = 4·32 = 6 cm
2.
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Exerc´ıcio
Se f (x) = ax + b e´ a reta que passa pelos pontos (0, 3) e (4, 0),
enta˜o a a´rea do triaˆngulo retaˆngulo sera´ correspondente a∫ 4
0
ax + b dx .
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Exerc´ıcio
Para determinar a reta que passa por aqueles pontos, precisamos
resolver o sistema{
f (0) = 3
f (4) = 0
⇒
{
b = 3
4a + b = 0
.
A soluc¸a˜o desse sistema e´ a = −34 e b = 3. Sendo assim, a reta e´
dada por f (x) = −34x + 3. Basta agora resolver∫ 4
0
−3
4
x + 3 dx =
[
−3
8
x2 + 3x
]4
0
= 6.
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Exerc´ıcio
Para determinar a reta que passa por aqueles pontos, precisamos
resolver o sistema{
f (0) = 3
f (4) = 0
⇒
{
b = 3
4a + b = 0
.
A soluc¸a˜o desse sistema e´ a = −34 e b = 3. Sendo assim, a reta e´
dada por f (x) = −34x + 3. Basta agora resolver∫ 4
0
−3
4
x + 3 dx =
[
−3
8
x2 + 3x
]4
0
= 6.
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Exerc´ıcio
Para determinar a reta que passa por aqueles pontos, precisamos
resolver o sistema{
f (0) = 3
f (4) = 0
⇒
{
b = 3
4a + b = 0
.
A soluc¸a˜o desse sistema e´ a = −34 e b = 3. Sendo assim, a reta e´
dada por f (x) = −34x + 3.
Basta agora resolver∫ 4
0
−3
4
x + 3 dx =
[
−3
8
x2 + 3x
]4
0
= 6.
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Exerc´ıcio
Para determinar a reta que passa por aqueles pontos, precisamos
resolver o sistema{
f (0) = 3
f (4) = 0
⇒
{
b = 3
4a + b = 0
.
A soluc¸a˜o desse sistema e´ a = −34 e b = 3. Sendo assim, a reta e´
dada por f (x) = −34x + 3. Basta agora resolver∫ 4
0
−3
4
x + 3 dx
=
[
−3
8
x2 + 3x
]4
0
= 6.
Teorema Fundamental do Ca´lculo
Exerc´ıcio
Para determinar a reta que passa por aqueles pontos, precisamos
resolver o sistema{
f (0) = 3
f (4) = 0
⇒
{
b = 3
4a + b = 0
.
A soluc¸a˜o desse sistema e´ a = −34 e b = 3. Sendo assim, a reta e´
dada por f (x) = −34x + 3. Basta agora resolver∫ 4
0
−3
4
x + 3 dx =
[
−3
8
x2 + 3x
]4
0
= 6.